其次章第十節(jié)函數(shù)模型與其應(yīng)用一、選擇題1．(2012·惠州模擬)某學(xué)校開展探討性學(xué)習(xí)活動(dòng)，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01現(xiàn)打算用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是A．y＝2x－2B．y＝(\f(1,2))xC．y＝2x D．y＝\f(1,2)(x2－1)解析：直線是勻稱的，故選項(xiàng)A不是；指數(shù)函數(shù)y＝(\f(1,2))x是單調(diào)遞減的，也不符合要求；對(duì)數(shù)函數(shù)y＝2x的增長是緩慢的，也不符合要求；將表中數(shù)據(jù)代入選項(xiàng)D中，基本符合要求．答案：D2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定價(jià)20元，羽毛球每個(gè)定價(jià)5元，該店制定了兩種實(shí)惠方法：①買一副球拍贈(zèng)送一個(gè)羽毛球；②按總價(jià)的92%付款．現(xiàn)某人安排購買4副球拍和30個(gè)羽毛球，兩種方法中，更省錢的一種是()A．不能確定 B．①②同樣省錢C．②省錢 D．①省錢解析：方法①用款為4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)方法②用款為(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)∵210<211.6，故方法①省錢．答案：D3．某地2002年底人口為500萬，人均住房面積為6m2，假如該城市人口平均每年增長率為1%.問為使2012年底該城市人均住房面積增加到7m2，平均每年新增住房面積至少為萬m2.(1.0110≈1.1045)(A．90 B．87C．85 D．80解析：到2012年底該城市人口有500×(1＋1%)10，則\f(500×1＋1%10×7－500×6,10)≈86.6(萬m2)．答案：B4．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a＞0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從動(dòng)身到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()解析：留意到y(tǒng)為“小王從動(dòng)身到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，用定性分析法不難得到答案為D.答案：D5．光線通過一塊玻璃，其強(qiáng)度要失掉原來的\f(1,10)，要使通過玻璃的光線強(qiáng)度為原來的\f(1,3)以下，至少須要重疊這樣的玻璃塊數(shù)是(3＝0.4771)()A．10 B．11C．12 D．13解析：設(shè)原光線的強(qiáng)度為a，重疊x塊玻璃后，通過玻璃的光線強(qiáng)度為y，則y＝a(1－\f(1,10))x(x∈N*)，令y＜\f(1,3)a，即a(1－\f(1,10))x＜\f(1,3)a，∴(\f(9,10))x＜\f(1,3)，∴x＞\f(\f(1,3)\f(9,10)).∵\(yùn)f(\f(1,3)\f(9,10))＝\f(－3,23－1)＝\f(－0.4771,2×0.4771－1)≈10.4.即x＞10.4.答案：B6．將長度為2的鐵絲分成兩段，分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應(yīng)為()\f(4,π＋4) \f(5,π＋4)\f(7,π＋4) \f(8,π＋4)解析：設(shè)鐵絲分成的兩段長分別為x，y(x＞0，y＞0)，x＋y＝2.面積之和為S＝(\f(x,4))2＋π(\f(y,2π))2＝\f(1,16)x2＋\f(2－x2,4π)＝\f(π＋4,16π)x2－\f(1,π)x＋\f(1,π)，當(dāng)S取得最小值時(shí)，x＝\f(8,π＋4).答案：D二、填空題7．(2012·徐州模擬)在不考慮空氣阻力的狀況下，設(shè)火箭的最大速度是v，燃料的質(zhì)量為M，火箭(除燃料外)的質(zhì)量為m，三者之間的函數(shù)關(guān)系是v＝2000·(1＋)．當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12.解析：∵2000·(1＋)≤12000，∴\f()≤e6－1.答案：e6－18．某居民小區(qū)收取冬季供暖費(fèi)，依據(jù)規(guī)定，住戶可以從以下兩種方案中任選其一：(1)依據(jù)運(yùn)用面積繳納，每平方米4元；(2)依據(jù)建筑面積繳納，每平方米3元．李明家的運(yùn)用面積為60平方米．假如他家選擇第(2)解析：按方案(1)，李明家需繳240元，故設(shè)李明家建筑面積為x平方米，則3x≤240，解得x≤80.答案：809．(2011·湖北高考)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：M＝－0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的倍．解析：由1000－0.001＝6，得此次地震的震級(jí)為6級(jí)．因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，設(shè)9級(jí)地震最大振幅為A9，則9－0.001＝9，解得A9＝106，同理5級(jí)地震最大振幅A5＝102，所以9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)的10000倍．答案：610000三、解答題10．(2012·鹽城模擬)某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：3以內(nèi)(含3)10元；超過3但不超過18的部分1元；超出18的部分2元.(1)假如某人乘車行駛了20，他要付多少車費(fèi)？某人乘車行駛了x，他要付多少車費(fèi)？(2)假如某人付了22元的車費(fèi)，他乘車行駛了多遠(yuǎn)？解：(1)乘車行駛了20，付費(fèi)分三部分，前3付費(fèi)10(元)，3到18付費(fèi)(18－3)×1＝15(元)，18到20付費(fèi)(20－18)×2＝4(元)，總付費(fèi)10＋15＋4＝29(元)．設(shè)付車費(fèi)y元，當(dāng)0<x≤3時(shí)，車費(fèi)y＝10；當(dāng)3<x≤18時(shí)，車費(fèi)y＝10＋(x－3)＝x＋7；當(dāng)x>18時(shí)，車費(fèi)y＝25＋2(x－18)＝2x－11.(2)付出22元的車費(fèi)，說明此人乘車行駛的路程大于3，且小于18，前3付費(fèi)10元，余下的12元乘車行駛了12，故此人乘車行駛了15.11．某租賃公司擁有汽車100輛．當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛．租出的車每輛每月須要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月須要維護(hù)費(fèi)50元．(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：\f(3600－3000,50)＝12，所以這時(shí)租出了88輛車．(2)設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f(x)＝(100－\f(x－3000,50))(x－150)－\f(x－3000,50)×50，整理得f(x)＝－\f(x2,50)＋162x－21000＝－\f(1,50)(x－4050)2＋307050.所以，當(dāng)x＝4050時(shí)，f(x)最大，其最大值為f(4050)＝307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元．12．某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，則當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：(1)每噸平均成本為\f()(萬元)．則\f()＝\f(x,5)＋\f(8000)－48≥2\r(\f(x,5)·\f(8000))－48＝32，當(dāng)且僅當(dāng)\f(x,5)＝\f(8000)，即x＝200時(shí)取等號(hào)．∴年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為32萬元．(2)設(shè)年獲得總利潤為R(x)萬元，則R(x)＝40x－y