2022-2023學(xué)年福建省莆田第十五中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．給出下列命題：①在中，；②若A,B,C,D是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若且，則；④若，且.其中正確的命題有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)向量的相關(guān)知識，對各個命題逐一判斷即可求解．【詳解】①根據(jù)向量求和的多邊形法則可知，，該命題正確；②因為A,B,C,D是不共線的四點，由可知，，所以四邊形為平行四邊形，若四邊形為平行四邊形，，由向量相等的定義可知，，故該命題正確；③若且，則，不一定有，該命題錯誤；④若，向量與的模相等，但不一定共線，故該命題錯誤；綜上，正確的命題有2個．故選：C．【點睛】本題主要考查向量的基本概念的理解以及向量的運算．2．設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)（

）A．5 B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知結(jié)合復(fù)數(shù)的定義列式，即可解出答案.【詳解】復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，，解得：，故選：A.3．設(shè)，是平面向量的一組基底，以下四個選項中可以作為平面向量的一組基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根據(jù)基底向量的定義逐項分析判斷.【詳解】對A：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，A錯誤；對B：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，B錯誤；對C：∵，則與共線，故和不能作為基底向量，C錯誤；對D：∵，則與不共線，故和不能作為基底向量，D正確；故選：D.4．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直的充要條件、向量的數(shù)量積運算以及夾角公式進行計算求解.【詳解】因為，所以，即，又，，所以，解得，又，則與的夾角為.故選：D.5．已知a，，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】由與互為共軛復(fù)數(shù)，求出a,b的值，可解出.【詳解】與互為共軛復(fù)數(shù)，∴，則有.故選：D6．如圖，為了測量B，C兩點間的距離，選取同一平面上A，D兩點，已知，，，，，則的長為（

）A． B．5 C． D．7【答案】A【解析】在中，由正弦定理求出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求出，最后在中，由余弦定理計算可得；【詳解】解：在中，由正弦定理可得，即所以，又因為，所以在中，由余弦定理可得即所以故選：A【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.7．ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理與同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，化簡等式得sinB＝sinA，從而得到b＝a，可得答案．【詳解】∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A＝a，∴根據(jù)正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A＝sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）＝sinA，∵sin2A+cos2A＝1，∴sinB＝sinA，得b＝a，可得＝．故選D．【點睛】本題考查了正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．8．在邊長為2的正方形中，為的中點，點在線段上運動，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)，表達出，求出取值范圍.【詳解】以A為坐標原點，分別以AB，AD為x軸，y軸，建立直角坐標系，則，設(shè)，則，因為，所以，.故選：B二、多選題9．在中，角的對邊分別為.根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（

）A．，有唯一解B．，無解C．，有兩解D．，有唯一解【答案】AD【分析】根據(jù)三邊確定可判斷A選項；由正弦定理，在結(jié)合大邊對大角可判斷B，C，D選項.【詳解】解：選項A，，已知三邊三角形確定，有唯一解，A正確；選項B，由正弦定理得：，則，再由大邊對大角可得，故可以為銳角，也可以為鈍角，故三角形有兩解，B錯誤；選項C，由正弦定理得：，則，且，由大邊對大角可得，則只能為銳角，故三角形有唯一解，C錯誤；選項D，由正弦定理得：，，由于，則是銳角，有唯一解，D正確.故選：AD.10．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.下面四個結(jié)論正確的是（

）A．，，則的外接圓半徑是2 B．若，則C．若，則一定是銳角三角形 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)正余弦定理及其應(yīng)用，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對：由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故正確；對：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；對：因為，所以為銳角，但不確定，故C錯誤；對：若，，所以由正弦定理得，故D正確.、故選：ABD.11．中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，點是邊上的動點，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則的最小值為【答案】ACD【分析】設(shè)，求出比例即可判斷A選項；由余弦定理得，結(jié)合向量數(shù)量積即可判斷B選項；由向量的線性運算得即可判斷C選項；取中點，由求出最小值即可判斷D選項.【詳解】設(shè)，則，三式聯(lián)立解得，對于A，，A正確；對于B，，則，B錯誤；對于C，若，則，則，即，即，則，，C正確；對于D，若，則，取中點，連接，則，顯然當(dāng)時，最小，此時，則，則的最小值為，D正確.故選：ACD.12．如圖，正方形中，為中點，為線段上的動點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)為線段上的中點時，B．的最大值為C．的取值范圍為D．的取值范圍為【答案】ABC【分析】以為原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，結(jié)合向量的坐標表示及向量的坐標運算表示條件，由此判斷各選項.【詳解】以為原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，設(shè)，則，設(shè)，則，因為，所以，所以，即，對于選項A，因為為線段上的中點，所以，故，A正確；對于選項B，，，當(dāng)時，取最大值為，B正確；對于選項C，因為，，所以，的取值范圍為，C正確；對于選項D，，，所以，所以的取值范圍為，D錯誤.故選：ABC.三、填空題13．已知，，若與為共線向量，則實數(shù)k＝__________．【答案】【分析】由已知，分別表示出和的坐標形式，再根據(jù)兩向量共線，列出等量關(guān)系即可完成求解.【詳解】因為，，所以，，因為與為共線向量，所以，解得：.故答案為：.14．如果則實數(shù)m的值為________．【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得，解得．故答案為：215．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角的大小為______.【答案】【分析】利用正弦定理邊化角可求得，由此可得.【詳解】由正弦定理得：，，，，即，又，.故答案為：.16．如圖，等腰三角形，，．，分別為邊，上的動點，且滿足，，其中，，，，分別是，的中點，則的最小值為_____.【答案】【解析】根據(jù)條件便可得到，然后兩邊平方即可得出，而由條件，代入上式即可得出，從而配方即可求出的最小值，進而得出的最小值．【詳解】解：；，，代入上式得：；；時，取最小值；的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，配方求二次函數(shù)最值的方法．四、解答題17．當(dāng)m取何值時，復(fù)數(shù)(1)是實數(shù)；(2)是純虛數(shù)．【答案】(1)m＝5；(2)m＝3或m＝－2.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】（1）因為復(fù)數(shù)為實數(shù)，所以；（2）因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以有，或，∴當(dāng)m＝3或m＝－2時，z是純虛數(shù)．18．已知，，與的夾角是．(1)計算；(2)當(dāng)為何值時，？【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量的數(shù)量積求出兩個向量的數(shù)量積；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．（2）利用向量垂直的充要條件列出方程求出的值．【詳解】（1）解：由已知，所以．（2）解：若，則，，則，．19．已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，與的夾角為銳角，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量共線的坐標表示即可求t值；（2）根據(jù)平面向量夾角的定義及其坐標表示即可求m的取值范圍．【詳解】（1）由題可知，∵，∴，∴．（2）若，則，，∵與的夾角為銳角，∴，且與不共線，∴，解得且，∴m的取值范圍是．20．已知銳角的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求；(2)若，求AD的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，求得邊長，進而求得答案；（2）根據(jù)幾何性質(zhì)以及平面向量的運算，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）由得，由余弦定理：，解得或（舍），所以.（2）由，即，得，所以，所以21．在某片海域上，一艘海上護衛(wèi)艦位于點A處，一艘貨輪在點A東偏北15°方向的點處行駛著，通過雷達監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)在點A北偏東30°方向且距離點A24海里處的點處出現(xiàn)一艘海盜船，此時海盜船與貨輪相距海里，且護衛(wèi)艦距離貨輪比距離海盜船更近.(1)求發(fā)現(xiàn)海盜船時護衛(wèi)艦與貨輪的距離；(2)護衛(wèi)艦為確保貨輪的安全，護衛(wèi)艦開始以海里/小時的速度追擊海盜船，與此同時，海盜船開始以20海里/小時的速度沿著北偏西30°方向逃竄，求護衛(wèi)艦?zāi)茏凡兜胶１I船的最短時長以及最佳追擊方向.【答案】(1)海里(2)護衛(wèi)艦的最佳追擊方向為正北方向，能迫擊到海盜船的最短時長為1.2小時【分析】（1）中，由正弦定理計算可得.（2）設(shè)護衛(wèi)艦?zāi)茏凡兜胶１I船的最短時長為小時，在中由余弦定理計算可得.【詳解】（1）由題意可知，由正弦定理可得，則，所以或120°.若，則，，不符合題意，所以，，，海里，故發(fā)現(xiàn)海盜船時護衛(wèi)艦與貨輪的距離為海里.（2）如圖，設(shè)護衛(wèi)艦?zāi)茏凡兜胶１I船的最短時長為小時，且追到時位于點.則.由余弦定理可得，，整理可得，解得或-0.6（舍去），此時（海