PAGEPAGE1考點40橢圓一、選擇題１.(2０13·新課標全國Ⅱ高考文科·T5）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，,,則的離心率為（）A.Ｂ.C.D.【解題指南】利用已知條件解直角三角形,將用半焦距ｃ表示出來,然后借助橢圓的定義，可得ａ,c的關(guān)系,從而得離心率.【解析】選D.因為,所以。又,所以，即橢圓的離心率為，選D．2.（20１3·大綱版全國卷高考理科·T8)橢圓Ｃ:的左、右頂點分別為,，點P在C上且直線斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是（)A.?B.Ｃ.D.【解題指南】將代入到中,得到與之間的關(guān)系,利用為定值求解的取值范圍．【解析】選Ｂ.設(shè),則,，，故.因為,所以3.(20１３·大綱版全國卷高考文科·T８）已知F1（-1,０),F2(1,0）是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交于A,Ｂ兩點,且ABA.B.C.Ｄ．【解題指南】由過橢圓的焦點且垂直軸的通徑為求解.【解析】選C.設(shè)橢圓得方程為,由題意知,又,解得或（舍去）,而，故橢圓得方程為．4.(20１３·四川高考文科·Ｔ9)從橢圓上一點向軸作垂線,垂足恰為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且（是坐標原點)，則該橢圓的離心率是（)A.B.C．D.【解題指南】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì)，解題時要注意兩個條件的應(yīng)用,一是與軸垂直,二是【解析】選C,根據(jù)題意可知點P，代入橢圓的方程可得，根據(jù)，可知,即,解得,即,解得，故選Ｃ.5．（２０1３·廣東高考文科·Ｔ9)已知中心在原點的橢圓Ｃ的右焦點為，離心率等于，則C的方程是（） ?A．B.Ｃ.D.【解題指南】本題考查圓錐曲線中橢圓的方程與性質(zhì)，用好的關(guān)系即可．【解析】選D.設(shè)C的方程為,則，Ｃ的方程是.６.（2013·遼寧高考文科·Ｔ11）已知橢圓的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AＦ,BF.若|ＡＢ|=10,|BF｜＝8,ｃos∠AＢF=，則C的離心率為()A.Ｂ.C.D．【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性)求出點到右焦點的距離,進而求得【解析】選B．在三角形中，由余弦定理得，又解得在三角形中,，故三角形為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點為,連接,根據(jù)橢圓的對稱性，四邊形為矩形,則其對角線且,即焦距又據(jù)橢圓的定義,得，所以．故離心率二、填空題7.(2013·江蘇高考數(shù)學(xué)科·Ｔ12)在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為,右準線為，短軸的一個端點為,設(shè)原點到直線的距離為,到的距離為，若,則橢圓的離心率為【解題指南】利用構(gòu)建參數(shù)a，ｂ,ｃ的關(guān)系式．【解析】由原點到直線的距離為得，因到的距離為故,又所以又解得【答案】．8．(2013·上海高考文科·T1２）與（20１3·上海高考理科·T９）相同設(shè)AB是橢圓的長軸，點C在上,且．若AB＝4，ＢＣ=,則的兩個焦點之間的距離為.【解析】如圖所示，以AB的中點O為坐標原點,建立如圖所示的坐標系.【答案】.9．（2013·福建高考文科·Ｔ15)與（20１3·福建高考理科·T14)相同橢圓Γ：的左、右焦點分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=QＵOTＥ\*MERGＥFORMAＴ與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF１F２=２∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于.【解題指南】①，而2c是焦距，2ａ是定義中的｜ＰF1|＋｜PF2|=2a,因此,如果題目出現(xiàn)焦點三角形(由曲線上一點連接兩個焦點而成)，求解離心率,一般會選用這種定義法:.②求解離心率，還有一種方法，叫平方法.注意到,在具體問題中,結(jié)合基本量關(guān)系式a２=b２＋c2進行求解,顯然這樣的方法適合于題目給出標準方程的題．【解析】∠ＭＦ1F2是直線的傾斜角,所以∠MＦ1F2=6０°,∠ＭＦ2Ｆ１=3０°,所以△MF２F1是直角三角形,在Rt△MＦ２F1中,|Ｆ２Ｆ１|=2c,|ＭF1|=c,|MＦ2【答案】.1０.(２0１３·遼寧高考理科·T15)已知橢圓的左焦點為,與過原點的直線相交于兩點,連接若，則的離心率【解題指南】由余弦定理解三角形，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性）求出點A到右焦點的距離，進而求得.【解析】在三角形中,由余弦定理得,又,解得在三角形中，,故三角形為直角三角形。設(shè)橢圓的右焦點為,連接，根據(jù)橢圓的對稱性,四邊形為矩形，則其對角線且，即焦距又據(jù)橢圓的定義，得,所以．故離心率【答案】.三、解答題１１.（2013·陜西高考文科·T20)已知動點M(x，y)到直線l:x＝４的距離是它到點N(1,０)的距離的2倍. (１)求動點M的軌跡Ｃ的方程; (2)過點P(0,３)的直線ｍ與軌跡Ｃ交于Ａ,B兩點．若Ａ是PB的中點,求直線m的斜率.【解題指南】設(shè)出動點M的坐標,根據(jù)已知條件列方程即可;設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得出k與的關(guān)系式,利用中點坐標即可得斜率.【解析】(1)點Ｍ(x,y)到直線x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的２倍，則．所以,動點M的軌跡為橢圓，方程為.(2）P（0,3),設(shè),橢圓經(jīng)檢驗直線ｍ不經(jīng)過這２點，即直線m斜率k存在。．聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得：所以,直線ｍ的斜率.12．(2013·四川高考理科·Ｔ20)已知橢圓:的兩個焦點分別為,且橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的離心率;(2）設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點,點是線段上的點，且，求點的軌跡方程.【解題指南】(1）關(guān)注橢圓的定義，利用定義求出，再求出離心率;(2）首先確定橢圓的方程，設(shè)出點的坐標，結(jié)合已知,找到點的坐標滿足的關(guān)系.【解析】（1）由橢圓定義知，2a=|PF１|+|PF２｜＝eq＼r（(eq\f(４，3)+１)２＋(eq\f(１,3))２)＋eq\r（（eq\f(4,3)?１)2+(eq\f（1,3)）2)=２eq\r（２),所以ａ=eq＼r(2）,又由已知，c=1,所以橢圓的離心率e=eq＼ｆ(c,a)＝eq\f(1,＼r（２))＝ｅｑ\f(\ｒ(2），2)．(２）由(1）知,橢圓Ｃ的方程為eｑ＼f（ｘ2,2）+y2=1，設(shè)點Q的坐標為（x，y).(?。┊斨本€l與x軸垂直時,直線ｌ與橢圓C交于(０,1),(０,－1)兩點，，此時點Q的坐標為(0，2?eｑ\f（3\r(5），5)).(ⅱ)當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝ｋx+２,因為M,N在直線l上，可設(shè)點M,N的坐標分別為則|AM|２=(1＋k2）x12,｜AN|2=(１+k2）ｘ22，又|AＱ|２=(１+k2）x2,由eq\f(2,|AQ|2)=eq\ｆ(１，｜AM|2)＋eq\ｆ(１,|AN|2),得eq＼f(2，(1+k２)ｘ2)=ｅq\f(１，(1＋ｋ2)x12)+eq\f(1,(1＋k２）x2２）,即ｅq\f(2,ｘ2)＝ｅq\ｆ(1,x12)+eq\f(1,x22)=eq\ｆ(（ｘ1+x2)2?2x1x２,ｘ1２x1２),①將y=ｋx＋2代入eq\f(ｘ２，2)+y２=1中,得(2k２＋１)x2＋8kｘ＋6=0.②由=(8k)2?4（2k2+1)６>0,得k２>ｅｑ\f(３,2）.由②可知,ｘ1+x2＝eq\ｆ(?８k,２ｋ２+1）,ｘ１x2=eq\ｆ(6,2k２＋1),代入①并化簡得x2＝.③因為點Q在直線y＝ｋx＋2上,所以k＝ｅｑ\f(y?2，x),代入③并化簡，得1０(y?2)2?３x２=1８.由③及k２>ｅｑ\f(３，2),可知0<x2<eq＼f(3,２),即ｘ(?ｅq\f（\r(6)，2),0)∪（０，eq\f(＼ｒ(６),2）).又（０,２?eｑ\f（3\ｒ(5),5))滿足１0(y?2)2?3x２=18,故ｘ(?ｅq\f(\ｒ(６)，2),eq\f(\r(６),2)).由題意，Q(x,y)在橢圓C內(nèi),所以?１y1,又由1０(ｙ?2)