極坐標(biāo)與參數(shù)方程一．極坐標(biāo)題型1.記憶第1類：恰好過極點的圓在極坐標(biāo)中，圓心在，半徑為的圓：在極坐標(biāo)中，圓心在，半徑為的圓：典例.1如圖，在極坐標(biāo)系中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，，的極坐標(biāo)方程；（2）曲線由，，構(gòu)成，若點在上，且，求的極坐標(biāo).第2類：恰好過極點的直線的極坐標(biāo)方程：題型2.化出極坐標(biāo)方程.由，可先得出直角坐標(biāo)方程再化成極坐標(biāo).典例2.圓心在，半徑為的圓；（2）；（3）過點，傾斜角為的直線；（4）.題型3.求出極坐標(biāo)方程.建，設(shè)，限，代，化.典例3．在極點為O的極坐標(biāo)系中，直線上有一動點P，動點M在射線OP上，且滿足，記M的軌跡為C．（1）求C的極坐標(biāo)方程，并說明C是何種曲線；二．極坐標(biāo)的應(yīng)用（畫好圖）1.算長度：極徑的幾何意義.典例4．已知曲線的極坐標(biāo)方程為：，直線的極坐標(biāo)方程為：（），曲線與直線相交于兩點，則為（）A． B． C． D．2.算面積:極徑與極角的幾何意義.典例3.（2）若，，均在曲線C上，求的面積．參數(shù)方程題型1.莫消參.當(dāng)發(fā)現(xiàn)曲線的參數(shù)方程較復(fù)雜，同時題干主要涉及該曲線上的幾個特殊點時（如與坐標(biāo)軸的交點或坐標(biāo)原點）可不必消參.如何求曲線與坐標(biāo)軸的交點或水平，豎直線的交點或判斷其是否過一個特殊點.典例4.已知曲線參數(shù)方程為，則該曲線被直線所截得的弦長為（）A.B.C.D.（3）（1）（2）.由于，故，所以有：.3.代入消參：（4）.1.求曲線上動點到直線的最大（最?。┚嚯x.典例5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．2.求動點的軌跡方程（相關(guān)點法）.典例6.在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．（1）求的取值范圍；（2）求中點的軌跡的參數(shù)方程．3.直線參數(shù)方程的幾何意義.(1)過點，傾斜角為的直線的參數(shù)為(2)由為直線的傾斜角知.2．直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義參數(shù)的絕對值表示參數(shù)所對應(yīng)的點到定點的距離，其中(1)當(dāng)方向朝上時，．(2)當(dāng)方向朝上時，，(3)當(dāng)與重合時，.為直線上兩點，其對應(yīng)的參數(shù)分別為，線段的中點為，點所對應(yīng)的參數(shù)為，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：（1）；（2）；（3）（3）（5）【特別提醒】(1)直線的參數(shù)方程中，參數(shù)的系數(shù)的平方和為1時，才有幾何意義且其幾何意義為.(2)直線與圓錐曲線相交，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則弦長.練習(xí)題1．在極坐標(biāo)系中，點到直線的距離為（）A．3 B．4 C．2 D．12．在極坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過點，圓心為直線與極軸的交點，則圓的極坐標(biāo)方程為A． B． C． D．3．已知曲線的極坐標(biāo)方程為：，為曲線上的動點，為極點，則的最大值為（）A．2 B．4 C． D．4．已知曲線的極坐標(biāo)方程為：，直線的極坐標(biāo)方程為：（），曲線與直線相交于兩點，則為（）A． B． C． D．5．已知點的直角坐標(biāo)是，則點的極坐標(biāo)是__________．6．在極坐標(biāo)系中，直線與曲線相交于、兩點，若，則實數(shù)的值為.7．在極坐標(biāo)系中，已知兩點的極坐標(biāo)為,則（其中為極點）的面積為_____________.8．在極坐標(biāo)系中,過點作圓的切線,則切線的極坐標(biāo)方程是__________.9．在直角坐標(biāo)系中，直線，圓,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求，的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)的交點為，求的面積．10．在直角坐標(biāo)系中，直線：，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為：.（1）求的極坐標(biāo)方程和的普通方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點為，，又：與軸交點為，求的面積.11．如圖，在極坐標(biāo)系中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，，的極坐標(biāo)方程；（2）曲線由，，構(gòu)成，若點在上，且，求的極坐標(biāo).12．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，動點在直線上，將射線逆時針旋轉(zhuǎn)得到射線，射線上一點，滿足，點的軌跡為曲線，（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線和射線分別與曲線交于兩點，求面積的最大值.13．如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線C1是以C1（4，0）為圓心的半圓，曲線C2是以為圓心的圓，曲線C1、C2都過極點O．（1）分別寫出半圓C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2）直線l：與曲線C1，C2分別交于M、N兩點（異于極點O），P為C2上的動點，求△PMN面積的最大值．14．已知點為圓：上的動點，為坐標(biāo)原點，過作直線的垂線（當(dāng)、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求點的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，連接并延長交于，求的最大值.參考答案1．D2．A3．D4．B5．6．或.7．8．.9．解析：（1）因為，所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為（2）將代入得得，所以因為的半徑為1，則的面積為10．【詳解】（1）∵直線：∴直線的極坐標(biāo)方程為：，又∵的極坐標(biāo)方程為：∴即的普通方程為：；（2）聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程，設(shè)，則有，∴∴，，，又∵直線的極坐標(biāo)方程為，∴直線的一般方程為，即，又∵：與軸交點為，∴∴點到直線的距離為，∴.11．【詳解】(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.，,.(2)解方程得，此時P的極坐標(biāo)為解方程得或，此時P的極坐標(biāo)為或解方程得，此時P的極坐標(biāo)為故P的極坐標(biāo)為,,,.12．【詳解】（1）設(shè)，則，因為動點在直線上，所以，整理得：，即曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）因為射線和射線分別與曲線交于兩點，設(shè)點，則，，，，當(dāng)時，的最大值.13．【詳解】（1）曲線C1是以C1（4，0）為圓心的半圓，所以半圓的極坐標(biāo)方程為，曲線C2是以為圓心的圓，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．（2）由（1）得：|MN|＝|．顯然當(dāng)點P到直線MN的距離最大時，△PMN的面積最大．此時點P為過C2且與直線MN垂直