2022屆山西省高三第二次模擬數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求得集合，由此求得.【詳解】，所以，由于，所以.故選：B2．已知，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的計算四則運算法則化簡z即可．【詳解】，∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為﹒故選：A．3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及二倍角公式化簡求解【詳解】由題，，又因為解得又因為故選：C4．2022年北京冬奧會開幕式各個代表團所身著的運動鞋服品牌一度成為熱議話題，運動鞋服是近年來新消費市場中規(guī)模相當龐大的品類，下圖為2021年中國消費者運動鞋服購置品牌偏好調(diào)查，根據(jù)該圖，下列說法錯誤的是（

）A．2021年中國運動鞋服消費者為父母長輩購買運動鞋服時選擇國產(chǎn)品牌的占比超過70%B．2021年中國運動鞋服消費者沒有為孩子購買運動鞋服的占比低于20%C．2021年中國運動鞋服消費者在為自己購買運動鞋服時選擇國外品牌的占比不超過D．2021年中國運動鞋服消費者在為朋友購買運動鞋服時選擇國產(chǎn)品牌的人數(shù)超過選擇國外品牌人數(shù)的2倍【答案】C【分析】根據(jù)2021年中國消費者運動鞋服購置品牌偏好調(diào)查的結(jié)果的條形圖，可得到消費者為父母長輩購買運動鞋服時選擇國產(chǎn)品牌的占比，沒有為孩子購買運動鞋服的占比,以及為自己購買運動鞋服時選擇國外品牌的占比和為朋友購買運動鞋服時選擇國產(chǎn)品牌的人數(shù)占比以及選擇國外品牌人數(shù)占比，比較占比，即可得到答案.【詳解】2021年中國運動鞋服消費者為父母長輩購買運動鞋服時選擇國產(chǎn)品牌的占比為，超過70%，故A正確；2021年中國運動鞋服消費者沒有為孩子購買運動鞋服的占比為，低于20%，故B正確；2021年中國運動鞋服消費者在為自己購買運動鞋服時選擇國外品牌的占比為，超過了，故C錯誤；2021年中國運動鞋服消費者在為朋友購買運動鞋服時選擇國產(chǎn)品牌的人數(shù)占比為，選擇國外品牌人數(shù)占比為，故D正確，故選：C5．已知實數(shù)x，y滿足，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出可行域，由此求得的取值范圍.【詳解】，設(shè).，設(shè).畫出可行域如下圖所示，由圖可知的取值范圍是.故選：A6．已知直線及圓，則“直線l與圓C有公共點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求得“直線l與圓C有公共點”時的取值范圍，從而判斷出充分、必要條件.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的一般方程為，當“直線l與圓C有公共點”時，圓心到直線的距離，兩邊平方并化簡得.所以“直線l與圓C有公共點”是“”的必要不充分條件.故選：B7．已知，都是單位向量，若與垂直，且，則k的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)“與垂直”求得，對兩邊平方，化簡求得.【詳解】由于與垂直，所以，由（①）兩邊平方并化簡得，即，或（不滿足①，舍去），所以的值為.故選：D8．已知圓柱的高，圓，都在球O的表面上，且球O的表面積是圓柱側(cè)面積的2倍，則球O的半徑為（

）A．4 B．32 C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，球的半徑為，依題意可得，再根據(jù)球的表面積與圓柱的側(cè)面積公式得到方程，即可求出與，即可得解；【詳解】解：設(shè)圓柱的底面半徑為，球的半徑為，則，因為球的表面積是圓柱側(cè)面積的倍，所以，即，所以，所以，，故選：C9．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】選取適當?shù)闹虚g值，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可求解.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，，，又，又故選：C.10．我們把短邊與長邊之比為的矩形稱為黃金分割矩形，黃金分割矩形看起來比較“和諧”，日常生活中的矩形用品(如書本?課桌?衣柜)和建筑物中的一些矩形結(jié)構(gòu)(如窗戶?房間等)，都常設(shè)計成黃金分割的樣式，若一面積為的黃金分割矩形一條短邊的兩個頂點在拋物線的準線上，另一條短邊的中點為拋物線C的焦點F，則該黃金分割矩形與拋物線C的一個交點到F的距離為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出黃金分割矩形的邊長，求出拋物線的方程，求出矩形和拋物線交點橫坐標，從而根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求交點到F的距離．【詳解】設(shè)矩形長邊為x，短邊為y，由題可知，，解得x＝2，y＝﹒由題可知p＝x＝2，拋物線方程為，焦點F為(1，0)，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)矩形的一條長邊y＝與拋物線交于A點，代入得x＝，則A到拋物線焦點F的距離為﹒故選：D﹒11．已知集合A滿足，若是偶函數(shù)，則中的元素（

）A．僅有一個 B．最多有2個 C．最多有3個 D．有無數(shù)多個【答案】B【分析】結(jié)合偶函數(shù)的知識求得，從而確定正確答案.【詳解】依題意，所以是非空集合，因為是偶函數(shù)，所以.對于，，對于，當時，，而是和的一個公共點，所以當或或時，是偶函數(shù).所以中的元素最多有2個.故選：B12．下面關(guān)于函數(shù)的結(jié)論，其中錯誤的是（

）A．的值域是 B．是周期函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．當時【答案】C【分析】利用分類去掉絕對值，研究函數(shù)的值域，再通過三角函數(shù)周期性以及對稱性的定義逐一判斷選項即可【詳解】因為，所以的值域是，A正確；由，可知是的周期，B正確；由，可得的圖象不關(guān)于直線對稱，C錯誤；當時，，D正確，故選：C二、填空題13．已知△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，△ABC的面積，則___________.【答案】【分析】結(jié)合三角形的面積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正弦定理求得【詳解】依題意，即，所以為銳角，.由正弦定理得.故答案為：14．若函數(shù)滿足對任意實數(shù)x恒有，則的圖象在處的切線方程為___________.【答案】【分析】利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】依題意，令得，，令得，，，所以的圖象在處的切線方程為，即.故答案為：15．已知三棱錐的所有棱長都相等，點E為AD中點，點F為底面BCD內(nèi)的動點，記EF的最小值為，最大值為，則___________.【答案】【分析】先求得正四面體的高，然后求得，進而求得.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，設(shè)是等邊三角形的中心，則平面，設(shè)是的中點，，，所以，由于是的中點，所以的最小值.設(shè)是的中點，則，，所以的最大值，所以.故答案為：16．過橢圓左焦點F的直線與橢圓C交于A，B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點M，N，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，，中點，，利用點差法及兩點的斜率公式得到，即可求出的取值范圍，再根據(jù)，可得，最后根據(jù)計算可得；【詳解】解：設(shè)，，中點，，由與相減得，所以，又，所以，所以，即，因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，即．故答案為：三、解答題17．數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017-2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年-2021年對應(yīng)的代碼依次為1-5.年份代碼x12345市場規(guī)模y(1)由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（，的值精確到0.01）；(2)已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物與不在品牌官方直播間購物的人數(shù)之比為4：1，按照分層抽樣從這兩類用戶中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求這2人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的概率.參考數(shù)據(jù)：，，，其中.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合回歸方程的求法，求得回歸方程.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】(1)設(shè)，則，，，，所以，.所以關(guān)于的回歸方程為.(2)因為中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物與不在品牌官方直播間購物的人數(shù)之比為4：1，按照分層抽樣從這兩類用戶中抽取5人，則選擇在品牌官方直播間購物的用戶為人，記作，不在品牌官方直播間購物的用戶為人，記作，從這人隨機抽取人，結(jié)果有：，共種，其中人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的結(jié)果為：，共種，所以這2人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的概率為.18．已知等差數(shù)列的前n項的和為，，，，成等比數(shù)列.(1)求，；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用基本量法列出方程組，求出首項和公差，從而求出，（2）將化簡后帶入，得，再利用裂項相消求和即可【詳解】(1)由題，解得，因為，，成等比數(shù)列，故舍掉，所以求得.(2)由（1）可得，故19．在四棱錐中，AC，BC，CD兩兩垂直，，，.(1)求證：平面平面ADE；(2)求點C到平面ADE的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面ADE；（2）利用等體積法求得點C到平面ADE的距離.【詳解】(1)因為兩兩垂直，，所以平面，所以.在直角梯形中，，所以，所以，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面ADE.(2)由平面，得，因為，所以，,設(shè)到平面的距離為，由得.20．已知雙曲線經(jīng)過點，，，，中的3個點.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知點M，N是雙曲線C上與其頂點不重合的兩個動點，過點M，N的直線，都經(jīng)過雙曲線C的右頂點，若直線，的斜率分別為，，且，判斷直線MN是否過定點，若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由【答案】(1)(2)直線過定點，且定點坐標為【分析】（1）分析出雙曲線經(jīng)過的個點，然后求得，從而求得雙曲線的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，由列方程進行化簡，進而求出直線過定點【詳解】(1)由于關(guān)于軸對稱，所以要么都在雙曲線上，要么都不在雙曲線上.點不可能都在雙曲線上，因為雙曲線經(jīng)過個點，所以都在雙曲線上.將的坐標代入得，由都在雙曲線上可知、都不在雙曲線上，所以點在雙曲線上，故，結(jié)合可得，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)，其中，故可設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，.因為雙曲線的右頂點為，且，所以，所以，代入得，當時，，所以直線過定點.21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)從下面兩個條件中選一個，判斷的符號.①，；②，.【答案】(1)見解析(2)選①，選②【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再討論與的大小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，即可得出答案；（2）選①，由（1）知，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明的最大值小于0，即可得出答案；選②，由（1）得時，在上遞減，在上遞增，判斷的符號，即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解：，令，則或，若，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；若，當或時，，當時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；若，當或時，，當時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；綜上所述，當時，函數(shù)在上為增函數(shù)；當時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當時，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；(2)解：選①，當，時，由（1）知在上遞增，在上遞減，所以，令，則，當時，，所以，即，則，所以，所以.選②，由（1）得時，在上遞減，在上遞增，又，，所以當時，，所以.【點睛】本題考查了求含參函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了轉(zhuǎn)化思想及放縮思想，考查了分類討論思想，難度較大.22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C的極坐標方程；(2)射線（且）與曲線C分別交于點A，B，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得曲線的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程.（2）先求得，將代入曲線的極坐標方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求