§3-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形?剛度條件Ⅰ、扭轉(zhuǎn)時的變形——兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率相距dx的微段兩端截面間相對扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA第一頁，共三十六頁。等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me

作用時稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度相距l(xiāng)的兩橫截面間相對扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

j(單位：rad)第二頁，共三十六頁。例3-4圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第三頁，共三十六頁。2、各段兩端相對扭轉(zhuǎn)角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第四頁，共三十六頁。3、橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第五頁，共三十六頁。例3-5圖示空心圓桿

AB，A端固定，底板B為剛性桿，在其中心處焊一直徑為d2的實心圓桿CB?？招臈U的內(nèi)、外徑分別為D1和

d1，外力偶矩Me、兩桿的長度l1、l2及材料的切變模量G

均為已知。試求：1、兩桿橫截面上的切應力分布圖；2、實心桿C端的絕對扭轉(zhuǎn)角jC。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板第六頁，共三十六頁。解：1、分析兩軸的受力如圖，求出其扭矩分別為ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板MeMeABMeBCMe第七頁，共三十六頁。2、求橫截面上的切應力空心圓軸實心圓軸第八頁，共三十六頁。空心圓軸實心圓軸t2,maxt1,maxt1,minT1T2第九頁，共三十六頁。3、計算絕對扭轉(zhuǎn)角jCABCMeMeMeBCABMeMeACjCjBAjCB第十頁，共三十六頁。Ⅱ、剛度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件：對于精密機器的軸對于一般的傳動軸常用單位：/m第十一頁，共三十六頁。例3-6由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應力[t

]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的橫截面上最大扭矩為Tmax=9.56kN?m，軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[j']=0.3/m。試選擇軸的直徑。解：1、按強度條件確定外直徑D第十二頁，共三十六頁。2、由剛度條件確定所需外直徑D3、確定內(nèi)外直徑第十三頁，共三十六頁?！?-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時的應變能等直圓桿僅在兩端受外力偶矩Me

作用且時或gMe

Me

jjMe

Me

j第十四頁，共三十六頁。當?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時或jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第十五頁，共三十六頁。純剪切應力狀態(tài)下的應變能密度(

)xyzabOcdxddydztt'tt'Otgtpg第十六頁，共三十六頁。扭矩T為常量時，長為l的等直圓桿的應變能為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)應變能與應變能密度的關系gMe

Me

j第十七頁，共三十六頁。例3-7試用能量法求圖示桿系截面C處的扭轉(zhuǎn)角。圖中Me，l1，l2，D1，d1，d2及桿材的切變模量G均為已知。解：ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板已求得兩軸的扭矩第十八頁，共三十六頁。其轉(zhuǎn)向與Me

相同。ABCMe桿系扭轉(zhuǎn)應變能為而第十九頁，共三十六頁。例3-8圓柱螺旋彈簧如圖(簧桿斜度a<5°)受軸向壓力(拉力)F

作用。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)

n，簧桿材料的切變模量G

，且簧圈平均直徑D>>d

。試推導彈簧的應力和變形計算公式。第二十頁，共三十六頁。解：1、求簧桿橫截面上的內(nèi)力分離體的平衡2、求簧桿橫截面上的應力a)略去與剪力相應的切應力b)D>>d

時略去簧圈的曲率影響第二十一頁，共三十六頁。3、求彈簧的變形近似認為簧桿長度l=2pRn彈簧在線彈性范圍內(nèi)工作時稱為彈簧的剛度系數(shù)（N/m)第二十二頁，共三十六頁?！?-7等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形Ⅰ、等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特點第二十三頁，共三十六頁。橫向線變成曲線橫截面發(fā)生翹曲不再保持為平面平面假設不再成立，可能產(chǎn)生附加正應力第二十四頁，共三十六頁。第二十五頁，共三十六頁。第二十六頁，共三十六頁。非圓桿兩種類型的扭轉(zhuǎn)——自由扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn))此時相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，無附加正應力產(chǎn)生此時相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，橫截面上有附加正應力產(chǎn)生1、等直桿兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲時2、非等直桿扭轉(zhuǎn)、扭矩沿桿長變化、或端面有約束不能自由翹曲時——約束扭轉(zhuǎn)第二十七頁，共三十六頁。Ⅱ、矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形一般矩形截面等直桿t≤tp時1、tmax發(fā)生在橫截面的長邊中點處；2、橫截面周邊各點的切應力必定與周邊相切，沿周邊形成與扭矩同向的順流；3、四個角點處t=0。思考：存在第二、第三條規(guī)律的原因是什么？第二十八頁，共三十六頁。矩形截面等直桿自由扭轉(zhuǎn)時應力和變形的計算公式最大切應力（長邊中點處）短邊中點處的切應力單位長度扭轉(zhuǎn)角：相當極慣性矩扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)其中a、b、n

——與相關的因數(shù)第二十九頁，共三十六頁。狹長矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)特點：1、沿長邊各點的切應力值除靠角點附近外，均接近相等；2、離短邊稍遠處，可認為切應力沿厚度d按直線規(guī)律變化。第三十頁，共三十六頁。例3-9矩形截面的等直鋼桿，h=100mm,b=50mm,l=2m,m=4000N.m。=100Mpa，=1o/m,G=80Gpa。試校核此桿的強度和剛度。

解：由截面法求得T=m=4000N.m。為計算Wt和It，先算得m=h/b=100/50=2，查表得β=0.493和α=0.457。于是分別求得

第三十一頁，共三十六頁。例3-10有兩根尺寸、材料均相同的薄壁鋼管，設將其中一根沿縱向開一細縫，在兩桿的兩端各施加相同的扭轉(zhuǎn)力偶矩Me。已知鋼管的平均半徑r0=10d

，且兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作。試比較兩桿的最大切應力及單位長度扭轉(zhuǎn)角。r0dr0d第三十二頁，共三十六頁。解：1、有縱向細縫的桿(開口薄壁截面桿)橫截面上切應力沿厚度的變化情況可將其展開為狹長矩形截面來處理。r0dT第三十三頁，共三十六頁。2、無縱向切縫的薄壁圓筒橫截面上切應力變化情況r0dT第三十四頁，共三十六頁。3、分析比較可見：薄壁圓筒有縱向細縫時，其扭轉(zhuǎn)強度及剛度均大幅下降。r0dTr0dT第三十五頁，共三十六頁。內(nèi)容總結§3-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形?剛度條件?！獌蓚€橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j。相距dx的微段兩端截面間相對扭轉(zhuǎn)角為。T。等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me作用時。I-I。例3-6由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a=0.5。扭矩T為常量時，長為l