第七章不等式、推理與證明全國卷5年考情圖解高考命題規(guī)律把握考點(diǎn)推理與證明.高考在本章一般命制1?2個(gè)小題，分值5?1。分..主要考查一元二次不等式的解法，常與集合相結(jié)合，簡單的線性規(guī)劃中線性目標(biāo)函數(shù)的最值、范圍問題；或由最值求參數(shù)、或考查非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題..基本不等式一般不單獨(dú)考查、有時(shí)在解三角形、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、解析幾何等問題中會(huì)用到基本不等式求最值(或范圍)..對演繹推理、直接證明與間接證明以及數(shù)學(xué)歸納法的考查，單獨(dú)命題的可能性不大，但其思想也會(huì)滲透到解題之中.ms07基本不等式簡單及性規(guī)劃問題19U9115ni4116in13114H5D113I13DM不等式的性質(zhì)與解法itninim2Il18D2DIIlIllinisI2MI220142015201620172018年播夕第一節(jié)/ 不等關(guān)系與一元二次不等式/基礎(chǔ) 在批注中理解透(單純識(shí)記無意義,深刻理解提能力).兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)。一方>0=。>5.(2)。-b=0Oa=b.(3)〃一bVOOoVb..不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>bObVa；(2)傳遞性：a>b,h>c^a>c；(3)可加性：a>Z>=a+c>》+c；a>b,c>d=a+c>》+d；(4)可乘性：a>b,c>Q=^ac>bc；a>b>0,c>d>00ac>bd；(5)可乘方性：a>Z?>0=a">8"(〃GN,"21)；⑹可開方性：a>B>0=跖>幅("GN,"22)..一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式4=分一4〃cJ>0J=0J<0二次函數(shù).丫二立+加：+c(a>0)的圖象54￡一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)數(shù)根4,X2(X1<X2)有兩相等實(shí)數(shù)根XI=bX2=F沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2+ftx+c>0(a>0)的解集{X|X<X1或X>X2){*1X#-五}R一元二次不等式ar2+Z>x+e<0m>o)的解集{X|X1<X<X2}00由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法,(1)一元二次40,不等式aj^+bx+cX)對任意實(shí)數(shù)x恒成立o4acV0.［a<0,(2)一元二次不等式d+bx+cVO對任意實(shí)數(shù)x恒成立Ih4acV0.［熟記常用結(jié)論］.倒數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)必備結(jié)論(\)a>b9°8>0(2)aV0V》0Y工.⑶a>方>O,OVcVd=g>彳(4)0<a<x<*或〃VxVbV0o"vqv!..兩個(gè)通要不等式若a>b>0,m>09貝I)bb^rmbb-m⑴六訴；?>—^-->0).aa+/〃aa-m⑵聲言；產(chǎn)［小題查驗(yàn)基礎(chǔ)］一、判斷題(對的打“J”，錯(cuò)的打“X”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,Z>之間，有且只有a>b,a=b,“V〃三種關(guān)系中的一種.()(2)一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù)，不等號方向不變.()(3)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小.()(4)若不等式a^+bx+cVO的解集為(X”X2)?則必有。>0.()(5)若方程ax2+bx+c=O(aHO)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2+Z?x+c>0的解集為R.()答案：⑴J(2)X(3)X(4)V(5)X二、選填題.設(shè)4=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),則A與8的大小關(guān)系為( )A.A>B B.A>BC.A^B D.A<B解析：選B因?yàn)?-8=(*2—61+9)—(9-61+8)=1>0,所以A>8.故選B..若aV力V0,則下列不等式不能成立的是()nJA. ->- B.->ra-ba abC. M>\b\ D.a2>b2解析：選A取〃=-2,b=-l,則六〉十不成立..函數(shù)人*)=教3*—=的定義域?yàn)?)A.[0,3] B.(0,3)C.(一8,0]U[3,+~) D.(—8,o)U(3,+~)解析：選A要使函數(shù)/lr)=，3x—*2有意義,則3x—x22。，即x2—3x^0,解得0WxW3..若集合4={*|“始一or+1VO}=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：當(dāng)a=0時(shí)，滿足條件；當(dāng)aWO時(shí)，由題意知a>0且4=a2-4aW0,得0VaW4,所以()Wa44.答案：[0,4].若lVaV3,4<fl<2,則a一回的取值范圍是.解析：V-4</?<2,.,.OWWIV%:.-3Va—"IV3.答案：(一3,3)/考點(diǎn) 在細(xì)解中明規(guī)律(題目千變總有根，梳干理枝究其本)考點(diǎn)一[不等式的性質(zhì)及應(yīng)用基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)|I題組練透]TOC\o"1-5"\h\z1,若a>b>Q,cVdVO,則一定有( )aa、b ahA.3>- B，3<-ac acdb .a，C.->~i D.二V二ca ca解析：選B因?yàn)閏VdVO,所以一c>一d>0,所以.又a>b>0,所以所以*5?故選B-.設(shè)a,力GR,則“(a-%)?a2vo”是“aVb”的()A.充分不必要條件 B,必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：選A(a-Z>)-a2<0,則必有。一6<0,即aV8;而aVZ?時(shí)，不能推出(。一力)?出<0,如a=0,b=l,所以"(a-b)-a2V0”是“aVb”的充分不必要條件..若。=竽，8=竽，則a一伙填“>”或“V”).解析：易知明》都是正數(shù)，~=11^=log?9>,1,所以力>〃.u?jinx答案：<.已知等比數(shù)列｛斯｝中，為>0,9>0,前〃項(xiàng)和為S”，則沿譽(yù)的大小關(guān)系為.解析：當(dāng)g=l時(shí)，~=3,=5,所以&V1.當(dāng)g>0且qWl時(shí)，$3_$5_叫(1-。)_田(1-。)asmq2(l-q)aiq\l—q).(1一年)一(1一<)=/(l-q)=卞-<?！?V&.綜上可知&V&.03as ?5答案：-<-a3as.已知一lVxV4,2VyV3,則x-y的取值范圍是,3x+2j的取值范圍是解析：?.?一lVxV4,2VyV3,.,.-3<-j<-2,—4<x—j<2.由一lVxV4,2VyV3,得一3V3xV12,4V2yV6,.?.1<3x+2j<18.答案：(一4,2)(1,18)［名師微點(diǎn)1比較大小的方法(1)作差法，其步驟：作差,變形今判斷差與0的大小=得出結(jié)論.(2)作商法，其步驟：作商。變形今判斷商與1的大小=得出結(jié)論.(3)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小.(4)賦值法和排除法：可以多次取特殊值，根據(jù)特殊值比較大小，從而得出結(jié)論.考點(diǎn)二一元二次不等式的解法［師生共研過關(guān)］［典例精析］(1)解不等式：一X 2當(dāng)一1,即一 2當(dāng)一1,即一2VaV0時(shí)，解得［WxW-l.綜上所述，當(dāng)。=0時(shí)，不等式的解集為{xlrW-1};當(dāng)一2V.V0時(shí)，不等式的解集為{x/WxW-1?;當(dāng)”=一2時(shí)，不等式的解集為{一1};當(dāng)aV-2時(shí)，不等式的解集為卜一IWxW^?.［解鹿技法］1.解一元二次不等式的一般步驟(2)已知函數(shù)八*)= * 二,、解不等式人外>3；(3)解關(guān)于x的不等式ax2—2^2x—ax(a^0).|解|(1)不等式兩邊同乘以一1,原不等式可化為x，+2x—3W0.方程必+2%—3=0的解為xi=-3,X2=l.而y=x2+2x-3的圖象開口向上，可得原不等式一/-2x+320的解集是⑶一3《xWl}.x>0, fx<0,(2)由題意得■ 或，?解得X>1.產(chǎn)/+2x>3 I-x2+2x>3,故原不等式的解集為{x|x>1}.(3)原不等式可化為“+(a-2)x—2,0.①當(dāng)。=0時(shí)，原不等式化為x+lW0,解得xW-l.②當(dāng)“VO時(shí)，原不等式化為(x-j)(x+l)WO.2 2當(dāng)￡>一1,即“V—2時(shí)，解得一IWxW^;2當(dāng)j=-l,即”=一2時(shí)，解得工=-1滿足題意；I一化卜至示奉惠屋拓為三國場系藏關(guān)宇樂而旋灌而區(qū)…巨］■舟算前前ii而彳或元 iU二二二二二二二二二二二二二二二二金］」求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方i三"程有沒有實(shí)根|四寫H而F天于—:示于應(yīng)市市F可由不可支M踵豪】2.解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)對于aj^+Bx+cXKVO)的形式：當(dāng)4=0時(shí)，轉(zhuǎn)化為一次不等式.當(dāng)“V0時(shí)，轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.當(dāng)a>0時(shí)，直接求解.(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式/與0的關(guān)系.(3)確定無根或一個(gè)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式.［過關(guān)訓(xùn)練］.不等式0<3一》一2忘4的解集為.解析：原不等式等價(jià)于fx2—X—2>0, ［x2—X—2>0,\ 即卜2一*一2<, 卜2一》一6《0,(x-2Xx+l)>0, 'x>2或xV-1,［(x-3X》+2)W0, ［—2Wx近3.故原不等式的解集為3-2WxV—1或2VxW3}.答案：［-2,-1)U(2,3］.求不等式llr2—or>a2(aGR)的解集.解：原不等式可化為1勿2一依一/>0,即(4x+a)(3x—a)>0,令(4x+a)(3x—a)=0,AQE a a解得*1=_不X2=y當(dāng)a>()時(shí)，不等式的解集為(一8,一機(jī)伶+8)；當(dāng)4=0時(shí)，不等式的解集為(一8,0)U(0,+8)；當(dāng)aVO時(shí)，不等式的解集為(一8, (一畜+~).考點(diǎn)三一元二次不等式的恒成立問題I全析考法過關(guān)I［考法全析］

考法(一)在R上的恒成立問題［例1］若不等式(〃-2)始+2(。-2)x—4V0對一切xER恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(一8,2] B.[-2,2]C.(-2,2] D.(一8,-2)[解析]當(dāng)。一2=0,即〃=2時(shí)，不等式為一4Vo對一切x￡R恒成立.a—2V0,當(dāng)時(shí)，則 一，、J=4(a-2)2+16(a-2)<0,a—2V0,即，， 解得一2VqV2.aV4,；?實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-2,2］.I答案IC考法(二)在給定區(qū)間上的恒成立問題［例2J設(shè)函數(shù)1Wu/nx2一1.若對于xG［l,3］, zn+5恒成立，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.［解］要使A*)V-m+5在xW［l,3J上恒成立，即m/一〃以+，”-6Vo在xG［l,3］上恒成立.有以下兩種方法：法一：法一：令g(x)=mx1-mx-Vm-G=n^x--6,xe[l,3].當(dāng),">0時(shí)，g(x)在［1,3］上是增函數(shù),所以g(X)max=g(3),即7機(jī)一6V0,所以，所以ov〃?v$當(dāng)m=0時(shí)，-6V0恒成立；當(dāng)/n<0時(shí)，g(x)在［1,3］上是減函數(shù)，所以g(X)max=g(D,即，〃一6V0,所以，"V6,所以“1V0.綜上所述，實(shí)數(shù)WJ的取值范圍是(一8,專法二：因?yàn)閄2—》+1=@—。+：>0,又因?yàn)閙x2-/nx+/n—6<0,所以因?yàn)楹瘮?shù))'=1二?+］=7—導(dǎo)飛在［1,3］上的最小值為*所以只需即可.lx-2/+4所以實(shí)數(shù)，”的取值范圍是(一8,考法(三)給定參數(shù)范圍求X的范圍的恒成立問題|例3］若對任意，函數(shù)1x)=r2+(，”-4)x+4—2,”的值恒大于零，求x的取值范圍.|解|由八工)=爐+(,"—4)9+4-2,”=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2—4x+4.由題意知在［-1,1］上，g(/n)的值恒大于零，伍(-l)=(x-2)X(-l)+x2-4x+4>0,所以1 ,楂(1)=(*_2)+/_4*+4>0,解得xVl或x>3.故x的取值范圍為(一8,1)U(3,+~).［規(guī)律探求］看個(gè)性考法(一)是一元二次不等式在R上恒成立問題：解決此類問題常利用一元二次不等式在R上恒成立的條件，注意如果不等式a/+3x+c>0恒成立，不要忽略。=()時(shí)的情況.考法(二)在給定區(qū)間上的恒成立問題求解方法：(1)若八幻>0在集合4中恒成立，即集合4是不等式式工)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍).(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)人x)的值域?yàn)?"［,n］,則應(yīng)r)da恒成立=>/tr)min》a，即，"da；f(x)Wa恒成立=?Hx)maxWa,即nWa.考法(三)給定參數(shù)范圍求X的范圍的恒成立問題求解方法：解決此類問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.找共性對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在X軸上方，恒小于零就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在X軸下方.另外，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值.［過關(guān)訓(xùn)練］.若不等式1<0對于任意xG［/n,m+1］都成立，則實(shí)數(shù)tn的取值范圍是

解析：由題意，得函數(shù)/00=必+,如—1在［,叫機(jī)+1］上的最大值小于0,又拋物線人x)=x2+tnx—l開口向上，所以只需m?=/+/-ivo,V(w+l)=(m+l)2+//i(/n+1)-1<0,所以只需(2m2-1<0, 、6即濡中K。，解得*v〃y°.答案:(邛,o).函數(shù)/(x)=x2+ax+3.(1)當(dāng)xGR時(shí)，4x)Ma恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)xG［-2,2］時(shí)，_Ax)》a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)aG［4,6］時(shí)，|x)，0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：(1)二,當(dāng)xWR時(shí)，x2+ax+3-a20恒成立，需4=。2—4(3—a)WO,即標(biāo)+4/—12W0,解得一6WaW2,實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-6,2).(2)對于任意xW［-2,2］,1Ax)，0恒成立.即/+“*+3—a20對任意xG［-2,2］恒成立，令g(x)=x2+ax+3—a.p>o,則有①/WO或②^—2<—2,[g(-2)=7-3a20lg(2)=7+〃20?解①得一6WaW2,解②得“W。，解③得一7《qV-6.綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍為［-7,2］.(3)令人(0)=網(wǎng)+『+3.當(dāng)〃￡［4,6］時(shí)，M4)20恒成立.］力(4)20, fx2+4x+3^0,只%(6)20,即1+6x+320,解得x4一3一玳或X2一3+玳.???實(shí)數(shù)x的取值范圍是(—8,—3—加］U【-3+而，+°°).［課時(shí)跟蹤檢測1一、題點(diǎn)全面練.已知田￡(0,1),。2『0,1),記N=ai+a2-l,則"與N的大小關(guān)系是()A.M<N B.M>NC.M=N D.不確定解析：選BA/—'=。1。2一(。1+。2-1)=a\a2-a\一改+l=Si-1)(。2-1),又a2e(0,l),1V0,。2一ivo.???Si-1)(。2-1)>0,即M-N>o,：.M>N.2.若/〃VO,〃>0且m+〃V0,則下列不等式中成立的是( )A.-n<fnW-m B.-〃V/〃V-/nV〃C.mV—“V—m<Zn D.mV—nVnV—in解析：選D，〃+〃V0=/nV—〃0〃V—m,又由于〃?V0V〃，故mV—〃V〃V—m成立.3.若土<*<0,給出下列不等式：①"工<卷②團(tuán)+6>0；③。一一九@lna2>In此其中正確的不等式的序號是()A.?@ B.?(DC.@(§) D.@@解析：選C因?yàn)閨v：V0,故可取a=-l,力=-2.顯然|a|+b=l—2=—1<0,所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘na2=in(—l)2=O,Inb2=in(—2)2=ln4>0,所以④錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D,故選C..已知函數(shù)八幻=一好+。*+/>2—3+1(。^11,5GR),對任意實(shí)數(shù)x都有/U-x)=/U+*)成立，若當(dāng)xG［-1,1］時(shí)，1x)>0恒成立，則力的取值范圍是()A.(-1,0) B.(2,+~)C.(-8,-1)U(2,+~) D.不能確定解析：選C由八1-x)=_/U+x)知人x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，即3=1,解得a=2.又因?yàn)槠鹸)的圖象開口向下，所以當(dāng)時(shí)，犬x)為增函數(shù)，所以八x)mM=y(-1)=-1-2+〃一/?+1=/>2一/?—2,大x)>0恒成立，即62一萬一2〉。恒成立，解得分〈-1或力>2..已知aWZ,關(guān)于x的一元二次不等式3—6*+。近0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的。的值之和是（）A.13 B.18C.21 D.26解析：選C設(shè)|x）=x，-6x+a,其圖象為開口向上，對稱軸是x=3的拋物線，如圖所示.若關(guān)于x的一元二次不等式x2-6x+aW0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，火2）W0, 僅2—6X2+aW0,則《 即，網(wǎng)）>0, 112—6X14-a>0,解得5Va《8,又aGZ,ita=6,7,8.則所有符合條件的a的值之和是6+7+8=21..若不等式2立+人一號〈0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則&的取值范圍為.O解析：當(dāng)k=0時(shí)，顯然成立；3 ,當(dāng)時(shí)，即一元二次不等式2kx2+kx-^<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則0儼V0,\ （3、 解得一3VAV0.綜上，滿足不等式2kx2+kx~l<0對一切實(shí)[/=&2_4X2?X（-g）V0, 8數(shù)x都成立的k的取值范圍是（-3,0].答案：（一3期.若不等式2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是.解析：由/=<?+8>0,知方程必+ax—2=0恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必+ax—2=0必有一正根、一負(fù)根.于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是人5）>0,解得“>一卷，故a的取值范圍為（一學(xué)+8）答案：（-￥-+8）.對于實(shí)數(shù)x,當(dāng)且僅當(dāng)〃近工V〃+1（〃￡1<耐，[幻=〃，則關(guān)于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集為.3 15解析：由4[x]2—36[x]+45<0,得5V[x]<爹，又當(dāng)且僅當(dāng)"WxV"+l（"GN*）時(shí)，[x]

=n,所以［x］=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集為［2,8).答案：［2,8).若不等式aF+Sx—2>0的解集是1<x<2}.(1)求實(shí)數(shù)。的值；(2)求不等式ax2—5x+a2—IX)的解集.解：⑴由題意知aVO,且方程標(biāo)+5工-2=0的兩個(gè)根為;，2,代入解得〃=—2.(2)由(1)知不等式為-2--5x+3>0,1即2/+5%-3V0,解得一3VxV］,即不等式ar?—5x+q2—1>。的解集為(一3,號..已知函數(shù),/(x)=x2—2ar—1+a,〃￡R,(1)若a=2,試求函數(shù)y=^\x>0)的最小值；(2)對于任意的xG［0,2］,不等式八x)Wa成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.解：(1)依題意得9=?= x="+提一4?因?yàn)楣?gt;0,所以x+；22,當(dāng)且僅當(dāng)x=；時(shí)，即x=l時(shí)，等號成立.所以2.所以當(dāng)x=l時(shí)，的最小值為-2.(2)因?yàn)閒(x)^a=x2-2ax-lf所以要使“Vx￡［0,2］,不等式人用《〃成立”，只要“好一2。*一140在［0,2］上恒成立”.卜(0)W0,

U(2)W0,不妨設(shè)g(x)=x2^2ax—1,則只要g(x)《O在［0,2］卜(0)W0,

U(2)W0,所以0-0TW0,即.14-4a-1W0,3解得心本則實(shí)數(shù)a的取值范圍為后，+~).二、專項(xiàng)培優(yōu)練易錯(cuò)專練——不丟怨枉分

U(l,+~).不等式壬7>1U(l,+~)B.(一8, 1)D.&2)解析：選A原不等式等價(jià)于匯、一1>0,即學(xué)U>°，整理得號〈°，不等式等價(jià)于(2x—l)(x—1)VO,解得;VxVl..若:〈太0,則下列結(jié)論不正確的是()A.a2<b2 B.ab<b2C.a+bVO D.|a|+|/>|>|a+*|解析：選D由題可知分VaVO,所以A、B、C正確，而|a|+網(wǎng)=-a-6=|a+b|,故D錯(cuò)誤..已知x>y>z,且x+y+z=O,下列不等式中成立的是()A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x\y\>z]y\解析：選C因?yàn)閤>y>z,所以3x>x+y+z=0,3zV?r+y+z=0,所以x>0,zVO,[x>0,由1、 得町Axz.故選C.ly>zf—1Wq+4<1,.若a,。滿足二一“一，則a+3/?的取值范圍是 .[lWa+2"W3,解析：設(shè)a+3fi=x(a+fi)+y(a+2fi)=(x+y)a+(x+2y)fl.x+y=l, fx=-1,則二，解得，[x+2y=3, ly=2.因?yàn)橐?W—(a+〃)Wl,2W2(a+2/?)W6,兩式相加，得lWa+3旅W7.所以a4-3/?的取值范圍為[1,7].答案：[1,7].求使不等式3+(<1—6)x+9—3a>0,|a|Wl恒成立的x的取值范圍.解：將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x-3)a+/—6x+9>0.

令1/(a)=(x-3)a+x2-6x+9,則一iWaWl.因?yàn)?lt;a)>0在|a|Wl時(shí)恒成立，所以①若x=3,則八a)=0,不符合題意，應(yīng)舍去.②若xW3,由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得，風(fēng)T)>()，可得，風(fēng)T)>()，卜1)>0,即,X2—7x+12>0,, , 解得xV2或x>4.x2-5x+6>0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-8,2)0(4,+~).第二節(jié)夕第二節(jié)夕二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題/ 基礎(chǔ)——在批注中理解透(單純識(shí)記無意義,深刻理解提能力)?畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域時(shí)，一般步臊為：直線定界，虛實(shí)分明；特殊點(diǎn)定域，優(yōu)選原點(diǎn)；陰影表示.注意不等式中有無等號，無等號時(shí)直線畫成虛線，有等號時(shí)直線畫成實(shí)線.特殊點(diǎn)一般選一個(gè)，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，優(yōu)先選原點(diǎn).?如果目標(biāo)函數(shù)存在一個(gè)最優(yōu)解，那么最優(yōu)解通常在可行域的頂點(diǎn)處取得；如果目標(biāo)函數(shù)存在多個(gè)最優(yōu)解，那么最優(yōu)解一般在可行域的邊界上取得.1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax+By+OO直線Ax+砂+C=0某一側(cè)不包括邊界直線Ax+3y+C20的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分?2.簡單的線性規(guī)劃qP的基本概念名稱意義約束條件由變量X,y組成的不等式(組)線性約束條件由變量x,y組成的一次不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式，如z=2x+3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解便目標(biāo)觸取提量大值更量小值?的可行解

線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題線性規(guī)劃問題［熟記常用結(jié)論］(1)把直線ax+力=。向上平移時(shí)，直線如+刀=2在.\，軸上的截距海漸增大，且6>0時(shí)z的值逐漸增大，6Vo時(shí)z的值逐漸減小.(2)把直線ax+by=0向下平移時(shí)，直線ax+by=z在y軸上的截距海漸減小，且/>><)時(shí)z的值逐漸減小，6〈。時(shí)z的值逐漸增大.以上規(guī)律可簡記為：當(dāng)/>>0時(shí)，直線向上平移z變大，向下平移z變??；當(dāng)力V0時(shí)，直線向上平移N變小，向下平移工變大.［小題查驗(yàn)基礎(chǔ)］一、判斷題(對的打“J”，錯(cuò)的打“X”)(1)不等式Ax+砂+C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax+5y+C=0的上方.( )(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.()(3)在目標(biāo)函數(shù)z=ax+》y(6W0)中，z的幾何意義是直線ax+by-z=0在y軸上的截距.()答案：⑴X(2)7(3)X二'選填題x—3y+6V0,.不等式組 表示的平面區(qū)域是()It-y+220解析：選Cx—3y+6Vo表示直線X-3j+6=0左上方部分，x—y+220表示直線x一y+2=0及其右下方部分.故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)C所示陰影部分.Q0,.不等式組<x+3y24, 所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.^ B.；C,3 D,4解析：選C不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.‘x+3y=4,3x+j=4‘x+3y=4,3x+j=4可得41』）,C]48[BC1=448[BC1=4-則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5j1x+yW5,2x—yW4,一x+yWLy，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+5j的最大值為()A.6 B.19C.21 D.45解析：選C作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由2=3%+5)，得)=117設(shè)直線為7=一學(xué)，平移直線，0,當(dāng)直線￥=-*?+］過點(diǎn)尸時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立-x+v=l,，+尸聯(lián)立-x+v=l,，+尸5,解得x=2,J=3,即P(2,3),所以Zmax=3X2+5X3=21..若點(diǎn)(m,l)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是.解析：\,點(diǎn)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，.*.2m+3—5>0,即m>1.答案：(1,+~).已知點(diǎn)(-3,-1)和點(diǎn)(4,—6)在直線3x—2j—a=0的兩側(cè)，則a的取值范圍為解析：根據(jù)題意知(-9+2—a)?(12+12-a)V0,即(a+7)?(a-24)V0,解得一7VaV24.答案：(-7,24)/ 考點(diǎn)——在細(xì)解中明規(guī)律(題目千變總有根,梳千理枝究其本)

考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域［師生共研過關(guān)］［典例精析］(1)不等式組1‘2x+y—6W0,x+y—3力0,jW2表示的平面區(qū)域的面積為()A.45D.無窮大(2)若不等式組12x+y《2,代考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域［師生共研過關(guān)］［典例精析］(1)不等式組1‘2x+y—6W0,x+y—3力0,jW2表示的平面區(qū)域的面積為()A.45D.無窮大(2)若不等式組12x+y《2,代0,、x+yWa表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是B.(0,1](0,1]UI，+8)［解析I(1)作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，△46c的面積即所求.求出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(l,2),8(2,2),C(3,0),則△ABC的面積為S=1x(2-l)X2=l.x-y20,⑵不等式組＜2x+y^29 表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由，y=0,,2x+y=2,得3(1,0).若原不等式組12x+y近2,y20,表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則直線x+y=a中a的取值范圍是OVa這1或心；.|答案|(1)B(2)D［解題技法］.求平面區(qū)域面積的方法(1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；(2)對平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高.若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解.若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)規(guī)則圖形分別求解再求和即可..平面區(qū)域的形狀問題兩種題型及解法1)確定平面區(qū)域的形狀，求解時(shí)先畫滿足條件的平面區(qū)域，然后判斷其形狀；2)根據(jù)平面區(qū)域的形狀求解參數(shù)問題，求解時(shí)通常先畫滿足條件的平面區(qū)域，但要注意對參數(shù)進(jìn)行必要的討論.［過關(guān)訓(xùn)練］

x+y^O,1.(2019?漳州濟(jì))若不等式組，x-y+220,所表示的平面區(qū)域被直線/：mx-y+in.2x—y—2W0+1=0分為面積相等的兩部分，則機(jī)=()A.l B.2C.-2 D.-2解析：選A由題意可畫出可行域?yàn)椤鰽5C及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域，如圖所示.聯(lián)立可行域邊界所在直線方程，可得A(—1,1),需，C(4,6).因?yàn)橹本€+1)+1過定點(diǎn)A(—1,1),直線/將△48C分為面積相等的兩部分，所以直線/過邊8C的中點(diǎn)￡),易得 代入1=(),得故選A.x+y—2W0,2.若不等式組，x+2j-2^0,表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于小則m的值為.解析：如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危瑒t一2mV2,即,〃＞一1,所圍成的區(qū)域?yàn)椤鰽BC,Saabc=S^adLSabdc.點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為1+,〃，點(diǎn)5的抓坐標(biāo)為:(1+m),C,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2,-2m,所以SAAsc=g(2+2/n)(l+〃。一：(2+2川)?；(1+m)=；(1+/71)2=三,解得,“=-3(舍去)或m=1.答案：1考點(diǎn)二目標(biāo)函數(shù)的最值問題［全析考法過關(guān)］［考法全析］考法(一)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值W1,［例1］(2018?鄭州第一次質(zhì)■預(yù)測)設(shè)變量X,>>滿足約束條件,x+y-4/0,則目標(biāo)/一3y+4W0,函數(shù)z=2x-y的最小值為.［解析］作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作出直線y=2x,平移該直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過A(l,3)時(shí)，z最小，Zmin=2Xl-3=-l.［答案I-1考法(二)求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值x-j+1^0,［例2］若實(shí)數(shù)x,y滿足卜卻， 貝吐的取值范圍為JW2.［解析］作出不等式組所表示的可行域，如圖中陰影部分所示.z=：表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此*的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即Zmax不存[x—j+l=O,由、 得8(1,2),口=2,2所以kf)B=q=2,即Zmin=2,所以z的取值范圍是[2,4-00).[答案][2,+8)I變式發(fā)散1.(變設(shè)問)本例條件不變，則目標(biāo)函數(shù)z=/+V的取值范圍為.解析：表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方.因此/+爐的最小值為OA2,最大值為OB2.易知4(0,1),所以。*=1,OB2=l2+22=5,所以z的取值范圍是[1,5].答案：[1,5].(變設(shè)問)本例條件不變，則目標(biāo)函數(shù)？=號的取值范圍為.解析:z=￡|可以看作點(diǎn)尸(1,1)與平面內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)連線的斜率?易知點(diǎn)P(I,1)與4(0,1)連線的斜率最大，為0.無最小值.所以z的取值范圍是(-8,0].答案：(一8,0]考法(三)求參數(shù)值或取值范圍x-y+4^0,|例3](2019?黃岡模擬)已知X,j滿足約束條件■xW2, 且z=x+3y的最小值.x+y+心0,為2,則常數(shù)A=.X—j+4^0,I解析II解析I作出不等式組J.x+y+心0

由z=x+3y得y=一$+；,結(jié)合圖形可知當(dāng)直線y=—$+,過點(diǎn)A時(shí)，;最小，聯(lián)立(x=2,方程,.,?得A(2,-2—幻，此時(shí)Zmm=2+3(-2—6=2,解得《=-2.Ix+f+&=0,I答案］一2［規(guī)律探求］看個(gè)性考法(一)是求線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以直接解出可行域的頂點(diǎn)，將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值.考法(二)是求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值目標(biāo)函數(shù)是非線性彩式的函數(shù)時(shí)，常考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，常見代數(shù)式的幾何意義主要有：(11/爐+產(chǎn)表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)間的距離，q(x—a)2+(y—〃)2表示點(diǎn)(X,y)與點(diǎn)(a9加間的距離；(2*表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，;—“表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,方)連線的斜率.考法(三)是由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)解決這類問題時(shí)，首先要注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值.［口訣記憶］線性規(guī)劃三類題，截距斜率和距離；目標(biāo)函數(shù)看特征，數(shù)形結(jié)合來解題.

找共性利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值問題的步驟(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線/;(2)平移——將/平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點(diǎn)的位置.有時(shí)需要進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)/和可行域邊界的斜率的大小比較；(3)求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值或根據(jù)最值求參數(shù).［過關(guān)訓(xùn)練］卜一2y—2W0,則z=3x+2y的最大值為1.(2018?全DB4I)若x,y則z=3x+2y的最大值為X—y+l=0

XJ/fl2r-2=0解析：作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示.3 7.. 3由z=3x+2y,得y=-.作直線和y=一平移直線E當(dāng)直線)=—%+］過點(diǎn)(2,0)時(shí)，z取最大值，Zmax=3X2+2X0=6.答案：6卜22,2.(2019?陜西救學(xué)質(zhì)―檢圖)已知x,j滿足約束條件卜+丁《4, 若目標(biāo)函數(shù)z=3x12x—y-niW0.+y的最大值為1(),則z的最小值為.解析：畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線/:3x+y=0,平移/,從而可知經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)二取到最大值，

由‘3x+y=10, fx=3,由‘3x+y=10, fx=3,』=%解得k,.".2X3—1—m=0,?i=5.由圖知，平移/經(jīng)過8點(diǎn)時(shí)，z最小，.,.當(dāng)x=2,y=2X2—5=-1時(shí)，z最小，Zmin=3X2-l=5.答案：5考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用［師生共研過關(guān)］［典例精析1（2018?祁州模擬）某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序.已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個(gè)工作時(shí)，漆工2個(gè)工作時(shí)；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個(gè)工作時(shí)，漆工1個(gè)工作時(shí).生產(chǎn)一把椅子的利潤為1500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2000元.該廠每個(gè)月木工最多完成8000個(gè)工作時(shí)、漆工最多完成1300個(gè)工作時(shí).根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個(gè)月所能獲得的最大利潤是 元.［解析］設(shè)該廠每個(gè)月生產(chǎn)x把椅子，j張桌子，利潤為z元，則得約束條件'4x+8yW8000,"2x+yWl300,z=1500x4-2000j.畫出不等式組x+2yW2000,2x+yWl300,x，0,xWN,、畫出不等式組x+2yW2000,2x+yWl300,x，0,xWN,表示的可行域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x+4yx+2y=2000,得2x+j=l300,x+2y=2000,得2x+j=l300,=0,平移該直線，可知當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，z取得最大值.由x=200,即P(200,900),所以Zmax=l500X200+2000X900=2100000.故每個(gè)月所獲得ly=900,的最大利洞為2100000元.［答案］2100000I解題技法］

解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出平面區(qū)域；(4)判斷最優(yōu)解；(5)根據(jù)實(shí)際問題作答.［過關(guān)訓(xùn)練］1.(2018?河北“五個(gè)一名校聯(lián)通”模擬)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需要A,8兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的限量如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品A.16萬元可獲利潤分別為3萬元、A.16萬元甲乙原料限量A/噸3212128B.17萬元C.18萬元 D.19萬元解析：選C設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)x噸甲產(chǎn)品，j噸乙產(chǎn)品，可獲得利潤為z萬元，則z=3x+4y,且=3x+4y,且x,y滿足不等式組，作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線3x+4y=0并平移，可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)8(2,3)時(shí)，Z取得最大值，Zmax=3X2+4X3=18(萬元).故選C.2.某高新技術(shù)公司要生產(chǎn)一批新研發(fā)的A款產(chǎn)品和B款產(chǎn)品，生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品需要甲材料3kg,乙材料1kg,并且需要花費(fèi)1天時(shí)間，生產(chǎn)一臺(tái)B款產(chǎn)品需要甲材料1kg,乙材料3kg,也需要1天時(shí)間，已知生產(chǎn)一臺(tái)A款產(chǎn)品的利潤是1000元，生產(chǎn)一臺(tái)B款產(chǎn)品的利潤是2()0()元，公司目前有甲、乙材料各30()kg,則在不超過120天的情況下，公司生產(chǎn)兩款產(chǎn)品的最大利潤是 元.解析：設(shè)分別生產(chǎn)A款產(chǎn)品和B款產(chǎn)品x,y臺(tái)，利洞之和為z元，則根據(jù)題意可得

"3x+yW300,x+3yW300,. 目標(biāo)函數(shù)為z=l000x+2OOOy.畫出可行域如圖所示,x+yW120,、xGN,jGNr, 1x+3y=300,由圖可知，當(dāng)直線y=-：+3^經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立, 得L/uuu lx+j=120,M（30,90）.所以當(dāng)x=30,y=90時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，Zmax=30X1000+90X2000=210000.答案:210000［課時(shí)跟蹤檢眉1一、題點(diǎn)全面練由直線x—y+l=0,x+y—5=0和x—1=0所圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）用不等式組可表示為（）x—y+lW0,A；x—y+lW0,A；x+y—5W0,x-j+1^0,C：x+j—5^0,.x這1解析：選A如圖,三角彩區(qū)域在直線.+y-5=0的下方，則xX—j+1^0?B.,x+y-5龍0,x-j+1^0,D/x+y—540,.xWl作出對應(yīng)的平面區(qū)域，5pkI /x—y+l=0］、1 ?+y-5=0X=1r=l的右側(cè)，則x21;在x—y+l=0的上方，則無一y+lWO;在x+y-5W0.x—y+1W0,故用不等式組表示為，x+y-5W0, 故選A.x+y—l^O,（2018?咖研）設(shè)變量x,j滿足約束條件，x~2y+2^0, 則z=3x-2y的最大值、2x—y—2W0,為（）A.-2 B.2C.3 D.4解析：選C作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線3-2平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過示，作出直線3-2平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過C（1,O）時(shí)，在J軸上的截距最小，;最大，此時(shí)z=3X1—0=3,故選C.%W（）,（2019?黃岡模粼）若A為不等式組，y20, 表示的平面j-xW2區(qū)域，則。從一2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為（）A.9vH B.3vH7 7C,2 D,4，x40,解析：選D如圖，不等式組表示的平面區(qū)域是△AOB,J-xW2由動(dòng)直線x+y=a（即y=-x+a）在y軸上的載距從一2變化到1,知△ACA）是斜邊為3x+j=l,的等腰直角三角形，△OEC是直角邊為1的等腰直角三角形，聯(lián)立. 解得\y-x=2,〈 3所以《一3，D，所以區(qū)域的面積Sm*=Saacd—Saoec=Tx3X5—TxIX1=[y=r

7 .不故選D.x+y—IWO,4.(2019T慘模擬)已知點(diǎn)。(2,0),點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件,“一7+120， 則|PQj+1^0,的最小值是()A.； B當(dāng)C.1 D.a/2(x+y-lWO,x-j+1^0,的y+l20可行域，如圖中陰影部分所示.易得點(diǎn)。到直線x+y=l的距離最小，所以|PQ|min=^'=之2?故選B.5.已知”>O,x,y滿足約束條件，x+yW3, 若z=2x+y的最小值為1,貝Ua=( )j2a(x-3),解析：選A不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，把目標(biāo)函數(shù)z=2x+y轉(zhuǎn)化為y=-2x+z9解析：選A不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，把目標(biāo)函數(shù)z=2x+y轉(zhuǎn)化為y=-2x+z9它表示的是斜率為一2,截距為z的平行直線系，當(dāng)截距最小時(shí)，z最小.當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)〃時(shí)，7最小.由，得[2x+y=l因此一1=4(1一3),解得a=；,故選A.卜一y+220,6.(2019?開始模擬)已知實(shí)數(shù)X,)，滿足約束條件｛x+2y+220,

LrWl,值是 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中歷影部分所示，設(shè)“=x-2y,由圖知，當(dāng)"=X-2y經(jīng)過點(diǎn)A(l,3)時(shí)取得最小值，即“min=l—2X3=-5,此時(shí)z=Gjc，取得最大值,即Zmax=&-S=32.答案：32x+y25,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解.已知x,j滿足以下約束條件一—y+5W0,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則。的值為.解析：???？=%+〃],?”一%+1味為直線y=—在y軸上的截距.要■使目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，則截距最小時(shí)的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè).'：a>0,把》=一%+。平移，使之與可行域的邊界AC重合即可,；.一；=—1,滿足要求，.*.0=1.答案：1(y—1^0,.(2019?山西五校聯(lián)考)不等式組y+220,表示的平面區(qū)域?yàn)?,直線x=a(a[x+4y-8W0>1)將平面區(qū)域。分成面積之比為1：4的兩部分，則目標(biāo)函數(shù)z="+_y的最大值為解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，平面區(qū)域0為△ABC及其內(nèi)部，作直線x=a(lVaV4)交BC,AC分別于點(diǎn)E,尸?由題意可知Sa￡"=/saa6c,則;(4。)?(一；〃+2-1)=/X；X5X1=：,可得a=2(a=6舍去)，所以目標(biāo)函數(shù)z=ax+y即為z=2x+y,易知z=2x+y在點(diǎn)C(4,l)處取得最大值，則Zma、=9.y=i答案：9.若x,y滿足約束條件，x—y，一l,、2x-yW2.⑴求目標(biāo)函數(shù)z=1r—y+；的最值:⑵若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,())處取得最小值，求a的取值范圍.2x—y—2=0解：(1)作出刈束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，易知2x—y—2=05(0,1),C(l,0),[2x-y—2=0,聯(lián)立」c解得A(3,4).口-y+l=(),平移直線;x—y+；=0,過4(3,4)取最小值-2,過C(l,0)取最大值1.所以z的最大值為1,最小值為-2.(2)直線ax+2y=z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，由圖象可知一1<一^<2,解得一4<o<2.故所求a的取值范圍為(一4,2)..電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(分鐘)廣告播放時(shí)長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于60()分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).(1)用*,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解：(1)由已知，x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為

"70x+60yW600,5x+5y230,VxW2y,x，0,xGN,、y20,yGN,“7x+6yW60,x+y26,x—2yW0,x20,xGN,、y20,yGN,7x+6y=“7x+6yW60,x+y26,x—2yW0,x20,xGN,、y20,yGN,7x+6y=60、5;4\3?^^-2y=0?^^-2y=0\、12345N8&：60*+25y=0⑵設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25j.考慮z=60x+25y,將它變形為y￡+梟,這是斜率為一名隨Z變化的一族平行直線卷為直線在y軸上的截距，當(dāng)於取得最大值時(shí)，z的值最大.又因?yàn)閤,y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線N=60x+25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，藏距京最大，即工最大.解方程組，7x+6y=6(),解方程組，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3).X—2j=0,所以電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多.二、專項(xiàng)培優(yōu)練（一）易錯(cuò)專練——不丟怨枉分1.設(shè)關(guān)于X,1.設(shè)關(guān)于X,y的不等式組12x—j+1>0,x+/n<0,表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（xo,則），滿足j-m>0xo—2jo=2,則m的取值范圍是（）解析：選C作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，交點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一〃I,m）9直線x—2y=2的斜率為;，斜截式方程為y==%-1,要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(xo,yo)滿足xo—2,0=2,則點(diǎn)C(一〃〃。必在直線x—2y=2的下方，即機(jī)V一品―1，解得，〃V—；?機(jī)的取值范圍是(一8,一。故選C.，+廠220,2.(2019?金華模擬)設(shè)7=〃x+p，其中實(shí)數(shù)x,y滿足?》一2y+4訓(xùn)， 若z的最大值為、2x—y—4W0,12,則實(shí)數(shù)A=.x—2v+4=0,解析:作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，由 得4(4,4).同2x—j-4=0理，得8(0,2).①當(dāng)A＞一；時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=Ax+y在x=4,y=4時(shí)取最大值，即直線z=?x+y在y軸上的截距;最大，此時(shí)，12=4*4-4,故R=2.②當(dāng)AW—；時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=Arx+y在x=0,y=2時(shí)取最大值，即直線,=Ax+y在y軸上的截距;最大，此時(shí)，12=0X4+2,故及不存在.綜上，k=2.答案：2(x-y^O,x-3y+2W0, 與不等式x-2y+,”W0都成立，x+y—6W0則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[0,+~) B.(—8,3]C.[1,+~) D.[3,+~)‘X一代0,解析：選B作出不等式組?*-39+2近0, 表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其.x+y—6W0中A(4,2),5(1,1),C(3,3).設(shè)z=x—2y,將直線/:z=x—2y進(jìn)行平移，當(dāng)/經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值,可得Zmax=4—2X2=0,當(dāng)/經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)N達(dá)到最小值，可得Zmin=3—2X3=一3,因此z=x—2y的取值范圍為［―3,0］.,存在實(shí)數(shù)〃?，使不等式x—2y+mW0成立，即存在實(shí)數(shù)，"，使x—2y《一”1成立，一膽大于或等于z的最小值，即一34一m,解得小在3,故選B.(二)交匯專練一融會(huì)巧遷移x-2y+2^0,4.［與向■交匯］已知P(x,y)為不等式組,x-y-lW0, 所確定的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，.x+y-120若點(diǎn)M(2,l),0(0,0),則Jz=/?說的最大值為()A.1 B.2C.10 D.11解析：選D作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，(X-2j+2=0,聯(lián)立| 解得4(4,3).由點(diǎn)M(2,l),0(0,0),得z=0尸一^OM—?=2x+y,(x—j—1=0,則j=—2x+z,顯然直線y=-2x+z過A(4,3)時(shí)，z最大，此時(shí)z=2X4+3=ll.故選D.xW4,.|與概率交匯］關(guān)于實(shí)數(shù)X,j的不等式組，y22, 所表示的平面區(qū)域記為M,.x-y+220不等式(x-4)2+u—3)2這1所表示的平面區(qū)域記為N,若在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的概率為()

TOC\o"1-5"\h\zA?m B-8C2 D，l?4 ”2x44,

解析：選A關(guān)于實(shí)數(shù)x,y的不等式組P22, 所表示的平面區(qū)域記為M,面積.x-y+220為:X4X4=8,不等式(工一4)2+xW4,u—3FW1所表示的平面區(qū)域記為N,且滿足不等式組r，2, 其面積為%,.x-y+220,1

尸所以在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自N的概率為W■=合，故選A.oio‘4x+3/210,表示的平面區(qū)域?yàn)镺,過區(qū)域。中任意一點(diǎn).［表示的平面區(qū)域?yàn)镺,過區(qū)域。中任意一點(diǎn)產(chǎn)作圓F+V=l的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,則當(dāng)NAP8的值最大時(shí)，cosZAPB=()即尸到圓心的距離最小即可.由圖象可知當(dāng)。尸垂直直線4工+39—10=0即尸到圓心的距離最小即可.由圖象可知當(dāng)。尸垂直直線4工+39—10=0時(shí)，|OP|最小，此io|io時(shí)|。*=/鏟M設(shè)NAP8=a,則NAPO=3，即$喈=卷|=2,此時(shí)cosa=l-2si吟=1-2X即cosNAP〃=g.故選D./基礎(chǔ) 在批注中理解透(單純識(shí)記無意義,深刻理解提能力).基本不等式標(biāo)W號(1)基本不等式成立的條件：a>0,5>o.⑵等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)"=尻.幾個(gè)重要的不等式(l)a2+&2^2aZ>(a,ftGR)；(2)~+^2(a,〃同號)；(3)他/伴抄(a,Z>6R)；b(a,Z>GR)；⑸黑W標(biāo)W宰W.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,*>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為斗士，幾何平均數(shù)為標(biāo)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)..利用基本不等式求最值問題已知x>0,j>0,則(1)如果孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是25(簡記：積定和最小).(2)如果x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是爭簡記：和定積最大).注：(1)此結(jié)論應(yīng)用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指等號成立.(2)連續(xù)使用基本不等式時(shí)，牢記等號要同時(shí)成立.［小題查驗(yàn)基礎(chǔ)I一、判斷題(對的打“J”，錯(cuò)的打“X”)(1)當(dāng)。,0,520時(shí)，―)⑵兩個(gè)不等式層+展22"與空，病成立的條件是相同的.()(3)x>0且y>0是的充要條件.()(4)函數(shù)JU)=cosx+￡^~；,xW(O,當(dāng)?shù)淖钚≈档扔?.()答案：⑴J(2)X(3)X(4)X二、選填題1.設(shè)x>0,j>0,且x+y=18,則巧的最大值為()A.80 B.77C.81 D.82答案：C.設(shè)OVaV兒則下列不等式中正確的是()/aIb IqIbA.a<b<?ab<-3- B.a<y]ab<?<bt—a+b 1— a+bC.a<y[ab<b<—Y~ D洞VaV—j-Vb解析：選B因?yàn)镺VaV力，所以a-y[ab=y[a(y/a-y[b)<Qf故a<y[ab;b—、,」=力。>0,故6>嚀"；由基本不等式知色茄，綜上所述，aV屈vg"vb,故選B..函數(shù)./lr)=x+：的值域?yàn)?)A.[-2,2] B.[2,+~)C.(一8,-2]U[2,+~) D.R解析：選C當(dāng)x>0時(shí)，x+1225|=2.當(dāng)x<0時(shí)，-x>0.一*+與2正x)告=2.所以x+；W—2.所以Ax)=x+：的值域?yàn)?-8,-2JU[2,+?>)..若實(shí)數(shù)x,y滿足盯=1,則/+2/2的最小值為.答案：2<2.若x>L則x+圈"的最小值為.4 4解析：x+ 7=x-1+7+1^44-1=5.x-1 x-1當(dāng)且僅當(dāng)x—即x=3時(shí)等號成立.答案：5/考點(diǎn) 在細(xì)解中明規(guī)律(題目千變總有根，梳千理枝究其本)考點(diǎn)一利用基本不等式求最值［全析考法過關(guān)］(-)拼濠法一利用基本不等式求最值I例1］(1)已知OVxVL則x(4—3x)取得最大值時(shí)x的值為.(2)已知xV：,則八x)=4x-2+g￡的最大值為.(3)函數(shù)7=不不(*>1)的最小值為.1 1「3x+(4—3x)14［解析］(1)x(4-3x)=亍(3x)(4-3x)W§［ 彳 當(dāng)且僅當(dāng)3x=4~3x,即x2 2=；時(shí)，取等號.故所求X的值為?(2)因?yàn)?V，所以5—4*>0,則人x)=4x-2+］士=一(5-4*+號，+3近-2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)5—4*=馬？即x=l時(shí)，取等號.故|x)=4x—2+“匕的最大值為1._-+2_(*2-2*+1)+(2*—2)+3⑶/一x-］- x_1(x-l)2+2(x-l)+3x-I=(x-l)+^j+2225+2.當(dāng)且僅當(dāng)*一1=±,即*=巾+1時(shí)，取等號.I答案1(1)|(2)1(3)2小+2I解題技法］通過拼湊法利用基本不等式求最值的實(shí)質(zhì)及關(guān)鍵點(diǎn)拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(-)常數(shù)代換法——利用基本不等式求最值

［例2］已知。>0,*>0,a+b=l9貝的最小值為.［解析］因?yàn)椤?8=1,所以;+RG+加+”2+《+（）22+2疆|=2+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.［答案14［變式發(fā)散］.（變條件）將條件aa+b=in改為，+2分=3"，貝礙+抽最小值為.1 2解析：因?yàn)椤?2方=3,所以3〃+?=1.2?2?十

粽+-

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+-1-〃以.2.a.Zb、.」Ia2b=三十三+五+丁21+2丁33303。 \13b3a=1+4&當(dāng)且僅當(dāng)。=也力時(shí)，取等號.答案：i+￥.（變設(shè)問）保持本例條件不變，則（1+3（1+3的最小值為.解析:（I+9HN+"甯）=（2+?（2+?=5+2《+3》5+4=9.當(dāng)且僅當(dāng)a=Z>=：時(shí)，取等號.答案：9I解題技法］通過常數(shù)代換法利用基本不等式求解最值的基本步驟（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式;（4）利用基本不等式求解最值.（三）消元法——利用基本不等式求最值［例3］已知x>0,j>0,x+3j+xj=9,則x+3j的最小值為.I解析］法一（換元消元法）：由已知得x+3y=9一町，因?yàn)閤>0,j>0,所以^+3/226面，當(dāng)且僅當(dāng)x=3y,即x=3,y=l時(shí)取等號，即(x+3y)2+12(x+3y)一10820.令x+3y=f,則f>()且F+12f-108,0,得f26,即x+3y的最小值為6.法二(代入消元法)：由x+3j+xj=9,_9~3j-1+j*能力 9-3y 9-3y+3y(l+y)所以*+3/-1+尸一i+y_9+3y2_3(l+y)2-6(l+y)+12=l+y= 1+j=3(l+y)+卷一62213(1+y).含-6=12-6=6.即x+3y的最小值為6.I答案］6［解趣技法］通過消元法利用基本不等式求最值的策略當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值.(四)利用兩次基本不等式求最值［例4］已知。>分>0,那么涼+而與的最小值為|解析|由a>Z>>0,得。-8>0,..b(a—h)^~~j~~~J-=j.?"+而占22+拉2口1=4,當(dāng)且僅當(dāng)/>=a-力且。2=，，即0=6，8=當(dāng)時(shí)取等號.???/+/-或的最小值為4h(a—b)［答案14［解題技法I兩次利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)當(dāng)連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性.

［過關(guān)訓(xùn)練］1.(2019?加州也哥)若實(shí)數(shù)x滿足了>一4,貝!|函數(shù)4x)=x+備的最小值為解析：Vx>-4,.*.x+4>0,9 .9 /~' 9~?VAx)=x+^^=x+4+^^-422a/(x+4)?^j^-4=2,9當(dāng)且僅當(dāng)x+4=丫+4,即x=—1時(shí)取等號.9故函數(shù)/(x)=x+rj的最小值為2.答案：22.若正數(shù)X,y滿足爐+6盯一1=0,則x+2y的最小值是.解析：因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足好+6孫一1=0,TOC\o"1-5"\h\z.., 1-X2所以y=，r?x>0, '由即也一好 解得°Vx<l.\lx12a/2A/T3x=3，\lx12a/2A/T3x=3，““ ., .1—x-2x,1j所以x+2y=x+-^-=§+￡》2當(dāng)且僅當(dāng)金=1,即x=乎，尸吟時(shí)取等號.故x+2y的最小值為平.答案：平考點(diǎn)二利用基本不等式解決實(shí)際問題［師生共研過關(guān)］［典例精析］某廠家擬定在2019年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量比萬件與年促銷費(fèi)用，”佃，0)萬元滿足*=3-/(A為常數(shù)).如果不搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).(1)將2019年該產(chǎn)品的利潤j萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2019年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤最大？I解I(1)由題意知，當(dāng)機(jī)=0時(shí)，x=l(萬件)，2所以1=3一女=A=2,所以％=3一蔡不p每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5X8甘方元),”. ” 8+16x所以2019年的利洞j=1.5xX---—8-16x—相^j+(m+l)+29(欄0).16 1—(2)因?yàn)闄C(jī)力0時(shí)，/百+“〃+1)，2次=8,所以yW-8+29=21,當(dāng)且僅當(dāng)〃j]]=加+1=/n=3(萬元)時(shí),，max=21(萬元).故該廠家2019年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利洞最大為21萬元.I解題技法]利用基本不等式解決實(shí)際問題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.[過關(guān)訓(xùn)練1.若把總長為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大面積是it?.解析：設(shè)一邊長為xm,則另一邊長可表示為(10—x)m,+1。-由題知OVxVIO,則面積S=x(10-x)W(^--2 T=25,當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即x=5時(shí)等號成立，故當(dāng)矩形的長與寬相等，且都為5m時(shí)面積取到最大值25m2.答案：25.(2019?等息楔擬)經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛的過程中每小時(shí)耗油量y(L)與速度|^(x2-130x4-4900),xG[50,80),x(km/h)(500W120)的關(guān)系可近似表示為尸彳[12-含，xG[80,120].(1)該型號汽車的速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最低？(2)已知A,8兩地相距120km,假定該型號汽車勻速從A地駛向8地，則汽車速度為多少時(shí)總耗油量最少？解：⑴當(dāng)xG[50,80)時(shí)，7=表(/-130*+4900)=^[(x-65)2+675]?當(dāng)x=65時(shí)，yi y有最小值，為元X675=9,當(dāng)xG［80,120］時(shí)，函數(shù)y=12—前單調(diào)遞減，故當(dāng)x=120時(shí)，y有最小值，為10,因?yàn)?V10,所以該型號汽車的速度為65km/h時(shí)，每小時(shí)耗油量最低.(2)設(shè)總耗油量為/,由題意可知/=y?號，當(dāng)xG［50,80)時(shí)，/=y?亨130)啖\xX等-130)=16,當(dāng)且僅當(dāng)*=生譬，即x=70時(shí)，/取得最小值，最小值為16.當(dāng)xG［80,120］時(shí)，/=y?亨=^^一2為減函數(shù)，故當(dāng)x=120時(shí)，/取得最小值，最小值為10,因?yàn)?0V16,所以當(dāng)速度為120km/h時(shí)，總耗油量最少.考點(diǎn)三基本不等式的綜合應(yīng)用［師生共研過關(guān)］［典例精析］(1)已知直線ax+Z>y+c-1=0(8>0,c>0)經(jīng)過圓C：d+產(chǎn)―2廠5=0的圓心，貝色+：的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2(2)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差是d,其前〃項(xiàng)和是S”若m=d=l,則爐的最小值是Un［解析］⑴把圓爐+爐-27-5=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(j-l)2=6,所以Bl心為C(0,l).因?yàn)橹本€ax+力y+c—1=0經(jīng)過圓心C,所以aX0+6Xl+c-l=0,即5+c=l.又5>0,c>0,因端+!=(〃+，?+?甘+"5》2事%5=9.TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)且僅當(dāng)力=2c,且力+c=l,2 1 41即b=3,c=?時(shí)，］+［取得最小值9.\o"CurrentDocument"⑵由題意a〃=ai+(〃-l)d=〃，S〃= ),tu“"S"+8 2十”所以丁=一?一=/〃+￥+1)貨yp^+1)=1.當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號.所以差區(qū)的最小值是*Un L［答案I(1)A

［解題技法］利用基本不等式解題的策略(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.［過關(guān)訓(xùn)練］1.已知函數(shù)./U)=x+f+2的值域?yàn)?一8,o］U［4,+oo),則。的值是()▲1 Q2C.1 D.2解析：選C由題意可得〃>0,①當(dāng)x>0時(shí)，Hx)=x+f+222W+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=/時(shí)取等號；②當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x+~+2^-2\［a+29當(dāng)且僅當(dāng)x=一班時(shí)取等號，［2-2^=0,所以<「 解得〃=1,故選C.12也+2=4,1 82.已知向量”=(叫1)"=(4一〃,2),m>0,〃>0,若?！▋簞t而+［的最小值為.解析：?：a〃b,2m=。,即2陽+〃=4.；〃?>0,〃>。，+2M8-3+

l-.m

?*?8-3+

l-.m

?*?9最小值是;.答案：I［課時(shí)跟蹤檢蹤］一、題點(diǎn)全面練1.已知府)=.-?+1,則於)在|｝，31上的最小值為()A1

D.0C.-1D.0Y*— 1 I解析：選Df（x）= ~ =x+~—2>2—2=0,當(dāng)且僅當(dāng)T，即*=1時(shí)取等號.又1士，3]>所以大x）在1,31上的最小值是0.（2018?哈爾濱二模）若2'+少=1,則x+y的取值范圍是（ ）A.[0,2] B.[-2,0]C.[-2,+~） D.（-8,-2]解析：選D由1=2*+2>22叵），變形為2/>這不即x+yW-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號.則x+y的取值范圍是（一8,-2].3.若實(shí)數(shù)a,b滿足則ah的最小值為（）A.a/2 B.2C.2^2 D.4[2解析：選C因?yàn)闃?biāo)，所以。>0,*>0,所以必2（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號），所以M的最小值為2?4.已知。>0,*>0,若不等式3+22尚恒成立，則m的最大值為（）A.9 B.12C.18 D.24解析：選B由卜拉尚，得mW（a+3b）0+5/+彳+6.又吃+京+622班+6=12,（當(dāng)且僅當(dāng)普=今即a=3耐等號成立），：.m的最大值為12.Q5.正數(shù)%〃滿足若不等式。+82—工2+4%+18一次對任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A.[3,+8) B.(-8,3]C.(一8,6] D.[6,+8)9解析：選D因?yàn)椤?gt;0,b>0,~+^=l,所以。+方=(a+》)G+率)=10+g+當(dāng)210+2班=16,當(dāng)且僅當(dāng),=當(dāng)，即。=4,方=12/ uI* UI*時(shí)，等號成立.由題意，得16^—x2+4x+18—m,即x2-4x-2^-m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，令風(fēng)行=爐一4x—2=(x—2產(chǎn)-6,所以/U)的最小值為一6,所以一6，一機(jī)，即機(jī)26..(2019?奔島模擬)已知x>0,j>0,(1g2)x+(lg8)y=lg2,貝吐+卷的最小值是.解析：因?yàn)?Ig2)x+(lg8)y=lg2,所以*+3y=l,則"如?+分工+3/)=2+乎+324,當(dāng)且僅當(dāng)*=已即x=；, 時(shí)取等號，故:+2的最小值為4.答案：4.若正數(shù)x,y滿足4x2+9j2+3xy=30,則xy的最大值為.解析：30=4x2+9j2+3xj^2^/36x2j2+3xj,即30215盯，所以町<2,當(dāng)且僅當(dāng)4/=9y2,即X=巾，y=平時(shí)等號成立.故盯的最大值為2.答案：2.規(guī)定："?”表示一種運(yùn)算，即a9b=y[^b+a+b(a,b為正實(shí)數(shù)).若1?A=3,則k的值為 ,此時(shí)函數(shù)八用=竿的最小值為 .yjx解析：由題意得的4=灰+1+〃=3,即〃+#—2=0,解得出=1或5=—2(舍去)，所以A=l,故A的值為1.l?xy[x+x+lf.1又—x)=q__ =14-*\/x4-^=,^14-2=3,當(dāng)且僅當(dāng)m=古，即X=1時(shí)取等號，故函數(shù)人》)的最小值為3.答案：13.已知1>0,j>0,且2x+8y-xy=0,求：(1)町的最小值；(2)x+j的最小值.82解：(1)由2x+8j—xj=O,得；+,=1.又￡>0,j>0,則1=3+聲2用端,得孫》64，Q2當(dāng)且僅當(dāng)-=7即x=16且7=4時(shí)，等號成立.“y所以xy的最小值為64.82(2)由2x+8y一盯=0,得提+1=1,則x+y=(3+5(x+y)=10+”+名》10+2a/—.^=18.yx \]yx當(dāng)且僅當(dāng)§=乎，即x=12且y=6時(shí)等號成立，y**所以x+y的最小值為18.io.(1)當(dāng)x