分式與分式方程導學案（新北師大）第五章分式與分式方程節(jié)認識分式【學習目標】了解分式的概念，明確分式和整式的區(qū)別；能用分式表示簡單問題數(shù)量之間的關系；會判斷一個分式何時有意義；會根據(jù)已知條件求分式的值。【學習重難點】重點：掌握分式的概念；難點：正確區(qū)分整式與分式?！緦W習方法】自主探究與小組合作交流相結合.【學習過程】模塊一預習反饋一、學習準備分式的概念：整式人除以整式8,可以表示成的形式，如果中含有字母，那么我們稱為分式與整式的區(qū)別：分式一定含有分母，且分母中一定含有；而整式不一定含有分母，若含有分母，分母中一定不含有字母。分式有意義、無意義或等于零的條件：分式有意義的條件：分式的的值不等于零；分式無意義的條件：分式的的值等于零；分式的值為零的條件：分式的的值等于零，且分式的的值不等于零；閱讀教材：節(jié)《認識分式》二、教材精讀理解分式的概念分析：區(qū)分整式與分式的唯一標準就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式。提示：是一個常數(shù)，而不是字母。解：注意：理解分式的概念，應把握以下三點：分式中，A、B是兩個整式，它是兩個整式相除的商，分數(shù)線由括號和除號兩個作用，如可以表達成；分式中8一定含有字母，而分子人中可以含有字母，也可以不含字母；分式中，分母的值是零，則分式?jīng)]有意義，如分式中，分析：根據(jù)分式有意義的條件進行計算，此題即為求分母不等于零時x的取值范圍。模塊二合作探究下列代數(shù)式：，，，，，，其中是分式的有：當x取何值時，下列分式有意義？9、當x取何值時，卜列分式無意義？10、當*取何值時，下列分式的值為零？模塊三形成提升下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？①5x—7,②3x2—1,③，④，⑤，⑥，⑦答：當*取何值時，分式無意義？當*為何值時，分式的值為正？若分式的值為零,則x的值是 。模塊四小結評價本課知識點：分式的概念分式有意義、無意義或等于零的條件：分式有意義的條件：分式的的值不等于零；分式無意義的條件：分式的的值等于零；分式的值為零的條件：分式的的值等于零，且分式的的值不等于零；二、本課典型例題：三、我的困惑：第五章分式與分式方程節(jié)分式【學習目標】1、讓學生初步掌握分式的基本性質；掌握分式約分方法，熟練進行約分；了解什么是最簡分式，能將分式化為最簡分式；【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合.【學習重難點】重點：掌握分式的概念及其基本性質；難點：正確區(qū)分整式與分式，以及運用分式的基本性質來化簡分式?！緦W習過程】模塊一預習反饋學習準備分式的基本性質：分式的和都同時乘以同一個不等于零的整式，分式的值不變。用字母表示為：，。.約分：概念：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為 約分的關鍵：找出分子分母的公因式；約分的依據(jù)：分式的基本性質；約分的方法：先把分子、分母分解因式，然后約去它們的公因式，約分的最后結果是將一個分式變?yōu)樽詈喎质交蛘健?最簡分式：分子與分母沒有的分式叫做最簡分式。二、教材精讀分析：解有關分式恒等變形的填空題，一般從分子或分母的已知頂入手，觀察變化方式，再把未知項作相應的變形。本題中是隱含條件。注意：要深刻理解“都”與“同”的含義，“都”的意思是分子與分母必須同時乘同一個整式，“同”說明分子與分母都乘的整式必須是同一個整式。在分式的基本性質中，要重視這個條件，如，隱含著這個條件，所以等式是正確的，但，分子、分母同乘y，由于沒有說明這個條件，所以這個等式變形不正確。若原分式的分子或分母是多項式，運用分式的基本性質時，要先把分式的分子或分母用括號括上，再乘或除以整式，如：。分式的分子、分母或分式本身的符號，改變其中任意兩個，分式的值不變，如：；若只改變其中一個的符號或三個符號，則分式的值變成原分式的值的相反數(shù)，如.模塊二合作探究填空：==代數(shù)式①，②，③，④中，是最簡分式的是模塊三形成提升填空：不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號.===0把分式中的都擴大為原來的3倍，則分式的值變?yōu)樵瓉淼谋?。⑴化簡分式⑵已知，求的值。模塊四小結評價一、本課知識點：二、本課典型例題：第五章分式與分式方程第二節(jié)分式的乘除法【學習目標】經(jīng)歷探索分式的乘除法法則的過程，并結合具體情境說明其合理性；會進行簡單分式的乘除法計算，具有一定的化歸能力；在學知識的同時學到類比轉化的思想方法，受到思維訓練，能解決與分式有關的簡單實際問題；【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合.【學習重難點】重點：掌握分式的乘除法法則；難點：熟練地運用法則進行計算，提高運算能力?！緦W習過程】模塊一預習反饋一、學習準備分式的乘除法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的，把分母相乘的積作為積的；兩分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式。分式乘除法運算步驟和運算順序：步驟：對分式進行乘除運算時，先觀察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，若能分解因式的應先分解因式。當分解因式完成以后，要進行，直到分子、分母沒有時再進行乘除。順序：分式乘除法與整式乘除法運算順序相同，一般從左向右，有除法的先把除法轉化為乘法。二、教材精讀分析：題中分子、分母都是單項式，可直接運用法則計算；應先分解因式，然后約分，但需注意符號的變化。模塊二合作探究計算：模塊三形成提升計算：模塊四小結評價一、本課知識點：分式的乘除法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的，把分母相乘的積作為積的；兩分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式。二、本課典型例題：第五章分式與分式方程第三節(jié)分式加減法【學習目標】會進行簡單分式的加減運算，具有一定的代數(shù)化歸能力；能解決一些簡單的實際問題，進一步體會分式的模型作用；結合已有數(shù)學經(jīng)驗，解決新問題，獲得成就感以及克服困難的方法和勇氣；【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合.【學習重難點】重點：分式的通分；難點：如何確定最簡公分母?！緦W習過程】模塊一預習反饋學習準備同分母分式相加減：法則：同分母的分式相加減，不變，把相加減。注意：①字母表示為：。②“分子相加減”是各個分式的“分子整體”相加減，即各個分子都應有括號。當分子為單項式時，括號可以省略;當分子為多項式時，括號不能省略。③分式加減運算的結果，必須化為最簡分式或整式。分式的通分：概念：根據(jù)分式的基本性質，把異分母分式化成同分母分式的過程，叫分式的。通分的方法：先求各分式的-,然后用每一個分式的分母去除這個最簡公分母，用所得的商去乘相應分式的分子、分母；通分的依據(jù)：。二、教材精讀進一步理解同分母的分式相加減的法則：分析：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減，結果要化成最簡分式或整式；因為，把分式化成同分母后，依同分母分式加減法法則運算。通分：分析：通分的關鍵：確定幾個分式的最簡公分母。模塊二合作探究分式，，的最簡公分母是計算：模塊三形成提升通分：和和和計算：模塊四小結評價、本課知識點:同分母分式相加減：法則：同分母的分式相加減，不變,把相加減。分式通分的概念：根據(jù)分式的基本性質，把異分母分式化成同分母分式的過程，叫分式的。二、本課典型例題：三、我的困惑：第五章分式與分式方程第三節(jié)分式加減法【學習目標】會進行異分母分式的通分；會進行異分母分式的加減運算；【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合.【學習重難點】重點：掌握異分母分式的加減運算；難點：分式的混合運算，異分母分式相加減要先通分，通分時注意分子和分母同乘以一個整式，避免出現(xiàn)分母乘分子不乘的錯誤；進行分式運算時要注意運算順序?！緦W習過程】模塊一預習反饋學習準備：異分母分式的加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，化為 的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算。分式的混合運算：與分數(shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，分式的加、減、乘、除混合運算，也是先算乘除，后算加減，遇有括號，先算括號內(nèi)的。確定最簡公分母的一般步驟：①取各分母的的最小公倍數(shù)；②凡出現(xiàn)的字母的冪的因式都要??；③相同字母的冪的因式取的；④如果分母是多項式，一般應先二、教材精讀：進一步理解異分母分式的加減法法則分析：先找最簡公分母，再通分把它們化成同分母分式，然后再相加減。模塊二合作探究用兩種不同的運算順序計算計算：模塊三形成提升計算：計算：計算：模塊四小結評價一、本課知識點：異分母分式的加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，化為 的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算。二、本課典型例題：三、我的困惑：第五章分式與分式方程第四節(jié)分式方程【學習目標】能找出現(xiàn)實情景中的等量關系；會通過設適當?shù)奈粗獢?shù)根據(jù)等量關系列出分式方程；通過列出的方程歸納出它們的共同特點，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明確分式和整式的區(qū)別；【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合.【學習重難點】重點：理解分式方程的定義、找出問題中的等量關系列出方程；難點：如何找出等量關系，如何把等量關系轉化為分式方程?！緦W習過程】模塊一預習反饋學習準備：分式方程的概念：中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程;判斷分式方程的條件：①方程；②分母中含有未知數(shù);與整式方程的區(qū)別：分母中是否含有;列分式方程解應用題。二、教材精讀：進一步理解分式方程例1中是分式方程的有A.2個B.3個c,4個D.5個例2甲、乙兩地相距1500,乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用9h,已知高鐵列車的平均行駛速度是特快列車的2.8倍。你能找出這一問題中的所有等量關系嗎？如果設特快列車的平均速度為x/h那么x滿足怎樣的方程？如果設小明乘高鐵列車從甲地到乙地需yh,那么y滿足怎樣的方程？解：模塊二合作探究例2為了幫助遭受自然災害的地區(qū)重建家園，某學校號召同學們自愿捐款。已知七年級同學捐款總額為4900元，八年級同學捐款總額為5000元，八年級捐款人數(shù)比七年級多20人，而且兩個年級人均捐款額恰好相等。如果設七年級捐款人數(shù)為x人，那么x滿足怎樣的方程？模塊三形成提升人、；8、；。、中，是分式方程，是整式方程。理由:判斷下列方程中哪些是分式方程？??；；；??；；；甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨做1天后，再由兩隊合作2天就完成了全部工程，已知甲隊單獨完成工程所需的天數(shù)是乙隊單獨完成所需天數(shù)的，求甲、乙兩隊單獨完成各需多少天？解：設列出方程為：。模塊四小結評價一、本課知識點：分式方程的概念：中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程；判斷分式方程的條件：二、本課典型例題:三、我的困惑：第五章分式與分式方程第四節(jié)分式方程【學習目標】體會分式方程到整式方程的轉化思想，掌握分式方程的解法；了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，會檢驗根的合理性；培養(yǎng)學生的數(shù)學轉化思想和觀察、類比、探索的能力；【學習方法】自主探究總結與小組合作交流相結合.【學習重難點】重點：掌握分式方程的解法解、分式方程要驗根；難點：解分式方程及驗根?！緦W習過程】模塊一預習反饋學習準備：解分式方程的一般步驟：去分母，把原分式方程化為；解這個整式方程；檢驗：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母的值不等于零的根是原分式方程的，使最簡公分母的值等于零的根是原方程的。增根概念：將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘以一個含未知數(shù)的整式，并約去分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解，這種根通常稱為增根；認識增根：①增根是去分母后所得的根；②增根使最簡公分母的值為；③增根原方程的根。教材精讀：進一步理解如何解分式方程例1解方程解：方程兩邊都乘，得.解這個方程，得檢驗：將，得所 以例2解方程：解：方程兩邊都乘，得解這個方程檢驗:將,得所 以模塊二合作探究解分式方程解：方程兩邊都乘,得.解這個方程，得檢驗:將,得所 以若方程有增根，求的值。分析：若分式方程有增根，則最簡公分母必須等于零，由此我們可以找出所有可能的增根，再利用增根滿足整式方程，列出關于的方程，求出的值即可。模塊三形成提升關于X的方程有增根，則增根只能是A、1B、2c、3D、0關于乂的方程有增根，則的值為A、1B、0c、D、解下列方程：當為何值時，關于乂的方程有增根。模塊四小結評價一、本課知識點：解分式方程的一般步驟：什么是增根：二、本課典型例題：三、我的困惑：第五章分式與分式方程第四節(jié)分式方程【學習目標】經(jīng)歷將實際問題中的等量關系用分式方程表示的過程;掌握列分式方程解應用題的一般步驟；會列出分式方程解決簡單的應用題，提高學生的分析問題、解決問題的能力和應用意識；【學習方法】自主探究與小組合作交流相結合.【學習重難點】重點：列分式方程解應用題；難點：對所求出的分式方程的根進行檢驗的思想的重視【學習過程】模塊一預習反饋學習準備：列分式方程解應用題的一般步驟：審清題意；設未知數(shù)；找出等量關系；列出分式方程；解這個分式方程；檢驗，既要驗證根是否是所列分式方程的根，又要檢驗根是否符合題意；寫出答案。列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題的區(qū)別：列分式方程解應用題時要注意，既要驗證求出的未知數(shù)的值是否是所列分式方程的根，又要檢驗根是否。教材精讀：例1甲、乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個玩具所用的時間與乙加工120個玩具所用的時間相等，已知甲、乙兩人每天共加工35個玩具，求甲乙兩人每天各加工多少個玩具？分析：等量關系是：甲用的時間與乙用的時間相等。解題方案：解：設甲每天加工個玩具，則乙每天加工個玩具，①甲加工90個玩具所用的時間為，乙加工120個玩具所用的時間為；②根據(jù)題意,列出相應方程 ；③解這個方程得；④檢驗：；⑤答：甲每天加工個玩具，乙每天加工 個玩具。模塊二合作探究例2某市從今年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲.小麗家去年12月的水費是15元，而今年7月的水費則是30元。已知小麗家今年7月的水量比去年12月的用水量多5,求該市今年居民用水的價格。分析：此