數(shù)值分析第五版第二重積分概念詳解演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)（優(yōu)選）數(shù)值分析第五版第二重積分概念目前二頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)解法:

類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”目前三頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體目前四頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)4)“取極限”令目前五頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)2.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.目前六頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量目前七頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:目前八頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),目前九頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃記作目前十頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.目前十一頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則目前十二頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有目前十三頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此目前十四頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上目前十五頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例2.判斷積分的正負(fù)號(hào).解:分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù)

但不好估計(jì).舍去此項(xiàng)目前十六頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例3.估計(jì)下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D目前十七頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有目前十八頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的目前十九頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算目前二十頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例4.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為目前二十一頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法目前二十二頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:目前二十三頁(yè)\總數(shù)二十四頁(yè)\編于七點(diǎn)2.