年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔浙江卷〕數(shù)學(xué)〔文科〕第一卷〔選擇題共40分〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．〔1〕【2023年浙江，文1，5分】全集，集合，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】，，應(yīng)選C．【點評】此題考查了集合的運(yùn)算，屬于根底題．〔2〕【2023年浙江，文2，5分】互相垂直的平面，交于直線．假設(shè)直線，滿足，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】∵互相垂直的平面，交于直線，直線，滿足，∴或或，，∵，∴，應(yīng)選C．【點評】此題考查兩直線關(guān)系的判斷，是根底題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．〔3〕【2023年浙江，文3，5分】函數(shù)的圖象是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】∵，∴函數(shù)是偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，排除A，C；由，那么，，那么，故函數(shù)有無窮多個零點，應(yīng)選B．【點評】此題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)零點的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．比擬根底．〔4〕【2023年浙江，文4，5分】假設(shè)平面區(qū)域，夾在兩條斜率為的平行直線之間，那么這兩條平行直線間的距離的最小值是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】作出平面區(qū)域如下圖：∴當(dāng)直線分別經(jīng)過，時，平行線間的距離相等．聯(lián)立方程組，解得，聯(lián)立方程組，解得．兩條平行線分別為，，即，．∴平行線間的距離為，應(yīng)選B．【點評】此題考查了平面區(qū)域的作法，距離公式的應(yīng)用，屬于根底題．〔5〕【2023年浙江，文5，5分】，且，，假設(shè)，那么〔〕 〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】假設(shè)，那么由得，即，此時，，即，假設(shè)，那么由得，即，此時，，即，綜上，應(yīng)選D．【點評】此題主要考查不等式的應(yīng)用，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．比擬根底．〔6〕【2023年浙江，文6，5分】函數(shù)，那么“〞是“的最小值與的最小值相等〞的〔〕〔A〕充分不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件【答案】A【解析】的對稱軸為，．〔1〕假設(shè)，那么，∴當(dāng)時，取得最小值，即的最小值與的最小值相等．∴“〞是“的最小值與的最小值相等〞的充分條件．〔2〕假設(shè)的最小值與的最小值相等，那么，即，解得或．∴“〞不是“的最小值與的最小值相等〞的必要條件，應(yīng)選A．【點評】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，簡易邏輯關(guān)系的推導(dǎo)，屬于根底題．〔7〕【2023年浙江，文7，5分】函數(shù)滿足：且，〔〕〔A〕假設(shè)，那么〔B〕假設(shè)，那么〔C〕假設(shè)，那么〔D〕假設(shè)，那么【答案】B【解析】〔A〕假設(shè)，那么由條件得，即，那么不一定成立，故A錯誤，〔B〕假設(shè)，那么由條件知，即，那么，那么，故B正確，〔C〕假設(shè)，那么由條件得，那么不一定成立，故C錯誤，〔D〕假設(shè)，那么由條件，得，那么，不一定成立，即不一定成立，故D錯誤，應(yīng)選B．【點評】此題主要考查不等式的判斷和證明，根據(jù)條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．〔8〕【2023年浙江，文8，5分】如圖，點列、分別在某銳角的兩邊上，且，，，，，，〔表示點與不重合〕假設(shè)，為的面積，那么〔〕〔A〕是等差數(shù)列〔B〕是等差數(shù)列〔C〕是等差數(shù)列〔D〕是等差數(shù)列【答案】A【解析】設(shè)銳角的頂點為，，，，，由于，不確定，那么不一定是等差數(shù)列，不一定是等差數(shù)列，設(shè)的底邊上的高為，由三角形的相似可得，，兩式相加可得，，即有，由，可得，即為，那么數(shù)列為等差數(shù)列，應(yīng)選A．【點評】此題考查等差數(shù)列的判斷，注意運(yùn)用三角形的相似和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡整理的推理能力，屬于中檔題．第二卷〔非選擇題共110分〕二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．〔9〕【2023年浙江，文9，6分】某幾何體的三視圖如下圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的外表積是cm2，體積是cm3．【答案】80；40【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是下部為長方體，其長和寬都為4，高為2，外表積為cm2，體積為cm3；上部為正方體，其棱長為2，外表積是cm2，體積為cm3；所以幾何體的外表積為cm2，體積為cm3．【點評】此題考查了由三視圖求幾何體的外表積與體積的應(yīng)用問題，也考查了空間想象和計算能力，是根底題．〔10〕【2023年浙江，文10，6分】，方程表示圓，那么圓心坐標(biāo)是，半徑是．【答案】；5【解析】∵方程表示圓，∴，解得或．當(dāng)時，方程化為，配方得，所得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5；當(dāng)時，方程化為，此時，方程不表示圓．【點評】此題考查圓的一般方程，考查圓的一般方程化標(biāo)準(zhǔn)方程，是根底題．〔11〕【2023年浙江，文11，6分】，那么，．【答案】；1【解析】∵，∴，．【點評】此題考查了二倍角的余弦公式、兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．〔12〕【2023年浙江，文12，6分】設(shè)函數(shù)，，且，，那么實數(shù)，．【答案】，1【解析】∵，∴,∵，且，∴，解得或〔舍去〕．【點評】此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查化簡能力和方程思想，屬于中檔題．〔13〕【2023年浙江，文13，4分】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為、，假設(shè)點在雙曲線上，且為銳角三角形，那么的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，由雙曲線，得，，∴．不妨以在雙曲線右支為例，當(dāng)軸時，把代入，得，即，此時，那么；由，得，又，①兩邊平方得：，∴，②聯(lián)立①②解得：，，此時．∴使為銳角三角形的的取值范圍是．【點評】此題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．〔14〕【2023年浙江，文14，4分】如圖，平面四邊形，，，，，沿直線將翻折成，直線與所成角的余弦的最大值是．【答案】【解析】如下圖，取的中點，∵，∴，在中，．作，垂足為，．，，∴．過點作，作交于點，那么．連接．為直線與所成的角．那么四邊形為矩形，∴．．那么為二面角的平面角，設(shè)為．那么，時取等號．∴的最小值．∴直線與所成角的余弦的最大值．【點評】此題考查了空間位置關(guān)系、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題．〔15〕【2023年浙江，文15，4分】平面向量，，，，，假設(shè)為平面單位向量，那么的最大值是．【答案】【解析】，其幾何意義為在上的投影的絕對值與在上投影的絕對值的和，當(dāng)與共線時，取得最大值．∴．【點評】此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查學(xué)生正確理解問題的能力，是中檔題．三、解答題：本大題共5題，共74分．解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程．〔16〕【2023年浙江，文16，14分】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)，求的值．解：〔1〕正弦定理得，，于是．又，故，所以或，因此〔舍去〕或，所以，．〔2〕，∴．，．∴．【點評】此題考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函數(shù)根本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．〔17〕【2023年浙江，文17，15分】設(shè)數(shù)列的前項和為，，，．〔1〕求通項公式；〔2〕求數(shù)列的前項和．解：〔1〕∵，，．∴，，解得，，當(dāng)時，，，兩式相減得，即，當(dāng)時，，，滿足，∴，那么數(shù)列是公比的等比數(shù)列，那么通項公式．〔2〕，設(shè)，那么，，當(dāng)時，，那么，此時數(shù)列的前項和，．【點評】此題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)條件建立方程組以及利用方程組法證明列{an}是等比數(shù)列是解決此題的關(guān)鍵．求出過程中使用了轉(zhuǎn)化法和分組法進(jìn)行數(shù)列求和．〔18〕【2023年浙江，文18，15分】如圖，在三棱臺中，平面平面，，，，．〔1〕求證：平面；〔2〕求直線與平面所成角的余弦值．解：〔1〕延長，，相交于一點，如下圖．因為平面平面，且；所以，平面，因此，．又因為，，，所以為等邊三角形，且為的中點，那么．所以平面．〔2〕∵平面；∴是直線和平面所成的角；∵為中點，且；∴為的中位線，且；∴；又；∴在中，，；即直線和平面所成角的余弦值為．【點評】考查三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的中線也是高線，面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面垂直的判定定理，線面角的定義及求法，直角三角形邊的關(guān)系，三角函數(shù)的定義．〔19〕【2023年浙江，文19，15分】如圖，設(shè)拋物線的焦點為，拋物線上的點到軸的距離等于．〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)直線交拋物線于另一點，過與軸平行的直線和過與垂直的直線交于點，與軸交于點，求的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：〔1〕由題意可得，拋物線上點到焦點的距離等于到直線的距離，拋物線定義得，，即．〔2〕由〔1〕得，拋物線方程為，，可設(shè)，，，∵不垂直軸，∴設(shè)直線：，聯(lián)立，得．，∴，又直線的斜率為，故直線的斜率為，從而得：，直線：，那么，設(shè)，由、、三點共線，得，于是，得或．經(jīng)檢驗，或滿足題意