阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想高等數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章函數(shù)與極限（一）函數(shù)1、函數(shù)定義及性質(zhì)（有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；x函數(shù)f(x)在0連續(xù)lim()()xx0fxfx0第一類：左右極限均存在。間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)第二類：左右極限、至少有一個(gè)不存在。無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理及其推論。（二）極限1、定義1）數(shù)列極限第1頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想limxa0,N,nN,xannn2）函數(shù)極限limf(x)A0,0,x,當(dāng)0xx時(shí)，f(x)Axx00左極限：f(x)limf(x)右極限：f(x)limf(x)00xxxx00limf(x)A存在f(x)f(x)00xx02、極限存在準(zhǔn)則1）夾逼準(zhǔn)則：yxz(nn)1）2）nnn0limylimzalimxannnnnn2）單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。3、無(wú)窮?。ù螅┝?）定義：若lim0則稱為無(wú)窮小量；若lim則稱為無(wú)窮大量。2）無(wú)窮小的階：高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、階無(wú)k窮小~o();Th1第2頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想~,~,lim存在，則limlimTh2換）（無(wú)窮小代4、求極限的方法1）單調(diào)有界準(zhǔn)則；2）夾逼準(zhǔn)則；3）極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4）兩個(gè)重要極限：a)limsinx1x0xb)lim(1x)lim(11)e1xxx0xx5）無(wú)窮小代換：（x0）~sin~tanx~arcsinx~arctanxxxa)b)1cosx~1x22ex1~x（ax1~xlna）c)xlna）（log(1x)~ad)ln(1x)~xe)(1x)1~x第3頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想第二章導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)1、定義：()limxx0fx0xx00f(x)f(x)左導(dǎo)數(shù)：()limfx0xx0xx00f(x)f(x)右導(dǎo)數(shù)：()limfx0xx0xx00f(x)x函數(shù)在0點(diǎn)可導(dǎo)fxfx()()002、幾何意義：f(x)x,f(x)處的切線的為曲線yf(x)在點(diǎn)000斜率。3、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、求導(dǎo)的方法1）導(dǎo)數(shù)定義；2）基本公式；3）四則運(yùn)算；4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）；5）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6）參數(shù)方程求導(dǎo)；7）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。第4頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想5、高階導(dǎo)數(shù)d2yddy1）定義：dxdxdx2nCkuvk()(nk)n2）Leibniz公式：uv(n)k0（二）微分1）定義：yf(xx)f(x)Axo(x)，其中與A00x無(wú)關(guān)。2）可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且dyf(x)xf(x)dx00第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）中值定理1、Rolle定理：若函數(shù)f(x)滿足：1）f(x)C[a,b]；2）f(a)f(b)；f(x)D(a,b)；3）(,),()0.則ab使f2、Lagrange中值定理：若函數(shù)f(x)滿足：1）f(x)C[a,b]；2）f(x)D(a,b)；第5頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想則(a,b),使f(b)f(a)f()(ba).3、Cauchy中值定理：若函數(shù)f(x),F(x)滿足：1）f(x),F(x)C[a,b]F(x)0,x(a,b)；2）f(x),F(x)D(a,b)；3）f(b)f(a)f()ab使則(,),F(b)F(a)F()（二）洛必達(dá)法則注意:1、盡量先化簡(jiǎn)（有理化、無(wú)窮小代換、分離非零因子）再用洛必達(dá)法則！1x2cosx如：limx0tan4x2、對(duì)于某些數(shù)列極限問(wèn)題，可化為連續(xù)變量的極限，然后用洛必達(dá)法則！anbnnlim如：2n第6頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想（三）Taylor公式n階Taylor公式：f(x)(xx)20fxfxfxxx()()()()02!000(n1)!f(n)(x)(n1)()(xx)(xx)nf0n10n!0xx在與之間.0當(dāng)x0時(shí)，成為n階麥克勞林公式：0f(x)f(0)f(0)xf(0)f(n)(0)xnf(n1)()xn1x21!2!n!(n1)!在0與x之間.常見函數(shù)的麥克勞林公式：11n!(n1)!e1）ex1xx2xnxn12!第7頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想；x0在與之間，x2）2sin(2m1)sinxx(1)m13572m1xxxx3!5!7!(2m1)!(2m1)!2m1x；x0在與之間，x3）2cos2mxm22cosx1(1)246xxx(2m2)!(2m)!m12xm2!4!6!；0在與之間，xx(1)nxn14）ln(1x)x4(1)n123n(n1)(1)n1xxxxn2341x10在與之間，x5）(1)(n1)x3n!(1)x2(1)(2)(1x)1xxn2!3!第8頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想n1(1)(n)(1)(n1)!xn1，在與之間，1x1.0x（四）單調(diào)性及極值1、單調(diào)性判別法：f(x)0，則f(x)C[a,b]，f(x)D(a,b)，則若f(x)0，則f(x)單f(x)單調(diào)增加；則若調(diào)減少。2、極值及其判定定理：a)必要條件：()在可導(dǎo)，若為()的極值點(diǎn)，則x0xfx0fxf(x)0.0f(x)xb)第一充分條件：在的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則f(x)000①若當(dāng)xx0xx0fx時(shí)，()0，當(dāng)時(shí)，()0，則x0fx為極大值點(diǎn)；②若當(dāng)xx0xx0fx時(shí)，()0，當(dāng)時(shí)，f(x)不變f(x)0，則為極小值點(diǎn)；③若在的兩側(cè)x0x0號(hào)，則不是極值點(diǎn)。x0f(x)xc)第二充分條件：在處二階可導(dǎo)，且f(x)0，00f(x)0，則00①若()0，則為極大值點(diǎn)；②若()0，則fxfxx0x00為極小值點(diǎn)。第9頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)xx)f(x)f(x)，I1）f(x)在區(qū)間上連續(xù)，若x,xI,f(12122212I則稱在區(qū)間上的圖形是凹的；若f(x)xx2)f(x)f(x)I，則稱f(x)在區(qū)間上的圖x,xI,f(1122212形是凸的。2）判定定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a)若x(a,b),f(x)0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；b)若x(a,b),f(x)0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。I3）拐點(diǎn)：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是yf(x)()的內(nèi)點(diǎn)，如果曲fxx0線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x,f(x))時(shí)，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)yf(x)00(x,f(x))為曲線的拐點(diǎn)。00（五）不等式證明1、利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值（最值）。（六）方程根的討論第10頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想1、連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、Rolle定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性。（七）漸近線1、鉛直漸近線：limf(x)，則xa為一條鉛直漸近線；xa2、水平漸近線：fxb，則為一條水平漸近線；lim()ybxlimf(x)xklim[f(x)kx]b存在，則x3、斜漸近線：xykxb為一條斜漸近線。（八）圖形描繪步驟:1.確定函數(shù)yf(x)的定義域，并考察其對(duì)稱性及周期性；()為零和不存在的點(diǎn)；2.求f(x),f(x)()并求出fx及fx3.列表判別函數(shù)的增減及曲線的凹向,求出極值和拐點(diǎn);4.求漸近線;5.確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.第11頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想第四章不定積分（一）概念和性質(zhì)I1、原函數(shù)：在區(qū)間上，若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且F(x)f(x)，則()稱為()的一個(gè)原函數(shù)。FxfxI2、不定積分：在區(qū)間上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為()在區(qū)間上的不定積分。fxI3、基本積分表（P188，13個(gè)公式）；4、性質(zhì)（線性性）。（二）換元積分法1、第一類換元法（湊微分）：f[(x)](x)dxf(u)duu(x)2、第二類換元法（變量代換）：f(x)dxf[(t)](t)dtt1(x)（三）分部積分法：udvuvvdu（四）有理函數(shù)積分第12頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育1、“拆”；永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想2、變量代換（三角代換、倒代換等）。第五章定積分（一）概念與性質(zhì)：nf()xiibf(x)dxlim1、定義：0i1a2、性質(zhì)：（7條）fx性質(zhì)7（積分中值定理）函數(shù)()在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則（平均值：bf(x)dxf()(ba)[a,b]，使abf(x)dxf()）aba（二）微積分基本公式（N—L公式）1、變上限積分：設(shè)(x)xf(t)dt，則xfx()()ad(x)f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)推廣：dx(x)2、N—L公式：若F(x)fx為()的一個(gè)原函數(shù)，則第13頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想bf(x)dxF(b)F(a)a（三）換元法和分部積分fttt[()]()dfxdx()1、換元法：babudvuvbbvdu2、分部積分法：aaa（四）反常積分1、無(wú)窮積分：f(x)dxlimtf(x)dxtaaf(x)dxlimbf(x)dxbttf(x)dx0f(x)dxf(x)dx02、瑕積分：bf(x)dxlimbf(x)dx（a為瑕點(diǎn)）taatbf(x)dxlimtf(x)dx（b為瑕點(diǎn)）tbaa兩個(gè)重要的反常積分：第14頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想,p1dxa1p,p1p11)xpa(ba)1q1q,q1dx(xa)dxa(bx)qbb2)qa,q1第六章定積分的應(yīng)用（一）平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)：Ab[f(x)f(x)]dx21a2、極坐標(biāo)：A1[()()]d22212第15頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想（二）體積1、旋轉(zhuǎn)體體積：a)曲邊梯形yf(x),xaxbx,,軸，繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋x轉(zhuǎn)體的體積：Vf2(x)dxbxab)曲邊梯形yf(x),xaxb,x軸，繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋,轉(zhuǎn)體的體積：V2xf(x)dxb（柱殼法）ya2、平行截面面積已知的立體：VbA(x)dxa（三）弧長(zhǎng)1f(x)2dx1、直角坐標(biāo)：sba22dt2、參數(shù)方程：s(t)(t)第16頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想23、極坐標(biāo)：s()()d2第七章微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程。階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。2、解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)。通解：方程的解中含有任意的常數(shù)，且常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同。特解：確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解。（二）變量可分離的方程g(y)dyf(x)dx，兩邊積分g(y)dyf(x)dx（三）齊次型方程dyy()，設(shè)uydyuxdudx；，則dxxxdx第17頁(yè)共19頁(yè)阿樊教育或永不改變年輕時(shí)的夢(mèng)想dxxxdxvydv()，設(shè)vdyy，則ydydy（四）一階線性微分方程dyP(x)yQ(x)dx用常數(shù)變易法或用公式：yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC（五）可降階的高階微分方程1、yfx()，兩邊積分n次；(n)yfxy2、3、(,)（不顯含有y），令yp，則yp；dpyp，則