第一節(jié)一個(gè)概設(shè)x0R且>0,則稱實(shí)數(shù)x||xx0|<}為點(diǎn)x0鄰域記作U(x0,)=U(x0)={x||x?x0|<}={x|x0?<x<x0+=(x0?,x0+ xU(x0,)={x|0<|x?x0|<

xx開區(qū)間(x0x0)稱為點(diǎn)x0的左鄰域開區(qū)間(x0x0)稱為點(diǎn)x0的右鄰域兩個(gè)符邏輯符號(hào)在邏輯推理過程中最常用的兩個(gè)邏輯記“”“任取”或“任意給定.函數(shù)照一定的對(duì)應(yīng)法則f,都有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng),則稱f為定義在D上的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,或稱變量y是變量x的函數(shù).因變

y=

D(f(x 自變記定義y=f(x0)稱為(x 自變記定義Rf或f(D),Rf={y|y=f(x),xD}.注：求函數(shù)的函數(shù)的表示法表格

顯式

y 1x2x2+sin圖形3例1、設(shè)函數(shù)f(x) 3幾個(gè)常出現(xiàn)的具體絕對(duì)值函

y=|xy=|x|=

符號(hào)函

y1O y1Oysgnx

取整函 4示不超過x的最大整 2 -4-3-2- o-112 ---階梯曲狄利克雷yD(x)

當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)y1o無理數(shù)

有理數(shù) 最值函ff(xg(xo

ff(xg(xo 分段函的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例 2x x y= f(x)

x3x2, x 1f(x)2

1

1x 3x2, xx2 xf(x)max{x,x2} 0xx2 x復(fù)合函，則稱y=f[(x)]為x的復(fù)合函數(shù)uy=fuu=(x)=2x2(x)(x)

Df=[1,R=(,33x注：不是任何兩個(gè)函數(shù)都可復(fù)合1x2例3、設(shè)x0，函數(shù)值f(1)x1x2xyfx)x0)的解析表達(dá)式分析

1 1111 1f(x)1x

(x222

x) 1x4)

f(x)dx x【分析】f(x ) 1

1 (1x)2x f(x)dx 2 dx1ln(x2

221ln

x2 例5（1990-1,2）設(shè)fx) (A (B

f[fx)]11(C

1,0,

(D

0,1,

答案2 x

x2

6、gx)

x

x0,f(x)

x2x2x22xx2x22xx2x2x2x2x2x2x 2f(x),f(x)

2(

x 2x2

xg[f(x)]

f(x)2,f(x)0

2x2 x

2

x 答案7、(1988-1,2)fxsinx,f[x1x2則(x) ，(x)的定義域 【分析】sinx)1x22(x)arcsin(1x2)2x1

1

x 2.反函y函數(shù)y f(xyyox0xx定義y=f(x)是定義在D(f)上的一個(gè)函數(shù),值域?yàn)镽f如果yRf通過yf(x)只有唯一確定的值xD(f)與它對(duì)應(yīng),其對(duì)應(yīng)規(guī)則記為f?1,這個(gè)定義在Rfx=fy函數(shù)y f(xyyox0xxxf?1(y改寫yfyf?1(x)是yf的反函數(shù) 注：f?1[f(x)]=f[f 反函數(shù)yfyQ(b,a)O

原函數(shù)y=fP(a,x反函數(shù)存在求反函數(shù)的步從方y(tǒng)=f(x)中用y表示x得xf互換上表達(dá)式xyyf求原函數(shù)的值域得反函數(shù)的定義域例8、求雙曲正弦函數(shù)y

shx

exex的反函數(shù)11x2yln(x 初等函基本初等常函y (c為常數(shù)冪函yx(為常數(shù)

yx

ycycox1o

y (1,1 指數(shù)函

y=a (a>0,ay(1)a

y=ayye(0,1 對(duì)數(shù)函y

y=logax(a>0,ay=loga(1,0O

yylnylog1a三角函 正弦函數(shù)y 2yyyy132O232252x

3 2

3 2 2正切函數(shù)y

余切函數(shù)y3y322O232xy2O2322 y2y2201x22反正弦函y=Arcsinx主值y=arcsinx定義域[1,1]值522y522y3220 22主值yarccos定義域[1值 [0,y2Ox2反y2Ox2x主值:( .值 2y2Oxx主值y2Ox定義域:(?值域:(0,初等函由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算(1ln(3x用一個(gè)式子表1ln(3x2y23sin(ex13sin(ex12f(x)

ln(1

x21)

都是初等函數(shù)Fxy0,若對(duì)xD,y滿足Fxy0x相對(duì)應(yīng),yxyyx稱為由Fx,y)0所確定的隱函數(shù).參數(shù)方程確定的x(t),由y(t),冪指函

t 確定的函數(shù)y=f(x) axbyux)vxux0冪指函數(shù)的討論常利用恒等式ux)vx)ev(xlnux)函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈區(qū)間ID如果x1x2I當(dāng)x1<x2時(shí)恒f(x1)<f(x2)

[單調(diào)減少 y f(xf(x2f(x1 x x I

y f(xf(x1f(x2 x x I判別方方法二：利用導(dǎo)數(shù)：對(duì)可導(dǎo)yfxyfx)，方法三：利用單調(diào)函數(shù)復(fù)合的性函數(shù)的奇偶性f(?x)=f(x)[f(?x)=?f(x)則稱函數(shù)f(y)為偶函數(shù)[奇函

f(x)x

y f(xf(x x

偶函數(shù)的圖 奇函數(shù)的圖判別方法f(xfx（fxfx是偶（方法二：利用運(yùn)算性質(zhì)例9判別下列函數(shù)的奇偶性yln(x x 1)例10若g(x)在(- ,+ )內(nèi)恒有g(shù)(x+y)=g(x)+g(y),試函數(shù)的周期性l使得對(duì)xD(xl)D且總f(x+l)=f則稱f(x)是周期函數(shù)l稱為f(x)的周期y32

3 2通常稱周期

方法一：fxTfxfx是以T為周期的f(xT)f( f((xT))f(xT)f(x)如，由sinxcosx2|sinx|,|cosx|,sin2x,cos2x的周期為由tan cotx的周期為，推知|tanx |cotx|的周期為

x cot2

的周期為2函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镈,若ID,M>0,對(duì)xI, 成立,則稱函數(shù)f(x)在I上有界.否則稱 xxxo有界 判別方法方法一：直接法：定義本身就是判定f(x)是否有界的一種有效方f(x若存在M0，使得|f(x|Mf(x在[a,b連續(xù),f(x在[a,b有界

f(x有界,否若f(x)在(a,b)連續(xù),且 f(x)存在 limf(x)存在,則f(x)(a,b有界．方法三:性質(zhì)

有界+有界=有界,有界 ,有界*有界=有界，有界 =不確12、fxx3x2

f(x)

13xx2xx2 x2xx2x2limfx)limx30,limfx)limx3

xx2

xx213y1sin1在(01 1【解】x

2nπ+

0(n時(shí),y 2

2nπ+

) 例14(1987-2)、

f(x)

xsin

有界函周期函

偶函答案有關(guān)函數(shù)特性的重要特別：fxf(0)f(0)2fx為連續(xù)的偶函數(shù)，x

f(t)dt為奇函數(shù)若f(x)為連續(xù)的奇函數(shù)，則 f(t)dt為偶函數(shù)特別：fx以Tfx0fx0Tfx04fx是以T

T/ f(x)dx

f(x)dxT/T

f(x)dx f(x)dx

f(aaa5、若f(x)為奇函數(shù)，則 f(x)dx0aafx

f(x)dx

f(6、設(shè)fx)(ab內(nèi)連續(xù)