第8講高二數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽專題訓(xùn)練——數(shù)列通項(xiàng)的求法【題型目錄】模塊一：易錯(cuò)試題精選模塊二：培優(yōu)試題精選模塊三：名校競(jìng)賽試題精選【典型例題】模塊一：易錯(cuò)試題精選1．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用累加法得到,代入得到,再利用分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以所?所以.故選：D2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．64 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和的關(guān)系，可推出，.則不等式等價(jià)于，令，只需要即可.根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得出，當(dāng)時(shí)，有最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)滿足.∴，所以.又對(duì)任意，不等式恒成立，∴，對(duì)任意恒成立，即，對(duì)任意恒成立.令，.則只需要即可.，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在遞減，在遞增，而，，.所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.所以，.故選：B.3．已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【答案】C【分析】根據(jù)，可得，從而可證得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，等式兩邊開(kāi)方可得：，即，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C．4．已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由結(jié)合求出，從而求得，由此求出的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得答案．【詳解】各項(xiàng)為正的數(shù)列，，時(shí)，，即，化為：，，，又，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為2．故選：D．5．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，給出以下條件，其中一定可以推出為等比數(shù)列的條件是（

）A． B． C． D．是等比數(shù)列【答案】A【分析】用與的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的判定，即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，已知，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，符合上式所以是通項(xiàng)為的等比數(shù)列，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，已知，所以，，不符合上式所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知，當(dāng)首項(xiàng)為零時(shí)，不符合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知是等比數(shù)列，則設(shè)的通項(xiàng)公式為不符合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.6．如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…．設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的總數(shù)為，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的值可得，由遞推公式即可判斷B；利用累加法可得，再計(jì)算前4項(xiàng)的和即可判斷A；由即可判斷C；利用裂項(xiàng)相消求和法即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，，，……，，以上個(gè)式子累加可得：，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由遞推關(guān)系可知：，所以B錯(cuò)誤；由，可得，C正確；因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤；故選：C.7．（多選題）以下為正奇數(shù)從小到大依次排成的數(shù)陣：13

57

9

1113

15

17

19……第n行有n個(gè)數(shù)，則（

）A．該數(shù)陣第n行第一個(gè)數(shù)為B．該數(shù)陣第n行最后一個(gè)數(shù)為C．該數(shù)陣第n行所有數(shù)的和為D．若數(shù)陣前n行總和不大于2023，則n的最大值為9【答案】AC【分析】正奇數(shù)從小到大為等差數(shù)列，數(shù)陣第n行第一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)m依次為：，則.對(duì)A，第n行第一個(gè)數(shù)為；對(duì)B，第n行最后一個(gè)數(shù)為第行第一個(gè)數(shù)減2；對(duì)C，第n行所有數(shù)的和為首項(xiàng)為該行第一個(gè)數(shù)，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；對(duì)D，數(shù)陣前n行總和為前n行每行所有數(shù)的和相加.【詳解】正奇數(shù)從小到大為等差數(shù)列，數(shù)陣第n行第一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)m依次為：，則.對(duì)A，第n行第一個(gè)數(shù)為，A對(duì)；對(duì)B，第n行最后一個(gè)數(shù)為第行第一個(gè)數(shù)減2，即，B錯(cuò)；對(duì)C，第n行所有數(shù)的和為首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，即，C對(duì)；對(duì)D，由第n行所有數(shù)的和為，則數(shù)陣前n行總和，則有當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)陣前n行總和不大于2023時(shí)n的最大值為8，D錯(cuò).故選：AC8．（多選題）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列D．使的的最大值為15【答案】ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義求出，，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷ABC，再由數(shù)列的求和公式判斷D.【詳解】由可知，，，，即，由等差數(shù)列性質(zhì)知，故A正確；由，所以，故B正確；又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，所以，即數(shù)列為遞減數(shù)列，故C正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：ABC9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_____．【答案】．【分析】由代入已知條件變形后可得是等差數(shù)列（變形前說(shuō)明），求出通項(xiàng)公式后得，從而易得結(jié)論．【詳解】∵，∴，，時(shí)，，又，所以（）．∴由，得，所以是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，∴，，從而．故答案為：．10．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則___________.【答案】【分析】由題意可得，從而得到是等差數(shù)列，進(jìn)一步得，再求出，利用求得＝即可求出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，所以，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，所以，所以，滿足，故，即，所以，兩式相除得，當(dāng)時(shí)也成立，所以，所以，所以.故答案為：.11．已知為數(shù)列的前項(xiàng)積，且，為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足（，）.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出，利用定義法判斷出數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.（2）求出時(shí)，，再驗(yàn)證，均不滿足上式，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（3）證明：由得到，放縮后利用裂項(xiàng)相消法求和即可證明.【詳解】（1）∵，，，，（）而，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，，，均不滿足上式.（3），，當(dāng)時(shí)，，即證.12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的最小整數(shù)．【答案】(1)；(2)5【分析】（1）利用可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后由，得，則，從而可求出，進(jìn)而可求出使得的最小整數(shù)的值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）得，因?yàn)閿?shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)，所以，所以，，所以，所以數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，所以，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)殡S的增大而增大，所以的最小整數(shù)為5.13．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，(1)求(2)求【答案】(1)(2)【分析】(1)先令求出首項(xiàng)，再由數(shù)列的遞推公式，當(dāng)時(shí)，代入并結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求出.(2)由第一問(wèn)的公式，正好利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)抵消即可得出結(jié)果【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，解得，由，代入得，整理后得，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，（2）由(1)可知，，14．設(shè)數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前99項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推式，變形為，由等差數(shù)列定義可證明結(jié)論；利用累加法求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，利用并項(xiàng)求和法，可得答案.【詳解】（1）由已知得，即，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以;（2）,當(dāng)時(shí)，15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由與關(guān)系，等比數(shù)列的定義證明，（2）由放縮法與裂項(xiàng)相消法求和證明，【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，由，則；兩式相減可得，即；所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以，，則，所以16．已知數(shù)列中，，且，其中．(1)求；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，；(2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.【分析】（1）代入序數(shù)，逐項(xiàng)計(jì)算即可求得；（2）根據(jù)，可得，再由利用累加法即可求得，再求即可得解.【詳解】（1），，，，所以，；（2）由，所以，同理，又，所以所以，于是，于是，的通項(xiàng)公式為：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.模塊二：培優(yōu)試題精選1．已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)所給式子化簡(jiǎn)、變形，構(gòu)造新數(shù)列，通過(guò)等比數(shù)列的定義求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用累加法求出，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則，有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以則，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值。比較復(fù)雜的遞推公式求通項(xiàng)公式一般需用構(gòu)造法構(gòu)造來(lái)求，構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式一般而言包括：取倒數(shù)，取對(duì)數(shù)，待定系數(shù)法等,其中待定系數(shù)法較為常見(jiàn).2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，．設(shè)（為非零整數(shù)，），若對(duì)任意，有恒成立，則的值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】在中求得，然后由得遞推關(guān)系，再用替換后相減，結(jié)合得是等差數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，由恒成立，分類討論可得的范圍，從而得結(jié)論．【詳解】由，，又，所以，，又，所以，由得（），相減得，，，所以，所以，再相減得，則，而，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差均為1，所以，，對(duì)任意，有恒成立，則恒成立，，，是奇數(shù)時(shí)，，，∴，為偶數(shù)時(shí)，，，∴，綜上，．又是非零整數(shù)，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：數(shù)列問(wèn)題中已知項(xiàng)與和的關(guān)系時(shí)，一般利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而再求解；在含有的不等式參數(shù)問(wèn)題中，需要利用的奇偶進(jìn)行分類討論化簡(jiǎn)不等式得參數(shù)范圍．3．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).用他的名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．999 B．749 C．499 D．249【答案】A【分析】構(gòu)造法判斷為等比數(shù)列，為常數(shù)列，進(jìn)而可得，再由，結(jié)合新定義有，最后利用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列，則①，由得：，又，所以數(shù)列是常數(shù)列，則②，由①②聯(lián)立得.因?yàn)椋?，即，所以，故，所以，則.故選：A4．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C．180 D．240【答案】D【分析】分別取，，和，，可驗(yàn)證出，利用周期性可驗(yàn)算得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，.，.故選：D5．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

6．（多選題）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（

）A．的值為2B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A.只需令即可得出的值；對(duì)于B.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)前n項(xiàng)和與數(shù)列的關(guān)系即可求出的通項(xiàng)公式，繼而得到的通項(xiàng)公式；對(duì)于C.已知的通項(xiàng)公式，利用遞減數(shù)列定義列式判斷即可；對(duì)于D.化簡(jiǎn)得出數(shù)列，裂項(xiàng)相消即可得出.【詳解】對(duì)于A.，即，故A正確；對(duì)于B.

①，

②，得，，當(dāng)時(shí)，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，B錯(cuò)誤.對(duì)于C.令因?yàn)?，所以，?shù)列為遞減數(shù)列，故C正確對(duì)于D.故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.7．（多選題）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤睿褦?shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立【答案】BCD【分析】利用累加法，分別求出，進(jìn)而分別利用裂項(xiàng)求和法、放縮法，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案.【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到；n=1成立正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到,n=1成立對(duì)于A，，利用裂項(xiàng)求和法：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，解得；令，解得；故B正確；對(duì)于C，，則，整理得，，故C正確；對(duì)于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確；故選：BCD8．（多選題）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】BCD【分析】直接由遞推公式求出即可判斷A選項(xiàng)；分為奇數(shù)或偶數(shù)即可判斷B選項(xiàng)；分為奇數(shù)或偶數(shù)結(jié)合累加法即可判斷C選項(xiàng)；由分組求和法即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，則，，可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；對(duì)于C，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，累加可得，時(shí)也符合；當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)，累加可得；則，C正確；對(duì)于D，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，又，，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用題目中的遞推關(guān)系式，分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況來(lái)考慮，同時(shí)借助累加法即可求出通項(xiàng)，再結(jié)合分組求和法以及等差數(shù)列求和公式即可求得前項(xiàng)和，使問(wèn)題得以解決.9．（多選題）設(shè)正數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系先求出公式，再求出的通項(xiàng)公式，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】依題意，解得，，并且，，代入遞推公式得：，化簡(jiǎn)得：，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，，當(dāng)n=1時(shí)，也成立，，

，

，經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)，也成立，；對(duì)于A，，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BD.10．某校電子閱覽系統(tǒng)的登錄碼由學(xué)生的屆別+班級(jí)+學(xué)號(hào)+特別碼構(gòu)成．這個(gè)特別碼與如圖數(shù)表有關(guān)，數(shù)表構(gòu)成規(guī)律是：第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，下一行數(shù)由前一行每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)的和寫(xiě)在這兩個(gè)數(shù)正中間下方得到．以此類推，特別碼是學(xué)生屆別數(shù)對(duì)應(yīng)表中相應(yīng)行的自左向右第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，如：屆班號(hào)學(xué)生的登陸碼為．（為表中第行第一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字）．則屆班號(hào)學(xué)生的登錄碼為_(kāi)_________．【答案】【分析】設(shè)第第一個(gè)數(shù)為，則，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得，計(jì)算出的個(gè)位數(shù)，即可得解.【詳解】注意到，第行的前兩個(gè)數(shù)之差為，設(shè)第第一個(gè)數(shù)為，則，等式兩邊同時(shí)除以可得，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，所以，，，的個(gè)位數(shù)為：、、、、、的規(guī)律，所以，的個(gè)位數(shù)呈周期性變化，且周期為，，即的個(gè)位數(shù)為，故的個(gè)位數(shù)為，因此，屆班號(hào)學(xué)生的登錄碼為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，即在等式兩邊同時(shí)除以，可得出，利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.11．設(shè)正整數(shù)，其中，記，當(dāng)時(shí)，___________（用含的代數(shù)式表示）.【答案】【分析】首先根據(jù)前項(xiàng)和和通項(xiàng)之間的關(guān)系可得，再根據(jù)即可求得，再利用累加法即可得解.【詳解】，又，所以，同理，，所以，，所以，，所以.，所以，又，所以.故答案為：12．在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，如果對(duì)任意的有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)和與的關(guān)系即可求出的通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)不等式，討論為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的情況，繼而求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）通過(guò)數(shù)列的遞推公式構(gòu)造數(shù)列，通過(guò)研究新數(shù)列來(lái)證明數(shù)列是等差數(shù)列.【詳解】（1）因此，且由題可知，故是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為：（2）整理可得當(dāng)時(shí)，可得，所以當(dāng)時(shí)，可得，所以所以，故數(shù)的取值范圍是（3），，，，又聯(lián)立解得：，，所以，解得所以數(shù)列是等差數(shù)列13．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求，并確定最小正整數(shù)n，使為整數(shù)．【答案】(1)(2)9【分析】（1）由題意知，所以為等比數(shù)列，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由題設(shè)條件知，為使為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，由此可確定最小正整數(shù)．【詳解】（1）條件可化為，因此為一個(gè)等比數(shù)列，其公比為2，首項(xiàng)為，所以①因，由①式解出②（2）由①式有＝，為使為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)．當(dāng)n＝1，2時(shí)，顯然不為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，只需為整數(shù)，因?yàn)?n－1與3互質(zhì)，所以n為9的整數(shù)倍．當(dāng)n＝9時(shí)，＝13為整數(shù)，故n的最小值為9．14．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，證明是等差數(shù)列；(3)證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知條件變形可得出，令可求得的值，令，由可得，兩式作差結(jié)合等差中項(xiàng)法可證得結(jié)論成立；（3）推導(dǎo)出，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，則且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為，，.（2）解：對(duì)任意的，，所以，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，即，所以，，故，化簡(jiǎn)可得，因此，數(shù)列為等差數(shù)列.（3）解：，所以，，，所以，.因此，對(duì)任意的，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的第（3）問(wèn)的關(guān)鍵在于利用放縮法推導(dǎo)出，再利用數(shù)列求和結(jié)合不等式進(jìn)行推導(dǎo)，從而證得結(jié)論成立.15．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由，可得，令，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求得的通項(xiàng)公式；（2）分且為偶數(shù)和且為奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合并項(xiàng)求和和奇偶分析法，通過(guò)放縮即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由，得，即，令，有，，又，故，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以有，即；（2）證明因?yàn)?，，，?dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，所以，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，則且為偶數(shù)，由上述證明可知，又因?yàn)?，所以，綜上.16．已知數(shù)列，的各項(xiàng)都是正數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足；數(shù)列滿足，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先根據(jù)條件算出，再算出和；（2）對(duì)于采用分組求和的方法，推出的解析式，再根據(jù)條件，計(jì)算不等式，確定的范圍.（1）依題意，根據(jù)，得，又，，得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以，，又因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，所以，解得或（舍去），所以；（2）由題意可知，，；由已知可得，設(shè)的前項(xiàng)和中，奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，所以，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，由，得，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)一切偶數(shù)成立，當(dāng)時(shí)，為最小值，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)一切奇數(shù)成立，當(dāng)時(shí)為最大值，所以此時(shí)，故對(duì)一切恒成立，則．綜上，，，的取值范圍是.17．已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+bn＝1．(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；(2)如果cn＝anbn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，是否存在正整數(shù)n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)存在，2【分析】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，用公差與表示出來(lái)后，由已知求得，可得通項(xiàng)公式，數(shù)列是已知與的關(guān)系，可由求得，再由當(dāng)時(shí)，得到，從而知是等比數(shù)列，由此可得通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是由等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘所得，其前項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求得，由（1）得出，作差，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)都有，因此得到結(jié)論．（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，∵a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比數(shù)列，∴，即，解得（舍去）或，所以，由2Sn+bn＝1，得，當(dāng)n＝1時(shí)，2S1+b1＝1，解得，當(dāng)n≥2時(shí)，，所以，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）知，，所以①則②①-②得，，所以，又．所以，因?yàn)椋?，即，所以是遞增數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，即，故所求的正整數(shù)n存在，其最小值是2.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)_________；設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_________．【答案】

【分析】先由題設(shè)條件得到是等差數(shù)列，從而求得，由此可得，進(jìn)而得到，再利用裂項(xiàng)相消法即可求得.【詳解】因?yàn)?，且，則，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足，所以，所以，故.故答案為：；.模塊三：名校競(jìng)賽試題精選1．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______．【答案】4046【分析】根據(jù)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，又，所以，所以數(shù)列得奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以4為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以.故答案為：4046.2．正整數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和是，則的最小值是__________．【答案】【詳解】解析：，.而，故，故，.所以，由于是正整數(shù)，所以的最小值是．故答案為：.3．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，且求．【答案】【詳解】若n為偶數(shù)，則，即，所以，于是．故．若n為奇數(shù)，則，即，所以．于是，；故答案為：.4．設(shè)，，若，則的值為_(kāi)__________．【答案】6【詳解】解析：因?yàn)?，累乘可得原式，則，故，從而可得，則，且，在的值為6，9，18，故，．故．故答案為：6.5．已知數(shù)列：，，那么是該數(shù)列的第____________項(xiàng).【答案】1553【分析】先將已知數(shù)列進(jìn)行分組，再確定所在組數(shù)，最后根據(jù)各組項(xiàng)數(shù)以及所在組位置求結(jié)果.【詳解】依題意知，可將已知數(shù)列進(jìn)行分組，第一組為；第二組為；第三組為；；第n組為.又，故分?jǐn)?shù)在數(shù)列第7組.下面我們計(jì)算數(shù)列分組后，前6組中共有數(shù)列(項(xiàng)).又為數(shù)列第7組的第1010位，所以分?jǐn)?shù)為數(shù)列的第543+1010項(xiàng)，即第1553項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和以及找數(shù)列規(guī)律，考查基本分析與求解能力，屬中檔題.6．在數(shù)列{an}中，已知，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________.【答案】【分析】將兩邊同時(shí)減去，得，構(gòu)造新的等比數(shù)列，然后將的各項(xiàng)疊加即可.【詳解】解：將兩邊同時(shí)減去得，，，即是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為2，公比為2，所以，從而當(dāng)n≥2時(shí)，.又，故故答案為：.【點(diǎn)睛】考查已知遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)，這種題一般是通過(guò)構(gòu)造新的等比數(shù)列或等差數(shù)列，再借助于累加或累乘解決，基礎(chǔ)題.7．已知數(shù)列，，記為的前項(xiàng)和，，記，，為的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)，使得恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)1【分析】(1)利用與之間的關(guān)系以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；(2)結(jié)合(1)中條件求出，然后利用裂項(xiàng)相消法求，進(jìn)而即可得到答案.（1）當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?/p>

①，所以當(dāng)時(shí)，

②，由①②相減可得，，故是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式：.（2）結(jié)合(1)中結(jié)論可得，，從而，故，因?yàn)楫?dāng)趨于正無(wú)窮時(shí)，接近于1，所以由恒成立可知，.從而的最小值為1.8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由即可得到，再由等比數(shù)列的定義即可得證；（2）由（1）可得，即可得到，再用錯(cuò)位相減法求和，即可得證；【詳解】解：（1）因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，②；①減②得，所以，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可得，又，所以，所以①，②，①減②得：所以【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式證明數(shù)列為