第9章曲線曲面的表示第9章曲線曲面的表示

曲線曲面的表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容之一。它是描述物體的外型，建立所畫對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的有力工具。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，常用的曲線曲面的類型有Bézier曲線曲面、B樣條曲線曲面、孔斯曲面以及它們的有理形式，這些曲線曲面采用分段和分片參數(shù)多項(xiàng)式的形式，具有適合計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)。本章主要討論曲線曲面的基礎(chǔ)知識(shí)、Bézier和B樣條曲線曲面以及Coons曲面的重要性質(zhì)及其應(yīng)用。9.1曲線曲面的基礎(chǔ)知識(shí)9.1.1曲線的表示

曲線曲面的表示形式有參數(shù)表示和非參數(shù)表示。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，曲線曲面一般采用參數(shù)形式表示。

曲線的顯式表示：對(duì)于一條曲線，一個(gè)坐標(biāo)變量能夠顯式地表示為另一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)。如：

缺點(diǎn)：①顯式方程不能表示封閉曲線或多值曲線；②與坐標(biāo)系相關(guān)；③描述切線與坐標(biāo)軸垂直的曲線很困難，困難在于不能表示無(wú)窮大的斜率。

1、非參數(shù)表示（1）顯式表示（2）隱式表示用隱式的非參數(shù)方程可以表示多值曲線，平面曲線隱式表示的一般形式為；三維空間曲線的隱式表示式為。曲線的隱式表示也存在問(wèn)題：1）非平面曲線是兩張空間曲面的交線，既不直觀也不利于計(jì)算和編程；2）給定方程的解可能比我們想的要多；3）表示部分曲線麻煩；4）用隱式方程定義的曲線段在做連接時(shí)，很難直觀地確定它們的切線方向在連接點(diǎn)上是否相等，而在很多應(yīng)用中切向連續(xù)是構(gòu)造光滑曲線的基本要求。

非參數(shù)形式的共同優(yōu)點(diǎn)是很容易判斷一個(gè)點(diǎn)是位于曲線哪一側(cè)，曲線的法線也容易計(jì)算。2、參數(shù)表示

曲線的參數(shù)：指將曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)變量分別顯式地表示成參數(shù)的函數(shù)。若取參數(shù)為t，則曲線的參數(shù)表示為

其中，和分別為t的顯式函數(shù)。

最簡(jiǎn)單的參數(shù)曲線是直線。連接點(diǎn)和的直線段的參數(shù)方程為一條曲線的參數(shù)表示形式并不是惟一的。

在曲線曲面的表示上，參數(shù)表示比非參數(shù)表示更優(yōu)越。

①參數(shù)方程的形式不依賴于坐標(biāo)系的選取，具有形狀不變性；②在參數(shù)表示中，變化率以切矢量來(lái)表示，不會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮大的情況；③對(duì)參數(shù)表示的曲線、曲面進(jìn)行平移、放縮和旋轉(zhuǎn)等幾何變換比較容易；④用參數(shù)表示的曲線曲面的交互能力強(qiáng)，參數(shù)表示式中系數(shù)的幾何意義明確，并且提高了自由度，便于控制形狀。2、參數(shù)表示9.1.2參數(shù)曲線的多項(xiàng)式表示將上式改寫成矢量的形式其中，是多項(xiàng)式系數(shù)矢量。1、冪基數(shù)表示

采用冪基數(shù)表示的三次參數(shù)多項(xiàng)式，由于多項(xiàng)式系數(shù)矢量并沒(méi)有反映出曲線的幾何性質(zhì)，因此這種表示方法用于交互設(shè)計(jì)很不方便。

（9.2）2、Hermite表示形式

對(duì)于三次多項(xiàng)式曲線，常采用四個(gè)幾何條件進(jìn)行描述。如果采用Hermite表示形式，則四個(gè)條件是：兩端點(diǎn)的位置和以及兩端點(diǎn)的切矢量和，易知，，A2和A3由下列方程確定

把的值代入式(9.2)，則有

其中為[0,1]區(qū)間上的三次Hermite基函數(shù)，也可稱為調(diào)和函數(shù)。式(9.3)是參數(shù)曲線的幾何形式，，，為其幾何系數(shù)。

（9.3）（9.4）2、Hermite表示形式

式(9.2)和(9.3)寫成矩陣形式分別是其中和分別表示矩陣A和B的轉(zhuǎn)置利用式(9.5)及矩陣運(yùn)算就可得到三次參數(shù)多項(xiàng)式曲線的冪基數(shù)表示和Hermite表示的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

三次參數(shù)多項(xiàng)式曲線的冪基數(shù)表示和Hermite表示是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中兩種很重要的表示形式。（9.5）9.1.3參數(shù)曲線的位置矢量、切矢量、弧長(zhǎng)、曲率1、位置矢量設(shè)和是曲線上的兩點(diǎn)，記，如圖9.3所示。當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)矢量的方向趨近于P點(diǎn)處的切線方向，記為。稱為在t處的導(dǎo)矢，或切矢量。

在三維空間中，曲線的參數(shù)方程為

曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為

2、切矢量P’(t)圖9.3參數(shù)曲線的切矢△PP(t)P(t+△t)yxz

設(shè)表示到的弧長(zhǎng)，由于弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)的極限相同，即3、弧長(zhǎng)

T稱為處切線方向的單位矢量。上式說(shuō)明，如果以弧長(zhǎng)為參數(shù)，曲線在任意點(diǎn)的切矢量為單位矢量。

對(duì)于正則曲線（），從點(diǎn)到點(diǎn)的弧長(zhǎng)定義為所以（9.8）其中是切矢量的長(zhǎng)度。

設(shè)以弧長(zhǎng)s為參數(shù)，曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)處的單位切矢量分別為和，記兩切矢的夾角為，,如圖9.4所示。對(duì)于空間曲線，這兩個(gè)切矢量通常不在同一平面上。記為曲線4、曲率從點(diǎn)到點(diǎn)的長(zhǎng)度(弧長(zhǎng))，通常用與比的絕對(duì)值來(lái)度量弧的彎曲程度。當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的曲率為當(dāng)時(shí)，稱為曲線在點(diǎn)的曲率半徑。圖9.4參數(shù)曲線的曲率T(s+△s)P(s+△s)P(s)T(s)△ΦT(s+△s)△h△TT(s)由于和都是單位長(zhǎng)度，所以圓心角與其對(duì)應(yīng)的圓弧長(zhǎng)(圖9.4)大小相等?；￠L(zhǎng)和的極限相同，因此，所以由式（9.8）知

下面討論以t為參數(shù)時(shí)，曲線的曲率表達(dá)式。因?yàn)?/p>

上式兩段對(duì)t求導(dǎo)，就有由得（9.9）設(shè)是曲線在點(diǎn)t處的單位切矢量，如果則稱方向上的單位矢量N為主法矢量。單位切矢量滿足，兩邊對(duì)t求導(dǎo)得。可見，矢量垂直于T，即主法矢量N和單位切矢量垂直。5、主法矢量和副法矢量

矢量垂直于T和N，把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢，B則稱為單位副法失量。過(guò)曲線上任一點(diǎn)有三個(gè)兩兩垂直的單位矢量T、N、B，它們滿足、、。把通過(guò)且包含處切矢量T和主法矢量N的平面稱之為密切平面，類似地可定義法平面和從切平面。9.1.4參數(shù)曲面及其切平面和法矢量和曲線一樣，曲面也有顯式、隱式和參數(shù)式表示。通常要求參數(shù)曲面的參數(shù)u,v在有限的范圍內(nèi)變化，，稱為單位正方域上的參數(shù)曲面。在單位正方域上的參數(shù)曲面片可表示為

其中，和分別為和的顯式函數(shù)，即

對(duì)GCn(n>0)連續(xù)的參數(shù)曲面，，常用來(lái)描述曲面片幾何性質(zhì)的幾何元素有：

1）角點(diǎn)。四個(gè)角點(diǎn)是：，簡(jiǎn)記為。

2）邊界線。矩形域曲面片的四條邊界線是：3）點(diǎn)處的切矢和切平面。面片在點(diǎn)處具有u向切矢和v向切矢，其中，表示在處沿t方向的一階導(dǎo)矢。4)點(diǎn)處的法矢。曲面片在點(diǎn)處的法矢可表示為。5）在點(diǎn)處的切平面方程為9.1.5參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性

參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性是刻畫曲線曲面性質(zhì)的兩個(gè)重要量。根據(jù)不同應(yīng)用，用來(lái)表示物體外型的曲線曲面應(yīng)該滿足一定的光滑性，即連續(xù)性。

則稱曲線在處是n階參數(shù)連續(xù)的，或稱Cn連續(xù)。若曲線在區(qū)間[0,1]內(nèi)處處是Cn連續(xù)的，則稱該曲線是Cn連續(xù)的。

1、參數(shù)連續(xù)性

如果曲線在處滿足左右n階導(dǎo)數(shù)均存在且相等，即

2、幾何連續(xù)性

幾何連續(xù)性的高低描述參數(shù)曲線的光滑程度。下面給出零到二階幾何連續(xù)的定義,參照?qǐng)D9.6。

1）零階幾何連續(xù)（GC0）:如果曲線在點(diǎn)處滿足位置連續(xù)，即，則稱曲線在處零階幾何連續(xù)（GC0）。3）二階幾何連續(xù)（GC2）:如果曲線在點(diǎn)處滿足GC1連續(xù)，且副法矢量連續(xù)，曲率連續(xù)，即2）一階幾何連續(xù)（GC1）:如果曲線在點(diǎn)處滿足GC0連續(xù)，且切矢量方向相同，即存在常數(shù)，使，則稱曲線在處一階幾何連續(xù)（GC1）。(c)GC2連續(xù)性(b)GC1連續(xù)性(a)GC0連續(xù)性圖9.6曲線的連續(xù)性,則稱曲線在處二階幾何連續(xù)（GC2）。幾何連續(xù)性是獨(dú)立于表示（參數(shù)化）的，即幾何連續(xù)性與選擇的參數(shù)無(wú)關(guān)，只與曲線本身有關(guān)。

根據(jù)上述定義，幾何連續(xù)性和參數(shù)連續(xù)性的關(guān)系如下：

1）如果曲線在處是GC2的，則經(jīng)過(guò)適當(dāng)參數(shù)化，該曲線也是C2的。

2）曲線在處是GC2連續(xù)的充要條件是存在常數(shù)和，使得

取，,式（9.10）就成為C2連續(xù)的條件了。

（9.10）9.2Bézier曲線9.2.1Bézier曲線的定義

在空間給定個(gè)點(diǎn)，稱下列參數(shù)多項(xiàng)式曲線為n次Bézier曲線其中是Bernstein基函數(shù)，即1、Bézier曲線的定義

稱折線為的控制多邊形，稱各點(diǎn)為的控制頂點(diǎn)。（9.11）（9.12）2、Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)

Bernstein基函數(shù)（如圖9.9）具有如下性質(zhì)：1）非負(fù)性

3）對(duì)稱性

2）權(quán)性

圖9.9四個(gè)3次Bernstein基函數(shù)J0,3J1,3J2,3J3,3101t4）導(dǎo)函數(shù),記，，則的導(dǎo)函數(shù)為

5）最大值，在參數(shù)時(shí)，達(dá)到最大值。

6）遞推公式其中。（9.14）9.2.2Bézier曲線的性質(zhì)為了直觀地討論Bézier曲線的性質(zhì)，我們以下面的三次Bézier曲線為例，設(shè)，，和，則由4個(gè)控制頂點(diǎn)生成的三次Bézier曲線為其形狀如圖9.10所示。xyP3(3,0)P0(0,0)P1(1,3)P2(2,4)P(t)圖9.10三次Bézier曲線及控制多邊形（9.16）1）端點(diǎn)的位置Bézier曲線的起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，即

Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。

Bézier曲線在起點(diǎn)處與邊相切，在終點(diǎn)處與邊相切，即

其中。

所以,

，。（9.18）2）端點(diǎn)的切線由(9.14)式得（9.17）3）端點(diǎn)的曲率Bézier曲線在點(diǎn)和處的曲率分別為

（9.19）

Bézier曲線具有仿射不變性，也就是說(shuō)Bézier曲線的形狀和位置僅與它的控制頂點(diǎn)的位置有關(guān)，而與仿射坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。仿射不變性的含義可解釋如下：對(duì)三次Bézier曲線。把經(jīng)仿射變換后在新的坐標(biāo)系中的曲線記為。另一方面，設(shè)4個(gè)控制點(diǎn)經(jīng)仿射變換后在新坐標(biāo)系中分別為，由它們構(gòu)成的3次Bézier曲線記為，仿射不變性的含義是。

4）仿射不變性仿射不變性對(duì)于幾何圖形來(lái)說(shuō)是一種很重要的性質(zhì)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常要做坐標(biāo)變換。如果一條曲線在不同坐標(biāo)系下具有不同的表示形式，會(huì)給圖形處理帶來(lái)很多不便之處。點(diǎn)集的凸包是指包含這些點(diǎn)的最小凸集。由于，且,

，這說(shuō)明對(duì)某個(gè)t值，是各個(gè)控制頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子5）凸包性yxP0P1P3P2P(t)圖9.11Bézier曲線的凸包性依次是（），這意味著Bézier曲線位于其控制頂點(diǎn)的凸包之內(nèi),如圖9.11所示?？刂贫噙呅未笾鹿串嫵隽薆ézier曲線的形狀，因此可以通過(guò)改變控制多邊形的形狀來(lái)改變的形狀，如圖9.12所示,將控制頂點(diǎn)移到處，的形狀發(fā)生了變化。把控制多邊形作為曲線輸入和人機(jī)交互的手段，既直觀又簡(jiǎn)便，因此Bézier曲線有很好的交互性能。

6）交互能力移動(dòng)的第i個(gè)控制頂點(diǎn),將對(duì)上參數(shù)為的點(diǎn) 的影響最大，對(duì)遠(yuǎn)離 的點(diǎn)的影響越來(lái)越小，這種性質(zhì)也稱為擬局部性。這是因?yàn)锽ernstein基函數(shù)的性質(zhì)(5)—最大性，對(duì)，在參數(shù)時(shí)，達(dá)到最大值。

圖9.12Bézier曲線的交互設(shè)計(jì)對(duì)于Bézier曲線，把控制多邊形的終點(diǎn)和起點(diǎn)連接起來(lái)，如果是個(gè)封閉的平面凸多邊形，則Bézier曲線是一段凸的平面曲線，該性質(zhì)稱為Bézier曲線的保凸性，如圖9.13。7）保凸性圖9.13保凸性P(t)對(duì)Bézier曲線的定義公式(9.11)求導(dǎo)，并利用Bernstein基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)遞推公式(9.14)，可得到Bézier曲線的一階導(dǎo)矢如下

其中，稱為向前差分矢量，也就是控制多邊形的邊矢量。

8）Bézier曲線的導(dǎo)矢

（9.20）9.2.3Bézier曲線的幾何作圖

給定了控制多邊形頂點(diǎn),在控制多邊形上以和為端點(diǎn)的第i條邊上找一點(diǎn)，把該邊分成 的比例，則分點(diǎn)為，這3個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)新的3邊形，對(duì)該3邊形重復(fù)上述操作，得到一個(gè)2邊形的頂點(diǎn)，再重復(fù)一次操作后，圖9.14Bézier曲線的作圖過(guò)程P(t)得到一個(gè)單點(diǎn),該點(diǎn)就是式（9.16）Bézier曲線上參數(shù)為t的點(diǎn)。讓t在[0,1]間變動(dòng)，就得到Bézier曲線(9.16)。9.2.4Bézier曲線的拼接

設(shè)和為兩條三次Bézier曲線，根據(jù)不同需要，拼接時(shí)在連接點(diǎn)處需要滿足一定的光滑性要求，這些光滑性要求是：

連續(xù)，還要滿足六點(diǎn)共面；和或同在直線上或位于直線的同側(cè)，且1）GC0連續(xù)：其充要條件是。2）GC1連續(xù)：其充要條件是且和均不為零且同向，即、和三點(diǎn)共線。

3）GC2連續(xù)：其充要條件是和在連接點(diǎn)處達(dá)到GC1圖9.15

GC0,GC1,GC2的連續(xù)條件Q２P2P1Q1P3=Q0d(Q2,P2Q1)d(P1,P2Q1)Q3其中和分別表示點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離，如圖9.15所示。（9.22）根據(jù)以上討論，調(diào)整曲線和，使它們?cè)谶B接處達(dá)到GC2連續(xù)的算法如下：

步驟1:平移控制多邊形使與重合。步驟2:圍繞

點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)控制多邊形，使得與同向。

步驟3:圍繞線段轉(zhuǎn)動(dòng)多邊形，使得落在 所確定的平面內(nèi)，并且與位于直線的同一側(cè)。

步驟4:調(diào)整或使式(9.22)成立。由于使用控制多邊形生成曲線，所以曲線拼接的過(guò)程很直觀，也很容易實(shí)現(xiàn)。另外，因?yàn)楹驮谄春宵c(diǎn)處的曲率大小不一定相同，所以，當(dāng)兩條曲線的曲率不相同時(shí)，GC2拼接至少需要改動(dòng)一條曲線的形狀。9.3雙三次Bézier曲面9.3.1雙三次Bézier曲面的定義

在空間中給定4×4個(gè)點(diǎn),稱以下張量積形式的參數(shù)多項(xiàng)式曲面為3×3（雙三）次的Bézier曲面:，0≤u,v≤1其中分別是3次Bernstein基函數(shù),見式(9.12)。一般稱為的控制頂點(diǎn)，把由和組成的網(wǎng)格稱為的控制網(wǎng)格，記為

。

（9.23）如圖9.16所示。控制網(wǎng)格是對(duì)Bézier曲面的大致形狀的勾畫，是對(duì)的逼近。

雙三次Bézier曲面的矩陣表示形式是：P31P02P30P20P32P00P01P11P21P10P33P12P13P22P23P03P(0,v)圖9.16Bézier曲面的控制網(wǎng)格P(u,0)9.3.2雙三次Bézier曲面的性質(zhì)

控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)P00,P03,P30,P33是曲面的四個(gè)端點(diǎn)，如圖9.16所示。由式(9.23)可得

的四條邊界線，，和是Bézier曲線，它們分別以，，， 為控制多邊形，如圖9.16所示。

1）端點(diǎn)位置2）邊界線的位置端點(diǎn)的u向切矢和v向切矢分別為和，所以三角形所在的平面在P00點(diǎn)和曲面相切。同理，三角形，，（圖9.16中斜線部分）所在的平面分別在點(diǎn)，，處與曲面 相切。

由端點(diǎn)的切平面知，是在點(diǎn)處的法向；其余各端點(diǎn)，，處法向的情況也類似。3）端點(diǎn)的切平面4）端點(diǎn)的法向曲面位于其控制頂點(diǎn)的凸包內(nèi)，原因與上一節(jié)中曲線凸包性相似。

修改一個(gè)控制頂點(diǎn)時(shí)，曲面上距離它較近的點(diǎn)受影響較大。要改變曲面某部分的形狀，采用人機(jī)交互的手段，只要調(diào)節(jié)相應(yīng)的控制頂點(diǎn)即可。5）凸包性6）仿射不變性

曲面的形狀僅與點(diǎn)的位置有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。7）擬局部性

9.3.3雙三次Bézier曲面的拼接

兩張雙三次Bézier曲面相連接時(shí)，GC0連續(xù)是指在拼接處的邊界曲線相同，GC1連續(xù)是指在公共邊界的每一點(diǎn)上兩曲面的切平面重合。假定兩張要拼接的Bézier曲面的方程為要達(dá)到GC0連續(xù)，需要滿足：,。要達(dá)到GC1，首先要滿足GC0連續(xù)，還要滿足在公共邊界線上法矢量方向連續(xù)，即存在常數(shù),使

該式等價(jià)于上式成立的一個(gè)簡(jiǎn)單充分條件是存在常數(shù)k﹥0也就是說(shuō)，在拼接的邊界上，兩張曲面的控制頂點(diǎn)相同就能保證曲面片GC0拼接，若要達(dá)到GC1拼接，則所有的和， 不僅要方向相同，而且其長(zhǎng)度之比為一常數(shù)，如圖9.17所示。Q11Q12Q13Q03Q02Q01Q00Q10P30P31P32P33P21P20P22P23圖9.17GC1拼合的條件9.3.4實(shí)例

單位三維圓由下式定義

構(gòu)造分片定義的雙三次Bézier曲面逼近該圓。構(gòu)造過(guò)程如下：首先構(gòu)造對(duì)四分之一圓逼近的三次Bézier曲線。令，式(9.6)定義的三次Hermite曲線轉(zhuǎn)換成三次Bézier曲線，得到對(duì)平面上四分之一圓的近似表示為（9.24）三次Bézier曲線(9.25)和其控制頂點(diǎn)如圖9.18所示。這樣四段三次Bézier曲線就可逼近一個(gè)平面整圓。（d,1）（1,d）z(0,1)(1,0)y圖9.18三次Bézier曲線（9.25）下面討論如何構(gòu)造四分之一半圓。由定義知，構(gòu)造雙三次Bézier曲面需要16個(gè)控制頂點(diǎn)。16個(gè)控制頂點(diǎn)按如下方法定義。以圖(9.18)中的z軸為中心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)圖9.18所示的4個(gè)控制頂點(diǎn)0、30、60和90度，依次形成4組控制頂點(diǎn)。第0組控制頂點(diǎn)定義的三次Bézier曲線由(9.25)式定義，第i(i=1,2,3)組控制頂點(diǎn)定義的三次Bézier曲線定義如下由，四條三次Bézier曲線定義的雙三次Bézier曲面如下其中9.4B樣條曲線曲面Bézier曲線是一段整體多項(xiàng)式曲線，它具有許多優(yōu)點(diǎn)，如凸包性、保型性等，但也存在缺點(diǎn)：①缺少局部性，修改某一個(gè)控制頂點(diǎn)將影響整條曲線；②曲線與控制多邊形的逼近程度較差,次數(shù)越高，逼近程度越差；③當(dāng)表示復(fù)雜形狀時(shí)，無(wú)論采用高次曲線還是多段低次曲線，其設(shè)計(jì)過(guò)程都相當(dāng)復(fù)雜。為了克服Bézier曲線的上述缺點(diǎn)，對(duì)它進(jìn)行推廣。Bézier曲線推廣的一個(gè)自然的方法是重新定義基函數(shù)，把整體定義的多項(xiàng)式基函數(shù)改成分段定義的多項(xiàng)式基函數(shù)，使得每個(gè)基函數(shù)所能影響的區(qū)域是有限的，這樣整體Bézier曲線便成為分段多項(xiàng)式曲線。9.4.1B樣條基函數(shù)的定義和性質(zhì)

給定參數(shù)t軸上的一個(gè)分割，≤，，則k階（或k－1次）B樣條基函數(shù)的遞推定義如下這里約定0/0＝0。此處稱為節(jié)點(diǎn)向量，稱為節(jié)點(diǎn)。當(dāng)滿足時(shí)，則稱上式中除和以外的每一節(jié)點(diǎn)為的重節(jié)點(diǎn)。

（9.27）

1階B樣條基函數(shù)如圖9.20所示。由式子（9.27）容易得出2階B樣條基函數(shù)為（為了簡(jiǎn)單，?。?/p>

其形狀如圖9.21所示。

Bi,1(t)Bi+1,1(t)titi+2ti+11Bt圖9.201階B樣條基函數(shù)Bt圖9.212階B樣條基函數(shù)1Bi,2(t)Bi+1,2(t)titi+1ti+2ti+3

3階B樣條基函數(shù)為

其形狀如圖9.22所示。4階B樣條基函數(shù)形狀如圖9.23。ti+3ti+2ti+4圖9.223階B樣條基函數(shù)titi+1tBi,3(t)Bi+1,3(t)1Btiti+1ti+2圖9.234階B樣條基函數(shù)Bi,4(t)ti+3ti+4t1B

4階B樣條基函數(shù)為

由B樣條基函數(shù)的定義知，三次B樣條基函數(shù)具有局部性

即只在區(qū)間中為正，在其它地方的值均為零。

還具有權(quán)性，即

－∞＜t＜＋∞

9.4.2三次B樣條曲線的定義和性質(zhì)

設(shè)為給定的個(gè)空間點(diǎn)，稱下列參數(shù)曲線

P2P0P1Pn圖9.24B樣條曲線及其控制多邊形Pn-1為4階(或3次)B樣條曲線，點(diǎn)集稱為的控制頂點(diǎn)，折線為的控制多邊形，見圖9.24。基函數(shù)只在區(qū)間上不為零，所以曲線在區(qū)間(3≤≤)上的部分只與控制頂點(diǎn)，，和有關(guān)。反過(guò)來(lái)，如果只變動(dòng)某一個(gè)控制頂點(diǎn)(0≤≤)，曲線上只有局部形狀發(fā)生變化（對(duì)應(yīng)于≤≤的那一段曲線），的其他部分均不發(fā)生變動(dòng)。1）局部調(diào)整性2）仿射不變性

B樣條曲線和Bézier曲線一樣，也具有仿射不變性，即曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。

三次B樣條曲線的性質(zhì)：3）分段參數(shù)多項(xiàng)式

在每一區(qū)間(3≤≤)上都是次數(shù)不高于3次的參數(shù)的多項(xiàng)式曲線，所以在上是關(guān)于參數(shù)的分段多項(xiàng)式曲線。

在重節(jié)點(diǎn)(4≤≤)處的連續(xù)階不低于。整條曲線的連續(xù)階不低于，其中表示位于區(qū)間 內(nèi)節(jié)點(diǎn)的最大重?cái)?shù)。

4）連續(xù)性5）凸包性

曲線在區(qū)間(3≤≤)上的部分位于4個(gè)控制頂點(diǎn)，，和的凸包內(nèi)。整條曲線則位于各凸包的并集之內(nèi)，如圖9.25所示。

圖9.253次B樣條曲線的凸包性當(dāng)連接后，如果形成一個(gè)平面凸的閉多邊形，則是一條平面凸曲線，如圖9.26所示。

6）保凸性7）變差縮減性

設(shè)的控制多邊形 是一平面多邊形，則該平面內(nèi)的任意直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。圖9.263次B樣條曲線的保凸性設(shè)計(jì)曲線時(shí)，有時(shí)希望在曲線某一點(diǎn)處形成角點(diǎn)，或?qū)⒛骋欢巫兂梢恢本€段，或要求曲線與某一直線相切。B樣條曲線提供了實(shí)現(xiàn)這些要求的手段。靈活地選擇控制點(diǎn)的位置和節(jié)點(diǎn)的重?cái)?shù)，可形成許多特殊形狀，以滿足設(shè)計(jì)的要求。

8）造型的靈活性

9）導(dǎo)數(shù)曲線

由B樣條基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得到B樣條曲線的導(dǎo)數(shù)曲線為它是一條3階(或2次)B樣條曲線。9.4.3三次均勻B樣條曲線當(dāng)參數(shù)均勻分割時(shí)，空間n+1個(gè)頂點(diǎn)()定義的三次B樣條曲線稱為三次均勻B樣條曲線。本節(jié)考慮由相鄰四個(gè)頂點(diǎn)定義的三次均勻B樣條曲線及其性質(zhì)。

因此可以從的性質(zhì)推知任意的性質(zhì)。由于節(jié)點(diǎn)分布均勻，具有較簡(jiǎn)單的表達(dá)式。

tt4t3t2t1t0B0,4(t)B1,4(t)B2,4(t)t5t6圖9.27三次均勻B樣條基函數(shù)不失一般性，令節(jié)點(diǎn)間隔，。B樣條基函數(shù) 具有如下平移性質(zhì)，如圖9.27所示，

根據(jù)的遞推公式容易得到的公式

示。在圖9.28中，在區(qū)間[t3，t4]上。

圖9.28在，t4t3t2B0,4(t)B1,4(t)B2,4(t)t5B3,4(t)

易知，在區(qū)間上，，如圖9.28所三次均勻B樣條曲線在區(qū)間（）上的矩陣形式是

取參數(shù)變換，則。曲線變?yōu)?/p>

令

則稱為四個(gè)點(diǎn)定義的三次B樣條曲線段的一組基函數(shù)，即對(duì)（9.28）定義的三次B樣條曲線P(t)Pj圖9.29三次B樣條曲線Pj-2Pj-1Pj-3NM上由，，和四點(diǎn)定義的一段曲線可表示成

（9.29）如圖9.29所示。即曲線的起點(diǎn)位于中線的1/3處，終點(diǎn)位于中線的1/3處。1）端點(diǎn)位置矢量2）端點(diǎn)切矢量

曲線在始點(diǎn)處的切矢量平行于的邊，其模長(zhǎng)是該邊長(zhǎng)的1/2；終點(diǎn)處的切矢量平行于的邊，其模長(zhǎng)是該邊長(zhǎng)的1/2。端點(diǎn)切矢量表明，要改變起點(diǎn)處的切矢量只需移動(dòng)和，移動(dòng)不改變處的切矢量，終點(diǎn)處的切矢量也有類似的情況。

由式（9.29）定義的三次B樣條曲線有如下性質(zhì)即曲線在端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)矢量平行于相鄰兩直線邊所形成平行四邊形的對(duì)角線。由于三次B樣條曲線上一段曲線終點(diǎn)處的平行四邊形和下一段曲線在始點(diǎn)處的平行四邊形相同，故三次B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。3）端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)矢量

4）若，，三點(diǎn)共線，均勻三次B樣條曲線將產(chǎn)生拐點(diǎn)。如果，和等距分布，則拐點(diǎn)在處；若，，，四點(diǎn)共線，則變成一條直線段；若，，三點(diǎn)重合，則過(guò)點(diǎn)，巧妙地利用三次B樣條中的頂點(diǎn)重合會(huì)產(chǎn)生所需要的多種曲線。9.4.4三次B樣條曲線的計(jì)算采用著名的deBoor算法計(jì)算，則可大大提高計(jì)算效率。deBoor算法的描述如下：

將t固定在區(qū)間()上，運(yùn)用式(9.27)可將簡(jiǎn)化如下

（9.30）現(xiàn)令

上式將同一條曲線由4階B樣條表示成3階B樣條。反復(fù)運(yùn)用此公式，最終將得到

（9.31）則式（9.30）可表示成于是，的值可以通過(guò)遞推關(guān)系式（9.31）求得。

圖9.30反映的是用deBoor算法從得到的遞推過(guò)程。

P[3]jP[2]jP[2]j-1P[1]jP[1]j-1P[1]j-2Pj-3Pj-2Pj-1Pj圖9.30deBoor算法的遞推關(guān)系圖9.31所示是deBoor算法的的幾何意義，以線段割去角，從多邊形開始經(jīng)過(guò)3層的割角，最后得到上的點(diǎn)。這個(gè)割角過(guò)程比Bézier曲線的割角過(guò)程復(fù)雜。圖9.31三次B樣條曲線的deBoor算法Pj-3Pj-2Pj-1P[1]j-2P[1]j-1P[1]jP[2]j-1P[2]jP[3]jPj9.4.5實(shí)例例1：設(shè)平面給定5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，，，，，相應(yīng)于不同的節(jié)點(diǎn)向量，5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)定義不同的曲線。令表示點(diǎn)到的距離，節(jié)點(diǎn)向量和分別定義如下：其中其中由節(jié)點(diǎn)向量和定義的基函數(shù)分別如圖9.32和9.34所示。圖9.32上的三重節(jié)點(diǎn)基函數(shù)圖9.34

上的三重節(jié)點(diǎn)基函數(shù)相應(yīng)于節(jié)點(diǎn)向量和的三次B樣條曲線分別如圖9.33和9.35所示。

圖9.32和9.33說(shuō)明，對(duì)于相同的控制點(diǎn)，不同的節(jié)點(diǎn)向量生成不同的曲線，即三次B樣條曲線的形狀不僅和控制頂點(diǎn)有關(guān)，還和節(jié)點(diǎn)向量有關(guān)。因此，在有些情況下，可以通過(guò)調(diào)整節(jié)點(diǎn)向量控制曲線的形狀。圖9.35三重節(jié)點(diǎn)的三次B樣條曲線圖9.33三重節(jié)點(diǎn)的三次B樣條曲線

設(shè)

取自一個(gè)圓，

的定義如下由8個(gè)控制點(diǎn)可構(gòu)造一條閉合三次B樣條曲線，該閉合曲線的構(gòu)造過(guò)程如下。定義，和節(jié)點(diǎn)向量定義為

則下式定義的閉合三次B樣條曲線（9.32）圖9.36閉合三次B樣條曲線如圖9.36所示，其中定義在節(jié)點(diǎn)向量(9.32)上。的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，其位置如圖9.36中的符號(hào)“”所示。9.4.6雙三次B樣條曲面的定義和性質(zhì)設(shè)節(jié)點(diǎn)向量,()分別是對(duì)參數(shù)平面的軸和軸的分割，如圖9.37所示。稱下列張量積形式的參數(shù)曲面為階（次）的B樣條曲面其中是空間中給定的(n+1)×(m+1)個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，通常稱為的控制頂點(diǎn)。

與Bézier曲面一樣，B樣條曲面也具有局部調(diào)整性、凸包性、幾何不變性等，它的控制網(wǎng)格也是人機(jī)交互的手段，也可以通過(guò)deBoor算法對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，這些都與B樣條曲線的情況類似。

9.5Coons曲面

Bézier