第三章§3.7利用導數(shù)研究函數(shù)零點題型一數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點例1

(2020·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋2).(1)當a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；當a＝1時，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.當x∈(－∞，－1)時，φ′(x)>0；當x∈(－1，＋∞)時，φ′(x)<0，所以φ(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞時，φ(x)→－∞；x→＋∞時，φ(x)→0，教師備選已知函數(shù)f(x)＝xex＋ex.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；函數(shù)f(x)的定義域為R，且f′(x)＝(x＋2)ex，令f′(x)＝0得x＝－2，則f′(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(－∞，－2)－2(－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞).當x＝－2時，f(x)有極小值為f(－2)＝

，無極大值.(2)討論函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點的個數(shù).令f(x)＝0，得x＝－1，當x<－1時，f(x)<0；當x→＋∞時，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根據(jù)以上信息，畫出f(x)大致圖象如圖所示.函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點的個數(shù)為y＝f(x)的圖象與直線y＝a的交點個數(shù).∴關(guān)于函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零點個數(shù)有如下結(jié)論：思維升華含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可將參數(shù)分離出來后，用x表示參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍.跟蹤訓練1

設函數(shù)f(x)＝lnx＋

，m∈R.(1)當m＝e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求f(x)的極小值；f(x)的定義域為(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝e.當x∈(0，e)時，f′(x)<0；當x∈(e，＋∞)時，f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當x＝e時，f(x)取得極小值f(e)＝2.由題意知則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).當x∈(0,1)時，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當x∈(1，＋∞)時，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.∴x＝1是φ(x)的唯一極值點，且是極大值點，∴x＝1也是φ(x)的最大值點，結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)可知，④當m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點.題型二利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點例2

(12分)(2021·全國甲卷)設函數(shù)f(x)＝a2x2＋ax－3lnx＋1，其中a>0.(1)討論f(x)的單調(diào)性；

[切入點：判斷f′(x)的正負](2)若y＝f(x)的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.[關(guān)鍵點：f(x)>0且f(x)有最小值]教師備選已知函數(shù)f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4.(1)討論f(x)在[－π，π]上的單調(diào)性；f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，試證明h(x)在R上有且僅有三個零點.h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，∴h(x)為偶函數(shù).又∵h(0)＝0，∴x＝0為函數(shù)h(x)的零點.下面討論h(x)在(0，＋∞)上的零點個數(shù)：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝x(x－4sinx)＋4(1－cosx).當x∈[4，＋∞)時，x－4sinx>0,4(1－cosx)≥0，∴h(x)>0，∴h(x)無零點；當x∈(0,4)時，h′(x)＝2x－4xcosx＝2x(1－2cosx)，又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin4－4cos4>0，綜上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零點，又h(0)＝0且h(x)為偶函數(shù)，故h(x)在R上有且僅有三個零點.思維升華利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.跟蹤訓練2

已知函數(shù)f(x)＝

x3－a(x2＋x＋1).(1)若a＝3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；f′(x)＝x2－6x－3.f′(x)>0；(2)證明：f(x)只有一個零點.因為x2＋x＋1>0在R上恒成立，當且僅當x＝0時，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.故g(x)至多有一個零點，從而f(x)至多有一個零點.綜上所述，f(x)只有一個零點.題型三構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點例3

(2021·全國甲卷)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝

(x>0).(1)當a＝2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；令f′(x)<0，(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，當0<x<e時，g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，當x>e時，g′(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，又g(1)＝0，即a的取值范圍為(1，e)∪(e，＋∞).教師備選因為f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化如表所示：x(－∞，－2)－2(－2，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函數(shù)圖象與x軸有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍.由(1)知g(x)＝x2＋3x＋2＋kex－1＝x2＋3x＋1＋kex，由題知需x2＋3x＋1＋kex＝0有三個不同的解，當x∈(－∞，－2)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，當x∈(－2,1)時，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，又當x→－∞時，h(x)→－∞，當x→＋∞時，h(x)→0且h(x)<0，作出函數(shù)h(x)的簡圖如圖，思維升華涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓練3

設函數(shù)f(x)＝

x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，(2)當m≥1時，討論f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).令F(x)＝f(x)－g(x)題中問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù).當m＝1時，F(xiàn)′(x)≤0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，所以F(x)有唯一零點；當m>1時，0<x<1或x>m時，F(xiàn)′(x)<0；1<x<m時，F(xiàn)′(x)>0，所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零點.綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點，即函數(shù)f(x)與g(x)的圖象總有一個交點.KESHIJINGLIAN課時精練基礎保分練1234f(x)的定義域為R，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)，若a>0，當x∈(－∞，0)∪(a，＋∞)時，f′(x)>0，當x∈(0，a)時，f′(x)<0，若a<0，當x∈(－∞，a)∪(0，＋∞)時，f′(x)>0，當x∈(a,0)時，f′(x)<0，綜上，當a>0時，f(x)在(－∞，0)，(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，當a<0時，f(x)在(－∞，a)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(a,0)上單調(diào)遞減.12341234(2)當a＝1時，g(x)＝f(x)－2x＋b，討論g(x)的零點個數(shù).1234令g(x)＝0，則h′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，所以h′(2)＝0，h′(－1)＝0，且當x<－1時，h′(x)<0；1234當－1<x<2時，h′(x)>0；當x>2時，h′(x)<0，如圖，123412342.已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋1)，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝bx－e.(1)求a，b的值；f(x)＝ex(ax＋1)，則f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，∴a＝1，b＝3e.1234(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－3ex－m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.1234g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，函數(shù)g(x)＝ex(x－2)－m有兩個零點，相當于函數(shù)u(x)＝ex·(x－2)的圖象與直線y＝m有兩個交點，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，當x∈(－∞，1)時，u′(x)<0，∴u(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，u′(x)>0，∴u(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當x＝1時，u(x)取得極小值u(1)＝－e.1234又當x→＋∞時，u(x)→＋∞，當x<2時，u(x)<0，∴－e<m<0，∴實數(shù)m的取值范圍為(－e,0).12343.已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).(1)若函數(shù)f(x)在x＝0處取得極值，求實數(shù)a的值，并求此時f(x)在[－2,1]上的最大值；技能提升練1234由f(x)＝ex＋ax－a，得f′(x)＝ex＋a.∵函數(shù)f(x)在x＝0處取得極值，∴f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1.∴當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.1234易知f(x)在[－2,0)上單調(diào)遞減，在(0,1]上單調(diào)遞增，1234(2)若函數(shù)f(x)不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.1234f′(x)＝ex＋a.①當a>0時，f′(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，且當x>1時，f(x)＝ex＋a(x－1)>0，∴函數(shù)f(x)存在零點，不滿足題意.②當a<0時，令f′(x)＝ex＋a＝0，則x＝ln(－a).當x∈(－∞，ln(－a))時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(ln(－a)，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.∴當x＝ln(－a)時，f(x)取得極小值，也是最小值.當x→－∞時，f(x)→＋∞