第六章§6.1數(shù)列的概念考試要求1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).落實主干知識探究核心題型內(nèi)容索引課時精練LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.數(shù)列的定義按照_________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.一定順序2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)_____無窮數(shù)列項數(shù)_____項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1

an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1

an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列有限無限＞＜3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的_______之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.4.數(shù)列的遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.序號n常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.(

)(2)1,1,1,1，…，不能構(gòu)成一個數(shù)列.(

)(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(

)(4)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)√×××√∴通過觀察，我們可以得到如上的規(guī)律，3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.4n－5a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，因為a1也適合上式，所以an＝4n－5.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若2Sn＝3an－3，則a4等于A.27 B.81C.93 D.243√題型一由an與Sn的關(guān)系求通項公式根據(jù)2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，兩式相減得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，當(dāng)n＝1時，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，所以數(shù)列{an}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以a4＝a1q3＝34＝81.(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝_______________.當(dāng)n＝1時，a1＝21＝2.∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

①∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，

②由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，顯然n＝1時不滿足上式，1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則an＝________.教師備選2n＋1當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3適合上式，∴an＝2n＋1.2.已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.－2n－1當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.當(dāng)n≥2時，Sn＝2an＋1，

①Sn－1＝2an－1＋1. ②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首項為a1＝－1，公比為q＝2的等比數(shù)列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.思維升華(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，則an＝_____________.根據(jù)題意，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1.由通項公式與求和公式的關(guān)系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化簡得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.經(jīng)檢驗，當(dāng)n＝1時，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則an＝________________.由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，兩邊同時除以Sn＋1Sn，命題點1累加法例2

在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋

則an等于A.2＋lnn

B.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnn

D.1＋n＋lnn√題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也適合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).命題點2累乘法例3

若數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，則an＝________.教師備選……n·2n－1∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，又an>0，∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0，又a1＝1，∴當(dāng)n≥2時，又n＝1時，a1＝1適合上式，∴an＝n·2n－1.思維升華(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項公式.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，則an＝________.2n－1＋n∵an＋1＝an＋2n－1＋1，∴an＋1－an＝2n－1＋1，∴當(dāng)n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1又∵a1＝2滿足上式，∴an＝2n－1＋n.(2)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且an＋1＋an＝2n·(an＋1－an)(n∈N*)，則an＝________.4n－2由an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，可得(2n－1)an＋1＝(2n＋1)an，＝2(2n－1)＝4n－2，當(dāng)n＝1時，a1＝2也符合上式，所以an＝4n－2.命題點1數(shù)列的單調(diào)性例4

已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√題型三數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則有an＋1－an>0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，即2n＋1>2λ對任意的n∈N*都成立，因此“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.命題點2數(shù)列的周期性例5

數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝

(n∈N*)，則a2023等于A.－2 B.－1C.2 D.√∵數(shù)列{an}滿足a1＝2，可知此數(shù)列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，則a2023＝a1＝2.命題點3數(shù)列的最值例6

已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n＋1)·

則數(shù)列{an}的最大項為A.a8或a9

B.a9或a10C.a10或a11

D.a11或a12√解不等式組可得9≤n≤10.所以數(shù)列{an}的最大項為a9或a10.1.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝

若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為A.(3，＋∞) B.(2，＋∞)C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)√教師備選由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，所以k>3－3n對任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).2.在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋3＝1，則log5a1＋log5a2＋…＋log5a2023等于A.－1 B.0

C.log53

D.4√因為anan＋3＝1，所以an＋3an＋6＝1，所以an＋6＝an，所以{an}是周期為6的周期數(shù)列，所以log5a1＋log5a2＋…＋log5a2023＝log5(a1a2…a2023)＝log5[(a1a2…a6)337·a1]，又因為a1a4＝a2a5＝a3a6＝1，所以a1a2…a6＝1，所以原式＝log5(1337×1)＝log51＝0.思維升華(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.思維升華(3)求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法①函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.√……可以看出四個循環(huán)一次，5當(dāng)n>5時，an>0，且單調(diào)遞減；當(dāng)n≤5時，an<0，且單調(diào)遞減，∴當(dāng)n＝5時，an最小.KESHIJINGLIAN課時精練基礎(chǔ)保分練√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516所以數(shù)列{an}具有周期性，周期為4，因為T4＝a1·a2·a3·a4＝1,2023＝4×505＋3，所以T2023＝(a1a2a3a4)…(a2021a2022a2023)4.若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5等于A.8 B.16 C.32 D.64√12345678910111213141516數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an－1(n∈N*)，則Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，兩式相減得an＝2an－1(n≥2)，由此可得，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，又S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1，令n＝5，得a5＝16.123456789101112131415165.已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則{bn}的前2024項的和為A.0 B.1 C.－5 D.－1√12345678910111213141516∵bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，∴b3＝b2－b1＝－2－1＝－3，b4＝b3－b2＝－1，b5＝b4－b3＝－1－(－3)＝2，b6＝b5－b4＝2－(－1)＝3，b7＝b6－b5＝3－2＝1.∴{bn}是周期為6的周期數(shù)列，且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S2024＝S337×6＋2＝－1.123456789101112131415166.若數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列{an}(n∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的是A.an＝3n

B.an＝n2＋1√1234567891011121314151612345678910111213141516對于A，若an＝3n，則an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不為遞減數(shù)列，故A錯誤；對于B，若an＝n2＋1，則an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}為遞增數(shù)列，故B錯誤；所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故C正確；12345678910111213141516123456789101112131415167.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，則an＝_______________.12345678910111213141516∵an＋1＝3Sn(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時，a2＝3；當(dāng)n≥2時，an＝3Sn－1，∴an＋1－an＝3an，得an＋1＝4an，∴數(shù)列{an}從第二項起為等比數(shù)列，當(dāng)n≥2時，an＝3·4n－2，8.(2022·臨沂模擬)已知an＝n2＋λn，且對于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是____________.12345678910111213141516(－3，＋∞)因為{an}是遞增數(shù)列，所以對任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1). (*)因為n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.12345678910111213141516解得a2＝3a1＝3，12345678910111213141516(2)求{an}的通項公式.由題設(shè)知當(dāng)n＝1時，a1＝1.1234567891011121314151610.求下列數(shù)列{an}的通項公式.(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，當(dāng)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－112345678910111213141516(2)a1＝1，an＋1＝2nan.12345678910111213141516＝1×2×22×23×…×2n－1當(dāng)n＝1時，a1＝1滿足上式，12345678910111213141516√技能提升練12345678910111213141516解得2<a<3，即實數(shù)a的取值范圍是(2,3).12.數(shù)列{an}中的前n項和Sn＝2n＋2，數(shù)列{log2an}的前n項和為Tn，則T20等于A.190 B.192C.180 D.18212345678910111213141516√當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝21＋2＝4；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－(2n－1＋2)＝2n－2n－1＝2n－1，經(jīng)檢驗a1＝4不滿足上式，12345678910111213141516設(shè)bn＝log2an，123456789101112131415165當(dāng)n≥6時，an<1，由題意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n項乘積的最大值，所以k＝5.123456789101112131415161234567891011121314151615.若數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，則a2023＝______.拓展沖刺練123456789101112131415161因為a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，因此數(shù)列{an}為周期數(shù)列，an＋6＝an，a2023＝a1＝1.(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；1234567891011121314151612345678910111213141516可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.12345678910111213141516(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.12345678910111213141516已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，即a的取值范圍是(－10，－8).本課結(jié)束第六章§6.2等差數(shù)列考試要求1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.落實主干知識探究核心題型內(nèi)容索引課時精練LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第__項起，每一項與它的前一項的差都等于____________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母__表示，定義表達式為_________________________________.(2)等差中項若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝______.2同一個常數(shù)dan－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝____________.(2)前n項和公式：Sn＝_____________或Sn＝__________.3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋________(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則________________.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為____的等差數(shù)列.a1＋(n－1)d(n－m)dak＋al＝am＋anmd(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.常用結(jié)論1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).這里公差d＝2A.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(

)(2)若一個數(shù)列每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(4)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(

)√√×√1.已知等差數(shù)列{an}中，a2＝3，前5項和S5＝10，則數(shù)列{an}的公差為A.－1 B.

C.－2 D.－4√設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S5＝5a3＝10，∴a3＝a2＋d＝2，又∵a2＝3，∴d＝－1.2.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a5＝_____.903.已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3＝2，且S6＝30，則S9＝_____.126TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)(2022·包頭模擬)已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，S4＝24，S9＝99，則a7等于A.13 B.14C.15 D.16√題型一等差數(shù)列基本量的運算(2)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4＝0，a5＝5，則下列結(jié)論正確的有________.(填序號)①a2＋a3＝0；

②an＝2n－5；③Sn＝n(n－4)；

④d＝－2.①②③∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，①正確；a5＝a1＋4d＝5， (*)a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，

(**)∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，②正確，④錯誤；1.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3＝5，S4＝24，則a9等于A.－5 B.－7

C.－9 D.－11教師備選∵a3＝5，S4＝24，∴a1＋2d＝5,4a1＋6d＝24，解得a1＝9，d＝－2，∴an＝11－2n，∴a9＝11－2×9＝－7.√∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，思維升華(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1

(1)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a3＋a6＝24，S6＝48，則下列選項正確的是A.a1＝－2 B.a1＝2C.d＝3 D.d＝－3√(2)(2020·全國Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝______.25設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因為a1＝－2，所以d＝1.例2

(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列

是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.題型二等差數(shù)列的判定與證明①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，①②?③.即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，且a1＝d2滿足上式，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.②③?①.高考改編當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，當(dāng)n＝1時，上式也成立，所以an＝3n－2.教師備選(2022·煙臺模擬)已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，記bn＝log2(an＋1).(1)判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；{bn}是等差數(shù)列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，當(dāng)n≥2時，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)∴{bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝

＝2n，∴an＝2n－1.(2)求數(shù)列{an}的通項公式.思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù).(2)等差中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(3)通項公式法：對任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數(shù)).(4)前n項和公式法：對任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).跟蹤訓(xùn)練2

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；由題意可得a2－2a1＝4，則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.所以an＝2n2－n.命題點1

等差數(shù)列項的性質(zhì)例3

(1)已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a3＋a4等于A.6 B.7C.8 D.9√題型三等差數(shù)列的性質(zhì)因為2an＝an－1＋an＋1，所以{an}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a3＋a4＝3＋4＝7.(2)(2022·崇左模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，則S9等于A.225 B.250

C.270

D.300√等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150，解得a5＝30，命題點2

等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例4

(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于A.110 B.150C.210 D.280√因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列.故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因為(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.1.若等差數(shù)列{an}的前15項和S15＝30，則2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3 C.4 D.5√教師備選∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.A.2023 B.－2023 C.4046 D.－4046√∴S2023＝2023×2＝4046.思維升華(1)項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1).②S2n－1＝(2n－1)an.③依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2021·北京){an}和{bn}是兩個等差數(shù)列，其中

(1≤k≤5)為常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，則b3等于A.64 B.128 C.256 D.512√√所以a1＝1，d＝1，KESHIJINGLIAN課時精練1.(2022·信陽模擬)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，則{an}的公差為A.－2 B.2 C.－3 D.3基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516設(shè)公差為d，因為a3＋a9＝2a6＝30，2.(2022·莆田模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足a3＋a6＋a8＋a11＝12，則2a9－a11的值為A.－3 B.3 C.－12 D.12√12345678910111213141516由等差中項的性質(zhì)可得，a3＋a6＋a8＋a11＝4a7＝12，解得a7＝3，∵a7＋a11＝2a9，∴2a9－a11＝a7＝3.√123456789101112131415163.(2022·鐵嶺模擬)中國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有如下問題：今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之(等差數(shù)列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給.則第一等人(得金最多者)得金斤數(shù)是12345678910111213141516由題設(shè)知在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a7＋a8＋a9＋a10＝3.所以3a1＋3d＝4,4a1＋30d＝3，4.(2022·山東省實驗中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319，所有偶數(shù)項之和為290，則該數(shù)列的中間項為A.28 B.29 C.30

D.31√設(shè)等差數(shù)列{an}共有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，該數(shù)列的中間項為an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.123456789101112131415165.等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)首項a1和d變化時，a3＋a8＋a13是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的是A.a11

B.a12 C.S15 D.S16√12345678910111213141516由等差中項的性質(zhì)可得a3＋a8＋a13＝3a8為定值，則a8為定值，6.在等差數(shù)列{an}中，若

<－1，且它的前n項和Sn有最大值，則使Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值是A.15 B.16C.17 D.14√1234567891011121314151612345678910111213141516∵等差數(shù)列{an}的前n項和有最大值，∴等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，∴a9>0，a10<0，且a9＋a10<0，∴使Sn>0成立的正整數(shù)n的最大值是17.123456789101112131415167.(2019·北京)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝___.0設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7，…，該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為_____.8.(2022·新鄉(xiāng)模擬)一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐123456789101112131415165112345678910111213141516設(shè)該數(shù)列為{an}，依題意可知，a5，a6，…成等差數(shù)列，且公差為2，a5＝5，解得n＝12(n＝－8舍去).故最下面三層的塔數(shù)之和為a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51.1234567891011121314151612345678910111213141516因為bn是數(shù)列{Sn}的前n項積，整理可得2bn－1＋1＝2bn，(2)求{an}的通項公式.1234567891011121314151610.在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，∵a1＝8，a4＝2，12345678910111213141516∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則由(1)可得，由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴當(dāng)n>5時，an<0，則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；12345678910111213141516當(dāng)n≤5時，an≥0，則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，11.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m等于A.3B.4C.5D.612345678910111213141516√技能提升練12345678910111213141516∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且前n項和為Sn，解得m＝5，經(jīng)檢驗為原方程的解.12.(2022·濟寧模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，已知S14>0，S15<0，則下列選項不正確的是A.a1>0，d<0B.a7＋a8>0C.S6與S7均為Sn的最大值D.a8<012345678910111213141516√因為S14>0，12345678910111213141516＝7(a1＋a14)＝7(a7＋a8)>0，即a7＋a8>0，因為S15<0，所以a8<0，所以a7>0，所以等差數(shù)列{an}的前7項為正數(shù)，從第8項開始為負(fù)數(shù)，則a1>0，d<0，S7為Sn的最大值.1234567891011121314151613.(2020·新高考全國Ⅰ)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________.123456789101112131415163n2－2n12345678910111213141516方法一(觀察歸納法)數(shù)列{2n－1}的各項為1,3,5,7,9,11,13，…；數(shù)列{3n－2}的各項為1,4,7,10,13，….觀察歸納可知，兩個數(shù)列的公共項為1,7,13，…，是首項為1，公差為6的等差數(shù)列，則an＝1＋6(n－1)＝6n－5.＝3n2－2n.12345678910111213141516方法二(引入?yún)⒆兞糠?令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，則2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必為奇數(shù).令m＝2t－1，則n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.1234567891011121314151614.(2022·東莞東方明珠學(xué)校模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差為d，前n項和為Sn.若Sn≤S8恒成立，則公差d的取值范圍是__________.根據(jù)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn≤S8恒成立，可知a8≥0且a9≤0，所以1＋7d≥0且1＋8d≤0，15.定義向量列a1，a2，a3，…，an從第二項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量(即坐標(biāo)都是常數(shù)的向量)，即an＝an－1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d為常向量，則稱這個向量列{an}為等差向量列.這個常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n項和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}滿足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，則向量列{an}的前n項和Sn＝____________.拓展沖刺練1234567891011121314151612345678910111213141516因為向量線性運算的坐標(biāo)運算，是向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別進行對應(yīng)的線性運算，則等差數(shù)列的性質(zhì)在等差向量列里面也適用，由等差數(shù)列的等差中項的性質(zhì)知2a3＝a2＋a4＝(6,10)，解得a3＝(3,5)，由等差數(shù)列的通項公式可得等差向量列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝(1,1)＋(n－1)(1,2)＝(1,1)＋(n－1,2n－2)＝(1＋n－1,1＋2n－2)＝(n,2n－1)，1234567891011121314151616.在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通項公式；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)設(shè){bn}＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12345678910111213141516所以數(shù)列{bn}的前10項和為1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.本課結(jié)束第六章§6.3等比數(shù)列考試要求1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.落實主干知識探究核心題型內(nèi)容索引課時精練LUOSHIZHUGANZHISHI落實主干知識1.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第__項起，每一項與它的前一項的比都等于___________(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的_____，通常用字母q表示，定義的表達式為_______(n∈N*，q為非零常數(shù)).(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么___叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ab.2同一個常數(shù)公比G2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝_______.(2)前n項和公式：Sn＝

_________________________a1qn－13.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*).(2)對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，則______＝__________.(3)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外).(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為____.am·anqk常用結(jié)論2.等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.3.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)等比數(shù)列的公比q是一個常數(shù)，它可以是任意實數(shù).(

)(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(

)(3)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝

.(

)(4)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.(

)××××√設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∴a4＝a2q2，2.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，則a6＋a8＝___.5∵{an}是等比數(shù)列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，又∵an>0，∴a6＋a8＝5.3.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個數(shù)為____________.1,3,9或9,3,1∴這三個數(shù)為1,3,9或9,3,1.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)(2020·全國Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則

等于A.2n－1 B.2－21－nC.2－2n－1

D.21－n－1題型一等比數(shù)列基本量的運算√方法一設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，方法二設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，將q＝2代入①，解得a3＝4.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2＝6,6a1＋a3＝30，則a4＝________.教師備選a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.54或242.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其前n項和為Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，則a6等于A.－2或32 B.－2或64 C.2或－32 D.2或－64√∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2a6＝－2a7＝a1a7，解得a1＝－2，設(shè)數(shù)列的公比為q，S3＝－6＝－2－2q－2q2，解得q＝－2或q＝1，當(dāng)q＝－2時，則a6＝(－2)6＝64，當(dāng)q＝1時，則a6＝－2.思維升華(1)等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.(2)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2020·全國Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于A.2 B.3 C.4 D.5√a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2為首項，q＝2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2×2n－1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.(2)(2020·新高考全國Ⅱ)已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.①求{an}的通項公式；設(shè){an}的公比為q(q>1).所以{an}的通項公式為an＝2n，n∈N*.②求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1＝(－1)n－122n＋1，故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1例2

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)·an，設(shè)bn＝(1)求b1，b2，b3；題型二等比數(shù)列的判定與證明將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.(3)求{an}的通項公式.所以an＝n·2n－1.教師備選已知各項都為正數(shù)的