重難點(diǎn)06幾何類綜合問題

【命題趨勢(shì)】

幾何綜合題是中考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)題型，也是難點(diǎn)所在.幾何綜合題的難度都比較大，所占分值也比較

重，解答題數(shù)量一般有兩題左右，其中一題一般為三角型、四邊形綜合；另一題通常為圓的綜合；它們?cè)?/p>

試卷中的位置一般都在試卷偏后的位置.只所以幾何綜合題難度大，學(xué)生一般都感覺難做，主要是因?yàn)檫@

種類型問題的綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)或者說考點(diǎn)較多，再加上現(xiàn)在比較熱門的動(dòng)態(tài)問題、最值（范圍）

問題、函數(shù)問題，這就導(dǎo)致了幾何綜合題的難度再次升級(jí)，因此這種題的區(qū)分度較大.所以我們一定要重

視平時(shí)多培養(yǎng)自己的綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，從不同的角度，運(yùn)用不同的知識(shí)去解決同一個(gè)問題.

【滿分技巧】

1.熟練掌握平面幾何知識(shí)：要想解決好有關(guān)幾何綜合題，首先就是要熟練掌握關(guān)于平面幾何的所有知識(shí),

尤其是要重點(diǎn)把握三角形、特殊四邊形、圓及函數(shù)、三角函數(shù)相關(guān)知識(shí).兒何綜合題重點(diǎn)考查的是關(guān)于三

角形、特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）、圓等相關(guān)知識(shí).

2.掌握分析問題的基本方法：分析法、綜合法、“兩頭堵”法：

1）分析法是我們最常用的解決問題的方法，也就是從問題出發(fā)，執(zhí)果索因，去尋找解決問題所需要的條件，

依次向前推，直至已知條件；例如，我們要證明某兩個(gè)三角形全等，先看看要證明全等，需要哪些條件，

哪些條件已知了，還缺少哪些條件，然后再思考要證缺少的條件，又需要哪些條件，依次向前推，直到所

有的條件都已知為止即可.

2）綜合法：即從已知條件出發(fā)經(jīng)過推理得出結(jié)論，適合比較簡(jiǎn)單的問題；

3）“兩頭堵”法：當(dāng)我們用分析法分析到某個(gè)地方，不知道如何向下分析時(shí)，可以從已知條件出發(fā)看看能

得到什么結(jié)論，把分析法與綜合法結(jié)合起來運(yùn)用是我們解決綜合題最常用的辦策略.

3.注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法：對(duì)于幾何綜合題的解決，我們還要注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，這樣會(huì)大大幫助我

們解決問題，或者簡(jiǎn)化我們解決問題的過程，加快我們解決問題的速度，畢竟考場(chǎng)上時(shí)間是非常寶貴的.常

用數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化、類比、歸納等等.

【限時(shí)檢測(cè)】

A卷（建議用時(shí)：90分鐘）

1.（2021?安徽中考真題）在6c1中，NACB=90°,分別過點(diǎn)B,C作N84C平分線的垂線，垂足分別

為點(diǎn)。，E,8c的中點(diǎn)是連接C￡>,MD,ME.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.CD=2MEB.ME!/ABC.BD=CDD.ME=MD

【答案】A

【分析】設(shè)A。、BC交于點(diǎn)H,作麻，4?于點(diǎn)F,連接EF.延長(zhǎng)AC與BO并交于點(diǎn)G.由題意易證

^CAE^FAE（SAS）,從而證明ME為VCBR中位線，HPME//AB,故判斷B正確；又易證

^AGD=^ABD（ASA）,從而證明D為BG中點(diǎn).即利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可求出

CD=BD，故判斷C正確；由NHDM+ZDHM=90°、NHCE+ZCHE=90°和/DHM=ACHE可

證明AHDM=ZHCE.再由AHEM+/EHF=90°、NEHC=NEHF和ZEHC+ZHCE=90°可推

出NHCE=ZHEM,即推出NHDM=N//EM，即MD=ME，故判斷D正確；假設(shè)C￡）=2M￡,

可推出CD=2MD,即可推出NDCM=30°.由于無法確定NDC版的大小，故CD=2ME不一定成立，

故可判斷A錯(cuò)誤.

【詳解】如圖，設(shè)力。、BC交于點(diǎn)H,作彼_LA8于點(diǎn)片連接EF.延長(zhǎng)4c與8。并交于點(diǎn)G.

是4AC的平分線，HF1AB-HC±ACr：.HC^HF,：.AF=AC.

'AF^AC

,在VC4E和AME中，I^CAE-ZFAE,：.ME^FAE(SAS),

AE^AE

:.CE=FE,^AEC=ZAEF=90°,：.C,E、F三點(diǎn)共線，，點(diǎn)E為CF中點(diǎn).

?.?M為BC中點(diǎn)，.;ME為VC3尸中位線，??."E7/A3,故B正確，不符合題意;

ZGAD=ZBAD

?在△AGO和△m￡>中，-AD^AD,：.^AGD=^ABD（ASA）,

ZADG=NADB=90°

：.GD=BD=-BG,即。為8G中點(diǎn).?在ABCG中，NBCG=90°,；.CD=工BG,

22

：.CD=BD,故C正確，不符合題意；

ZHDM+ZDHM=90°,/HCE+/CHE=9Q0,/DHM=/CHE,：./HDM=/HCE.

HF1AB>ME//AB,：.HF工ME，：.ZHEM+/EHF=90。.

?.?4￡）是“4。的平分線，.../即。=/即/..../￡/7。+/"。E=9（）°，AZHCE=ZHEM,

:.ZHDM=/HEMMD=ME，故DiE確，不符合題意；

■:銀餃CD=2ME,：.CD=2MD,：.在R%CDM中,NDCM=30。.

???無法確定NDCM的大小，故原假設(shè)不一定成立，故A錯(cuò)誤，符合題意.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定

和性質(zhì)以及含30。角的直角一角形的性質(zhì)等知識(shí)，較難.正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2021?山東濱州?中考真題）在銳角“5C中，分別以A8和AC為斜邊向的外側(cè)作等腰RhABM和

等腰點(diǎn)。、E、尸分別為邊AB、AC、8C的中點(diǎn)，連接M￡>、MF、FE、FN.根據(jù)題意小明同學(xué)

畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論：①M(fèi)D=FE,②NDMF=4EFN,③FM工FN,④

$“"=3%邊形—其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結(jié)論①，連接。尸，EN,通過

SAS定理證明AMCF絲△FEN判斷結(jié)論②，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)判斷結(jié)論③,

利用相似三角形的判定和性質(zhì)判定結(jié)論④.

【詳解】解：E、F分別為邊AB、AC,BC的中點(diǎn)，且AA8M是等腰直角三角形，

：.DM=^AB,EF=^AB,EF//AB,NMOB=90°,：.DM=EF,NFEC=NBAC,故結(jié)論①正確；

連接。尸，EN,?:D、E、F分別為邊AB、AC、8C的中點(diǎn)，且△ACN是等腰直角三角形,

：.EN=^AC,DF=^AC,DF//AC,NNEC=90°,：.EN=DF,ZBDF=ZBAC,NBDF=NFEC,

：.ZBDF+ZMDH=ZFEC+ZNEC,：.NMDF=/FEN,

MD=EF

在和△FEN中，2MDF=ZFEN,:.4MDFm/\FEN(SAS),：.ZDMF^ZEFN,故結(jié)論②正確;

DF=EN

'：EF//AB,DF//AC,，四邊形AOFE是平行四邊形，:.NDFE=NBAC,

又△MO尸絲△FEN,：.ZDFM=ZENF,：.ZEFN+ZDFM=ZEFN+ZENF=180°-ZFEN

=180°-(NFEC+NNEC)=180°-(ZfiAC+90°)=90°-ZBAC,

：.ZMFN^ZDFE+ZEFN+ZDFM=ZBAC+900-ZBAC=90°,故結(jié)論③正確；

?..)〃?，.?.△(^^△。^，...^:，.?.^^^一㈠4所為則源小，故結(jié)論④錯(cuò)誤，

AB2?A48C—3

...正確的結(jié)論為①②③，共3個(gè)，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角

形中位線定理，題目難度適中，有一定的綜合性，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

3.（2021?四川瀘州市?中考真題）如圖，。。的直徑AB=8,AM,BN是它的兩條切線，OE與。。相切于點(diǎn)

E,并與4M,BN分別相交于。，C兩點(diǎn)，BD,OC相交于點(diǎn)尸，若CC=10,則BF的長(zhǎng)是

10后

9

【答案】A

【分析】過點(diǎn)D作DG±BC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)CO交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,根據(jù)勾股定理求得GC=6,即可得

AD=BG=2,8c=8,再證明△”A。絲△8C0,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得A"=BC=8,即可求得川）=10：

在RSABD中，根據(jù)勾股定理可得8。=2折；證明△OHFSABCF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

DHDF,?加8折

----=-----由此即可求f'j-BF----------

BCBF9

【詳解】過點(diǎn)D作DGLBC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)CO交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

VAM,BN是它的兩條切線，OE與。。相切于點(diǎn)E,J.AD^DE,BC=CE,ND4B=NA8C=90。，

■：DG±BC,四邊形A8GD為矩形，：.AD=BG,AB=DG=i,

在RSDGC中，CD-10）GC=yJClf-DG2=V102-82=6-

\'AD=DE,BC=CE,CD=\0,：.CD=DE+CE=AD+BC=10,

：.AD+BG+GC=10,：.AD=BG=2,BC=CG+BG=S,

；Nr>AB=/A8C=90。，J.AD//BC,:.NAHO=NBCO,NHAO=NCBO,

：04=08,.,.△“AO絲△SCO,：.AH^BC=S,

?：AD=2,：.HD=AH+AD=\0；在RtAABQ中，AD=2,AB=8,

BD=ylAB2+AD2=V82+22=2717-

DHDF

'：AD//HC,:.叢DHFs叢BCF,：.——=——,

BCBF

...3=巫竺，解得，B八生叵.故選A.

8BF9

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線長(zhǎng)定理、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判

定于性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2021?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，在正方形A8CO中，對(duì)角線AC與6。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在BC

的延長(zhǎng)線上，連接。E,點(diǎn)F是。上的中點(diǎn)，連接OF交C。于點(diǎn)G,連接CE,若CE=4,OF=6.則

下列結(jié)論：①Gb=2；②OD=y[iOG；③tanNCDE=g；?ZODF=ZOCF=90°；⑤點(diǎn)D到CF

的距離為座.其中正確的結(jié)論是（）

5

A.①②③④B.①③④⑤C.①@?⑤D.①②④⑤

【答案】C

【分析】由題意易得5c=8,8。=。。=。4=OC,NBDC=45°,/BCD=ZDCE=90°,①由三角形

中位線可進(jìn)行判斷；②由AOOC是等腰直角三角形可進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解；④根據(jù)題意

可直接進(jìn)行求解；⑤過點(diǎn)。作。HLCF,交C尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：；四邊形ABCO是正方形，

二BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,/BCD=ZDCE=90°,ACLBD,

?.?點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，，OF=LBE,OF7/8￡,；O9=6,CE=4,，族=12，則CD=BC=8,

2

CJF]

,JOF//BE,.,.△DGF^ADC￡,；.—-=——=一，Z.GF=2,故①正確；

CDCE2

.?.點(diǎn)G是C。的中點(diǎn)，.?.OGJ_CC,

???/ODC=45。，...△DOC是等腰直角三角形，，。。二夜OG，故②正確；

CE1

VCE=4,CD=8,ZDCE=90°,：.tanZCDE=——=一，故③正確；

CD2

VtanZCDE=-^l,：.ZCDE^45°,：.ZODF^9Q0,故④錯(cuò)誤；

2

過點(diǎn)D作DHLCF,交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，如圖所示：

,點(diǎn)F是C￡>的中點(diǎn)，:.CF=DF,:.NCDE=NDCF,：.tanZCDE=tanZDCF=-

2

設(shè)。H=x，則C〃=2x，在中，X2+4X2=64.解得：尤=±述,

5

：.DH=比，故⑤正確；.?.正確的結(jié)論是①②③⑤；故選C.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相

似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?山東東營(yíng)市?中考真題）如圖，AMC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且

/DBE=30°,過點(diǎn)。、E分別作A&8c的平行線相交于點(diǎn)F,分別交BC、A8于點(diǎn)H、G.現(xiàn)有以下結(jié)

論：①②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)H=g；③AE+CD=&DE;④當(dāng)AE=C￡＞時(shí)，四邊

形BHFG為菱形,其中正確結(jié)論為（）

A.①②③B.①②④C.①?@④D.②③④

【答案】B

【分析】過A作A/，8c垂足為/,然后計(jì)算△4BC的面積即可判定①；先畫出圖形，然后根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可判定②；如圖將ABC。繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AABN,求證NE=DE；再

延長(zhǎng)E4到戶使AP=CD=/W,證得NP=60。，NP=AP=CD,然后討論即可判定③；如圖1,當(dāng)AE=C。時(shí)，

根據(jù)題意求得C”=C力、AG^CH,再證明四邊形8”FG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形.

【詳解】解：如圖1,過A作A/_L8c垂足為/???△45。是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形

ZBAC=ZABC=ZC=60°,Ci=-BC=-：.AI=也SMBC=LA7?BC=！X1X^=^，故①正確；

2222224

如圖2,當(dāng)。與C重合時(shí)；NO8E=30。，4AiSC是等邊三角形；.NDBE=NABE=30。：.DE=AE=工AD=!

22

BGDE]]i

?；GE//BD：.——=——=1；.BG=-AB=-'：GF//BD.BG//DF：.HF=BG=—，故②正確；

AGAE222

如圖3,將△8CO繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A4BN；.Nl=/2,Z5=Z6=60°,AN=CD,BD=BN

'：/3=30”.N2+N4=/1+/4=30"./NBE=N3=30°

又,：BD=BN,BE=BE：.ANBE公ADBE（SAS）：.NE=DE

延長(zhǎng)EA到P使AP=CD=AN'：ZNAP=180o-60°-60o=60°△4VP為等邊三角形，NP=60。，NP=AP=CD

如果AE+C〃=6OE成立，則PE=6NE；需NNEP=90。,但/NEP不一定為90。，故③不成立；

如圖1,當(dāng)AE=CD時(shí)，"：GE//BC：.NAGE=NA8C=60°,/GEA=NC=60°

AZAGE=ZAEG=60°,；.AG=AE同理：CH=CD：.AG=CH

'：BG//FH,GF//BH：.四邊形BHFG是平行四邊形四邊形BHFG為菱形，故④正確.故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)

點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

6.（2021?湖南衡陽市?中考真題）如圖，矩形紙片438,43=4,3。=8,點(diǎn)用、"分別在矩形的邊/1。、

3c上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊上，記為點(diǎn)P,點(diǎn)。落在G處，連接PC,

交MN于點(diǎn)Q,連接CM.下列結(jié)論:①四邊形CMPN是菱形;②點(diǎn)尸與點(diǎn)4重合時(shí)，MN=5；③APQM

的面積S的取值范圍是4?S?5.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

BN

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì),證明出NPMN=ZPNM,PM=PN,通過等量代換，得到PM=CN,

則由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到結(jié)論正確；用勾股定理CN=5,CQ=3AC=2小,由菱形的

性質(zhì)對(duì)角線互相垂直，再用勾股定理求出MN=2QN=2逐；當(dāng)過點(diǎn)。時(shí)，最小面積

S=；S菱形CMPS=；X4X4=4,當(dāng)P點(diǎn)與4點(diǎn)重合時(shí)，S最大為S=；*5*4=5,得出答案.

【詳解】解：①如圖I,

PMPCN,：.ZPMN=ZMNC,?折疊，，ZMNC=NPNM,NC=NP

:./PMN=/PNM,；.PM=PN,：,PM=CN,：.MP〃CN,；.四邊形CNPM為平行四邊形,

???QV=NP,.?.平行四邊形CNPM為菱形，故①正確，符合題意；

②當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，如圖2所示

設(shè)8N=x，則A7V=MC=8-x,在RrAABN中，AB2+BN2=AN2,

即42+》2=（8一》）2,解得：x=3，；.CN=5,ACNAB?+BC2=4/，，CQ=gAC=2g,

又?.?四邊形CNPM為菱形，,AC_LMN,且MN=2QN,：.QN=y]CN2-CQ2=75

:.MN=2QN=2不，故②錯(cuò)誤，不符合題意.

③當(dāng)MN過點(diǎn)。時(shí)，如圖3所示:

圖3

此時(shí)，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則s最小為S=；S菱形CMPS=；X4X4=4,

當(dāng)P點(diǎn)與4點(diǎn)重合時(shí)，CN最長(zhǎng)，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S=4x5x4=5,

4

A4<S<5,故③正確，符合題意.故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、折疊問題、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理

與性質(zhì)定理、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

7.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)。是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段。。上，

連接”并延長(zhǎng)交CO于點(diǎn)E,過點(diǎn)尸作P尸，的交于點(diǎn)尸，連接A尸、EF，AF交BO于G,現(xiàn)有

以下結(jié)論：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB-PD=^BF；④5,痔為定值；⑤

S四邊形P￡FG=S“PG.以上結(jié)論正確的有（填入正確的序號(hào)即可）.

【答案】①②③⑤

【分析】由題意易得/APF=/A2C=/AOE=/C=90。，AD=AB,ZABD=45°,對(duì)于①：易知點(diǎn)A、B、F、P

四點(diǎn)共圓，然后可得/AFP=/48D=45。,則問題可判定;對(duì)于②:把△/!￡￡>繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABH,

則有。E=8”，NDAE=NBAH,然后易得ME/運(yùn)△AHF,則有Ef,則可判定；對(duì)于③：連接4C,在

8P上截取BM=OP,連接AM,易得。8=。￡>,OP=OM,然后易證△AOPS2M8F,進(jìn)而問題可求解：對(duì)于

④：過點(diǎn)A作AMLE尸于點(diǎn)N,則由題意可得AN=A8,若△4EF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問題可

求解；對(duì)于⑤由③可得絲=也，進(jìn)而可得AAPGS/XAFE,然后可得相似比為絲=也，最后根據(jù)相

AF2AF2

似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解.

【詳解】解：；四邊形A8CO是正方形，PFLAP,

ZAPF=ZABC=ZADE=ZC=90°,AD=AB,NA8D=45°,

①?；ZABC+ZAPF=180°,由四邊形內(nèi)角和可得44P+N5EP=180°,

...點(diǎn)4、B、F、P四點(diǎn)共圓,A^AFP=ZABD=45°,

.?.△AP尸是等腰直角三角形，，AP=PF，故①正確：

②把△4EO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△484,如圖所示:

HB

：.DE=BH,ZDAE=ZBAH,ZHAE=90°,AH=AE,/HAF=/EAF=45°.

?：AF=AF,.?.△AEF絲△A/7F(SAS),：.HF=EF,

?；HF=BH+BF，:.DE+BF=EF，故②正確；

③連接AC,在BP上截取8M=/"，連接AM,如圖所示：

對(duì)角線8。的中點(diǎn)，??.OB=OQ,BD1AC,：.OP=OM,ZiAOB是等腰直角三角形，AB=&AO，

由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，.?.NAPO=NAFB,

ZABF=ZAOP=9()°,：.^AOP^/\ABF,二2=絲=理=也，A(9P=—-

BFABAF22

,/BP-DP=BP-BM=PM=20P,PB-PD=QBF，故③正確：

④過點(diǎn)A作ANJ_E尸于點(diǎn)M如圖所示：由②可得/"B=N”MVZABF=ZANF=90°,AF^AF,

：./\ABF^/\ANF(A4S),：.AN=AB,若44E尸的面積為定值，則EF為定值，

?.?點(diǎn)P在線段。。上，...Ef的長(zhǎng)不可能為定值，故④錯(cuò)誤；

⑤由③可得”=立，?：NAFB=NAFN=NAPG,NFAE=NR\G,

AF2

綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握

正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖，正方形ABCZ）的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是邊8C上一點(diǎn)，且8E=3,以點(diǎn)A

為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)尸、G,。尸與AE交于點(diǎn)H.并與0A交于點(diǎn)K,連結(jié)HG、CH.給

7

出下列四個(gè)結(jié)論.（1）”是5K的中點(diǎn)；（2）NGD'HEC；（3）S^HC：S^DHC=9:16;（4）DK=-,

其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

【答案】（1）（3）（4）.

【分析】由正方形的性質(zhì)可證明尸絲&BE,則可推出NA”F=90°,利用垂徑定理即可證明結(jié)論（1）

12

正確；過點(diǎn)、H作MN//AB交BC￥N,交40于山三角形面積計(jì)算公式求出A”=二，再利用矩形的判

定與性質(zhì)證得MG=NE,并根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出三，NH=||，則最后利用銳角

::角函數(shù)證明NMGHH47EN,即可證明結(jié)論（2）錯(cuò)誤；根據(jù)（2）中結(jié)論并利用相似三角形的性質(zhì)求得

AM=!|,即可證明結(jié)論（3）正確；利用（1）所得結(jié)論。K=DE-2切并由勾股定理求出尸再求得

DK,即可證明結(jié)論（4）正確.

【詳解】解：（1）..?四邊形A8CD是正方形，.I4）=AB=4,ZDAF=ZABE=90°.

又?：AF=BE=3,：./\DAF^/\ABE.ZAFD=ZBEA.

VZBEA+ZBAE=90°,：.ZAFD+ZBAE=90°,：.ZAHF=90°,：.AH±FK,：.FH=KH,

即，是FK的中點(diǎn)；故結(jié)論（1）正確；

（2）過點(diǎn)”作MN〃⑷?交8c于M交A。于M,

11.________12

由(1)nAHLFK,^-ADAF=-DFAH.VDF=^AF2+AD2=5^AH=~^

?.?四邊形48CO是正方形，MN//AB.：.ZDAB=ZABC=ZAMN=90°.

二四邊形48MW是矩形.，M/V=AB=4,AM=BN.,：AG=BE,：.AG-AM=BE-BN.即MG=N￡.

VAD//BC,：.ZMAH=ZAEB.'：ZABE=ZAMN=90°,Z,^MAH~ABEA.

12

,即二MH.解得AW=竺.則N〃=4-MH=

AEAB-=~2525

54

?；tanNMGH=也,tanZHEN=—.*:MG=NE,MH豐NH,

MGNE

MGNE

：.——工一.：?4MGH豐/HEN.：.ZDGH^ZCEH.二△"GO與不全等，故結(jié)論(2)錯(cuò)誤;

MHNH

12

(3)???△MW???.絲=粵.即《AM.解得.=已

AEBE~5~=~3~25

由(2)得久AHC=；M〃AG,S^DHC=^DC\AD-AM).

48

SAHGMHAG25XJ9

*''5-DC(AD-AM)~-16:故結(jié)論(3)正確；

DWC4X^4_36^|

(4)由(1)得，H是尸K的中點(diǎn)，ADK=DF-2FH.

由勾股定理得F”=jAF2_A”2132Tm2=、..?.OK=5-2x*=(；故結(jié)論(4)正確.

故答案為：(1)(3)(4).

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的綜合問題，掌握特殊四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?天津中考真題)如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別在

BC,CO的延長(zhǎng)線上，且。七=2,。9=1,G為EF的中點(diǎn)，連接OE,交CD于點(diǎn)H,連接GH,則GH

的長(zhǎng)為.

BCE

【答案】巫

2

【分析】先作輔助線構(gòu)造直角三角形，求出C”和MG的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求解即

可.

【詳解】解:如圖，作。KLBC,垂足為點(diǎn)K,

?.?正方形邊長(zhǎng)為4,：.0K=2,KC=2,：.KC=CE,

：.CH是xOKE的中位線ACH=-OK=l,作GM1.CD,垂足為點(diǎn)M,

2

點(diǎn)為EF中點(diǎn)，是AFCE的中位線，

AGM=-C￡=1,MC=-FC=-（CD+DF）=-x（4+l）=-,:.MH=MC-HC/-1=》,

222'"2''222

在4△MHG中，GHZMH^+MG）=孚'故答案為：羋.

F

4Z）|\

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能作出

輔助線構(gòu)造直角三角形，得到三角形的中位線，利用三角形中位線定理求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，利用勾股定理

解直角三角形等.

10.（2021?江蘇淮安?中考真題）（知識(shí)再現(xiàn)）

學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱HL定理）”

是判定直角三角形全等的特有方法.

（簡(jiǎn)單應(yīng)用）如圖（1）,在中，/8AC=90。，A8=AC,點(diǎn)。、E分別在邊AC、A8上.若CE=BD,

則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是.

A

(拓展延伸)在AABC中，ZBAC=a(90°<?<180°),AB=AC=m,點(diǎn)。在邊AC上.

(1)若點(diǎn)E在邊AB上，且CE=BD,如圖(2)所示，則線段AE與線段4。相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出

證明；如果不相等，請(qǐng)說明理由.

(2)若點(diǎn)E在8A的延長(zhǎng)線上，且CE=BD.試探究線段AE與線段的數(shù)量關(guān)系(用含有。、〃，的式子

表示)，并說明理由.

【答案】【簡(jiǎn)單應(yīng)用】AE=A￡>：【拓展延伸】⑴相等，證明見解析；⑵AE-49=2AC?cos(180°-?),

理由見解析

【分析】簡(jiǎn)單應(yīng)用：證明RfAABD四心AACE(HL),可得結(jié)論.

拓展延伸：(1)結(jié)論：AE^AD.如圖(2)中，過點(diǎn)C作CMJ_8A交8A的延長(zhǎng)線于M,過點(diǎn)N作

C4交C4的延長(zhǎng)線于N.證明△CAMg/\84N(AAS),推出CW=8N,AM=AN,ffiHJlRt^CME^Rt^BND

(HL),推出EM=￡W,可得結(jié)論.

(2)如圖(3)中，結(jié)論：AE-AD=2m*cos(180°-a).在A8上取一點(diǎn)￡,使得BD=CE,WJAD=AE'.過

點(diǎn)C作CT_LAE于T.證明TE=TE',求出AT,可得結(jié)論.

【詳解】簡(jiǎn)單應(yīng)用：解：如圖(1)中，結(jié)論：AE=AD.

圖⑴圖⑵

理由：VZA=ZA=90°,AB=AC,BD=CE,

:.RmABD等Rt^ACE(HL),J.AD^AE.故答案為：AE^AD.

拓展延伸：(1)結(jié)論：AE=AD.

理由：如圖(2)中，過點(diǎn)C作CMLBA交84的延長(zhǎng)線于M,過點(diǎn)N作BNLCA交CA的延長(zhǎng)線于N.

：/M=/N=90。，NCAM=NBAN,CA=BA,

(A4S),:.CM=BN,AM=AN,

■:NM=/N=90°,CE=BD,CM=BN,:.Rt4cME沿RtxBND(HL),:.EM=DN,

?：AM=AN,：.AE=AD.

(2)如圖(3)中，結(jié)論：AE-AD^2m-cos(180°-a).

E

圖(3)

理由：在AB上取一點(diǎn)E，，使得BO=CE,則A￡>=4￡.過點(diǎn)C作CTJ_AE于T.

?：CE=BD,CE=BD,：.CE=CE',"：CTLEE',：.ET=TE',

\"AT-AC,cos(180°-a)—m*cos(180°-a),

：.AE-AD=AE-AE'=2AT=2nrcos（180°-a）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問題.

11.（2021?湖北十堰?中考真題）己知等邊三角形ABC,過A點(diǎn)作4c的垂線/,點(diǎn)P為/上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)

A重合），連接CP,把線段C尸繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到C。，連Q8.

(圖1)(圖3)

（1）如圖1,直接寫出線段”與8。的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸、3在AC同側(cè)且AP=AC時(shí)，求證:

直線總垂直平分線段CQ；（3）如圖3,若等邊三角形A8C的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P、B分別位于直線AC異側(cè),

且AAPQ的面積等于迫，求線段AP的長(zhǎng)度.

4

【答案】（1）AP=8Q；（2）見詳解；⑶小或近或26+叵

333

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，可得CP=CQ,ZACP=ZBCQ,AC=BC,進(jìn)而即可

得到結(jié)論；（2）先證明△BCQ是等腰直角三角形，再求出NCBZX45。，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

即可得到結(jié)論；（3）過點(diǎn)B作BEU,過點(diǎn)。作Q尸，/,根據(jù)aACP/△8CQ,可得AP=8Q,ZCAP=Z

CBQ=90°r設(shè)AP=x,則5Q=x,MQ=x-^y/3,QF=(立，再列出關(guān)于x的方程，即可求解.

332

【詳解】(1)證明：?.?線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到CQ,.工4:傳，/PCQ=60。，

?.,在等邊三角形ABC中，ZACB=f)0°,AC=BC,：.ZACP=ZBCQ,：./\ACP^/\BCQ,：.AP=BQ-

(2)VAP=AC,CA，/,.?.△A8是等腰直角三角形，

.?.△BCQ是等腰直角三角形，ZCBQ=90°,

;在等邊三角形ABC中，AC=AB,NBAC=NA8C=60。，：.AB=AP,/8A片90°-60°=30°,

ZABP=ZAPH=(\80°-30°)+2=75°,NCBD=180°-75°-60°=45°,

...P。平分/CBQ,.?.直線M垂直平分線段CQ：

(3)①當(dāng)點(diǎn)Q在直線上方時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)BQ交/與點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF，/與點(diǎn)尸，

由題意得AC=8C,PC=CQ,ZAC3=NPCQ=60°,

ZACP=ZBCQ,:.^APC^BCQ（SAS'）,:.AP=BQ,NCBQ=NC4P=90°,

■.?ZCAB=ZABC=60°,:.ZBAE=ZABE=30°,

不

■.■AB=AC=4,:.AE=-/.ZBEF=60°,

BSE-t,在心?'0中，QF=^-EQ=~(^-t),

設(shè)=則8。=，，*-4733

至

嗎4迪T)=t，解得f=6或乎，即AP的長(zhǎng)度為6或乎:

S.=-AP.QF=—,2

AAp〃Qn2-4

②當(dāng)點(diǎn)。在直線/下方時(shí)，過點(diǎn)8作8E，/,過點(diǎn)。作。尸，/,

山（1）小題，可知：AACP^ABCQ,：.AP=BQ,NCAP=NCBQ=90。,

,：ZACB=60°,NC4例=90°,；.NAMB=360°-60°-90°-90°=120°,即：N8ME=NQMF=60°,

VZBAE=90°-60o=30°,A8=4,：.BE^-AB=2,：.BM^BE^sm60°=2^^-^->j3,

223

設(shè)4P=x,貝IJ8Q=X,MQ=x-±百,QF=MQxsin60°=（x-±G）x也，

332

?..442。的面積等于正，二!480尸=①，即：；xx（x；6）x更=在，

4242324

解得：x2有+叵或x=2小叵（不合題意，舍去），；.AP=26+叵.

333333

Q

綜上所述，AP的長(zhǎng)為：石或叵或己國(guó)叵.

333

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)

題意畫出圖形，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?遼寧沈陽?中考真題）在AA8c中，=△€?￡中，CE=CD（CE>CA）,BC=CD,ZD=a,

ZACB+ZEC7>180°,點(diǎn)8,C,E不共線，點(diǎn)P為直線OE上一點(diǎn)，且PB=PD.

（1）如圖1,點(diǎn)。在線段BC延長(zhǎng)線上，則,ZABP=,（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,點(diǎn)A,E在直線BC同側(cè)，求證：8尸平分ZA8C；

（3）若NABC=60。，BC=y/3+l,將圖3中的△C￡>E繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)8PLOE時(shí)，直線PC

交80于點(diǎn)G,點(diǎn)M是尸。中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

【答案】（1）180。-%，a；（2）見解析；（3）GM的長(zhǎng)為息工或;.

22

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可.（2）如圖2中，連接8D.證明

NPBC=NCDE=a，可得結(jié)論.（3）分兩種情形：如圖3-1中，設(shè)3P交AC于J.圖3—2中，設(shè)PC交BC

\K,當(dāng)8PJ.PC時(shí)，利用三角形的中位線定理，可得GM=g尸8,求出PB,可得結(jié)論.

【詳解】⑴解：如圖1中,

AB=AC,ZABC=Z.A.CB=2<z,■:PB=PD,Z.PBD—Z.D=a.ZABP=ZABC—Z.PBD=a,

(2)證明：如圖2中，連接BO.

;CB=CD,PB=PD,:.NCBD=NCDB,ZPBD="DB，：.ZPBC=ZPDC=a,

■：ZABC=2a,:.ZABP=ZPBC=a,r.PB平分NA8c.

(3)解：如圖3-1中，設(shè)3尸交AC丁”.

?;BP工PD,BP=PD,.?.AP8O是等腰宜角三角形，

-.CB=CD,PB=即，..PG垂直平分線段BG,..8G=ZX，

?;PM=MD,:.GM=-PB,■,■ZABC=ZACB=60°,

2

.?.Z￡CD=180o-60o=120°,A4C3是等邊三角形，

?：CE=CD,ZCDE=30°,:.NPBC=NPDC=30。,:.NBJC=90°,

■,CJ=-BC=J^-,BJ=>/3CJ=^^-,

222

?:NCPD=NCPJ=45°,：.PJ=JC=J^,:.PB=BJ+PJ=^+2,:.GM.

22

如圖3-2中，設(shè)PC交8c于K,當(dāng)BPJLPC時(shí)，同法可證

D

vZPBC=30%NGPB=ZPBC+ZPCB=45。,；.PCB=/PCD=15。,Z/TCE=120o-15°-15o=90°,

vZE=30o,CE=CB=&T,:.CK=^=1+更,KB=BC-CK=—，

石33

:.PB=BKcos30°=^-x^-=l,:.GM=\PB=\,綜上所述，GM的長(zhǎng)為叵吧或;.

322222

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂宜平分線的性質(zhì)，等腰直角三角

形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

利用特殊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

13.（2021?山西中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在口A3C。

中，BELAD，垂足為E，/為CO的中點(diǎn)，連接￡尸，BF，試猜想E/與6E的數(shù)量關(guān)系，并加以證

明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將口ABC。沿著8尸（尸為CO的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖

②，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',連接。。并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將uABCD沿過點(diǎn)8的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為41使

A'3LCD于點(diǎn)H,折痕交AZ）于點(diǎn)M,連接A'M，交CD于點(diǎn)N.該小組提出一個(gè)問題：若止匕口ABCD

的面積為20,邊長(zhǎng)AB=5,BC=25求圖中陰影部分（四邊形由/M0）的面積.請(qǐng)你思考此問題,

直接寫出結(jié)果.

圖①圖②圖③

【答案】（I）EF=BF；見解析；（2）AG^BG，見解析；（3）

【分析】（D如圖，分別延長(zhǎng)AD，8/相交于點(diǎn)P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD/ABC,根據(jù)平行線

的性質(zhì)可得NP0F=NC，/P=/FBC,利用A4S可證明APO尸嶺居根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

F