課時(shí)2洛倫茲力帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一、洛倫茲力1.定義:運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受的力。2.大小:(1)v∥B時(shí),F=0。(2)v⊥B時(shí),F=qvB。3.方向(1)判定方法:應(yīng)用左手定則,注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。(2)方向特點(diǎn):F⊥B,F⊥v,即F垂直于B,v決定的平面。(注意B和v可以有任意夾角)。由于F始終垂直于v的方向,故洛倫茲力永不做功。二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1.若v∥B,帶電粒子以入射速度v做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。2.若v⊥B,帶電粒子在垂直于磁感線(xiàn)的平面內(nèi),以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3.基本公式(1)向心力公式:qvB=mQUOTEv2r。(2)軌道半徑公式:r=QUOTEmvBq。(3)周期公式:T=QUOTE2πrv=QUOTE2πmqB。(4)頻率公式:f=QUOTE1T=QUOTEBq2πm。(5)角速度公式:ω=QUOTE2πT=2πf=QUOTEBqm。考點(diǎn)一洛倫茲力1.洛倫茲力的特點(diǎn)(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷速度方向和磁場(chǎng)方向確定的平面。(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí),洛倫茲力的方向也隨之變化。(3)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用。(4)用左手定則判斷洛倫茲力的方向,注意分清正、負(fù)電荷。(5)洛倫茲力一定不做功。2.洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn),二者是相同性質(zhì)的力,都是磁場(chǎng)力。(2)安培力可以做功,而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。[典例1]如圖,空間某區(qū)域存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng),電場(chǎng)方向豎直向上(與紙面平行),磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里,三個(gè)帶正電的微粒a,b,c電荷量相等,質(zhì)量分別為ma,mb,mc,已知在該區(qū)域內(nèi),a在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),b在紙面內(nèi)向右做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),c在紙面內(nèi)向左做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。下列選項(xiàng)正確的是()A.ma>mb>mc B.mb>ma>mcC.mc>ma>mb D.mc>mb>ma解析:根據(jù)受力情況和方向分析,有mag=Eq,mbg=Eq+qBv,mcg=Eq-qBv。答案:B變式1:(2017·浙江11月學(xué)考)如圖所示,在兩水平金屬板構(gòu)成的器件中,存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B互相垂直。以某一水平速度進(jìn)入的不計(jì)重力的帶電粒子恰好能沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法正確的是(C)A.粒子一定帶負(fù)電B.粒子的速度大小v=QUOTEBEC.若粒子速度大小改變,粒子將做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)D.若粒子速度大小改變,電場(chǎng)對(duì)粒子的作用力會(huì)發(fā)生變化解析:粒子做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),說(shuō)明豎直方向受力平衡,即qvB=qE,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;假設(shè)粒子帶正電荷,則洛倫茲力豎直向上,電場(chǎng)力豎直向下,只要滿(mǎn)足上式依然可以滿(mǎn)足題意,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;如果粒子速度變大或變小,都會(huì)導(dǎo)致洛倫茲力變化,因此就會(huì)做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng),所以選項(xiàng)C正確;不管粒子速度怎么變,帶電量不變,在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,粒子受到的電場(chǎng)力不變,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤?？键c(diǎn)二洛侖茲力與電場(chǎng)力的比較洛倫茲力和電場(chǎng)力的區(qū)別洛倫茲力電場(chǎng)力產(chǎn)生條件v≠0且v不與B平行電荷處在電場(chǎng)中大小F=qvB(v⊥B)F=qE力方向與場(chǎng)方向的關(guān)系一定是F⊥B,F⊥v,與電荷電性無(wú)關(guān)正電荷受力與電場(chǎng)方向相同,負(fù)電荷受力與電場(chǎng)方向相反做功情況任何情況下都不做功可能做正功、負(fù)功,也可能不做功[典例2]如圖所示,一帶負(fù)電的小球以一定的初速度v0豎直向上拋出,達(dá)到的最大高度為h1;若加上水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),且保持初速度仍為v0,小球上升的最大高度為h2;若加上水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),且保持初速度仍為v0,小球上升的最大高度為h3;若加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng),且保持初速度仍為v0,小球上升的最大高度為h4,不計(jì)空氣阻力,則()A.h1=h3B.h1<h4C.h2與h3無(wú)法比較D.h2<h4解析:小球以一定的初速度v0豎直向上拋出,由機(jī)械能守恒定律得mgh1=mQUOTEv02,解得h1=QUOTEv022g,若加上水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),小球所受的洛倫茲力方向與速度方向垂直,洛倫茲力不做功,當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),小球有水平方向的速度,設(shè)此速度為v,由機(jī)械能守恒定律得mgh2+mv2=QUOTE12mQUOTEv02,則h2<h1;若加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng),設(shè)小球所帶電荷量為q,由能量守恒定律得(mg+qE)h4=QUOTE12mQUOTEv02,則h4<h1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;若加上水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),豎直方向上小球只受重力,加速度為g,由勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律得QUOTEv02=2gh3,解得h3=QUOTEv022g,故h3=h1,h2<h3,選項(xiàng)A正確,C錯(cuò)誤;由以上分析知,h2,h4無(wú)法比較,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案:A變式2:一個(gè)質(zhì)量m=0.1g的小滑塊,帶有電荷量q=5×10-4C,放置在傾角α=30°的光滑斜面上(斜面絕緣),斜面置于B=0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁場(chǎng)方向垂直紙面向里,如圖所示,小滑塊由靜止開(kāi)始沿斜面滑下,斜面足夠長(zhǎng),小滑塊滑至某一位置時(shí),要離開(kāi)斜面。g取10m/s2(1)小滑塊帶何種電荷?(2)小滑塊離開(kāi)斜面的瞬時(shí)速度多大?(3)該斜面的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)?解析:(1)小滑塊沿斜面下滑過(guò)程中,受重力mg、斜面支持力FN和洛倫茲力F,若要小滑塊離開(kāi)斜面,洛倫茲力F方向應(yīng)垂直斜面向上,根據(jù)左手定則可知,小滑塊應(yīng)帶負(fù)電荷。(2)小滑塊沿斜面下滑時(shí),垂直斜面方向的加速度為零,有qvB+FN-mgcosα=0當(dāng)FN=0時(shí),小滑塊脫離斜面,有qvB=mgcosα,得v=QUOTEmgcosαqB=QUOTE0.1×10-3×10×325×1(3)下滑過(guò)程中,只有重力做功,由動(dòng)能定理得mgxsinα=QUOTE12mv2斜面的長(zhǎng)度至少是x=QUOTEv22gsinα=QUOTE(23)22×10答案:(1)負(fù)電荷(2)2QUOTE3m/s(3)1.2m考點(diǎn)三帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1.圓心的確定(1)已知入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、入射方向和出射方向時(shí),可通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線(xiàn),兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示,圖中P為入射點(diǎn),M為出射點(diǎn))。(2)已知入射方向、入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的位置時(shí),可以通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線(xiàn),連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn),作其中垂線(xiàn),這兩條垂線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓弧軌跡的圓心(如圖乙所示,P為入射點(diǎn),M為出射點(diǎn))。2.半徑的確定可利用物理學(xué)公式或幾何知識(shí)(勾股定理、三角函數(shù)等)求出半徑大小。3.運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T(mén),當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ時(shí),其運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為t=QUOTEθ2πT(或t=QUOTEθRv)。4.求解粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的步驟(1)畫(huà)軌跡:即畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡,并確定圓心,用幾何方法求半徑。(2)找聯(lián)系:軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、運(yùn)動(dòng)速度相聯(lián)系,偏轉(zhuǎn)角度與圓心角、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與周期相聯(lián)系。(3)用規(guī)律:即牛頓運(yùn)動(dòng)定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,特別是周期公式、半徑公式。由qvB=QUOTEmv2r,可得r=QUOTEmvqB。由T=QUOTE2πrv,可得T=QUOTE2πmqB。[典例3]如圖所示,粒子源P會(huì)發(fā)出電荷量相等的帶電粒子。這些粒子經(jīng)裝置M加速并篩選后,能以相同的速度從A點(diǎn)垂直磁場(chǎng)方向沿AB射入正方形勻強(qiáng)磁場(chǎng)ABCD。粒子1、粒子2分別從AD中點(diǎn)和C點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)粒子重力,則粒子1和粒子2()A.均帶正電,質(zhì)量之比為4∶1B.均帶負(fù)電,質(zhì)量之比為1∶4C.均帶正電,質(zhì)量之比為2∶1D.均帶負(fù)電,質(zhì)量之比為1∶2解析:由左手定則和洛倫茲力方向可知粒子1和粒子2均帶負(fù)電,QUOTEr1r2=QUOTE14,由r=QUOTEmvqB得QUOTEm1m2=QUOTEr1r2=QUOTE14,故選B項(xiàng)。答案:B變式3:半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面(紙面),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外。一電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域,射入點(diǎn)與ab的距離為QUOTER2。已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°,則粒子的速率為(不計(jì)重力)(B)A.QUOTEqBR2m B.QUOTEqBRm C.QUOTE3qBR2m D.QUOTE2qBRm解析:帶電粒子從距離ab為QUOTER2處射入磁場(chǎng),且射出時(shí)與射入時(shí)速度方向的夾角為60°,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖,ce為射入速度所在直線(xiàn),d為射出點(diǎn),射出速度反向延長(zhǎng)交ce于f點(diǎn),磁場(chǎng)區(qū)域圓心為O,帶電粒子所做圓周運(yùn)動(dòng)圓心為O′,則O,f,O′在一條直線(xiàn)上,由幾何關(guān)系得帶電粒子所做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R,由F洛=F向得qvB=QUOTEmv2R,解得v=QUOTEqBRm,選項(xiàng)B正確?？键c(diǎn)四帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾種常見(jiàn)情形帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的常見(jiàn)情形直線(xiàn)邊界(粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱(chēng)性)平行邊界(粒子運(yùn)動(dòng)存在臨界條件)圓形邊界(粒子沿徑向射入,再沿徑向射出)[典例4]如圖所示,一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿(mǎn)方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),在ad邊中點(diǎn)O垂直于磁場(chǎng)射入一速度方向跟ad邊夾角θ=30°、大小為v0的帶正電粒子。已知粒子質(zhì)量為m,電荷量為q,ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng),ab邊足夠長(zhǎng),粒子重力不計(jì),求:(1)粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0大小范圍。(2)如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制,求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。解析:(1)若粒子速度為v0,由qv0B=mQUOTEv02R,得R=QUOTEmv0qB若軌跡與ab邊相切,如圖所示,設(shè)此時(shí)相應(yīng)速度為v01,則R1+R1sinθ=QUOTEL2,將R1=QUOTEmv01qB代入上式可得v01=QUOTEqBL3m,若軌跡與cd邊相切,設(shè)此時(shí)粒子速度為v02,則R2-R2sinθ=QUOTEL2,將R2=QUOTEmv02qB代入上式可得v02=QUOTEqBLm,所以粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的v0應(yīng)滿(mǎn)足QUOTEqBL3m<v0≤QUOTEqBLm。(2)粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)的弧所對(duì)的圓心角越大,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。由上圖可知,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r≤R1時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng),弧所對(duì)的圓心角為(2π-2θ),所以最長(zhǎng)時(shí)間為t=QUOTE(2π-2θ)mqB=QUOTE5πm答案:(1)QUOTEqBL3m<v0≤QUOTEqBLm(2)QUOTE5πm3qB變式4:如圖所示,圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),一個(gè)帶電粒子以速度v從A點(diǎn)沿直徑AOB方向射入磁場(chǎng),經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間從C點(diǎn)射出磁場(chǎng),OC與OB成60°角。現(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)镼UOTEv3,仍從A點(diǎn)沿原方向射入磁場(chǎng),不計(jì)重力,則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間變?yōu)?B)A.QUOTE12Δt B.2ΔtC.QUOTE13Δt D.3Δt解析:設(shè)帶電粒子以速度v射入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng),圓心為O1,半徑為r1,則根據(jù)qvB=QUOTEmv2r,得r1=QUOTEmvqB,根據(jù)幾何關(guān)系得QUOTERr1=tanQUOTEφ12,且1=60°;當(dāng)帶電粒子以QUOTE13v的速度射入時(shí),軌道半徑r2=QUOTEm·13vqB=QUOTEmv3qB=QUOTE13r1,圓心在O2,則QUOTERr2=tanQUOTEφ22,即tanQUOTEφ22=QUOTERr2=QUOTE3Rr1=3tanQUOTEφ12=QUOTE3,故QUOTEφ22=60°,2=120°;帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=QUOTEφ360°T,所以QUOTEΔt2Δt1=QUOTEφ2φ1=QUOTE21,即Δt2=2Δt1=2Δt,故選項(xiàng)B正確,A,C,D錯(cuò)誤。考點(diǎn)五帶電體在磁場(chǎng)中的臨界與極值問(wèn)題臨界問(wèn)題的關(guān)鍵是找出臨界狀態(tài),臨界狀態(tài)就是指物理現(xiàn)象從一種狀態(tài)變化成另一種狀態(tài)的中間過(guò)程,這時(shí)存在著一個(gè)過(guò)渡的轉(zhuǎn)折點(diǎn),此轉(zhuǎn)折點(diǎn)即為臨界狀態(tài)點(diǎn)。與臨界狀態(tài)相關(guān)的物理?xiàng)l件則稱(chēng)為臨界條件,是解決臨界問(wèn)題的突破點(diǎn)。(1)臨界問(wèn)題的一般解題模式:①找出臨界狀態(tài)及臨界條件;②總結(jié)臨界狀態(tài)點(diǎn)的規(guī)律;③分析臨界量列出表達(dá)式;④解出臨界量。(2)極值問(wèn)題的分析思路所謂極值問(wèn)題就是對(duì)題中所求的某個(gè)物理量最大值或最小值的分析或計(jì)算,求解的思路一般有以下兩種:一是根據(jù)題給條件列出函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行分析,討論;二是借助于幾何圖形進(jìn)行直觀分析。[典例5]利用如圖所示裝置可以選擇一定速度范圍內(nèi)的帶電粒子,圖中板MN上方是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),板上有兩條寬度分別為2d和d的縫,兩縫近端相距為L(zhǎng)。一群質(zhì)量為m、電荷量為q、具有不同速度的粒子從寬度為2d的縫垂直于板MN進(jìn)入磁場(chǎng),對(duì)于能夠從寬度為d的縫射出的粒子,下列說(shuō)法正確的是()A.粒子帶正電B.射出粒子的最大速度為QUOTEqB(3d+LC.保持d和L不變,增大B,射出粒子的最大速度與最小速度之差減小D.保持d和B不變,增大L,射出粒子的最大速度與最小速度之差增大解析:利用左手定則可判定只有負(fù)電荷進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)才向右偏,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;利用qvB=QUOTEmv2r知r=QUOTEmvqB,能射出的粒子滿(mǎn)足QUOTEL2≤r≤QUOTEL+3d2,因此對(duì)應(yīng)射出粒子的最大速度vmax=QUOTEqBrmaxm=QUOTEqB(3d+L)2m,選項(xiàng)B正確;vmin=QUOTEqBrminm=QUOTEqBL2m,Δv=vmax-vmin=QUOTE3qBd2m,由此式可判定選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤。答案:B變式5:如圖所示,在水平線(xiàn)ab的下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度為E,方向豎直向下,ab的上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里,磁場(chǎng)中有一內(nèi)、外半徑分別為R,QUOTE3R的半圓環(huán)形區(qū)域,外圓與ab的交點(diǎn)分別為M,N。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子在電場(chǎng)中P點(diǎn)靜止釋放,由M進(jìn)入磁場(chǎng),從N射出,不計(jì)粒子重力。(1)求粒子從P到M所用的時(shí)間t;(2)若粒子從與P同一水平線(xiàn)上的Q點(diǎn)水平射出,同樣能由M進(jìn)入磁場(chǎng),從N射出,粒子從M到N的過(guò)程中,始終在環(huán)形區(qū)域中運(yùn)動(dòng),且所用的時(shí)間最少,求粒子在Q時(shí)速度v0的大小。解析:(1)設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小為v,所受洛倫茲力提供向心力,有qvB=QUOTEmv23R,設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受電場(chǎng)力為F,有F=qE,設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a,根據(jù)牛頓第二定律有F=ma,粒子在電場(chǎng)中做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),有v=at,聯(lián)立解得t=QUOTE3RBE。(2)粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其周期與速度、半徑無(wú)關(guān),運(yùn)動(dòng)時(shí)間只由粒子所通過(guò)的圓弧所對(duì)的圓心角的大小決定。故當(dāng)軌跡與內(nèi)圓相切時(shí),所用的時(shí)間最短。設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑為r′,由幾何關(guān)系可得(r′-R)2+(QUOTE3R)2=r′2,設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與ab的夾角為θ,即圓弧所對(duì)圓心角的一半,由幾何關(guān)系知tanθ=QUOTE3Rr'-R,粒子從Q射出后在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng),在電場(chǎng)方向上的分運(yùn)動(dòng)和從P釋放后的運(yùn)動(dòng)情況相同,所以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)沿豎直方向的速度同樣為v,在垂直于電場(chǎng)方向上的分速度始終等于v0,由運(yùn)動(dòng)的合成和分解可得tanθ=QUOTEvv0,聯(lián)立解得v0=QUOTEqBRm。答案:(1)QUOTE3RBE(2)QUOTEqBRm考點(diǎn)六帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題形成帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題多解的原因一般包含下述幾個(gè)情形:(1)帶電粒子電性不確定。如圖甲所示,帶電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng),若帶正電,其軌跡為a,若帶負(fù)電,其軌跡為b。(2)磁場(chǎng)方向不確定形成多解。如圖乙所示,帶正電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng),若B垂直紙面向里,其軌跡為a,若B垂直紙面向外,其軌跡為b。(3)臨界狀態(tài)不唯一形成多解。帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí),由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀,因此,它可能穿過(guò)去了,也可能轉(zhuǎn)過(guò)180°從入射面邊界反向飛出,如圖丙所示,于是形成了多解。(4)運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解。帶電粒子在組合場(chǎng)的空間運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性,從而形成多解。如圖丁所示。[典例6]如圖,在某裝置中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直于xOy所在的平面向外。某時(shí)刻在x=l0,y=0處,一質(zhì)子p沿y軸的負(fù)方向進(jìn)入磁場(chǎng);同一時(shí)刻,在x=-l0,y=0處,一個(gè)α粒子(氦原子核)進(jìn)入磁場(chǎng),速度方向與磁場(chǎng)垂直。不考慮質(zhì)子與α粒子的相互作用。設(shè)質(zhì)子p的質(zhì)量為m,電荷量為e。(1)如果質(zhì)子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,它的速度為多大?(2)如果α粒子與質(zhì)子在坐標(biāo)原點(diǎn)相遇,α粒子的速度應(yīng)為何值?方向如何?解析:(1)根據(jù)質(zhì)子p進(jìn)入磁場(chǎng)處的位置和方向,可知其圓周軌道的圓心必在x軸上,其半徑Rp=QUOTEl02;設(shè)質(zhì)子p的速度為vp,則有eBvp=QUOTEmvp2Rp,得vp=QUOTEeBl02m。(2)質(zhì)子p做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)p=QUOTE2πmeB由于α粒子電荷量為qα=2e,質(zhì)量mα=4m,故α粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)α=QUOTE2π(4m)2eB要使α粒子與質(zhì)子p在坐標(biāo)原點(diǎn)O相遇,則兩粒子到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間均為t=nTp+QUOTETp2=nQUOTETα2+QUOTETα4(n=0,1,2,3,…)由此可知α粒子進(jìn)入磁場(chǎng)處與O點(diǎn)之間連線(xiàn)必為QUOTE14圓周或QUOTE34圓周所對(duì)應(yīng)的弦,如圖。由圖可判得α粒子的軌道半徑為Rα=QUOTE2l02設(shè)α粒子的速度為vα,則有2eBvα=QUOTE4mvα2Rα,得vα=QUOTE2eBl04入射方向有兩個(gè),用α粒子的速度方向與x軸的正方向夾角表示,則有θ1=QUOTEπ4,θ2=QUOTE3π4。答案:(1)QUOTEeBl02m(2)見(jiàn)解析變式6:(2017·浙江11月選考)如圖所示,x軸上方存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),坐標(biāo)原點(diǎn)處有一正離子源,單位時(shí)間在xOy平面內(nèi)發(fā)射n0個(gè)速率均為v的離子,分布在y軸兩側(cè)各為θ的范圍內(nèi)。在x軸上放置長(zhǎng)度為L(zhǎng)的離子收集板,其右端點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2L,當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0時(shí),沿y軸正方向入射的離子,恰好打在收集板的右端點(diǎn)。整個(gè)裝置處于真空中,不計(jì)重力,不考慮離子間的碰撞,忽略離子間的相互作用。(1)求離子的比荷QUOTEqm;(2)若發(fā)射的離子被收集板全部收集,求θ的最大值;(3)假設(shè)離子到達(dá)x軸時(shí)沿x軸均勻分布。當(dāng)θ=37°,磁感應(yīng)強(qiáng)度在B0≤B≤3B0的區(qū)間取不同值時(shí),求單位時(shí)間內(nèi)收集板收集到的離子數(shù)n與磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間的關(guān)系(不計(jì)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間)。解析:(1)洛侖茲力提供向心力qvB0=mQUOTEv2R,圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=L,得QUOTEqm=QUOTEvB0L。(2)如圖1所示,以最大值θm入射時(shí),有Δx=2R(1-cosθm)=L或2Rcosθm=L,得θm=QUOTEπ3。(3)B>B0,全部收集到離子時(shí)的最小半徑為R1,如圖2,有2R1cos37°=L,得B1=QUOTEmvqR1=1.6B0,當(dāng)B0≤B≤1.6B0時(shí),有n1=n0。B>1.6B0,恰好收集不到離子時(shí)的半徑為R2,有R2=0.5L,得B2=2B0。當(dāng)1.6B0<B≤2B0時(shí),設(shè)R′=QUOTEmvqB,有n2=QUOTE2R'-L2R'(1-cos37°)n0=n0(5-QUOTE5當(dāng)2B0<B≤3B0時(shí),有n3=0。答案:(1)QUOTEvB0L(2)QUOTEπ3(3)見(jiàn)解析1.(洛倫茲力)(多選)如圖所示,一個(gè)帶正電的小球沿光滑的水平絕緣桌面向右運(yùn)動(dòng),速度的方向垂直于一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),小球飛離桌子邊緣落到地板上。設(shè)其飛行時(shí)間為t1,水平射程為s1,落地速率為v1。撤去磁場(chǎng),其余條件不變時(shí),小球飛行時(shí)間為t2,水平射程為s2,落地速率為v2,則(BC)A.t1<t2 B.s1>s2C.v1=v2 D.無(wú)法判斷解析:未撤去磁場(chǎng)時(shí),小球受偏向上的洛侖茲力作用,豎直方向加速度小于重力加速度,下落時(shí)間較撤去磁場(chǎng)時(shí)長(zhǎng),水平位移也相應(yīng)較大;而洛侖茲力不做功,故不會(huì)影響小球落地速率。2.(帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng))空間有一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域,該區(qū)域的橫截面的半徑為R,磁場(chǎng)方向垂直于橫截面。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子以速率v0沿橫截面的某直徑射入磁場(chǎng),離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏離入射方向60°。不計(jì)重力,該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為(A)A.QUOTE3mv03qR B.QUOTEmv0qRC.QUOTE3mv0qR D.QUOTE3mv0qR解析:帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),利用幾何關(guān)系和洛倫茲力公式即可求解。如圖所示,粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力,即qv0B=mQUOTEv02r,據(jù)幾何關(guān)系,粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑r=Rtan60°=QUOTE3R,解得B=QUOTE3mv03qR,選項(xiàng)A正確。3.(洛倫茲力與電場(chǎng)力的比較)如圖所示,平行板電容器的極板沿水平方向放置,電子束從電容器左側(cè)正中間a處沿水平方向入射,電子的初速度都是v0,在電場(chǎng)力的作用下,剛好從圖中所示的c點(diǎn)射出,射出時(shí)的速度為v?，F(xiàn)若保持電場(chǎng)不變,再加一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)的方向跟電場(chǎng)和電子入射的方向都垂直(圖中垂直于紙面向里),使電子剛好由圖中d點(diǎn)射出,c,d兩點(diǎn)的位置相對(duì)于中線(xiàn)ab是對(duì)稱(chēng)的,則從d點(diǎn)射出時(shí)每個(gè)電子的動(dòng)能等于。

解析:洛倫茲力不做功,根據(jù)動(dòng)能定理,電子從a→c過(guò)程中電場(chǎng)力做功W1=QUOTE12mv2-QUOTE12mQUOTEv02,從a→d過(guò)程中電場(chǎng)力做功W2=QUOTE12mQUOTEvd2-QUOTE12mQUOTEv02;又電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān),且c,d兩點(diǎn)的位置相對(duì)于中線(xiàn)ab是對(duì)稱(chēng)的,則有W1=-W2,聯(lián)立即得QUOTE12mQUOTEvd2=mQUOTEv02-QUOTE12mv2。答案:mQUOTEv02-QUOTE12mv24.(帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾種常見(jiàn)情形)如圖所示,質(zhì)量均為m、電荷量大小均為q的正、負(fù)離子均從磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)A以與磁場(chǎng)邊界夾角為30°的初速度v0射入到磁場(chǎng)中,然后分別從邊界上的B點(diǎn)和C點(diǎn)射出,已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里,正、負(fù)離子重力不計(jì)。求:(1)AB,AC的長(zhǎng)度;(2)正、負(fù)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比。解析:畫(huà)出正、負(fù)離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡分別如圖Ⅰ,Ⅱ所示。(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知AB=AC,且∠AO1B=∠AO2C=60由Bqv0=QUOTEmv02R得R=QUOTEmv0Bq故AB=AC=2Rsin30°=R=QUOTEmv0Bq。(2)正離子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的圓心角θ1=2π-QUOTEπ3=QUOTE53π負(fù)離子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的圓心角θ2=由t=QUOTEθ2πT,又T=QUOTE2πmBq可知,正、負(fù)離子的周期相同,t正∶t負(fù)=5∶1。答案:(1)QUOTEmv0BqQUOTEmv0Bq(2)5∶15.(帶電粒子在磁場(chǎng)中的臨界和極值問(wèn)題)如圖所示,兩塊長(zhǎng)L=0.8m,間距d=0.6m的水平金屬極板間加有可調(diào)直流電壓U,一束帶正電的粒子流(比荷為QUOTEqm=1.0×107C/kg,重力不計(jì)),以速度v0=2×105m/s從金屬極板左側(cè)正中間O1沿平行極板方向射入電場(chǎng)。帶電粒子經(jīng)過(guò)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后垂直進(jìn)入右側(cè)有理想邊界的半圓形磁場(chǎng)區(qū)域,磁場(chǎng)方向垂直紙面向里,O2為磁場(chǎng)圓心,磁場(chǎng)半徑R=0.6m(1)若帶電粒子能進(jìn)入右側(cè)的磁場(chǎng),其運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針還是逆時(shí)針。(2)若兩金屬極板間的電壓U1=600V,帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向。(3)若帶電粒子恰好從下極板右側(cè)端點(diǎn)處射出電場(chǎng),則此時(shí)的電壓大小。(4)若帶電粒子滿(mǎn)足(3),且經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從MN側(cè)離開(kāi)磁場(chǎng),求最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解析:(1)帶電粒子帶正電,進(jìn)入垂直紙面向里的磁場(chǎng)后由左手定則可知,其運(yùn)動(dòng)方向?yàn)槟鏁r(shí)針。(2)若兩金屬極板間的電壓U1=600V時(shí),帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng),平行于極板方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng):L=v0t,垂直于極板方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng):y=QUOTE12qU1mdt2,vy=QUOTEqU1mdt,代入數(shù)據(jù)得y=0.08m<0.3m,即能從電場(chǎng)右側(cè)射出,解得vy=4×104即帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小為v=QUOTEv02+vy2=2.04×方向?yàn)橛蚁蛳缕D(zhuǎn)θ1角,tanθ1=QUOTEvyv0=0.2。(3)若帶電粒子恰好從下極板右側(cè)端點(diǎn)處離開(kāi)電場(chǎng),則偏轉(zhuǎn)距離為y=0.3m,由帶電粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)得,平行于極板方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng):L=v0t,垂直于極板方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng):QUOTEd2=QUOTE12qUmdt2,vy=QUOTEqUmdt,綜合得U=QUOTEmd2v02q(4)由(3)可得tanθ2=QUOTEvyv0=QUOTEd2L=QUOTE34,即速度偏轉(zhuǎn)角θ2=37°,由幾何關(guān)系可得,帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng),即進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=QUOTE54v0=2.5×105m/s,臨界狀態(tài)時(shí),帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示,即運(yùn)動(dòng)軌跡線(xiàn)與磁場(chǎng)圓相切,由余弦定理有()2+r2-2QUOTEd2rcosθ2=(R-r)2,解得r=0.375m,帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由洛侖茲力提供向心力qvB=mQUOTEv2r,解得若帶電粒子能夠從MN邊射出,則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B=QUOTEmvqr=0.067T。答案:(1)逆時(shí)針(2)2.04×105m/s,方向?yàn)橛移聇anθ(3)2250V(4)0.067T6.(帶電粒子在磁場(chǎng)中的多解性問(wèn)題)一圓筒的橫截面如圖所示,其圓心為O。筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。圓筒下面有相距為d的平行金屬板M,N,其中M板帶正電荷,N板帶等量負(fù)電荷。質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放,經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場(chǎng)中。粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出,設(shè)粒子與圓筒碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失,且電荷量保持不變,在不計(jì)重力的情況下,求:(1)M,N間電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小;(2)圓筒的半徑R;(3)保持M,N間電場(chǎng)強(qiáng)度E不變,僅將M板向上平移QUOTE23d,粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放,粒子自進(jìn)入圓筒至從S孔射出期間,與圓筒的碰撞次數(shù)n。解析:(1)設(shè)兩板間的電壓為U,由動(dòng)能定理得qU=QUOTE12mv2①由勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系得U=Ed②聯(lián)立上式可得E=QUOTEmv22qd。③(2)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)用幾何關(guān)系作出圓心為O′,圓半徑為r。設(shè)第一次碰撞點(diǎn)為A,由于粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞又從S孔射出,因此,SA弧所對(duì)的圓心角∠AO′S等于QUOTEπ3。由幾何關(guān)系得r=RtanQUOTEπ3④粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中洛倫茲力提供向心力,由牛頓第二定律,得qvB=QUOTEmv2r⑤聯(lián)立④⑤式得R=QUOTE3mv3qB。⑥(3)保持M,N間電場(chǎng)強(qiáng)度E不變,M板向上平移QUOTE23d后,設(shè)板間電壓為U′,則U′=QUOTEEd3=QUOTEU3⑦設(shè)粒子進(jìn)入S孔時(shí)的速度為v′,由①式知QUOTEU'U=QUOTEv'2v2。綜合⑦式可得v′=QUOTE33v⑧設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r′,則r′=QUOTE3mv3qB⑨設(shè)粒子從S到第一次與圓筒碰撞期間的軌跡所對(duì)圓心角為θ,比較⑥⑨兩式得到r′=R,可見(jiàn)θ=QUOTEπ2粒子需經(jīng)過(guò)四個(gè)這樣的圓弧才能從S孔射出,故n=3。答案:(1)QUOTEmv22qd(2)QUOTE3mv3qB(3)31.(2018·浙江6月學(xué)考,18)質(zhì)量m=1×10-3kg,電量q=+1×10-6C的帶電小球,以速度v在某一區(qū)域內(nèi)做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。該區(qū)域內(nèi)既有水平向東的勻強(qiáng)電場(chǎng)(電場(chǎng)強(qiáng)度E=1.73×10A.v與E成30°,B水平向北B.v與E成60°,B水平向北C.v與E成53°,B水平向南D.v與E成45°,B水平向南解析:小球勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),所以只能夠電場(chǎng)力和重力的合力與洛倫茲力等大反向。電場(chǎng)力水平向東,大小1.73×10-2N,重力豎直向下,大小1.0×10-2N,由于力的大小關(guān)系可知,合力方向?yàn)闁|偏下30°,與洛倫茲力方向相反,根據(jù)左手定則,所以磁場(chǎng)方向由南到北,速度方向與E夾角60°,因此選B。2.(2018·北京卷,18)某空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)。一個(gè)帶電粒子(不計(jì)重力)以一定初速度射入該空間后,做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng);若僅撤除電場(chǎng),則該粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。下列因素與完成上述兩類(lèi)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的是(C)A.磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方向 B.磁場(chǎng)和電場(chǎng)的強(qiáng)弱C.粒子的電性和電量 D.粒子入射時(shí)的速度解析:在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)的疊加區(qū)域內(nèi),帶電粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),則速度方向與電場(chǎng)方向和磁場(chǎng)方向均垂直,qvB=qE,故v=QUOTEEB。因此粒子是否做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),與粒子的電性、電量均無(wú)關(guān),而與磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方向、強(qiáng)弱及速度大小均有關(guān)。撤去電場(chǎng)時(shí),粒子速度方向仍與磁場(chǎng)垂直,滿(mǎn)足做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件,選項(xiàng)C正確。3.(2019·全國(guó)Ⅱ卷,17)如圖,邊長(zhǎng)為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O,可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a,d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為(B)A.QUOTE14kBl,QUOTE54kBl B.QUOTE14kBl,QUOTE54kBlC.QUOTE12kBl,QUOTE54kBl D.QUOTE12kBl,QUOTE54kBl解析:由題意可知,從a點(diǎn)射出的電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為Ra=QUOTE14l,根據(jù)洛倫茲力提供向心力,qvaB=QUOTEmva2Ra,解得va=QUOTEBql4m=QUOTE14kBl;從d點(diǎn)射出的電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為Rd,根據(jù)幾何關(guān)系得QUOTERd2=l2+(Rd-QUOTEl2)2,可得Rd=QUOTE54l,又qvdB=QUOTEmvd2Rd,解得vd=QUOTE5Bql4m=QUOTE54kBl,故B正確。4.(2019·全國(guó)Ⅲ