第一章緒論

1-1傳熱學概述

一、什么是傳熱學

傳熱學是研究熱量傳遞規(guī)律的科學“（熱量傳遞由什么引起的）基于熱力學的

定義，熱是一種傳遞中的能量。傳遞中的能量不外乎是處于無序狀態(tài)的熱和有序狀

態(tài)的功，他們的傳遞過程常常發(fā)生在能量系統(tǒng)處于不平衡的狀態(tài)下，而系統(tǒng)的狀態(tài)

是可以用其狀態(tài)參數(shù)來確定的。熱力學的基本狀態(tài)參數(shù)是壓力p、溫度T以及比容積

V。對于一個不可壓縮的熱力學系統(tǒng)而言，溫度的高低就反映了系統(tǒng)能量狀態(tài)的高

低和單位質量系統(tǒng)內(nèi)熱能（或稱熱力學能，簡稱內(nèi)能）的多少。熱力學第二定律告

訴我們，能量總是自發(fā)地從高能級狀態(tài)向低能級狀態(tài)傳遞和遷移。因此，熱的傳遞

和遷移就會發(fā)生在熱系統(tǒng)的高內(nèi)能區(qū)域和低內(nèi)能區(qū)域之間，也就是高溫區(qū)域和低溫

區(qū)域之間。對于自然界的物體和系統(tǒng)，將其視為熱力學系統(tǒng)時，他們常常是處于不

平衡的能量狀態(tài)之下，各部位存在著壓力差和溫度差，因而功和熱的傳遞是一種非

常普遍的自然現(xiàn)象。因此，凡是有溫度差的地方就有熱量傳遞。熱量傳遞是自然界

和工程領域中極普遍的現(xiàn)象。我們學習傳熱學就是要掌握各種熱量傳遞現(xiàn)象的規(guī)

律，從而為設計滿足一定生產(chǎn)工藝要求的換熱設備，提高現(xiàn)有換熱設備的操作和管

理水平，或者對一定的熱過程實現(xiàn)溫度場的控制打F理論基礎。

《翔至安的在本課程中，我們將首先簡要的介紹傳熱學的主要研究內(nèi)容，給

出導熱、對流與輻射這三種熱量傳遞基本方式的概念及所傳遞熱量的計算公式。然

后分別討論導熱、對流換熱和輻射換熱的基本規(guī)律，最后，在此基礎上，把上述知

識綜合起來，介紹傳熱過程及換熱設備的計算方法。

二、傳熱學的重要性

幾乎在每個工程技術部門中都會遇到傳熱問題。（例子）例如建筑物的供熱與

降溫。

自然界（沙塵暴）。

三、傳熱學與工程熱力學在研究方法上的異同

工程熱力學與傳熱學都是研究熱現(xiàn)象的，都以熱能的傳遞與轉換過程中的基本

規(guī)律作為研究對象。但是，工程熱力學與傳熱學從不同的角度來研究熱現(xiàn)象，因此

在研究內(nèi)容與方法上有很大區(qū)別。

1.工程熱力學著重研究的是在能量轉換與傳遞過程中各種形式的能量在數(shù)量方面

的關系以熱能在質量方面的情況。在經(jīng)典的熱力學中，不考慮能量傳遞過程所需的

時間。工程熱力學中的這種研究是對實際工程問題的高度抽象，是為了簡化復雜的

實際問題而又得出具有一定的指導意義的結論所必須的。這只是研究的一個方面。

為了使所討論的能量傳遞過程付諸實施，并能滿足一定的生產(chǎn)、工藝要求，必須

引入時間的概念。時間是傳熱學的重要變量。許多情況下,我們致力于研究高效的

熱量傳遞方法，及特定設備在單位時間內(nèi)傳遞較多熱量的方法。

2.工程熱力學主要研究可逆過程（冷、熱介質溫差無限小的情況下），而憒熱學球

究的一切熱量傳遞過程是不可逆過程。

3.工程熱力學不仔細研究過程進行的不同時刻與設備的不同地點上溫度變化情

況，而這是傳熱學感興趣的話題。

掰利用工程熱力學的方法可以從理論上分析熱力系統(tǒng)的狀態(tài)、能量傳遞和遷

移的多少以及系統(tǒng)的發(fā)展方向與性能的好壞。但是，能量是以何種方式傳遞和遷

移？傳遞和遷移的速率如何？以及能量狀態(tài)隨時間和空間的分布如何？熱力學都

沒有給予回答。處理和解決諸如此類的問題就是傳熱學的根本任務所在。例如，對

于一個物體的加熱過程，我們可以將其視為一個熱力學過程。因此，熱力學可以根

據(jù)能量守恒的原則，研究這?系統(tǒng)最終達到的平衡溫度，以及初態(tài)與終態(tài)之間的系

統(tǒng)內(nèi)能變化，而傳熱學則是基于熱傳遞現(xiàn)象的機理，研究該物體在達到平衡以前的

任何時刻、任意位置的溫度變化，以及加熱過程中熱量隨時間的變化關系。

所以傳熱學分析各種具體的傳熱過程是如何進行的，探求工程及自然現(xiàn)象中熱

量傳遞過程的物理本質，揭示各種熱現(xiàn)象的傳輸機理，建立能量輸運過程的數(shù)學模

型，分析計算傳熱系統(tǒng)的溫度和熱流水平，揭示熱量傳遞的具體規(guī)律。在一些較為

復雜的場合，則通過計算機模擬或直接用實驗方法，研究熱量傳遞的規(guī)律。

1-2熱量傳遞的基本方式

自然界存在三種基本的熱量傳遞方式：熱傳導、熱對流、熱輻射。（舉例說明）在

各種不同的場合下，這三種方式可能單獨存在，也可能產(chǎn)生不同的組合形式。

一、熱傳導

1.定義和特征

當物體內(nèi)部存在溫度差（也就是物體內(nèi)部能量分布不均勻）時，在物體內(nèi)部沒

有宏觀位移的情況下，熱量會從物體的高溫部分傳到低溫部分；此外，不同溫度的

物體互相接觸時，熱量也會在相互沒有物質轉移的情況下，從高溫物體傳遞到低溫

物體。這樣種熱量傳遞的方式被稱為熱傳導或簡稱為導熱。因此，當物體各部分

之間不發(fā)生相對位移時，借助于分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運動而實

現(xiàn)的熱量傳遞過程稱之為導熱。

導熱過程的特點有兩個：（1）導熱過程總是發(fā)生在兩個互相接觸的物體之間或

同一物體中溫度不同的兩部分之間；（2）導熱過程中物體各部分之間不發(fā)生宏觀的

相對位移。

2.導熱機理

在導熱過程中，物體各部分之間不發(fā)生宏觀位移，從物質的微觀結構對導熱過

程加以描述與計算是比較復雜的。從微觀角度看，氣體、液體、導電固體和非導電

固體的導熱機理是不同的。

氣體中，導熱是氣體分子不規(guī)則熱運動是相互碰撞的結果。眾所周知，氣體的

溫度越高，分子的運動動能越大，不同能量水平的分子相互碰撞的結果，使能量從

高溫處傳向低溫處。

導電固體中有相當多的自由電子，它們在晶格之間像氣體分子那樣運動，自由

電子的運動在導電固體的導熱中起主要作用。

非導電固體中，導熱通過晶格結構的振動，即原子、分子在其平衡位置附近的

振動來實現(xiàn)。

液體的導熱機理十分復雜，有待于進步的研究。

3.傅里葉公式

對于導熱這種熱量傳遞的方式的研究可以追溯到19世紀初期畢歐（Boit）早期

的研究工作。他在對大量的平板導熱實驗（如圖1—1所示）的數(shù)據(jù)分析中得出如下

的結論:

通過垂直于平板方向上的熱流量正比于平板兩側的溫度差和平板面積的大小,

而反比于平板的厚度。歸納如下數(shù)學關系:

Q=AA^^-,W（1-D

Ax

式中，。為單位時間導熱量，又稱熱流量，單位是

w；A為導熱面積，單位是n?；7f2為大平板兩表面

之間的溫差，單位是℃（或K）；4為相應的比例系

數(shù)，稱為平板材料的導熱系數(shù)（或熱傳導率），表示

物體導熱能力的大小的物性量，單位是

W/（m-℃上式亦可表示為如下形式，

q仁豆，W/m1（1-2）

Ax

圖1-1通過無限大平板的導熱

式中q為單位面積熱流，又稱熱流密度，單位是

2

W/mo

1822年，法國數(shù)學家傅里葉（JosephFourier）將畢歐的熱傳導關系歸納為

q=_漢W/m2(1-3)

dn

此式稱為傅?立葉定律，在第二章中將對其進行詳細的論述。式中，%為溫度梯

度，負號表示熱流密度的方向與溫度梯度的方向相反。即熱量傳遞的方向與溫度升

高的方向相反。當溫度t沿x方向增加時，dt/dx>0,q<0,說明熱量沿x減小的方向傳

遞(圖1-2)；反之,dt/dx<0,q<0,說明熱量沿x增加的方向傳遞。

t2>tltl>t2

圖1-2

圖1-3

二、熱對流與對流換熱

舉例：灼熱金屬在風扇前比在靜止空氣中散熱更快。

1.定義及特征

流體中溫度不同的各部分流體之間，由于發(fā)生相對運動而把熱量由一處帶到另一處

的熱現(xiàn)象稱為熱對流，這是一利借助于流體宏觀位移而實現(xiàn)的熱量傳遞過程。宏觀

位移是大量分子集體運動或者說流體微團的運動結果，這時不僅有宏觀運動，還有

隨機運動，即微觀運動。所以實際上流體在進行熱對流的同時熱量的傳導過程也同

時發(fā)生。因此，發(fā)生在流動介質中的熱量傳遞是熱傳導與熱對流的綜合過程。工程

上還經(jīng)常遇到流體與溫度不同的固體壁面接觸時的熱量交換的情況,這種熱量的傳

遞過程稱為對流換熱。由于單一的熱對流是不存在的,因而傳熱學中討論的對流問

題主要是對流換熱過程。

2.分類

對流換熱按照不同的原因可分為多種類型。按照是否相變,分為：有相變的對

流換熱和無相變的對流換熱。按照流動原因,分為：強迫對流換熱和自然對流換熱。

按照流動狀態(tài),分為：層流和紊流。強迫對流換熱是山外因造成的，例如風機、水

泵或大自然中的風。自然對流換熱是由于溫度差造成密度差，產(chǎn)生浮升力，熱流體

向上運動，冷流體填充空位，形成的往復過程。

例如無風天氣，一條曬熱的路面與環(huán)境的散熱。utf

有風時，強迫換熱占主導。一^*

3.牛頓冷卻公式Q

1701年，牛頓(IsaacNewton)首先提出了——2

計算對流換熱熱流量的基本關系式,常稱為牛頓

冷卻定律，其形式為一

圖1-4對流換熱過程示意圖

W(1-4)

Q=c(A(twT/)=aA\t

式中，外是物體表面的溫度；僵流體的溫度；這里認為4＞少人為約定4

取正值；a是一個定義的系數(shù)，稱為對流換熱系數(shù)或表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，單位為

W/（m2-°C）它是一個反映對流換熱過程強弱的物理量。

由于對流換熱是一個復雜的熱量交換過程，影響因素很多，如：引起流動的原

因（自然或強迫流動）：流體流動的狀態(tài)（層流或紊流）：流體的物理性質（密度、

比熱等）：流體的相變（沸騰或冷凝）；換熱邊界的幾何因素（形狀、大小及相對位

置等）。顯然，單憑（1-4）式是不可能描述或反映這些復雜因素對換熱過程的影響，

而只是把這些因素都集中到對流換熱系數(shù)a之中。因此，針對各種對流換熱問題

求解對流換熱系數(shù)a則是分析和研究對流換熱問題的主要任務。

表1-1給出了幾種對流換熱表面的換熱系數(shù)值。就換熱方式而言，自然對流換

熱系數(shù)最?。諝鉃?-10,水為200-1000）,有相變時最大（城-廿量級）,強迫對

流居中。就介質而言，水比空氣強烈。

三、熱輻射

1.定義

物質的微觀離子（分子、原子和電子等）的運動會以光的形式向外輻射能量，

我們稱之為電磁輻射。電磁輻射的波長范圍很廣，從長達數(shù)百米的無線電波到小于

IO4米的宇宙射線。這些射線不僅產(chǎn)生的原因各不相同，而且性質也各異，由此也

構成了圍繞輻射過程的廣泛的科學和技術領域。這里我們無意去討論各種輻射過

程，僅僅對由物質的熱運動（即無序運動）而產(chǎn)生的電磁輻射，以及因這些電磁輻

射投射到物體卜.而引起的熱效應感興趣。我們把物體通過電磁波來傳遞熱量的方式

稱為熱輻射。凡是溫度高于0[K]的物體都有向外發(fā)射熱射線的能力。熱輻射的波長

大多集中在紅外線區(qū)，在可見光區(qū)占比重不大。面勿夜期衣9物體的溫度越高，

輻射能力越強。溫度相同，但物體的性質和表面狀況不同，輻射能力也不同。

2.特點

熱輻射是熱量傳遞的基本方式之一。與熱傳導和熱對流不同，熱輻射是通過電

磁波（或光子流）的方式傳播能量的過程，它不需要物體之間的直接接觸，也不需

要任何中間介質。當兩個物體被真空隔開時，導熱和對流均不會發(fā)生，只有熱輻射。

太陽將大量的熱量傳給地球，就是靠熱輻射的作用。

熱輻射的另一個特點是：它不僅產(chǎn)生能量的轉移，而且還伴隨著能量的轉換。

即發(fā)射時從熱能轉化為輻射能，吸收時又從輻射能轉化為熱能。

3.斯蒂芬-玻爾茲曼（Stefen-Boltzmann）定律

一個理想的輻射和吸收能量的物體被稱為黑體。黑體的輻射和吸收本領在同溫

度物體中是最大的。黑體向周圍空間發(fā)射出去的輻射能由下式給出

。=46尸，(1-5)

式中，。為黑體發(fā)射的輻射能；A為物體的輻射表面積，T為絕對溫度，K；。。為斯

4

蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，其值為5.67X10-8W/(〃?2-K)O

(1-5)式稱為斯蒂芬-玻爾茲曼(Stefen-Boltzmann)定律，它是從熱力學理論

導出并由實驗證實的黑體輻射規(guī)律，又稱為輻射四次方定律，是計算熱輻射的基礎。

一切實際物體的輻射能力都小于同溫度下黑體的輻射能力。實際物體發(fā)射的輻射能

可以用輻射四次方定律的經(jīng)驗修正來計算

Q=EAOT4W(1-6)

式中，￡為該物體的發(fā)射率(又稱黑度),其值小于1。一個物體的發(fā)射率與物體的

溫度、種類及表面狀態(tài)有關。物體的￡值越大，則表明它越接近理想的黑體。

自然界中的所有物體都在不斷的向周圍空間人T,

發(fā)射輻射能，與此同時，又在不斷地吸收來自周----------欣---------

圍空間其它物體的輻射能，兩者之間的差額就是----------0------------

T,

物體之間的輻射換熱量。物體表面之間以輻射方

式進行的熱交換過程我們稱之為輻射換熱。對于圖L5兩平行黑平板間的輻射

兩個相距很近的黑體表面，由于一個表面發(fā)射出

來的能量幾乎完全落到另一個表面上，那么它們之間的輻射換熱量為

Q=Aa(T^-T^).(1-7)

當時，也就是物體和周圍環(huán)境處于熱平衡時，輻射換熱量等于零。但此時

是動態(tài)平衡，輻射和吸收仍在不斷進行。此時物體的溫度保持不變。

溫度不隨時間變化的換熱過程稱為穩(wěn)態(tài)過程。

溫度隨時間改變的換熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)過程。一般是機器的啟動、停機或變工

況運行時，

1-3傳熱過程與熱阻

工業(yè)生產(chǎn)中所遇到的許多實際熱交換過程常常是熱介質將熱量傳給換熱面，然

后由換熱面?zhèn)鹘o冷介質。這種熱量由熱流體通過間壁傳給冷流體的過程稱為傳熱過

程。傳熱過程中由熱流體傳給冷流體的熱量通常表示為：

Q=kAAt，(1-8)

式中，4為熱流體與冷流體間的平均溫差；蚣唯熱

系數(shù),W/（m2-℃）。在數(shù)值上，傳熱系數(shù)等于冷、熱

流體間溫差4=1℃、傳熱面積A=1n?時的熱流量對流

值，是一個表征傳熱過程強烈程度的物理量。傳熱過口導熱對流

輻射「匚?匚n

程越強，傳熱系數(shù)越大，反之則越弱。

以如圖1-6所示的墻壁為例：屋內(nèi)熱空氣的熱量通

過墻壁和保溫層傳遞給屋外冷空氣，這個過程就屬于

傳熱過程。若屋內(nèi)空氣溫度為tfi，屋外的空氣溫度為圖1-6墻壁傳熱圖

t僅，傳熱溫差4=tf|-tf2。若屋內(nèi)對流和輻射總換熱系

數(shù)為四，屋外側的對流換熱系數(shù)為a2,墻壁、保溫層的厚度分別為用和鄉(xiāng),墻壁、

保溫層的導熱系數(shù)分別為4和4。

從熱流體tfI到tw1:

Q=A%（tfl-twi）則-tw]=。

Aax

tw倒tw2：

Q=A4（?！?2）/司則%—&2=鳥

/k

T

tw2到tw3：

Q=A42（。2—/w3）/一則tw2-tw3=號

酸

tw3到冷流體：

Q=A%（43_，/2）則=P

Aa2

相加整理得：

AtatA/4a2AA

將（1-9）式表示成熱阻的形式，有

△t_X

(1-10)

R]+R、+Z?3+R&R,

式中，e(i=1,2,3,4)為傳熱過程的各個分熱阻，℃/W,凡為傳熱過程的總熱阻。

式(1-9)相當于電學中的歐姆定律(電流=電壓/電阻：I=AU/R)，且式中總熱

阻和分熱阻的關系也具有電學中串聯(lián)電路的電阻疊加特性：總電阻等于各串聯(lián)分電

阻之和。

導熱現(xiàn)象的比擬(流量=動力/阻力)(圖

1-7)

熱阻是傳熱學的基本概念之一。用熱阻的

概念分析各種傳熱現(xiàn)象，不僅可使問題的物理

概念更加清晰，而且推導和計算也來得簡便。

對于某一傳熱問題，如果要增強傳熱，就應設

法減少所有熱阻中最大的那個熱阻；若要減弱傳熱，就應該加大所有熱阻中最小的

那個熱阻，或者再增加額外的熱阻，即增加保溫層。

思考題

1試以日常生活或生產(chǎn)實踐中的例子說明熱傳導、對流換熱和輻射換熱現(xiàn)象。

2夏季在溫度為20°C的室內(nèi)，穿單衣感到舒適，而冬季在同樣溫度的室內(nèi)卻要穿絨衣，試

從傳熱的觀點解釋其原因。

3冬天，上午曬棉被，晚上睡覺為什么會覺得很暖和？

4暖水瓶瓶膽為鍍銀真空夾層玻璃，簡述暖水瓶的保溫原理。

5何為熱阻，單位面積熱阻和總面積熱阻有何區(qū)別？

0.02Kcal/(m-h?℃)?

第二章導熱的基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱..........................................9

2-1導熱的基本概念和定律................................................9

1溫度場和溫度梯度...................................................9

2傅里葉定律的嚴格表述................................................11

2-2導熱微分方程式......................................................12

2—3—維穩(wěn)態(tài)導熱分析......................................................17

1通過平壁的導熱......................................................17

2通過圓筒壁的導熱....................................................22

2-4通過肋片的導熱分析..................................................27

1肋片導熱(散熱)微分方程及其求解.................................27

2肋片效率與肋片的工程計算...........................................29

4幾點注釋............................................................31

2-5復雜情況的穩(wěn)態(tài)導熱..................................................33

第二章導熱的基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱

從本章開始將深入的討論三種熱量傳遞方式的基本規(guī)律.研究工作基本遵循經(jīng)

典力學的研究方法，即提出物理現(xiàn)象、建立數(shù)學模型而后分析求解的處理方法，對

于復雜問題亦可在數(shù)學模型的基礎上進行數(shù)值求解或試驗求解。采用這種方法，我

們就能夠達到預測傳熱系統(tǒng)的溫度分布和計算傳遞的熱流量的目的。

導熱問題是傳熱學中最易于用數(shù)學方法處理的熱傳遞方式。因而我們能夠在選

定的研究系統(tǒng)中利用能量守恒定律和傅立葉定律建立起導熱微分方程式，然后針對

具體的導熱問題求解其溫度分布和熱流量。最后達到解決工程實際問題的目的。

2-1導熱的基本概念和定律

1溫度場和溫度梯度

1」溫度場

由于熱量傳遞是物質系統(tǒng)內(nèi)部或其與環(huán)境之間能量分布不平衡條件下發(fā)生的

無序能量的遷移過程，而這種能量不平衡特征，對于不可壓縮系統(tǒng)而言，可以用物

質系統(tǒng)的溫度來表征。于是就有“凡是有溫差的地方就有熱量傳遞”的通俗說法。

因此，研究系統(tǒng)中溫度隨時間和空間的變化規(guī)律對于研究傳熱問題是卜分重要的工

作。按照物理上的提法，物質系統(tǒng)內(nèi)各個點上溫度的集合稱為溫度場，它是時間和

空間坐標的函數(shù)，記為

f=/(x,y,z,r)2-1

式中,，一為溫度;x,y,z—為空間坐標；一為時間坐標。

如果溫度場不隨時間變化，即為穩(wěn)態(tài)溫度場，于是有

f=/(x,y,z)2—2

穩(wěn)態(tài)溫度場僅在一個空間方向上變化時為一維溫度場,

t=f(x)2-3

穩(wěn)態(tài)導熱過程具有穩(wěn)態(tài)溫度場，而非穩(wěn)態(tài)導熱過程具有非穩(wěn)態(tài)溫度場。

1.2等溫面

溫度場中溫度相同點的集合稱為等溫面,二維溫

度場中則為等溫線,一維則為點.取相同溫度差而繪

制的等溫線(對于二維溫度場)如圖2-1所示,其疏密

程度可反映溫度場在空間中的變化情況。

等溫面不會與另一個等溫面相交,但不排除十分

地靠近，也不排除它可以消失在系統(tǒng)的邊界上或者自

行封閉。這就是等溫面的特性。

1.3溫度梯度

溫度梯度是用以反映溫度場在空間的變化

特征的物理量，按照存在溫差就有熱傳的概念,

沿著等溫面方向不存在熱量的傳遞。因此，熱量

傳遞只能在等溫面之間進行。熱量從一個等溫面

到另一個等溫面，其最短距離在該等溫面的法線

方向。對于均質系統(tǒng)而言,在這個方向上應該有

最大的熱量通過。因而定義，系統(tǒng)中某一點所在

的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線間

的距離之比的極限為該點的溫度梯度，記為grad

to它是一個矢量，其正方向指向溫度升高的方向。

結合圖2—2所示,我們有

圖2-2溫度梯度與熱流密度

..Azdt

graat=Lrim——=—。

△〃dn

2—4

顯然,溫度梯度表明了溫度在空間上的最大變化率及其方向。對于連續(xù)可導的溫度

場也就存在連續(xù)的溫度梯度場。

1.4熱流密度

在緒論中業(yè)已提及，熱流密度是定義為單位時間內(nèi)經(jīng)由單位面積所傳遞的熱量，可以

一般性地表示為

式中,dQ為垂直通過面積dA的熱流量,因而熱流密度q也是一個矢量，其方向與所通

過面的方向一致。注意一下關于溫度梯度的定義，不難發(fā)現(xiàn)熱流密度通過的面就是

等溫面。那么,溫度梯度和熱流密度的方向都是在等溫面的法線方向。由于熱流是

從高溫處流向低溫處，因而溫度梯度和熱流密度的方向正好相反。在圖2-2中顯示

了這一特征。

2傅里葉定律的嚴格表述

傅里葉定律是在畢歐(Boit)進行大量實驗后所得結果的基礎上由傅立葉

(Fourier)歸納得出的。畢歐的平板導熱實驗可以認為是在兩個等溫面之間進行的,

如圖2—3所示。那么，通過平板上微元等溫面的熱流

量可寫成如下形式

dQ=-AdA”,

A/2

經(jīng)整理并取極限得出

q=-Agradt。2—6

這就是傅里葉定律嚴格的數(shù)學表達式。式中的負號是

因為熱流密度與溫度梯度的方向不一致而加上的。于

是,傅里葉定律可表述為系統(tǒng)中任一點的熱流密度與

該點的溫度梯度成正比而方向相反。對于連續(xù)可導的

圖2-3平壁導熱實驗與傅里葉定律

溫度場，顯然存在著連續(xù)的溫度梯度場，也就存在連

續(xù)的熱流密度場。

式(2—6)中的比例系數(shù)九稱為導熱系數(shù),它應該是一個與物質結構和狀態(tài)密切

相關的物理性質參數(shù)，常簡稱為物性量或物性參數(shù)，其量綱為W/(m℃),它反映了物

質微觀粒子傳遞熱量的特性。

?般而言，不同物質的導熱機理是不同的。氣體是依靠其分子無規(guī)則的熱運動

而造成分子間碰撞和遷移來實現(xiàn)熱量傳遞的。固體物質則是依靠其晶格振動來實現(xiàn)

熱量傳遞的(即所謂的“彈性波”傳遞)。對于金屬物質，由于晶格間自由電子的

存在，其在熱運動下的漂移就構成傳遞熱量的主要機制。液體物質的導熱機理更類

似于氣體，而分子的密集程度類似于固體，分子間的引力會對導熱過程產(chǎn)生較大影

響，因而液體導熱的機制是一種綜合的作用，因而是以碰撞漂移為主還是“彈性波”

效應，至今尚無定論。

因而導熱系數(shù)是物質

溫度和壓力的函數(shù)。由于物質溫度和壓力的高

低直接反映物質分子的密集程度和熱運動的強

弱程度，直接影響著分子的碰撞、晶格的振動

和電子的漂移，故物質的導熱系數(shù)與溫度和壓

0

力密切相關。但是由于固體和液體的不可壓縮)

、

性，以及氣體導熱系數(shù)在較大壓力范圍變化不邑

大，因而一般把導熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù),Y、

而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關系來

描述，即

/L=4)(1+/?T)2—7

式中，九°為參考溫度下的導熱系數(shù)，b為一實

驗常數(shù)。

各種物質的導熱系數(shù)數(shù)值均由實驗確定。0.02

各類物質的導熱系數(shù)數(shù)值的大致范圍及隨溫度0.01

0.006

變化的情況示于圖2—4中。-ISO-50020060010001500

//?C

圖2—4各種物質導熱系數(shù)數(shù)值的大致范圍

2-2導熱微分方程式

導熱系統(tǒng)

傅里葉定律確定了溫度梯度和

熱流密度之間的關系，而要確定物

體的溫度梯度就必須知道物體的溫

度場，即溫度分布。因此，導熱分

析的首要任務就是確定物體內(nèi)部的

溫度場。在這里我們以能量守恒定

律和傅里葉定律為基礎，分析物體

（系統(tǒng)）中的微元體，得出反映導

熱現(xiàn)象基本規(guī)律的導熱微分方程

式。圖2—5給出了一個導熱系統(tǒng)及

其在直角坐標系中的一個微元體

dxdydz,為分析問題的方便，取系統(tǒng)

的物性量,密度"比熱c和導熱系數(shù)

九均為常數(shù)。圖2—5直角坐標中導熱系統(tǒng)與其微元體

根據(jù)能量守恒定律，單位時間

凈導入微元體的熱量/Qd加上微元體內(nèi)熱源生成的熱量/以應等于微元體焰的增加

量AE,即

△Q.+A2,=AE?2—8

根據(jù)傅里葉定律，在“出寸間內(nèi)，在x方向上導入的熱量為-/l史dMzdr,而

dx'

導出的熱量為-4金。+包。因此，在x方向上凈導入的熱量為

dxdx

A^dxdydzdr。

dx

同理可導出，在y方向上凈導入的熱量為/1々公辦以47,

Sy

o2.

而在Z方向上凈導入的熱量為/lTdxdydzdr。于是有

及

ACd~td-t..,,,

△Qd=%(W+3TT+—y}dxdydzdT。

dxdydz

微元體內(nèi)熱源在ch時間內(nèi)生成的熱量為

△Q=，

vqvdxdydzdr(b)

式中，名為單位時間單位體積的內(nèi)熱源發(fā)熱量，單位為W/，/。

微元體在“樹間內(nèi)焰的增加量為

dt

AE8瓦dxdydzdr。

將式(a),(b),⑹代入(2—8)中，并且兩邊同時除以dxdy/zdr，則可以得到

dt,.d2td2td2t..

2—9a

上式亦可寫為

dt.d2td2td2t.q口，q

vv2—9b

drdx"dydz"pcpc

式中，力為拉普拉斯算子；稱熱擴散系數(shù)，單位為〃//5。

熱擴散系數(shù)。也是一個物性參數(shù)，從其物理量的組成表明了物質導熱特性與其

貯存熱能特性的對比關系，因而反映了物質導熱的動態(tài)特征。對于相同大小的物質

系統(tǒng)，在加熱或冷卻的過程中，熱擴散系數(shù)越大的物質，其內(nèi)部溫度趨于一致的能

力越大。由此也可將熱擴散系數(shù)稱為導溫系數(shù)。

式(2-9)為導熱系統(tǒng)的導熱微分方程式。它表述了導熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場隨時間

和空間的變化規(guī)律，是導熱溫度場的場方程。

對于穩(wěn)態(tài)溫度場，包=0,則式(2-9)變?yōu)?/p>

dr

V2/+生=0..dtdtdtq

或—+—r+—+^-v0,2—10

2dx-dy-dz'2

此式常稱為泊桑方程。如果無內(nèi)熱源存在，則方程變?yōu)?/p>

駕+空+駕=0

V2r+=0或2-11

dx'dy~dz'

此式則稱為拉普拉斯方程。它是研究穩(wěn)態(tài)溫度場最基本的微分方程式。

由于我們是在?般意義下從能量守恒定律推導出來的導熱微分方程式，因而反

映系統(tǒng)內(nèi)能變化的一切導熱問題的溫度場都是可以用導熱微分方程式來加以描述

的。這也就是說，導熱微分方程是導熱問題的普適性方程，也常常稱之為支配方程

或主導方程，一切導熱問題的溫度場都必須滿足導熱微分方程式。但對于具體的導

熱問題，還必須給出反映該問題特征的單值性條件，最后才能通過分析求解而得出

滿足該導熱問題的特定溫度場。導熱問題的單值性條件通常包括如下四項：

幾何條件一一表征導熱系統(tǒng)的幾何形狀和大?。▽儆谌S，二維或一維問題）;

物理條件一一說明導熱系統(tǒng)的物理特性（即物性量和內(nèi)熱源的情況）；

初始條件一一（又稱時間條件，反映導熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)）和

邊界條件一一反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間

的關系。

由于幾何條件和物理條件可以在導熱微分方程式以及初始條件和邊界條件中

反映出來。因此，從數(shù)學求解的層面上講，微分方程式加上初始條件和邊界條件就

構成?個微分方程的定解問題。下面我們著重討論一下導熱系統(tǒng)的初始條件和邊界

條件。

微分方程的初始條件就是給出導熱過程初始瞬間系統(tǒng)內(nèi)的溫度分布。數(shù)學表達

式為

f=/（x,y,z,O）o

如果初始溫度分布是均勻恒定時，則有f=「常數(shù)。

對于穩(wěn)態(tài)導熱問題則不需要初始條件。

微分方程的邊界條件是用來描述導熱系統(tǒng)在邊界上的熱量傳遞特征的。常見的

有如下三類：

?

a.第一類邊界條件b.第二類邊界條件c.第三類邊界條件

圖2—6三類邊界條件的給定

（1）第一類邊界條件一該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度分布，它可以是時間和空

間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值，如圖2-6a所示的

X=.時f=/,(y,z,r)；

(2)第二類邊界條件一該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當于給定邊界

上的熱流密度，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值，

如圖2-6b所示的x=x^Sdt/dx-f2(y,Z,t)；

(3)第三類邊界條件一該條件是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定

系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個量可以是時間和空間

的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值，如圖2-6c所示的

x=X1時一2%/3x=a(t-J)。

對于穩(wěn)態(tài)導熱問題則不需要初始條件。

利用坐標變換，我們可以把直角坐標系中的導熱微分方程式變換為圓柱坐標系

或球坐標系中的導熱微分方程式，這兩種坐標系中的導熱微元體如圖2—7所示。

各自的微分方程形式為：

對于圓柱坐標系

dt.d2t1dt1d2td2t.qc

丁=a(r+-k+r-r+r)+-v2—12

drdr"rdrr'd(p-dz"pc

對于球坐標系

2

dtr1d,2.1d..adt.1dtqv

drdrdrr~sin^d3dOr~sin-0d(p~pc

2—13

這兩種坐標系中的導熱微分方程式也有其在空間坐標和時間坐標上的相應的

簡化形式，這里不再列出。

a.圓柱坐標系b.球坐標系

圖2—7兩種坐標微元體示意圖

2-3一維穩(wěn)態(tài)導熱分析

在穩(wěn)態(tài)情況下，利用導熱微分方程式加上邊界條件就可以求解微分方程式而得

出相應系統(tǒng)的溫度場，進而利用傅里葉定律求出熱流場。在這一節(jié)里，我們將就工

程實際中常用的一維穩(wěn)態(tài)導熱問題，如通過平壁的導熱，通過圓筒壁的導熱，進行

分析。

1通過平壁的導熱

所謂平壁，就是板狀物體，也可以俗稱為大平板。它的長度和寬度都遠大于其

厚度，因而平板兩側保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導熱就可以歸納為維穩(wěn)態(tài)導熱問

題。從平板的結構可分為單層壁，多層壁和復合壁等類型，如圖2—8所示。

a.單層壁導熱b.多層壁導熱c.復合壁導熱

圖2—8—維平壁導熱示意圖

I」通過單層平壁的導熱

單層壁穩(wěn)態(tài)導熱的物理模型如圖2—9所示，其導熱微分方程式為

=02—14

在不同的邊界條件下可求出不同的溫度分布和熱流量。

最簡單的求解情況是在第一類邊界條件下且無內(nèi)

熱源，同時平壁材料的導熱系數(shù)為常數(shù)的導熱問題

此時微分方程和邊界條件可寫為X=X0(]+bt)2^)

X—t~)o

積分（a）式得到t=ctx+C2，并代入邊界條件（b）,圖2-9通過單層壁導熱

（c），即可得到平壁中的溫度分布

x+八或

可見，在無內(nèi)熱源而導熱系數(shù)又為常數(shù)的情況下，平壁的溫度分布是線性的，即為

一條直線，如圖2—9所示。

由傅里葉定律q=-/l包在對上式求導后代入可得，

。中…）或q

這就是計算通過平壁的導熱熱流密度的公式，后一種形式是熱阻表達式。那么，通

過整個平壁表面的熱流量的計算式則為

2=4^1~12)A或Q=

OO

24

上式中的后?種形式也是熱阻表達式。應注意到，2—16式中的%為單位面積的

導熱熱阻m2℃AV,而2—17式中的%/達）則為平壁的導熱熱阻。C/W。

如果平壁的導熱系數(shù)不為常數(shù)，在設定導熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)，即

2=2（1+^）的情況下，微分方程和邊界條件變?yōu)?/p>

—U0(l+/>/)—)=0(a)

dxdx

x=0,/=G(b)

X—5,t—12(C)

最后可求得其溫度分布為

G

12+」G)「

2-18

(f2Tl[l+,G+乙)S

而熱流密度計算式為

q=A)1+1(z2+ti)，才?

或4=2—19

式中4"=(4+4)/2=4)[1+比1+?2)/2]=4)(1+9,“)，從中不難看出，Am

為平壁兩表面溫度下的導熱系數(shù)值的算術平均值，亦為平壁兩表面溫度算術平均值

下的導熱系數(shù)值。

從溫度分布函數(shù)的形式可以看出，在無內(nèi)熱源但導熱系數(shù)線性變化的情況下，

溫度分布為拋物線分布，如圖2—9所示，其拋物線的凹向取決于系數(shù)b的正負。

如果平壁內(nèi)有均勻的內(nèi)熱源外,且認為導熱系數(shù)為常數(shù)幾=const.和平壁兩邊

圖2—10含源平壁導熱問題

積分該微分方程可以得到f=-出1++再代入上述邊界條件得到相應溫

22'

度分布

t=Z.+—(<^2-X2)?2—20

w22

溫度分布曲線示于圖2—10中。它也是一條拋物線，其頂點在平板的中心。

2

可以求得中心溫度為tc=tw+qv8/(22)?2-21

也可以求出平壁中的熱流密度為q=qvx，而壁面上則為qK=qv3。

例2—1有一磚砌墻壁，厚為0.25m。已知內(nèi)外壁面的溫度分別為25℃和30七。試計算墻壁

內(nèi)的溫度分布和通過的熱流密度。

解：由平壁導熱的溫度分布上工~=:代入已知數(shù)據(jù)可以得出墻壁內(nèi)t=25+20x的溫度分布

<2~h6

表達式。再從附錄查得紅磚的入=0.87W/(m℃),于是可以計算出通過墻壁的熱流密度

q--/)=-17.4IV/W2。

62

例2—2某一維導熱平板，平板兩表面穩(wěn)定分布為力和t2。在這個溫度范圍內(nèi)導熱系數(shù)與溫

度的關系為入=1/(伙)。求平板內(nèi)的溫度分布。

解：一維穩(wěn)態(tài)導熱微分方程為色心包]=0,將大=1/(供)代入后積分得出:

dx\dx)

匕二=q,分離變量為蟲=為；小，積分得到Int邛JX+C2

\pt)dxt

代入邊界條件當x=0時1=1[c2=Int|；

而當x=3時t=b有In匕邛cR+Int],得出q=—In—；

于是溫度分布為Int=—/w-x+或寫為t=exp|—+Int1

b八W八

1.2通過多層壁的導熱

由不同材料的平板組成的壁面稱為多層壁，建筑物的墻壁和工業(yè)爐的爐墻都可

以看著是多層壁的結構，這也是多層壁導熱問題的實際例子。

多層壁的導熱分析是通過對每一層的導熱分析而得到其相應的溫度分布的。對

于導熱系數(shù)為常數(shù)的多層壁，其溫度分布應為一條折線。圖2—11顯示一個三層壁

導熱問題。

在穩(wěn)態(tài)情況下由熱流平衡原則可知，通過多層壁的熱流密度亦為通過每一層的

熱流密度，即4=工1夕=與二夕=與二工

O,/，/，/

由和分比關系，上式可以寫為

2—22a

推廣到n層壁的情況，則有

2—22b

圖2-11通過多層壁的導熱

這里應該注意到，在推導多層壁導熱的公式時，假定了兩層壁面之間是保持了

良好的接觸，要求層間保持同一溫度。而在工程實際中這個假定并不存在。因為任

何固體表面之間的接觸都不可能是緊密的，見圖2—12。在這種情況下，兩壁面之

間只有接觸的地方才直接導熱，在不接觸處存在空隙，熱量是通過充滿空隙的流體

的導熱、對流和輻射的方式傳遞的，因而存在傳熱

阻力，稱為接觸熱阻。有時接觸熱阻遠大于導熱熱X,

阻，這是因為空隙中填充著不流動的空氣，而空氣

的導熱性能又遠低于固體的原故。接觸熱阻是普遍t2[pt

存在的，而目前對其研究又不充分，往往采用一些一\rL

實際測定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。通常，對于導熱系數(shù)較小的

多層壁導熱問題接觸熱阻多不予考慮；但是對于金-------、--------At

屬材料之間的接觸熱阻就是不容忽視的問題。"

圖2—12表面接觸熱阻示意圖

例2-3由三層材料組成的加熱爐爐墻。第一層為耐火

磚。第二層為硅藻土絕熱層，第三層為紅磚，各層的厚度及導熱系數(shù)分別為京=240mm,

X|=1.04W/(m℃),b2=50mm,瓦=0.15W/(m，C),8,=115mm,X3=0.63W/(m℃)o爐墻內(nèi)側耐

火磚的表面溫度為1000-C,爐墻外側紅磚的表面溫度為60℃。試計算硅藻土層的平均溫度

及通過爐墻的導熱熱流密度。

解：已知51=0.24m,均=1.04W/(m，C)

§2=0.0501,X2=0.15W/(m-r)

83=0.115m,九3=0.63W/(m，C)

t|=KXXTCt2=60℃

q=,q=1259W/，”2

疝+卷+%

44%

t2=,1?■疤=7(xrc

4

t3=h_g"=289'C

硅藻土層的平均溫度M空=49%

2通過圓筒壁的導熱

圓筒壁就是圓管的壁面。當管子的壁面相對于管長而言非常小，且管子的內(nèi)外

壁面又保持均勻的溫度是時，通過管壁的導熱就是圓柱坐標系上的一維導熱問題。

這里僅討論穩(wěn)態(tài)的情況。

2.1通過單層圓筒壁的導熱

山單一材料制成的圓管管壁中的導熱是典型的通過單層圓筒壁導熱的例

子。圖2—13給出一圓筒，其內(nèi)外半徑分別為r,和口,長為L,內(nèi)外表面分別維持均

勻不變的溫度L和t2,材料的導熱系數(shù)為大，且為常數(shù)。那么在圓柱坐標中，微分方

程和邊界條件可寫為

7=1

積分上面的微分方程兩次得到其通解為

t=cxf.nr+c2。

代入邊界條件后得到積分常數(shù)圖2—13單層圓筒壁的導熱問題

C1=仁殳；，2=。-仁豆0〃八。于是得出圓筒壁的溫度分布為

In—f.n—

r2rz

dn-

?"Z|=—。2—23

L'勿豆

r\

不難看出圓筒壁內(nèi)的溫度分布是一條對數(shù)曲線，示于圖2—13中。

利用傅里葉定律Q=-4包(2勿2),又因包=幺,故而通過圓筒壁的導熱量

drdrr

為：

Q=-2)=/l。2-24

￡n2tn-

八ITCAL4

如果上述導熱問題中，材料的導熱系數(shù)不為常數(shù)，且有九=%(1+切)。此時,

通過圓筒壁的導熱量由傅立葉定律可以表示為Q=-4(1+bt)—{17rrL)。由于在

dr

穩(wěn)態(tài)條件下Q=常數(shù)，因而可以用分離變量積分的辦法得到其溫度分布，即

L2」二_1\_

力+?伍+。)￡〃殳2—25

L/」八

不難看出變導熱系數(shù)的溫度分布仍然是一條對數(shù)曲線。進而也就可以得到通過圓筒

壁的熱流量

。72

Q=2-26

2二“id

式中，4.=4)1+](6+%)=4)(1+初〃J，為圓筒壁的平均導熱系

數(shù)=4上殳為內(nèi)外壁面溫度的算術平均值。

2.2通過含內(nèi)熱源圓柱體的導熱

含源圓柱體的導熱問題在工程上是常常會遇到的，如求通電圓柱體內(nèi)的溫度分

布問題。在導熱系數(shù)為常數(shù)的情況下，其方程和邊界條

件為

、dt八

r=0,-=0;

dr

圖2-14含內(nèi)熱血圓柱體的導熱

(第二個邊界條件也可以用第三類邊界條件，其結果一

樣。)

積分上面的微分方程兩次有r="+cr+q，代入邊界條件后得到

4/1

c,=0,c2=九+磐.于是可以整理得出圓柱體內(nèi)的溫度分為:

它是一條拋物線，示于圖2—14中。圓柱體中溫度最高點在圓柱體的中心溫度為:

2—28

由傅里葉定律q=-Adt/dr可以得出圓柱體內(nèi)的熱流密度分布q:，而通

2A

過壁面的熱流量是。=的￡/。2—29

例2—4有一圓管外徑為50mm,內(nèi)徑為30mm,其導熱系數(shù)為25W/(m℃),內(nèi)壁面溫度為40

°C外壁面溫度為20℃。試求通過壁面的單位管長的熱流量和管壁內(nèi)溫度分布的表達式。

解：由通過圓筒壁的熱流計算公式求得%=T*=12025=6150.0295W/,”。

------^n-------tn—

2祖I]50萬15

tn—

再由圓筒壁的溫度分布，二生=一工代入已知數(shù)據(jù)有—=""暇5，最后得出

加立20