向量綜合應用向量綜合應用/NUMPAGES7向量綜合應用向量綜合應用向量的綜合應用一、相關知識要點1、數(shù)量積的定義：其中，，是與的夾角，范圍是2、，向量垂直的充要條件：向量a與非零向量b共線的充要條件：3、向量的模：二、主要應用途徑平面向量是高中數(shù)學近幾年新增的內(nèi)容，以向量為背景，一些傳統(tǒng)的中學數(shù)學內(nèi)容和問題就有了新的內(nèi)涵，積極探索向量在數(shù)學中各方面的應用，不僅可深入了解數(shù)學教科書中新增內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容的內(nèi)部聯(lián)系，構(gòu)建合理的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)；而且有利于拓展想象力，激發(fā)創(chuàng)新活力。顯現(xiàn)出向量作為一個工具在數(shù)學中的重要性由于向量集數(shù)、形于一體，也就是它既有代數(shù)的運算性質(zhì)，又有幾何的圖形特征，因而許多代數(shù)、幾何中的問題都可以轉(zhuǎn)化為向量來處理，它不僅能解決數(shù)學學科本身的問題，跨學科應用也是它的一個特點。主要包括以下幾個方面：1、向量知識與三角知識的整合2、向量知識與幾何知識的整合3、向量知識與函數(shù)知識的整合三、典型例題分析1、向量知識與三角知識的整合例1．設函數(shù)f(x)=,其中向量=(2cosx,1)，=(cosx,sin2x)，x∈R.若將函數(shù)f(x)按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函數(shù)y=2sin2x的圖象，求分析：先通過向量的數(shù)量積建立函數(shù)關系式，再利用向量平移公式建立方程，求出m、n解：依題設得：f(x)==2cos2x+sin2x=2sin(2x+)+1，將函數(shù)f(x)的圖象按向量=(m，n)平移后得到函數(shù)。y=2sin［2(x-m)+］+1+n的圖象，即是函數(shù)y=2sin2x的圖象.（由向量的關系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)）yxoL∵|m|<∴m=，yxoL向量與三角函數(shù)結(jié)合，顯得十分和諧、貼切。2、向量知識與幾何知識的整合例2．已知＝（2，1）,動點M滿足︱-︱=1.又直線L過點A（1，－2）且L的方向向量為＝（1，1）。求點M到直線L的最短距離。(1)︱-︱=1表示什么？(2)已知點和方向向量如何求直線方程？(3)M到L的最短距離怎樣求？解：設M(x,y)，由︱-︱=1可求得M的軌跡方程為(x-2)2+(y-1)2=1L方向向量為=(1,1)，且過A(1,-2)于是可求得L的方程為y+2=x-1即x-y-3=0∴M到L的最小距離為d=例3．設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，若點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明：A、O、C三點共線．xyxyoBCA（1）證斜率相等（2）利用定比分點公式（3）證點C在直線AO上（4）利用向量法如何用向量法證明兩向量共線?xyxyoBCAFR變式練習：（1）……若已知A、O、C三點共線,求證：BC∥x軸（2）在例3前提下若OM⊥AB，垂足為M，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。命題有垂直的條件可用向量建立關系OM⊥AB答案：M的軌跡方程是變式(3)：若,求點R的軌跡方程（3）解：設R(x,y)，由得(x,y)=即：2px=y2-y1y2又與共線,代入上式即得：小結(jié)：用向量法處理解幾中的平行、垂直、共線、軌跡等問題時，目標是將幾何問題坐標化、數(shù)量化。3、向量知識與函數(shù)知識的整合例4、已知=,=,且存在實數(shù)k和t,使得,且.試求的最小值。解：由題意有，，∵∴∵∴∴∴∴即t=－2時，最小值為說明：用向量關系轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題練習：已知，，函數(shù)f(x)=的圖象在y軸上的截距為1，在x=2處切線的方向向量為：，并且函數(shù)當x=1時取得極值。求f(x)的解析式并求f(x)的單調(diào)區(qū)間答案：f(x)＝2x4-4x2+1f(x)的單調(diào)增區(qū)間為思考：若K=f(t),討論函數(shù)f(t)的單調(diào)性與極值由上例可知，K=f(t)，t∈R，令f’(x)＝0得，當t∈(－∞，－1)時，f’(t)＞0即f(x)單調(diào)遞增當t∈(－1，1)時，f’(t)＜0即f(x)單調(diào)遞減當t∈(1，∞)時，f’(t)＞0即f(x)單調(diào)遞增∴當t＝－1時K=f(t)有極大值，當t＝1時K=f(t)有極小值4、向量知識與其它知識的整合從原點出發(fā)的某質(zhì)點M，按向量移動的概率為，按向量移動的概率為.設M到達(0,n)點的概率為Pn，求Pn分析:M到達點(0,n)有兩種情形：(1)從點按向量移動到點，此時概率為；(2)從點按向量移動到點，此時概率為.(0,n-1)(0,n-2(0,n-1)(0,n-2)?(0,n)??∵兩種情形是互斥的，故有，即.又易得，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列.于是，以下略（由同學們課后完成）本題是用向量“包裝”的概率題，又與數(shù)列結(jié)合，使呆板、平淡的數(shù)學題充滿活力和無窮魅力！小結(jié)1．本節(jié)課主要復習了平面向量與