復變函數(shù)與積分變換第四章級數(shù)_第1頁
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文檔簡介

1一、冪級數(shù)的概念第二節(jié)冪級數(shù)三、典型例題四、小結(jié)二、收斂圓與收斂半徑2一.冪級數(shù)1)在復變函數(shù)項級數(shù)中,形如的級數(shù)稱為冪級數(shù).3----阿貝爾Abel定理如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散,那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足2)收斂定理4(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).此時,級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.二、收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂半徑的情況有三種:對所有的正實數(shù)都收斂.即級數(shù)在復平面內(nèi)處處收斂.(2)對所有的正實數(shù)除外都發(fā)散.5在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進行具體分析.注意..收斂圓收斂半徑6方法1:比值法方法2:

根值法4)收斂半徑的求法那末收斂半徑那末收斂半徑75)冪級數(shù)的運算與性質(zhì)8如果當時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當時,(2)冪級數(shù)的代換(復合)運算復變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為那末是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.它的和函數(shù)即(1)9(2)在收斂圓內(nèi)的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到,即(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,即或10三、典型例題解：級數(shù)的部分和為1112由阿貝爾定理知級數(shù)的收斂范圍為一單位圓域|z|<1，在此圓域內(nèi)，級數(shù)不僅收斂，而且絕對收斂。收斂半徑為1，并有13例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑解14解1516設(shè)|b-a|=R，那么當|z-a|<R時，上式右端的級數(shù)收斂，且其和為。因為z=b時，上式右端的級數(shù)發(fā)散，由阿貝爾定理知，當|z-a|>|b-a|=R時級數(shù)發(fā)散，所以上式右端的級

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