三年級雞兔同籠變例問題三年級雞兔同籠變例問題/三年級雞兔同籠變例問題雞兔同籠變例知識結(jié)構(gòu)一、雞兔同籠這個問題，是我國古代出名趣題之一．大體在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記錄了這個幽默的問題．書中是這樣表達的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳．求籠中各有幾個雞和兔？你會解答這個問題嗎？你想知道《孫子算經(jīng)》中是如何解答這個問題的嗎？二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：若是砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”．這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只；若是籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1．因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即473512（只）．顯然，雞的只數(shù)就是351223（只）了．這一思路奇異而奇異，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學家贊嘆不已．除此之外，“雞兔同籠”問題的經(jīng)典思路“假設法”．假設法順口溜：雞兔同籠很巧妙，用假設法能做到，假設里面所有是雞，算出共有幾個腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到．解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：（1）若是假設所有是兔，那么則有：雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實質(zhì)腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)（2）若是假設所有是雞，那么就有：兔數(shù)=（實質(zhì)腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當頭數(shù)相同時，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當腳數(shù)相同時，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學習的過程中，重視假設法的運用，浸透假設法的重要性，在今后的專題中，如工程，行程，方程等專題中也都會接觸到假設法例題精講【例1】某次數(shù)學競賽，共有20道題，每道題做對得5分，沒做或做錯都要扣2分，小聰?shù)昧?9分，他做對了多少道題？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法Page1of12【剖析】做錯(52079)(52)3(道)，因此，做對的20317(道)．【答案】17道【牢固】某次數(shù)學競賽，試題共有10道，每做對一題得6分，每做錯一題倒扣2分。小紅最后得44分，做對的題比做錯的題多______道?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2010年，學而思杯，3年級，第8題，假設思想方法【剖析】604482，做錯2道題，做對8道題，對的比錯的多6道?！敬鸢浮慷?道【例2】張明、李華兩人進行射擊競賽，規(guī)定每射中一發(fā)得20分，脫靶一發(fā)扣12分，兩人各射了10發(fā)，共得208分，其中張明比李華多64分，則張明射中___________發(fā)?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2010年，第8屆，希望杯，4年級，1試【剖析】張明得分（208＋64）2＝136分，依照雞兔同籠，張明脫靶（20×10－136）（20＋12）＝2，射中8發(fā)。【答案】8發(fā)【牢固】有兩次自然測試，第一次24道題，答對1題得5分，答錯(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測試共答對30道題，但第一次測試得分比第二次測試得分多10分，問小明兩次測試各得多少分？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】法一：若是小明第一次測試24題全對，得524120(分).那么第二次只做對30246(題)得分是862(156)30(分).兩次相差1203090(分).比題目中條件相差10分，多了80分.說明假設的第一次答對題數(shù)多了，要減少.第一次答對減少一題，少得516(分)，而第二次答對增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加8210分.兩者兩差數(shù)即可減少61016(分).(9010)(610)5(題).因此，第一次答對題數(shù)要比假設(全對)減少5題，也就是第一次答對19題，第二次答對301911(題).第一次得分5191(249)90.第二次得分8112(1511)80.Page2of12法二：答對30題，也就是兩次共答錯2415309(題).第一次答錯一題，要從滿分中扣去516(分)，第二次答錯一題，要從滿分中扣去8210(分).答錯題互換一下，兩次得分要相差61016(分).若是答錯9題都是第一次，要從滿分中扣去69.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了6910.因此，第二次答錯題數(shù)是(6910)(610)4(題).第一次答錯945(題).第一次得分5(245)1590(分).第二次得分8(154)2480(分).【答案】第一次得分90分.第二次得分80分.【例3】某旅游點有少兒票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，少兒票的價格為30元，成人票的價格為40元，若是是集體還可以買平均32元一位的集體票，一個由8個家庭組成的旅游團（每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個少兒組成）來景點旅游，若是他們買集體票那么可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】每個三口之家可以少花30404032314（元），每個二口之家可以少花40406416（元），若是這8個家庭都是三口之家，那么一共少花148112（元），因此這8個家庭中有（120112）（1614）4（個）家庭是二口之家，因此這個旅游團一共有42（84）320（人）．【答案】20人【牢固】下面是小波和售貨員阿姨的一段對話：小波：“阿姨，您好！”售貨員：“同學，你好．想買點什么？”小波：“我只有100元，請幫我安排買10支鋼筆和15本筆錄本．”售貨員：“好，每支鋼筆比每本筆錄本貴2元，退你5元，請拿好．再見．”依照這段對話，則鋼筆每支是元，筆錄本每本是元．【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2009年，學而思杯，4年級，第14題【剖析】一共花了100595元。若是是買25本筆錄本可以少花10220元，即75元。因此每本筆錄本3元，每支鋼筆5元【答案】5元【例4】買一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買了多少張Page3of12【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】解一:若是拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就相同多.(680-8×40)÷(8+4)=30(張),這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張.因此8分郵票有40+30=70(張).解二:比方,假設有20張4分,依照條件"8分比4分多40張",那么應有60張8分.以"分"作為計算單位,此時郵票總值是4×20+8×60=560.比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張).因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).【答案】4分有30張,8分有70張.【牢固】喜羊羊的存錢罐中只有5角和1元的硬幣共100枚，其中5角的硬幣比1元的硬幣多20元，喜羊羊的存錢罐中總合有________錢?！究键c】盈虧問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2010年，學而思杯，4年級，第3題【剖析】60元。200.540枚，10040320枚，20100200.560元?！敬鸢浮?0元【例5】大、小猴共35只，它們一起去采摘水蜜桃．猴王不在時，一只大猴一個小時可采摘15千克，一只小猴子一小時可摘11千克；猴王在場督查的時候，每只猴子不論大小每小時都可以多采摘12千克．一天，采摘了8小時，其中第一小時和最后一小時猴王在督查，結(jié)果共采摘了4400千克水蜜桃．在這個猴群中，共有小猴子多少只？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】其實大猴子和小猴子就相當于雞兔問題中的雞和兔．但是卻有猴王來搗亂，因此我們先讓猴王消失．一天中，猴王督查了2小時，假設猴王素來都不在，同猴王在時比較，每只猴子每小時都會少采12千克，那樣猴群只能采摘4400352123560(千克)；這是一天也就是8小時的工作量，據(jù)此可以求出這群猴每小時采35608445(千克)；假設都是大猴子，應該每小時采摘1535525(千克)，比實質(zhì)多采了52544580(千克)．而每只小猴子被假設成大猴子，會多采Page4of1215114(千克)．因此可以求出小猴子有：80420(只)．【答案】20只【牢固】箱子里紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只，每次從箱子里拿出7只白球、15只紅球．若是經(jīng)過若干次今后，箱子里剩下3只白球、53只紅球．那么箱子里原有紅球多少只？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】假設每次一起取7只白球和21只紅球，由于每次拿得紅球都是白球的3倍，因此最后剩下的紅球數(shù)應該恰好是白球數(shù)的3倍多2．由于每次取的白球和原定的相同多，因此最后剩下的白球應該不變，依舊是3個．依照我們的假設，剩下的紅球應該是白球的3倍多2，即33211(只)．但是實質(zhì)上最后剩了53只紅球，比假設多剩42只，由于每一次實質(zhì)獲取與假設比較少6只，因此可以知道一共取了4267(次)．因此可以知道原來有紅球71553158(只)．【答案】158只【例6】一份稿件,甲單獨打字需6小時完成.乙單獨打字需10小時完成,現(xiàn)在甲單獨打若干小時后,因有事由乙接著打完,共用了7小時.甲打字用了多少小時？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時打30÷6=5(份),乙每小時打30÷10=3(份).現(xiàn)在把甲打字的時間看作"兔"頭數(shù),乙打字的時間看作"雞"頭數(shù),總頭數(shù)是7."兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3,總腳數(shù)是30,就把問題轉(zhuǎn)變成"雞兔同籠"問題了.依照前面的公式"兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3)=4.5,"雞"數(shù)=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小時,乙打字用了2.5小時.【答案】4.5小時【牢固】某工人與老板簽訂了一份30天的勞務合同：工作一天可得酬金48元，休息一天則要從所得酬金中扣掉12元。該工人合同到期后并沒有拿到酬金，則他最多工作了_________天。【考點】和倍問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2005年，希望杯，第三屆，四年級，二試，第5題【剖析】方法一：假設他沒有休息他會得3048=1440（元），休息一天會少4812=60（元），因此他休息了144060=24（天），他工作了3024=6天方法二：工作一天休息4天恰好抵消，那么最后沒拿到錢，他只工作了30÷(4+1)=6天。Page5of12【答案】6天多個量的“雞兔同籠”【例7】有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對(蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀)，求蜻蜓有多少只？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】這是在雞兔同籠基礎上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)下手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數(shù)為618108(條)，所差11810810(條)，必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.因此，應有(118108)(86)5(只)蜘蛛.這樣剩下的18513(只)即是蜻蜓和蟬的只數(shù).再從翅膀數(shù)下手，假設13只都是蟬，則總翅膀數(shù)11313(對)，比實質(zhì)數(shù)少20137(對)，這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7(21)7(只).【答案】7只【牢固】犀牛、羚羊、孔雀三種動物共有頭26個，腳80只，犄角20只．已知犀牛有4只腳、1只犄角，羚羊有4只腳，2只犄角，孔雀有2只腳，沒有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有幾個呢？【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】這道題有三種不一樣樣的動物混雜在一起，這樣假設起來會比較麻煩，像前面的題相同，我們可以觀察一下：誠然有三種不一樣樣的動物，但是犀牛和羚羊都是4只腳，這樣，只看腳數(shù)，就可以把孔雀與這兩種動物分開，轉(zhuǎn)變成我們熟悉的“雞兔同籠”問題，今后再經(jīng)過犄角的不一樣樣，把犀牛和羚羊分開，也就是說我們需要做兩次“雞兔同籠”．假設26只都是孔雀，那么就有腳：26252（只），比實質(zhì)的少：805228（只），這說明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀?；蛄缪?，減少一只孔雀，就會增加腳數(shù)：422（只）．因此，孔雀有2628212（只），犀牛和羚羊總合有261214（只）．假設14只都是犀牛，那么就有犄角：14114（只），比實質(zhì)的少：20146（只），這說明犀牛多了羚羊少了，需要減少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，減少一只犀牛，犄角數(shù)就會增加：211（只），因此，羚羊的只數(shù)：616（只），犀牛的只數(shù)：1468（只）．［小結(jié)］這道題出現(xiàn)了三種動物，要點是搜尋不一樣樣動物的相同點，把三種動物化為兩類，先使用“雞兔同籠”問題的解法把其他特其他一種區(qū)分出來，再使用其他條件區(qū)分擁有相同點的動物．【答案】犀牛8只，羚羊6只，孔雀12只Page6of12【例8】食品店上午賣出每千克為20元、25元、30元的3種糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，則每千克20元的收入：25701970600元，因此賣出：6002030千克，因此賣出每千克25元和每千克30克的糖果共1003070千克，相當于將題目變換成：賣出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，問：每千克25元的糖果售出了多少千克？變換成了最基本的雞兔同籠問題．假設所有是每千克25元的，197025703025=44（千克），因此30元的是44千克，因此25元的有：7044=26（千克）要點：將三種以及更多的動物/東西，轉(zhuǎn)變成兩種最基本模型。即：抓住轉(zhuǎn)變后的“頭”與“腳”?！敬鸢浮?6千克【牢固】08年春，我國南方碰到到重要雪災，實驗小學三年級一班的42名同學給南方的災區(qū)捐款450元。其中有12名同學每人捐5元，其他同學捐10元或20元，則捐10元的出名，捐20元的有名?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2008年，學而思杯，3年級，第8題，假設思想方法【剖析】由題意，4212=30（名）同學捐10元或20元，一共捐了450125390（元），那么捐20元的同學有：(3901030)(2010)9（人），捐10元的有：30921（名）?！敬鸢浮?1名【例9】某場足球賽賽前售出甲、乙、丙三類門票共400張，甲類票50元／張，乙類票40元/張，丙類票30元/張，共收入15500元，其中乙類、丙類門票張數(shù)相同．則甲類、乙類、丙類門票分別售出多少張?【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2010年，希望杯，第八屆，四年級，二試，第14題【剖析】雞兔同籠問題，乙類、丙類門票張數(shù)相同，則可以看作價格為35元／張的同一類門票．簡單得到甲類門票售出40050400155005035100張，乙類、丙類各售出(400-100)÷2=150張．【答案】甲門票售出100張，乙和丙售出150張Page7of12【牢固】商店銷售大,中,小氣球,大球每個3元,中球每個1.5元,小球每個1元.張老師用120元共買了55個球,其中買中球的錢與買小球的錢恰好相同多.問每種球各買幾個？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】由于總錢數(shù)是整數(shù),大,小球的價格也都是整數(shù),因此買中球的錢數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們設想買中球,小球錢中各出3元.即可買2其中球,3個小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個價格是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).從公式可算出,大球個數(shù)是(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個).買中,小球錢數(shù)各是(120-30×3)÷2=15(元).可買10其中球,15個小球.【答案】大球30個，中球10個。小球15個【例10】（2009“數(shù)學解題能力顯現(xiàn)"讀者評選活動三年級初賽11題）一些奇異的動物在草坪上聚會.有獨腳獸（1個頭、1只腳）、雙頭龍（2個頭、4只腳）、三腳貓（1個頭、3只腳）和四腳蛇（1個頭、4只腳）.若是草坪上的動物共有58個頭、160只腳，且四腳蛇的數(shù)量恰好是雙頭龍數(shù)量的2倍.那么，有_____________只獨腳獸參加聚會.【考點】雞兔同籠問題【難度】5星【題型】解答【要點詞】假設思想方法，迎春杯，整體法【剖析】方法一：列表剖析奇異動物的頭和腳以下：由于四腳蛇恰好是雙頭龍數(shù)量的2倍，因此可以將兩只雙頭龍和一個四腳蛇打捆，這樣每捆三個動物，4個頭12只腳，恰好是四個三腳貓，這樣本題就可以看作是兩類動物：一類是1個頭1只腳，一類是1個頭3只腳，兩類動物共計58個頭,160腳，假設法獨角獸只數(shù)為：58316031=7（只）方法二：設獨腳獸有x只，雙頭龍為y只，三腳貓有z只，則四腳蛇為2y只.依照題意，有x2yz2y58，即x4yz58，故4yz58x，則(58x)3160x，得x4y3z8y160x12y3z16012y3z160xPage8of127，即獨腳獸有7只.【牢固】希望小學的生物標本室里有蜻蜓，蟬，蜘蛛共11只，它們共有74條腿，10對翅膀，由圖7知該標本室里有只蜘蛛。圖7【考點】雞兔同籠問題【難度】4星【題型】填空【要點詞】2009年，第7屆，希望杯，4年級，1試，假設思想方法【剖析】這個題目就是有三種動物的雞兔同籠問題，需先轉(zhuǎn)變成兩種動物。蜻蜓與蟬有共同的特點，因此我們可以先把它們看作一種動物，取名叫蜻蟬。用假設法知：若是這11只所有是蜻蟬，則應長腿：11666（只），比實質(zhì)少了：74668（只），用一只蜘蛛去換一只蜻蟬，則就多2只，要多8只則需要蜘蛛824（只）?！敬鸢浮?只課堂檢測【隨練1】次數(shù)學競賽有10道試題，若小宇得70分，依照圖5中兩人的對話可知小宇答對_________題?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空【要點詞】2008年，希望杯，第六屆，五年級，一試，第12題【剖析】設答對了x道題，那么10x5(10x)70，因此x8，也就是小宇答對了8道題?！敬鸢浮?題【隨練2】一次口算競賽，規(guī)定：答對一題得8分，答錯一題扣5分。小華答了18道題，得92分，小華在此次競賽中答錯了________道題?！究键c】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】填空Page9of12【要點詞】2003年，希望杯，第一屆，四年級，二試，第12題【剖析】假設他全答對了，應該的18×8=144分，實質(zhì)上少了144-92=52分，每答錯一道題少8+5=13分，答錯了52÷13=4道題?！敬鸢浮?題【隨練3】3、小同有一個儲藏筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個；按錢數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；其他，還有36個1分幣．小同共存了多少錢？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法【剖析】假設去掉22個2分幣，那么按錢數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個5分幣比一個2分幣多3分，因此5分幣有84（52）28（個），2分幣有282250（個），52825013614010036276（分）．【答案】276分課后作業(yè)【作業(yè)1】在一次考試中有選擇題、填空題和解答題三類題共22道．選擇題和填空題每題4分，解答題每題10分．此次考試總分是100分，其中選擇題和解答題的分值比填空題多4分，此次考試有多少道選擇題？多少道填空題？多少道解答題？【考點】雞兔同籠問題【難度】3星【題型】解答【要點詞】假設思想方法，希望杯【剖析】選擇題和填空題的分值相同，可以歸為一類。若是此次考試的22道題所有是解答題，則總分應是：2210220(分)，但實質(zhì)總分是100分，因此選擇題和填空題共有：（220100）（104）20(道)，解答題有：22202(道)．選擇題比填空題少：210416(分)，選擇題有：（10021016）248(道)，填空題有：20812(道)．【答案】選擇題8題，填空題12題，解答題2題【作業(yè)2】某次數(shù)學考試考五道題,全班52人參加,共做對1