關于數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第1頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月前幾章我們學習了概率論的基本知識，從本章開始將學習數(shù)理統(tǒng)計的基本知識、理論和方法．數(shù)理統(tǒng)計是以對隨機現(xiàn)象觀測所取得的資料（數(shù)據(jù)）為出發(fā)點，以概率論為基礎來研究隨機現(xiàn)象的一門學科．概率論中，往往是在已知隨機變量分布的條件下，去研究它的性質(zhì)、特點和規(guī)律性，比如求隨機變量取某些特定值的概率、求隨機變量的數(shù)字特征、研究多個隨機變量之間的關系等．第2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第6章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念在數(shù)理統(tǒng)計中，我們所研究的隨機變量的分布往往是未知的，通過對隨機變量進行多次獨立重復的試驗和觀測，獲取數(shù)據(jù)，利用實際觀測數(shù)據(jù)研究隨機變量的分布，對其分布函數(shù)、數(shù)字特征等進行估計和推斷．本章作為數(shù)理統(tǒng)計基礎，學習總體、樣本、統(tǒng)計量與抽樣分布等有關概念，以及有關正態(tài)總體的重要的抽樣分布定理．第3頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)理統(tǒng)計學是一門應用性很強的學科。它研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出正確的推斷和預測，為采取正確的決策和行動提供依據(jù)和建議。

數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側(cè)重于應用隨機現(xiàn)象本身的規(guī)律性進行資料的收集、整理和分析。4第4頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎【質(zhì)量控制問題】

某食鹽廠用包裝機包裝的食鹽，每袋重量500g，通常在包裝機正常的情況下，袋裝食鹽的重量X服從正態(tài)分布，均值為500g，標準差為25g．為進行生產(chǎn)質(zhì)量控制，他們每天從當天的產(chǎn)品中隨機抽出30袋進行嚴格稱重，以檢驗包裝機工作是否正常．某日，該廠隨機抽取30袋鹽的重量分別為：

從這些數(shù)據(jù)看，包裝機的工作正常嗎？475500485454504439492501463461464494512451434511513490521514449467499484508478479499529480第5頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1總體和樣本6.1.1總體與個體

總體或母體指我們研究對象的全體構成的集合，個體指總體中包含的每個成員．例如，在研究某高校學生生活消費狀況時，該校全體學生就是一個總體，其中每一個學生是一個個體；在人口普查中，總體是某地區(qū)的全體人口，個體就是該地區(qū)的每一個人．第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎第6頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.1總體與個體我們研究總體時，所關心的往往是總體某方面的特性，這些特性又常?？梢杂靡粋€或多個數(shù)量指標來反映．例如，在研究某高校學生生活消費狀況時，關心的可能是學生們每月的生活消費額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，關心的可能是這些燈泡的壽命和光亮度等．這時總體指一個或多個數(shù)量指標，這些數(shù)量指標對我們來說是不了解或者說是未知的，我們可以用一個或多個隨機變量來表示它們．第7頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，總體可以是一維隨機變量，也可以是多維隨機變量．例如，在研究某高校學生生活消費狀況時，可以用X表示月生活消費額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時，可以分別用X，Y表示燈泡的壽命和光亮度，那么，對上面兩個問題的研究就轉(zhuǎn)化為對總體X和總體(X，Y)的研究了．

6.1.1總體與個體第8頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.2樣本與抽樣實際應用中，為了研究總體的特性，總是從總體中抽出部分個體進行觀察和試驗，根據(jù)觀察或試驗得到的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)．我們把從總體中抽出的部分個體稱為樣本，把樣本中包含個體的數(shù)量稱為樣本容量，把對樣本的觀察或試驗的過程稱為抽樣，把觀察或試驗得到的數(shù)據(jù)稱為樣本觀測值（觀測數(shù)據(jù)），簡稱樣本值．第9頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，在質(zhì)量檢驗中，隨機抽出n件產(chǎn)品，測得的數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn，就稱它們是樣本觀測值．在抽樣前，不知道樣本觀測值究竟取何值，應該把它們看作為隨機變量，記作X1，X2，...，Xn，稱其為容量為n的樣本.

（在不會混淆的情況下，有時我們也將觀測數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn稱為樣本，如“質(zhì)量控制問題”中的30個數(shù)據(jù)，也可以說成是一個容量為30的樣本）．6.1.2樣本與抽樣第10頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

在應用中，我們從總體中抽出的個體必須具有代表性，樣本中個體之間要具有相互獨立性，為保證這兩點，一般采用簡單隨機抽樣．

定義6.1一種抽樣方法若滿足下面兩點，稱其為簡單隨機抽樣：(1)總體中每個個體被抽到的機會是均等的；(2)樣本中的個體相互獨立．由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本．如果沒有特殊說明,以后所說樣本均指簡單隨機樣本．6.1.2樣本與抽樣第11頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設X1，X2，...，Xn是從總體X中抽出的簡單隨機樣本，由定義可知，X1，X2，...，Xn有下面兩個特性：(1)代表性：X1，X2，...，Xn均與X同分布，即若X

F(x)，則對每一個Xi都有Xi

F(xi)，i=1，2，…，n(2)獨立性：X1，X2，...，Xn相互獨立.由這兩個特性可知，若X的分布函數(shù)為F(x)，則X1，X2，...，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn)=F(x1)F(x2)…F(xn)若X具有概率密度為f(x)，則X1，X2，...，Xn的聯(lián)合概率密度為f(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)6.1.2樣本與抽樣往往是未知或不完全知道的，是需要通過樣本來進行研究和推斷的．第12頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若X連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，則X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度為則X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為若X離散型隨機變量，其分布律為第13頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.2.4設總體X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本，求樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布（稱為樣本分布）。解:X的分布律為所以樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為第14頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.2.5設總體X～N(μ,б2)，X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本，求樣本X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度。第15頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月【習題1】設總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，X1，X2，X3，X4為來自X的樣本，求X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度和聯(lián)合分布函數(shù)．

解：X的概率密度為其分布函數(shù)為則X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度為：6.1.2樣本與抽樣第16頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.2樣本與抽樣由于X的分布函數(shù)為X1，X2，X3，X4的聯(lián)合分布函數(shù)為

第17頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月定義1設X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函數(shù),若g中不含任何未知參數(shù),則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量.樣本平均值

設x1,x2,…,xn是相應于樣本X1,X2,…,Xn的樣本值,則稱g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值.樣本方差6.2統(tǒng)計量第18頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本標準差樣本k階(原點)矩樣本k階中心矩它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息第19頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月它們的觀察值分別為

第20頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月注：樣本矩反應了總體相應矩的信息。樣本k階(原點)矩第21頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設為來自總體X的樣本，為來自總體Y的樣本，稱說明：1.樣本原點矩反映樣本的平均特征，樣本中心矩反映樣本的離散特征，樣本協(xié)方差反映兩個樣本的相關程度。2.樣本數(shù)字特征是隨機變量，但對一組樣本觀察值，得到的樣本數(shù)字特征觀察值是一個具體的數(shù)，我們通常把這個數(shù)也稱為樣本均值、樣本方差、樣本相關系數(shù)等。第22頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月順序統(tǒng)計量說明：1.對兩次抽樣，盡管觀察值由小到大的排列順序可能改變，但對順序統(tǒng)計量來說，改變的僅是其取值，其形式不變。2.順序統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，因而是隨機變量。定義6.6

設()是樣本()的一組觀察值，將按由小到大的順序排列成。設，記

k=1，2，…，n.稱()為()的順序統(tǒng)計量。第23頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論1.是統(tǒng)計量。第24頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例*設總體X的期望、方差分別為X1，X2，…，Xn為來自總體X的樣本，其樣本均值和樣本方差分別記為。求第25頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月由于所以第26頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)抽樣分布

設X1,X2,…,Xn是來自總體N(0，1)的樣本，則稱統(tǒng)計量服從自由度為n的分布，記為分布的概率分布密度為1、

分布第27頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

分布具有以下性質(zhì):第29頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月標準正態(tài)分布的分位點也類似定義，標準正態(tài)分布的上分位點記為,它滿足其中Z～N(0,1)。

對不同的分布的上分位點的值已制成表格，可以查用。第30頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、t分布

設X~N(0,1),Y~,且X與Y相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t分布,記為t~t(n)。t(n)分布的概率密度函數(shù)為第31頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月t(n)分布的概率密度函數(shù)關于t=0單峰對稱第32頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月當n很大時t(n)分布接近于標準正態(tài)分布，利用Γ函數(shù)的性質(zhì)可以證明當n較小時，t(n)分布與N(0,1)分布之間有較大差異。t(n)分布的上分位數(shù)記為，即滿足t分布的上分位數(shù)可由附表查得。當n>45時，有第33頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設且U與V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為(n1，n2)的F分布，記為F～F(n1，n2)3、F分布

F(n1,n2)分布的概率密度函數(shù)為第34頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若F～F(n1,n2)，則第36頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若F~F(n1,n2),則F分布的上分位點有如下的性質(zhì)：第37頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月4、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布第38頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1總體和樣本

6.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)如前所述，數(shù)理統(tǒng)計所研究的實際問題（總體）的分布一般來說是未知的，需要通過樣本來推斷．但如果對總體一無所知，那么，做出推斷的可信度一般也極為有限．在很多情況下，我們往往可以通過具體的應用背景或以往的經(jīng)驗，再通過觀察樣本觀測值的分布情況，對總體的分布形式有個大致了解．觀察樣本觀測值的分布規(guī)律，了解總體X的概率密度和分布函數(shù)，常用直方圖和經(jīng)驗分布函數(shù).第43頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月1.直方圖直方圖是對一組數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的分布情況的圖形描述．將數(shù)據(jù)的取值范圍分成若干區(qū)間（一般是等間隔的），在等間隔的情況，每個區(qū)間的長度稱為組距．考察這些數(shù)據(jù)落入每一個小區(qū)間的頻數(shù)和頻率，在每一個區(qū)間上畫一個矩形，它的寬度是組距，高度可以是頻數(shù)、頻率或頻率/組距，所得直方圖分別稱為頻數(shù)直方圖、頻率直方圖和密度直方圖．6.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)圖6-1密度直方圖第44頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月如果數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn是來自連續(xù)總體X的樣本觀測值，其密度直方圖中，每一個矩形的面積恰好是觀測數(shù)據(jù)落入對應區(qū)間的頻率，這種密度直方圖可以用來估計總體的概率密度（用密度直方圖的頂部折線估計X的概率密度曲線）．組距對直方圖的形態(tài)有很大的影響，組距太小或太大，直方圖反映概率密度的形態(tài)就不夠準確．6.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)第45頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)

一個合適的分組是希望密度直方圖的形態(tài)接近總體的概率密度函數(shù)的形態(tài)．手工計算常取組數(shù)等于左右，一些統(tǒng)計軟件會根據(jù)樣本容量和樣本的取值范圍自動確定一個合適的分組方式，畫出各種漂亮的直方圖．第46頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月【實驗6-1】從某高校一年學生的“高等數(shù)學”課程考試成績中，隨機抽取60名學生的成績?nèi)缦拢涸嚴肊xcel的“數(shù)據(jù)分析”功能作學生成績的密度直方圖，并通過直方圖了解學生成績的分布情況．6.1.3直方圖與經(jīng)驗分布函數(shù)第47頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

實驗步驟：(1)確定分組個數(shù)：因為，取分組個數(shù)為8．數(shù)據(jù)的最小值為51，最大值為95，為分組方便起見，考慮范圍從50到100，分為8個組，組距取50/8=6.25，分點分別為：50，56.25，62.5，68.75，75，81.25，87.5，93.75，100。整理學生成績數(shù)據(jù)，在“組上限”欄中填入各組的上限值，如圖6-2左所示．第48頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖6-2數(shù)據(jù)整理與“直方圖”對話框第49頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)在Excel主菜單中選擇“工具”“數(shù)據(jù)分析”，打開“數(shù)據(jù)分析”對話框，在“分析工具”列表中選擇“直方圖”選項，單擊“確定”按鈕．(3)在打開的“直方圖”對話框中，依次輸入（或用鼠標拖動選擇）“輸入?yún)^(qū)域”、“接收區(qū)域”和“輸出區(qū)域”，如圖6-2右所示，單擊“確定”按鈕．得到頻率分布的結(jié)果如圖6-3左所示．第50頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖6-3計算各組頻率與密度第51頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)計算密度：在單元格區(qū)域J2:J9中依次輸入組域名：50-56.25、56.25-62.5、62.5-68.75、68.75-75、75-81.25、81.25-87.5、87.5-93.75、93.75-100，然后在“密度”列的單元格K2中輸入公式：=I2/60/6.25，并將公式復制到K3~K9中，如圖6-3右所示．第52頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

(5)畫密度直方圖：選中單元格區(qū)域J1:K9，單擊“圖表向?qū)А卑粹o，打開“圖表向?qū)А睂υ捒颍凇皥D表類型”選擇中，取默認的“柱形圖”向?qū)?，直接單擊“完成”按鈕，即可得到密度柱形圖，如圖6-4所示．圖6-4密度柱形圖第53頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

右鍵單擊圖中條形，在快捷菜單中選擇“數(shù)據(jù)系列格式”，打開“數(shù)據(jù)系列格式”對話框，在其中的“選項”選項卡中，修改“分類間距”為0，如圖6-5（左）所示，單擊“確定”按鈕，即可加寬條形，得到密度直方圖，進一步修改圖形，得到密度直方圖，如圖6-5（右）所示．第54頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖6-5密度直方圖從學生成績的密度直方圖可以看到，學生成績在平均分附近比較密集，較低或較高分數(shù)學生比較少，學生成績的分布呈近似“鐘形”對稱，即成績分布近似正態(tài)分布．第55頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月類似的方法可以畫出學生成績的頻數(shù)直方圖和頻率直方圖，由