關(guān)于晶體幾何學(xué)點(diǎn)陣與群論第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1點(diǎn)陣與點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)1.點(diǎn)陣的意義晶體的結(jié)構(gòu)就是質(zhì)點(diǎn)在空間的排列方式，需對(duì)晶體進(jìn)行幾何抽象，將組成物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)抽象化，忽略其大小和重量及化學(xué)和物理屬性使之成為一個(gè)純粹的幾何點(diǎn)，抽象后的這些幾何點(diǎn)稱為陣點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)。（latticepoint）,它們?cè)诳臻g周期性的規(guī)則排列稱為“點(diǎn)陣”（lattice）,因此點(diǎn)陣是表達(dá)晶體結(jié)構(gòu)周期性的一種幾何形式。

關(guān)于晶體結(jié)構(gòu)規(guī)律性的探討是多方面的也是無止境的，我們研究的只是晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中原子組態(tài)的一個(gè)抽象幾何模型。第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2.點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的確定：

為便于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的描述，采用三組互不共面的平行線將全部點(diǎn)陣連接起來，這樣整個(gè)點(diǎn)陣就可以看作是由一系列形狀、大小、完全相同的，且相互緊密排列在一起的平行六面體所構(gòu)成。

晶體結(jié)構(gòu)中原子排列的幾何規(guī)律性，最基本的一條是原子排列的周期性。第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月圖2-2NaCl結(jié)構(gòu)平面圖形

第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月CaF2結(jié)構(gòu)二氧化硅結(jié)構(gòu)氯化銫結(jié)構(gòu)第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月干冰第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月氯化鈉結(jié)構(gòu)圖第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月氯化鈉結(jié)構(gòu)圖第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月金剛石型晶體結(jié)構(gòu)二氧化碳晶體結(jié)構(gòu)第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月在NaCl晶體結(jié)構(gòu)中，所有Na+的前后、左右、上下都是Cl－，所有Cl—的前后、左右、上下部是Na+。在NaCl晶體結(jié)構(gòu)中所有Na+在同一取向上所處的幾何環(huán)境和物質(zhì)環(huán)境皆相同；所有Cl－在同一取向上所處的幾何環(huán)境和物質(zhì)環(huán)境皆相同；但在同一取向上Na+的環(huán)境與Cl—的環(huán)境都不相同。

晶體結(jié)構(gòu)中在同一取向上幾何環(huán)境和物質(zhì)環(huán)境皆相同的點(diǎn)稱為等同點(diǎn)。NaCl晶體結(jié)構(gòu)中，Na+所在的點(diǎn)是一類等同點(diǎn)，C1—所在的點(diǎn)又是一類等同點(diǎn)。第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如Na+和C1-之間的中點(diǎn)(圖中的M點(diǎn))，其所處的環(huán)境皆相同(它們所在點(diǎn)的電子密度和電場(chǎng)強(qiáng)度皆相等)，是一類等同點(diǎn)。在同一NaCl晶體結(jié)構(gòu)中，我們可以找出無窮多類等同點(diǎn)(如M和a點(diǎn))，但由每一類等同點(diǎn)集合而成的圖形，都呈現(xiàn)出相同的形態(tài)(稱為面心立方點(diǎn)陣)。每一類等同點(diǎn)集合成一等同點(diǎn)類。

下圖所示的圖形是NaCl晶體結(jié)構(gòu)中各等同點(diǎn)類所共同具有的幾何形象。這種概括地表示晶體結(jié)構(gòu)中等同點(diǎn)排列規(guī)律的幾何圖形(點(diǎn)集合)，稱為空間點(diǎn)陣或空間格子。第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

在NaCl晶體結(jié)構(gòu)的空間點(diǎn)陣中，每一點(diǎn)既可以來代表Na+或Cl-也可用來代表其它各類等同點(diǎn)。構(gòu)成空間點(diǎn)陣的點(diǎn)是抽象的幾何點(diǎn)，稱為格點(diǎn)(通常也稱為結(jié)點(diǎn))?？臻g點(diǎn)陣是由具有物質(zhì)性的晶體結(jié)構(gòu)抽象出來的幾何圖形，其中的格點(diǎn)雖與晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)任一類等同點(diǎn)相當(dāng)，但只有幾何意義，并非具體的質(zhì)點(diǎn)。另一方而，抽象的空間點(diǎn)陣卻不能脫離具體的晶體結(jié)構(gòu)而單獨(dú)存在，它不是一個(gè)無物質(zhì)基礎(chǔ)的納粹幾何圖形。第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)出空間格子的方法：

首先在晶體結(jié)構(gòu)中找出等同點(diǎn)，再將相當(dāng)點(diǎn)按照一定的規(guī)律連接起來就形成了空間格子。等同點(diǎn)（兩個(gè)條件：1、性質(zhì)相同，2、周圍環(huán)境相同。）第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月兩種推導(dǎo)方式結(jié)果一致第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于同一晶體結(jié)構(gòu)，不論等同點(diǎn)在哪里，所得出的一系列等同點(diǎn)在空間的相對(duì)位置都是一致的，但對(duì)于不同的晶體結(jié)構(gòu)，所得的空間格子具體形式是有區(qū)別的。等同點(diǎn)的分布可以體現(xiàn)具體結(jié)構(gòu)中的所有質(zhì)點(diǎn)的重復(fù)規(guī)律，這種規(guī)律就是等同點(diǎn)在三維空間作格子狀排列?？臻g格子只是一個(gè)幾何圖形，是從具體的晶體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)抽象而來的。“晶體是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有空間點(diǎn)陣這種幾何圖象的固體”。第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月＊＊＊對(duì)于同一種點(diǎn)陣，由于三組互不共面的平行線選取方式不同，由它們所截取的平行六面體大小形狀也不盡相同！?。。獮楸ＷC所截取的平行六面體能夠統(tǒng)一，且又是最簡(jiǎn)單，又能代表整個(gè)點(diǎn)陣的幾何特性特如下規(guī)定：3、平行六面體的截取規(guī)定：Ⅰ、所選取的平行六面體必須能夠反映點(diǎn)陣的宏觀對(duì)稱性。Ⅱ、在滿足上述Ⅰ條件下、所選取的平行六面體應(yīng)具有盡可能多的直角。Ⅲ、在滿足Ⅰ,Ⅱ規(guī)定的條件下，選取的平行六面體應(yīng)為最小體積。第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月與單位平行六面體相應(yīng)的晶體結(jié)構(gòu)單元是晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，客觀反映了晶體結(jié)構(gòu)的三維周期性的晶格，將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)彼此并置而相互等同的平行六面體的基本單元，稱之為‘晶胞’（unitcell）。晶胞包括兩個(gè)要素：一是晶胞的大小、型式。二是晶胞的內(nèi)容。能使點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)復(fù)原的全部平移向量聚合而成一個(gè)群，稱為平移群。設(shè)反映結(jié)構(gòu)的三維周期性的三個(gè)互不共面的基向量為a,b,c，而m,n,p為任意常數(shù)，則平移向量組為：

Tmnp＝ma+nb+pc(m,n,p=0,±1;±2…..±∞)P=0表示平面點(diǎn)陣的平移群p,n=0表示直線點(diǎn)陣的平移群第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月空間格子表明了晶體物質(zhì)在三維空間質(zhì)點(diǎn)做周期性重復(fù)排列這一根本的性質(zhì)，因此晶體也可以定義為具有格子構(gòu)造的固體。第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月FeS2晶體結(jié)構(gòu)的一個(gè)平面，類似于花布圖案第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月每一個(gè)晶體結(jié)構(gòu)中都含有一個(gè)潛在的抽象的空間點(diǎn)陣?？臻g點(diǎn)陣的每一個(gè)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)著晶體結(jié)構(gòu)中一定數(shù)量的粒子。換言之，晶體結(jié)構(gòu)中一定數(shù)量粒子構(gòu)成的粒子集團(tuán)可以表示為相應(yīng)的空間點(diǎn)陣的一個(gè)格點(diǎn)，晶體結(jié)構(gòu)的這個(gè)與空間點(diǎn)陣----格點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的粒子集團(tuán)，稱為晶體結(jié)構(gòu)的基元。猶如一個(gè)格點(diǎn)按照空間點(diǎn)陣的周期重復(fù)成整個(gè)空間點(diǎn)陣那樣，一個(gè)基元按照空間點(diǎn)陣的周期就可以重復(fù)成整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)，實(shí)際上，晶體結(jié)構(gòu)的基元就是初級(jí)單位晶胞。

第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月4、格子和晶胞格子的類型：根據(jù)點(diǎn)陣點(diǎn)的位置。素格子（P）;體心格子（I）；底心格子（A，B,C）；面心格子（F）第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月晶胞中原子的位置一般用分?jǐn)?shù)來表示。對(duì)于立方格子a,b,c正交等長(zhǎng)，例如CsCl晶體結(jié)構(gòu)中：Cs+(0,0,0),Cl-(1/2,1/2,1/2)，其結(jié)構(gòu)基元由一個(gè)Cs+和Cl-組成。第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

結(jié)構(gòu)基元由兩個(gè)O2-，四個(gè)Cu2+構(gòu)成，晶胞代表了晶體結(jié)構(gòu)，所以只要知道了一個(gè)晶胞中的原子的位置，就確定了整個(gè)晶體中原子的位置。第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月5、重要的概念：1、行列：結(jié)點(diǎn)在直線上的排列；空間格子任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)連接起來就是一條行列，行列中相鄰節(jié)點(diǎn)間距離稱為該行列的結(jié)點(diǎn)間距，不同方向行列上的結(jié)點(diǎn)間距一般是不等的。2、面網(wǎng)：結(jié)點(diǎn)在平面上分布即構(gòu)成面網(wǎng)?？臻g格子不在同一行列上的三個(gè)結(jié)點(diǎn)就可以連成一個(gè)面網(wǎng)，或任意兩個(gè)相交的行列就可以決定一個(gè)面網(wǎng)。面網(wǎng)上單位面積內(nèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目稱為面網(wǎng)密度，任意兩個(gè)面網(wǎng)之間的距離稱為面網(wǎng)間距，平行的面網(wǎng)，面網(wǎng)間距與面網(wǎng)密度都相等，不平行的面網(wǎng)，一般面網(wǎng)密度與面網(wǎng)間距不等，且面網(wǎng)密度大的面網(wǎng)間距亦大。第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月面網(wǎng)AA’間距d1面網(wǎng)BB’間距d2面網(wǎng)CC’間距d3面網(wǎng)DD’間距d4面網(wǎng)間距依次減小,面網(wǎng)密度也是依次減小的.所以:面網(wǎng)密度與面網(wǎng)間距成正比.第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月6、非晶體：

不具備格子構(gòu)造，內(nèi)部只是統(tǒng)計(jì)上的均一，性質(zhì)在各個(gè)方向上同一，無規(guī)則的外形的無定形體。

晶體與非晶體可以在一定條件下轉(zhuǎn)化：玻璃上的霉點(diǎn)，就是向結(jié)晶態(tài)轉(zhuǎn)變的雛晶，這種由非晶態(tài)向晶態(tài)轉(zhuǎn)化稱為晶化；某些含有放射性元素的礦物晶體由于其蛻變所放出的核能，破壞了晶體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生了非晶化現(xiàn)象。

在熱力學(xué)條件下，晶體是穩(wěn)定的，具有最小的內(nèi)能，晶體具有最大的穩(wěn)定性。第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2群論一、一般性定義群是按照某種規(guī)律(規(guī)則)相互聯(lián)系著的一些元素的集合.四個(gè)條件:1、封閉性:群中任意兩個(gè)元素的乘積和任意一個(gè)元素的平方必為群中的一個(gè)元素。G代表群即：A∈G,B∈G，A*B＝C，A＊A=Q,

則：C∈G，Q∈G

乘積是廣義的，可以用‘組合’，’組合積’，’操作’，‘規(guī)則’來代替。＊＊＊在群中乘法交換律不是普遍成立的?。?！即A*B≠B*A；AB與BA的意義是不同的。滿足交換律的群稱為阿貝耳群。AB：B被A左乘；BA：B被A右乘。第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2、群中必有一個(gè)元素可與所有其它元素互換，并使它們不變。用E表示，稱之為恒等元素，EX=XE=X；3、乘法的結(jié)合律必須成立。

A(BC)＝（AB）C4、每個(gè)元素必有一個(gè)逆元素，它也是群的元素。R是S的逆元素，RS＝SR＝E；E的逆元素是自己。＊＊兩個(gè)或多個(gè)元素乘積的逆元素等于各逆元素按相反次序的乘積。（ABC······XY）－1＝Y(jié)－1X－1······C－1B－1A－1二、一些例子：1、有限群和無限群；(所有的整數(shù))2、有限群中元素的數(shù)目稱為群的階（h）；第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月3、例子：1、所有的整數(shù)作為一個(gè)無限群。取相加過程作為‘乘積’，恒等元素是0，每個(gè)元素的逆元素是（－n），并且此群為阿貝耳群。

2、所有的正數(shù)組合律：乘法，單位（恒等）元素是1，逆元素是1／n4、群的乘法表

h個(gè)元素的群，其乘法表由h行和h列所構(gòu)成，所有元素之間的乘積列在表上（共有h2個(gè)）。乘法的次序確定規(guī)則：習(xí)慣上，按照（列元素）＊（行元素）的次序取這些因子。在標(biāo)有X的列和標(biāo)有Y的行的交叉點(diǎn)上找到的元素是XY的乘積。重排定理：在群的乘法表中，每一個(gè)群元素在每一行和每一列被列入一次，而且只被列入一次。第33頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月不可能有兩個(gè)行或列是完全相同的，每一個(gè)行和列都是群元素重新排列的表。一階群（E）二階群（E，A）G2EAEAEAAE第34頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月三階群：

EABEABEABABEABEABEABABE可不可以？第35頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月循環(huán)群：G3AA＝B；AB＝A(AA)＝E則取A，A2（AA），A3（AB）（＝E）將組成完整的群。

一般情況下，h階循環(huán)群定義為一個(gè)元素X及其全部h個(gè)冪，一直到Xh=E，另一個(gè)重要性質(zhì)：循環(huán)群都是互易的，是阿貝耳群，所有的乘法是可以交換的，又叫交換群。X稱為生成元。G3EABEABEABABEBEA第36頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月四階群：令X=A，X2=B，X3=C，X4=E：將有一個(gè)4階的循環(huán)群

BB＝E，B的逆元素是其自身。若取A，B的逆元素是其自身的化，則C也是其自身的逆。否則同一列會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)相同的元素，只有一種方式完成這個(gè)表：EABCEABCEABCABCEBCEACEABG4（1）第37頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月EABCEABCEABCAECBBCEACBAEG4（2）第38頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月只存在一個(gè)5階群；六階群例子：EABCDFEABCDFEABCDFAEDFBCBFEDCACDFEABDCABFEFBCA