歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!Coca-colastandardizationoffice[ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C/zZ6821j▲J高等幾何課后答案(第三版)第一章 仿射坐標(biāo)與仿射變換1.經(jīng)過A(-3,2)和8(6,1)的互線AB與直級(jí)工+3了一6=。相交于P點(diǎn)，求(ABP)=?直線AB的方程為工+9y-15=0；P點(diǎn)的坐標(biāo)為(y-y)；(ABP)=-1.求一仿射變換，它使直線x+2了-1二。上的每個(gè)點(diǎn)都不変，且使點(diǎn)(1,-1)變?yōu)辄c(diǎn)(-1,2).2.在直線工+2了一1=0上任取兩點(diǎn)A(1,0),8(-1,1),由于A(l,0iA(L0),B(-1,HB(-LD,又點(diǎn)(1,一1)—(-L2),仿射變換式匕f"3+3可解得所求為＜x*=2x+2j?-1,〈，3 …3[y=_亍「_2了+亍求仿射變換pr，=7jt-y+11ly'=4i+2y+4的不變點(diǎn)和不變直線.不變點(diǎn)為(-*-2).不變直線為21-2)-3=0與4工一)二0.4.問在仿射變換下，下列圖形的對(duì)應(yīng)圖形為何？①菱形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.(1)平行四邊形；＜2)平行四邊形；G)梯形；＜4)三佔(zhàn)形.5.下述性質(zhì)是否是仿射性質(zhì)？三角形的三高線共點(diǎn)；三角形的三中線共點(diǎn)；三角形內(nèi)接于一圖；一角的平分線上的點(diǎn)到兩邊等距.5.（2）為仿射性質(zhì)，其余皆不是.第二章射影平面習(xí)題一】?下列鼻些圖形具有射蛇性質(zhì)？平行宜線;三點(diǎn)共線；三亙錢共點(diǎn)；兩點(diǎn)間的距離；西直線的夾角；兩相等線段答，（2）」3）具有射影性質(zhì).求證：任意㈣邊形可以射影成平行四邊形.2.提示:將四邊形兩對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)連線取作選消線，作中心射影即得.在平面a上有一定直線,.頃O為射心，投射到平面。,上得到直線/一求證當(dāng)0變動(dòng)時(shí)/通過一定點(diǎn)3.提示，平面（O"）,（OvpE皆交于直線P，它們與平面/的交線為‘/＞；，…，如果p與/交于點(diǎn)Pi則/＞；?/＞；■…都通過點(diǎn)Pt如果P是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則/＞；，/），???彼此平行.

4.設(shè)三直線P」P"QiQ育瓦&交于一點(diǎn)S,P|P"Q|Q】?R,珥分別交二直技，、上于Pi,Q、A與Pz.QM?球證：直線P.Qi與P1Ql的交點(diǎn).Qi珞與Q,R,的交點(diǎn)，昭R與RiP.的交點(diǎn).三點(diǎn)共線，且北直線與f"共點(diǎn)-提示：如圖2-2-2可以迷取射影中心V與另?平面，，將c、s二點(diǎn)射影成平面/上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).如圖2-2-3,這時(shí)L『M',N'皆為平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)，容易證明它們共線，且所共山線與。、匕平行,根據(jù)結(jié)合性是射影性質(zhì)，所以L,M，N共線，旦此直線與/iI，丄共點(diǎn).5.試用徳薩格定理證明：任意四邊形各對(duì)時(shí)邊中點(diǎn)的連線與二時(shí)角線中點(diǎn)的連找相交于「點(diǎn)’提疝如圖2-2-4.役四邊形ABCD四邊中點(diǎn)依次為E,F,G,H,對(duì)角線AC.BD的中點(diǎn)是P,Q,研究三點(diǎn)形PEH和QGF,利用德薩格定理的逆定理，可以證明其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線EG.FH,PQ共點(diǎn).6.MCD是四面體?點(diǎn)X在BCt.-t線通過X分別交AB.AC于P,Q,另一直線通過X,分別交QB,DC于求證:PR與QS交于AD,6.提示:如圖2-2-5.研究三點(diǎn)形PQA和RSD,對(duì)成邊交點(diǎn)PQxRS=X,QAXSD=C.APXDR=B.因?yàn)閄.H.C共線，根據(jù)德薩格定理的逆定理，必有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!習(xí)題二試求下列清點(diǎn)的齊次坐標(biāo).先寫出所有組,再任選一組.(2)3l+y=0上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)：(3〉坐標(biāo)軸上的無(wú)勞遠(yuǎn)點(diǎn),答：(1)(0,0,p),S(),p),(0,p,p),(2卩,：卩/),卩尹。.任選一組:(0.0.1).(1.0,1).(0.1.1)(6.5.1).<2)(L-3t0).G)(1,0,0),(0,1,0).下列譜點(diǎn)，若它的撃卉次坐標(biāo)存在，増把它寫出來：(2,4,T)J/I5,-〃,2),(IM,0),(0,4,3),(L4.0).答：(_2,-4),繆,-聾)，無(wú)，(。號(hào))，無(wú).當(dāng)正負(fù)號(hào)任意透取時(shí)，問(±1,11.±1)表示幾個(gè)相異點(diǎn)？答；四個(gè)和異點(diǎn).4.求下列各直線的齊次綫坐標(biāo)I⑴I軸；(2)y軸：⑶無(wú)窮遠(yuǎn)直線；(4)通過原點(diǎn)且斜率為2的直線答：<1>[0,1,0] <2)[1,0,0](3)0,0,1] (4)[2,-1，0]求下列諸線坐標(biāo)所表直線的方程：〔0,1,1]〕」，-I],[1,0,1],[1,-1,0]答：￡+工3=。，工|+了上一工3=0，1|+工j=0.Xj一上2=0?下列諸方程各表示什么圖形？=0>?￡-u,=0k?i+a3■?",=O,2?j+icj=0.??-5?|+4kJ=0.6.答：點(diǎn)（1.0.0）.點(diǎn)（0，L-1），點(diǎn)《1,1,1）點(diǎn)（2,1,0）,兩點(diǎn)（1,-4,0）和?,-1,0）.習(xí)題三L求作下列圖形的對(duì)偶圖形.寫出下列舍暦的對(duì)偶命題.（1）兩點(diǎn)決定一直線；<2）射影平面上変少存在四條宜線,其中任何三條不共點(diǎn)；（3）設(shè)一個(gè)變動(dòng)的三點(diǎn)形，它的兩邊各通過一個(gè)定點(diǎn)，而三項(xiàng)點(diǎn)在共點(diǎn)的三直線上，則第三邊也通過一個(gè)定點(diǎn)r答：（1）鬲?直線必交于?點(diǎn)；（2）射影平面上至少存在四個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共統(tǒng)；<3>設(shè)一變動(dòng)的三線形，它的兩頂點(diǎn)各在一定直線上，而三邊各經(jīng)過共線的三個(gè)點(diǎn)，則第三個(gè)頂點(diǎn)也在…條定直線上.3,已知點(diǎn) L3）,求證共線，并未5的值，使P3=/P,+mP2若Pi,P【，P3為三直線呢？#?：/=1?w/=2.役A,8,C為三相異共線點(diǎn)，虛證:可適當(dāng)誰(shuí)擇A,B的齊次坐標(biāo)a,。，而使十們其中。是C點(diǎn)的坐標(biāo)寫出其對(duì)偶情況4.證明：設(shè)A，8,C的齊次坐標(biāo)分別為，"逐,則根據(jù)定理3.4,存在常數(shù)L"I,使。=兒.+vthl，因?yàn)锳,8,C為不同的點(diǎn)，所以，尹0,"［尹0,取A點(diǎn)的坐標(biāo)為如，B點(diǎn)的坐標(biāo)為葡則有u=以+b.習(xí)題四（1）求連接兩點(diǎn)（1^i+2+itl）+（l-i.2+iJ）的直線方程.⑵束直線（l?i）s+以中服淫3上=0上的實(shí)點(diǎn)1.答：（1）0—勺+JTg=OsQ）實(shí)點(diǎn)為（2,-1,1）?2-求證，三點(diǎn)（I,T.0）JLi,0）+（1.-1,0）共線.等最后一點(diǎn)的坐標(biāo)表示為前兩點(diǎn)的線性組合.2-設(shè)aQI—3。）3（1，i10），匚（1，一1?0）由于-與亶+氣鳥故三點(diǎn)共線.索證？?jī)蓮?fù)點(diǎn)所定直線與其兩共梅夏點(diǎn)所定直壊為兩條共輒1［線.3.證明：設(shè)兩復(fù)點(diǎn)所定復(fù)直線為厶則共輒復(fù)點(diǎn)5應(yīng)在，的共輒復(fù)直線J上，同理b也在7上，故金0確定復(fù)直線/?對(duì)偶命題：兩復(fù)直線所交之復(fù)點(diǎn),及這兩直線的共粧復(fù)直線所交之復(fù)點(diǎn)，為兩共貌復(fù)點(diǎn).求圓M4上；=5工；與《烏-3叫)吳￡=8￡的交點(diǎn).答：四個(gè)交點(diǎn)為：(l.i.O).(l.-i.O).(1.2.1),(-1.2.-1).第三章 射影變換與射影坐標(biāo)習(xí)題一I-設(shè)AE,C\D,E為共線五點(diǎn)|求證：(AB,CD)-(AB.DE)-(AB.￡C)=1.證明：(ABrCD)*(AHrDE)*(AB.EC)_(ARD)TaUTeTTaJJCT_1，若A(2J. -l.!)PC<L0f0).D<L,5,-5)為共線四點(diǎn).求(AB,CD).解：C==(A+H)可寫為C=A+B,D=2A-3A,可寫為〃=A-*H,所以(AH.CD)=-知設(shè)Pr(kl.l),Pj1.- 為共線三點(diǎn)，且(P,R,Pff求P>的坐標(biāo)3.解:卩宀30，設(shè) AP*歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!則A=2. 所以所求為卩3（3，-1,3）?4已知直線。，厶.丄的方程分別為2]|十一Mg=0.才|_工1 =D.-f|=0,且-言?求厶的方程.答；匕的方程為11心-2旳+2.七=。?設(shè)巳""丹.已?入、已是六個(gè)不同的共線點(diǎn)，或i￡：（1） （P|P“P./4）（P|P]?P?PHP,R,P/h）｛PjP>P?E）；（2） 如果（P/.P、P，=（P?R//Q.則（LPe鳥PQ=-1.5.證明（I）與第1題類似，根據(jù)定義證明.⑵（巳。/工冒）=1-（RPvP,PQ=ITRP,RR）=（RP,，pJ\）=3j；p,p,所以（iWf,卩=1因?yàn)镽、P[、P3、Pj是不同的點(diǎn)，所以（P|P3，P?PD=T?8如圖3-12..43為-O直徑.C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CM為圖的切線、M為切點(diǎn)，求證M在AB上的射影H是C關(guān)于A.B的謝和共巍點(diǎn).由亍證法一 是ZCMH的內(nèi)外角平分線（圖2-3-1），根據(jù)原書第三章§1例題6,得（AB,HC）=-L證法二先證明命圈設(shè)（AB,CD）=-1,0為以）之中點(diǎn)，則（X'=（M?QH.反之亦真,在本題中可以先證明CM2=OH?OC,利用上述命題即可得證'9.已知宜線m.的方程分別為2x-y+l=03x+y-2^0,7Jr>=0.5z-i=B.求證四直錢共點(diǎn)，并求0提丄）,9.答：（」m」）=*,n.已知四直線；。:，"24■們6：y=丄工+知6:，二燈工+如丄h+知共點(diǎn)，求陽(yáng)SM）咁口；%二《12.提示:過原點(diǎn)作分別與此四直線平行的直線，得：

1\: >=&].”即JT2=A|JT|.￡；：y=k2XfBPx2=k2x^y= 即.七=頌「l\->=￡口，All.r2=i4.T|.選基線a:n=0?6：Ti=0?則，：a-kibfh:d- ?/j：a-如、b,1丄：a—kxb.則",皿）=叩；,"=；；「*｝：：；.習(xí)題二求iE：如果-堆射影對(duì)應(yīng)使直銭I上的無(wú)旁近點(diǎn)時(shí)應(yīng)直銭廠上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),則這4對(duì)應(yīng)一定是彷射對(duì)應(yīng).1.提示:因?yàn)榉律鋵?duì)應(yīng)是保持共線三點(diǎn)的單比不變的，設(shè)A,B,C是直線/上的任意三點(diǎn)，其射影對(duì)應(yīng)點(diǎn)是廠上的A"',C,乂/上的P.對(duì)成廠上的」、所以（AB,CP..）=（A%',CP：）,因此（ABC）=（A73V）.2.如果三點(diǎn)形ABC的邊BC'CA.AE分別通過在同一直線的三點(diǎn)P.。,丑.又頂點(diǎn)B,C各在一條定直線上.求證;頂點(diǎn)A也在一條定直線上.證明，明圖設(shè)三點(diǎn)形禹比G是滿足條件的另?三點(diǎn)形，則有,B.,…）美（CG，…）P（B,旦，…}KR（C,G，…）因?yàn)镽Q與RQ是同宜線，即PR是自對(duì)成元素，故有…）云R（GC"…）所以,對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)am,…共線??3.如果點(diǎn)列（『）A{F}fc其底L廠交于。點(diǎn).、求此：P,P',與Pp,的交點(diǎn)X的軌跡是一條直線證明：如果（）是h對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則hp）元廠（p‘）所以P,P；誕過透視中心V（定點(diǎn)），如圖2-3-9.因?yàn)閂OX是完仝四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形，故有：（〃'，OVOX）=-I由于直線mv是固定的，所以ox是一條固定宜線.

如果0不是自對(duì)應(yīng)點(diǎn)?設(shè)0作為［上的點(diǎn)時(shí)0-V,（V,在］上），O作為廠上的點(diǎn)時(shí)U—們?nèi)鐖D2-3-1（1,則有（OU,"月）=（SPR）=（W），由此得到O點(diǎn)自對(duì)應(yīng)，所以（0，U,P,,億）元（。，V,P：書；），故得三直線UV,P,卩;，卩更共加而直線UV'是固定的，所以（P：與時(shí)亠的交貞X在固定的直線UV'上.證明：任意一條不通過完全四點(diǎn)形頂點(diǎn)的直線與完全四點(diǎn)形的三對(duì)直線/與完仝四點(diǎn)形ABCD的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)為P，P';Q，Q'：R,R\在/±P—P.Q”Q'，R頊因?yàn)椋≒,R）關(guān)（P,E,A,B）天（P,P'，R',Q）,所以這是一個(gè)射影變換.W,Q'R）=（W.R'Q）W,Q'R）=（P'P,QR‘）根據(jù)定理2.4知，這時(shí)影變換是一個(gè)対合.習(xí)題三L設(shè)直城I上的點(diǎn)PJ0）,P?（l）,PJ2）經(jīng)射影對(duì)應(yīng)，順次對(duì)應(yīng)廠上的點(diǎn)P'J-1）.氏（。）/梃-2）.求射影對(duì)應(yīng)式併化為卉次坐標(biāo)式,求岀/上的無(wú)穿遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!i.答:齊次坐標(biāo)式』陽(yáng)二一y+m!pr2=3工|-4.r2非齊次坐標(biāo)式:宀.、4匸43r-4P.（1,0）fP'（-4.3），P（4,3）fP；（1.0）2求直線/到自身的射影變鬱式，使Pi（O）.P」I）.P8分別時(shí)應(yīng)點(diǎn)P,⑴,R.P'】（0）伊;=_心，pH=ii-t2.已知。r軸上的射影變換式為_2直一1?r_TTT試求坐標(biāo)原點(diǎn).無(wú)爵遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).答：（Q，1）f（-1?3），（I，0）f（2,1）.求以下！W影變換的自対應(yīng)元素的莓?dāng)?shù)：（1）U-2A+1=0;⑵2A+"+l=0，答：（1）l：k（2）—?；瞻.（3）2:3.求時(shí)會(huì)的方程，這個(gè)對(duì)合的二敗元素的參敗為：（1）2與3$⑵方程Q十衲十尸0的根，答：（1） 2以'一5（人十V）+12二（I：（2） M+的D+y=0.已知再合的兩對(duì)耐應(yīng)點(diǎn)的參散為：3?2,5~1.試求時(shí)合的方程和二蚊點(diǎn)的卷敷.6.答：AA'+Q*A'）T二0,-1±2\/3.習(xí)題四1.求―射影變検，使點(diǎn)（1,0,1）1）,（1.l,】）?（D,0=；原次對(duì)應(yīng)點(diǎn)（1.0.0）.（0,1.0）,（0,0,D,（lj.1}^答：所求變換式為，{pr\- -n+Tj-何；=-Ji+rj，扁下；=-Tj-r2+Tj.求射貯斐換河=2^,-J,F＜寐；二心*2巴_日*Ff+上3的i￡受換式?并求出彫潸線即i）=0的對(duì)應(yīng)直技的方程答：根據(jù)公式（4.4）,求岀逆變換為，jtiTi=3jt；十2.r：-jt；,\aii=-2.i|+jr；+3.干；，

!=—j?|-3.矛；+5」；?馬二。的對(duì)應(yīng)直線為十3m；-5i；=0?求射影変換j狷F#4的不登點(diǎn)坐標(biāo)一3.解：根據(jù)公式（4.6）列出特征方程：0-1戸=0.尸=1（三重根）.將聲=1代入不變點(diǎn)方程組（4,5），得門二。，存二。上的點(diǎn)都是不變點(diǎn)，即.八=。是不變點(diǎn)列.4.求射影變鎮(zhèn)M=4X|-‘pxj=6X|-3x2./or；二衛(wèi)]_（2_上3的不変元素.4.解;特征方程為版+1）版+2）質(zhì)-3）=0?解得M=-I，加=_2,外=3.將特征值代入不變點(diǎn)方程組，得不變點(diǎn)為（0.0,1）,（1.1,0）-（I，6,5）■不變直線為5-J2+工3=0,XI-X2=0>6X|-J2=0^第四章 變換群與幾何學(xué)第五章 二次曲線的射影理論習(xí)題一5設(shè)兩個(gè)三點(diǎn)形A0C和ABfC同時(shí)外切于一條二次曲線，術(shù)證它們也同時(shí)內(nèi)接于一條二次曲線5.證明：設(shè)三點(diǎn)形ABC和A'B'C'同時(shí)外切于一二次曲線S，如圖2-5-1,有aS’CDTTq（們cM’D,而 a（b,d,['）云A'（（：,B，CS，所以 N（C,6,CC-B.C',B'）根據(jù)二階曲線的射影定義,ABC和A'B'M內(nèi)接于二次曲線求由佝個(gè)成財(cái)彩荷應(yīng)》二案的線束石-5尋0和t：-A^=O所構(gòu)成的一階曲線的方程.7.解：兩射影線束可以寫為：習(xí)題二1.寫出布利安桑定理的逆定理并加以證明.提示:利用二級(jí)曲線的射影定義.3,給定二階曲線上我個(gè)點(diǎn)，可以產(chǎn)生多少條帕斯卡線？對(duì)偶地，對(duì)■于二級(jí)曲線情況如何？提示：利用A.A.AMM.A,六個(gè)元素的環(huán)狀排列的性質(zhì)及AiAyAyA^A^A^與A°& A］表示同選取.因此己知六點(diǎn)形能決定飛=60條帕斯卡線.對(duì)偶地，對(duì)于二級(jí)曲線的外以六邊形也有60個(gè)布利安桑點(diǎn).已知射渺平面上的五個(gè)點(diǎn)（無(wú)三肴共線），利用帕斯卡定理，求作其中一點(diǎn)的切殘.解：設(shè)一.階曲線S上的五個(gè)點(diǎn)為A.,A’，A*A/A,，試作點(diǎn)的切線.如圖2-5-2. 為作 AlA1xA,As=P.A3A,xm=Q,—/Jmg*則A.R為二階曲線的切線.P 'QIR圖2-5-2在內(nèi)接于圓的兩個(gè)三點(diǎn)形.ABC和ABC中，設(shè)ABxAB=P、BCxB'C=Q、CA'XC'A=R,證明 R三點(diǎn)共線.5.提示;將二三點(diǎn)形之頂點(diǎn)排列次序?yàn)锳BCAZ'C',圓為二次曲線，由帕斯卡定理可知P,Q,R三點(diǎn)共線.歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!歡迎您閱讀并下載本文檔，本文檔來源于互聯(lián)網(wǎng)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系刪除！我們將竭誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)的文檔!6,證明做斯市定理的逆定理.