工程力學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)工程力學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)/NUMPAGES76工程力學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)工程力學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一、靜力學(xué)1.靜力學(xué)基本概念（1）剛體剛體：形狀大小都要考慮的，在任何受力情況下體內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變的物體。在靜力學(xué)中，所研究的物體都是指剛體。所以，靜力學(xué)也叫剛體靜力學(xué)。（2）力力是物體之間的相互機(jī)械作用，這種作用使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變（外效應(yīng)）和形狀發(fā)生改變（內(nèi)效應(yīng)）。在理論力學(xué)中僅討論力的外效應(yīng)，不討論力的內(nèi)效應(yīng)。力對(duì)物體的作用效果取決于力的大小、方向和作用點(diǎn)，因此力是定位矢量，它符合矢量運(yùn)算法則。力系：作用在研究對(duì)象上的一群力。等效力系：兩個(gè)力系作用于同一物體，若作用效應(yīng)相同，則此兩個(gè)力系互為等效力系。（3）平衡物體相對(duì)于慣性參考系保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。（4）靜力學(xué)公理公理1（二力平衡公理）作用在同一剛體上的兩個(gè)力成平衡的必要與充分條件為等大、反向、共線。公理2（加減平衡力系公理）在任一力系中加上或減去一個(gè)或多個(gè)平衡力系，不改變?cè)ο祵?duì)剛體的外效應(yīng)。推論（力的可傳性原理）作用于剛體的力可沿其作用線移至桿體內(nèi)任意點(diǎn)，而不改變它對(duì)剛體的效應(yīng)。在理論力學(xué)中的力是滑移矢量，仍符合矢量運(yùn)算法則。因此，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)取決于力的作用線、方向和大小。公理3（力的平行四邊形法則）作用于同一作用點(diǎn)的兩個(gè)力，可以按平行四邊形法則合成。推論（三力平衡匯交定理）當(dāng)剛體受三個(gè)力作用而平衡時(shí)，若其中任何兩個(gè)力的作用線相交于一點(diǎn)，則其余一個(gè)力的作用線必交于同一點(diǎn)，且三個(gè)力的作用線在同一個(gè)平面內(nèi)。公理4（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間相互作用力同時(shí)存在，且等大、反向、共線，分別作用在這兩個(gè)物體上。公理5（剛化原理）如變形物體在已知力系作用下處于平衡狀態(tài)，則將此物體轉(zhuǎn)換成剛體，其平衡狀態(tài)不變?？梢?jiàn)，剛體靜力學(xué)的平衡條件對(duì)變形體成平衡是必要的，但不一定是充分的。（5）約束和約束力1）約束：阻礙物體自由運(yùn)動(dòng)的限制條件。約束是以物體相互接觸的方式構(gòu)成的。2）約束力：約束對(duì)物體的作用。約束力的方向總與約束限制物體的運(yùn)動(dòng)方向相反。表4.1-1列出了工程中常見(jiàn)的幾種約束類型、簡(jiǎn)圖及其對(duì)應(yīng)的約束力的表示法。其中前7種多見(jiàn)于平面問(wèn)題中，后4種則多見(jiàn)于空間問(wèn)題中。表4.1-1工程中常見(jiàn)約束類型、簡(jiǎn)圖及其對(duì)應(yīng)約束力的表示約束類型約束簡(jiǎn)圖約束力矢量圖約束力描述柔索類作用點(diǎn)：物體接觸點(diǎn)方位：沿柔索方向：背離被約束物體大小：待求這類約束為被約束物體提供拉力。AATTBTAA光滑面接觸單面約束：作用點(diǎn)：物體接觸點(diǎn)方位：垂直支撐公切面方向：指向被約束物體大?。捍筮@類約束為物體提供壓力。AAAANANNANA雙面約束：假設(shè)其中一個(gè)約束面與物體接觸，繪制約束力，不能同時(shí)假設(shè)兩個(gè)約束面與物體同時(shí)接觸。作用點(diǎn)：物體接觸點(diǎn)方位：垂直共切面方向：指向被約束物體大?。捍筮@類約束為物體提供壓力。短鏈桿（鏈桿）作用點(diǎn)：物體接觸點(diǎn)方位：沿鏈桿兩鉸點(diǎn)的連線方向：不定大?。捍笾虚g鉸（連接鉸）作用點(diǎn)：物體接觸點(diǎn)，過(guò)鉸中心方位：不定方向：不定大?。捍笥脙蓚€(gè)方位互相垂直，方向任意假設(shè)的分力，表示該約束處的約束力固定鉸作用點(diǎn)：物體接觸點(diǎn)，過(guò)鉸中心方位：不定方向：不定大小：待求用兩個(gè)方位互相垂直，方向任意假設(shè)的分力，表示該約束處的約束力輥軸支座（活動(dòng)鉸）作用點(diǎn)：物體接觸點(diǎn)，過(guò)鉸中心方位：垂直支撐面方向：不定大?。捍蠊潭ǘ嗽诩s束面內(nèi)既不能移動(dòng)也不能轉(zhuǎn)動(dòng)，用兩個(gè)方位互相垂直、方向任意假設(shè)的兩個(gè)分力表示限制移動(dòng)的力，用作用面與物體在同一平面內(nèi)的、轉(zhuǎn)向任意假設(shè)的集中力偶表示限制轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶。向心軸承Y向可微小移動(dòng)，用方位互相垂直、方向任意假設(shè)的兩個(gè)分力，表示限制徑向的移動(dòng)止推軸承三個(gè)方向都不允許移動(dòng)，用三個(gè)互相垂直的力表示限制的移動(dòng)。球形鉸空間任意方向都不允許移動(dòng)，用方位相互垂直，方向任意的三個(gè)分力來(lái)代替這個(gè)約束力空間固定端三個(gè)軸向都不允許移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，用三個(gè)方位相互垂直的分力來(lái)代替限制空間移動(dòng)的約束力，并用三個(gè)矢量方位相互垂直，轉(zhuǎn)向任意的力偶代替限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束力偶（6）受力分析圖受力分析圖是分析研究對(duì)象全部受力情況的簡(jiǎn)圖。其步驟是：1）明確研究對(duì)象，解除約束，取分離體；2）把作用在分離體上所有的主動(dòng)力和約束力全部畫(huà)在分離體上。（7）注意事項(xiàng)畫(huà)約束力時(shí)，一定按約束性質(zhì)和它們所提供的約束力的特點(diǎn)畫(huà)，并在研究對(duì)象與施力物體的接觸處畫(huà)出約束力；會(huì)判斷二力構(gòu)件和三力構(gòu)件，并根據(jù)二力平衡條件和三力匯交定理確定約束力的方位；對(duì)于方向不能確定的約束力，有時(shí)可利用平衡條件來(lái)判定；若取整體為分離體時(shí)，只畫(huà)外力，不畫(huà)內(nèi)力，當(dāng)需拆開(kāi)取分離體時(shí)，內(nèi)力則成為外力，必須畫(huà)上；一定注意作用力與反作用力的畫(huà)法，這些力的箭頭要符合作用與反作用定律；在畫(huà)受力分析圖時(shí)，不要多畫(huà)或漏畫(huà)力，要如實(shí)反映物體受力情況；畫(huà)受力分析圖時(shí)，應(yīng)注意復(fù)鉸（鏈接兩個(gè)或兩個(gè)以上物體的鉸）、作用于鉸處的集中力和作用于相鄰剛體上的線分布力等情況的處理方法。2.力的分解、力的投影、力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩（1）力沿直角坐標(biāo)軸的分解和力在軸上的投影式中：、、分別是沿直角坐標(biāo)軸、、軸的基矢量；、、分別為沿直角坐標(biāo)軸的分力；、、分別為在直角坐標(biāo)軸、、軸上的投影，且分別為(如圖4.1-1)圖4.1-1式中：、、分別為與各軸正向間的夾角；則為在平面上的投影，如圖4.1-1所示。（2）力對(duì)點(diǎn)之矩（簡(jiǎn)稱力矩）在平面問(wèn)題中，力對(duì)矩心的矩是個(gè)代數(shù)量，即式中為矩心點(diǎn)至力作用線的距離，稱為力臂。通常規(guī)定力使物體繞矩心轉(zhuǎn)動(dòng)為逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，上式取正號(hào)，反之則取負(fù)號(hào)。在空間問(wèn)題中，力對(duì)點(diǎn)之矩是個(gè)定位矢量，如圖4.1-2，其表達(dá)式為圖4.1-2力矩的單位為或。（3）力對(duì)軸之矩圖4.1-3力對(duì)任一軸之矩為力在垂直軸的平面上的投影對(duì)該平面與軸交點(diǎn)之矩，即其大小等于二倍三角形的面積，正負(fù)號(hào)依右手螺旋法則確定，即四指與力的方向一致，掌心面向軸，拇指指向與軸的指向一致，上式取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。顯然，當(dāng)力與矩軸共面（即平行或相交）時(shí)，力對(duì)軸之矩等于零。其單位與力矩的單位相同。從圖4.1-3中可見(jiàn)，的面積等于面積在平面（即面）上的投影。由此可見(jiàn)，力對(duì)軸之矩等于力對(duì)軸上任一點(diǎn)的矩在軸上的投影，或力對(duì)點(diǎn)的矩在經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任一軸上的投影等于力對(duì)該軸之矩。這就是力對(duì)點(diǎn)之矩與對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的軸之矩之間的關(guān)系。即（4）合力矩定理當(dāng)任意力系合成為一個(gè)合力時(shí)，則其合力對(duì)于任一點(diǎn)之矩（或矩矢）或任一軸之矩等于原力系中各力對(duì)同點(diǎn)之矩（或矩矢）或同軸之矩的代數(shù)和（或矢量和）。力對(duì)點(diǎn)之矩矢力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)軸之矩3.匯交力系的合成與平衡（1）匯交力系:諸力作用線交于一點(diǎn)的力系。（2）匯交力系合成結(jié)果根據(jù)力的平行四邊形法則，可知匯交力系合成結(jié)果有兩種可能：其一，作用線通過(guò)匯交點(diǎn)的一個(gè)合力,為；其二，作用線通過(guò)匯交點(diǎn)的一個(gè)合力等于零，即，這是匯交力系平衡的充要條件。（3）匯交力系的求解求解匯交力系的合成與平衡問(wèn)題各有兩種方法，即幾何法與解析法，如表4.1-2所示。對(duì)于空間匯交力系，由于作圖不方便一般采用解析法。表4.1-2求解匯交力系的兩種方法合力平衡條件幾何法按力的多邊形法則，得匯交力系的力的多邊形示意圖，其開(kāi)口邊決定了合力的大小和方位及指向，指向是首力的始端至末力的終端力的多邊形自行封閉解析法平面匯交力系、軸不相互平行；有兩個(gè)獨(dú)立方程，可解兩個(gè)未知量空間匯交力系、、軸不共面；有三個(gè)獨(dú)立方程，可解三個(gè)未知量4.力偶理論（1）力偶與力偶矩1）力偶：等量、反向、不共線的兩平行力組成的力系。2）力偶的性質(zhì)：力偶沒(méi)有合力，即不能用一個(gè)力等效，也不能與一個(gè)力平衡。力偶對(duì)物體只有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，沒(méi)有移動(dòng)效應(yīng)。力偶在任一軸上的投影為零。力偶只能與力偶等效或平衡。3）力偶矩：力偶的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)決定于力偶矩，其計(jì)算如表4.1-3所述。表4.1-3力偶矩的計(jì)算平面力偶矩空間力偶矩矢逆時(shí)針轉(zhuǎn)向取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)大小：方位：依右手螺旋法則，即四指與力的方向一致，掌心面向矩心，拇指指向?yàn)榱ε季厥傅氖噶糠较?。代?shù)量自由矢量力偶矩的單位：或力偶的等效條件：等效的力偶矩矢相等推論1：只要力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)，或從剛體的一個(gè)平面移到另一個(gè)相互平行的平面上，而不改變其對(duì)剛體的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。推論2：在力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可任意改變力偶的力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變其對(duì)剛體的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)。力偶矩與力對(duì)點(diǎn)之矩的區(qū)別：力偶矩與矩心位置無(wú)關(guān)，而力對(duì)點(diǎn)之矩與矩心位置有關(guān)表中，為組成力偶的力的大小，為力偶中兩個(gè)力作用線間的垂直距離，稱為力偶臂。（2）力偶系的合成與平衡力偶系合成結(jié)果有兩種可能，即一個(gè)合力偶或平衡。具體計(jì)算時(shí)，通常采用解析法，如表4.1-4所述。表4.1-4力偶的合成與平衡的解析法平面力偶系空間力偶系合成合力偶平衡平衡方程可求解一個(gè)未知量、、軸不共面；可求解三個(gè)未知量表中，、、分別為力偶矩矢在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的投影。注意，力偶中兩個(gè)力和，對(duì)任一軸之矩的和等于該力偶矩矢在同一軸上的投影，即式中，為矢量與軸的夾角。（3）匯交力系和力偶系的平衡問(wèn)題首先選取分離體；然后畫(huà)分離體受力分析圖，在分析約束力方向時(shí)，注意利用力偶只能與力偶相平衡的概念來(lái)確定約束力的方向；接下來(lái)，列寫(xiě)平衡方程，對(duì)于力的投影方程，盡量選取與未知力垂直的坐標(biāo)軸，使參與計(jì)算的未知量的個(gè)數(shù)越少越好，盡量使一個(gè)方程求解一個(gè)未知量，而力偶系的平衡方程與矩心的選取沒(méi)有關(guān)系，注意區(qū)分力偶的矢量方向或是轉(zhuǎn)向，確定好投影的正方向；最后求出結(jié)果，結(jié)果的絕對(duì)值表示大小，正負(fù)號(hào)表示假設(shè)方向是否與實(shí)際的指向一致，正號(hào)代表一致，負(fù)號(hào)則表示相反。5.一般力系的簡(jiǎn)化與平衡（1）力線平移定理作用在剛體上的力，若其向剛體上某點(diǎn)平移時(shí)，不改變?cè)?duì)剛體的外效應(yīng)，必須對(duì)平移點(diǎn)附加一個(gè)力偶，該附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)之矩。同理，根據(jù)力的平移定理可得：共面的一個(gè)力和一個(gè)力偶可合成為一個(gè)合力，合力的大小、方向與原力相等，其作用線離原力作用線的距離為。（2）任意力系的簡(jiǎn)化1）簡(jiǎn)化的一般結(jié)果根據(jù)力線平移定理，可將作用在剛體上的任意力系向任一點(diǎn)Ｏ（稱為簡(jiǎn)化中心）簡(jiǎn)化，得到一個(gè)作用在簡(jiǎn)化中心的共點(diǎn)力系和一個(gè)附加力偶系，進(jìn)而可以合成為一個(gè)力和一個(gè)力偶。該力等于原力系向簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化的主矢，該力偶的力偶矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。主矢作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心主矩注：主矢的方向和大小與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，只與原力系中各個(gè)分力相關(guān)，其作用線仍通過(guò)簡(jiǎn)化中心；主矩一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。2）簡(jiǎn)化的最后結(jié)果任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化后的最后結(jié)果，見(jiàn)表4.1-5。表4.1-5任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化的最后結(jié)果主矢主矩最后結(jié)果說(shuō)明或平衡任意力系的平衡條件或合力偶此主矩與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)或合力合力的作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心合力的作用線離簡(jiǎn)化中心的距離為力螺旋力螺旋中心軸（力的作用線）過(guò)簡(jiǎn)化中心與成角力螺旋中心軸（力的作用線）離簡(jiǎn)化中心的距離為3）平行分布的線載荷的合成①平行分布線載荷和線載荷集度平行分布線載荷：沿物體中心線分布的平行力，簡(jiǎn)稱線載荷。線載荷集度：沿單位長(zhǎng)度分布的線載荷，以表示，其單位為或。②同向線荷載合成結(jié)果同向線荷載合成結(jié)果為一個(gè)合力，該合力的大小和作用線位置依據(jù)合力投影定理和合力矩定理求得。均勻分布和線性分布的線載荷合成結(jié)果如表4.1-6所述。表4.1-6線載荷合成結(jié)果均勻分布的線載荷線性分布的線載荷力學(xué)簡(jiǎn)圖合成結(jié)果作用在分布線長(zhǎng)度中點(diǎn)的一個(gè)合力，其作用線的方向與線載荷的方向一致作用在距離線載荷集度為零的分布長(zhǎng)度的處，也就是距離線載荷集度最大的分布長(zhǎng)度的處，其作用線的方向與線載荷的方向一致大?。?）力系的平衡條件與平衡方程任意力系平衡條件：力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矢和主矩都等于零，即表4.1-7列出了各力系的平衡方程。但應(yīng)當(dāng)指出，在空間力系和空間平行力系的平衡方程組中，其投影方程亦可用對(duì)軸的力矩方程來(lái)替代。當(dāng)然，該力矩方程必須是獨(dú)立的平衡方程，即可用它來(lái)求解未知量的平衡方程。表4.1-7力系的平衡方程力系名稱平衡方程的表示形式獨(dú)立方程的數(shù)目平面力系匯交力系標(biāo)準(zhǔn)式一力矩式二力矩式2說(shuō)明（、軸不平行，不重合）(點(diǎn)和匯交點(diǎn)的連線不能垂直軸)(、連線不能通過(guò)匯交點(diǎn))力偶系1平行力系標(biāo)準(zhǔn)式二力矩式2說(shuō)明（軸不能垂直各力）(、連線不能和各力平行)任意力系標(biāo)準(zhǔn)式二力矩式三力矩式3說(shuō)明（、軸不平行，不重合）(、連線不能垂直軸)(、、三點(diǎn)不共線)空間力系匯交力系標(biāo)準(zhǔn)式一力矩式二力矩式三力矩式3說(shuō)明(任意兩根軸不能平行、重合)(軸不能通過(guò)匯交點(diǎn)；軸不能垂直軸和軸所組成的平面；軸和匯交點(diǎn)所組成的平面不能垂直軸和軸組成的平面)(、軸不能通過(guò)匯交點(diǎn)；不能在、軸上找到兩點(diǎn)、,使、和匯交點(diǎn)共線；如、軸有交點(diǎn),則軸不能垂直此交點(diǎn)和匯交點(diǎn)的連線)(、、三軸沒(méi)有共同交點(diǎn)；如有一直線經(jīng)過(guò)匯交點(diǎn)且和、兩軸有交點(diǎn),則此直線不能為軸；軸也不能和經(jīng)過(guò)匯交點(diǎn)且和、兩軸有交點(diǎn)的直線平行或相交；從匯交點(diǎn)不能引一直線和、、三軸相交)力偶系標(biāo)準(zhǔn)式3平行力系標(biāo)準(zhǔn)式三力矩式3說(shuō)明(軸平行各力,面垂直軸)(、、三條軸不能有共同交點(diǎn)；如果、軸有交點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)平行各力的直線為,則軸不能和直線共面;三條軸中任兩條軸都不能共面;不能作出與三條軸都相交且平行的直線)任意力系標(biāo)準(zhǔn)式四力矩式五力矩式六力矩式6說(shuō)明（、、三軸不能平行,重合）(軸不能和軸共面)（、不能在所在平面內(nèi);、不能都和或軸相交,也不能和或軸共面）(軸與不共面,平面不過(guò)點(diǎn))注：建議各力系的平衡方程用表格中的標(biāo)準(zhǔn)式。6.物體系統(tǒng)的平衡（1）靜定與靜不定問(wèn)題1）靜定問(wèn)題若未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論，就可以求得全部未知量的問(wèn)題，如圖4.1-4（a）。2）靜不定（超靜定）問(wèn)題若未知量的數(shù)目超過(guò)獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，則單獨(dú)應(yīng)用剛體靜力學(xué)的理論就不能求出全部未知量的問(wèn)題，如圖4.1-4（b）。靜不定問(wèn)題僅用剛體平衡方程式不能完全求解所有未知量，還需考慮作用與物體上的力與物體變形的關(guān)系，再列出某些補(bǔ)充方程來(lái)求解。靜不定問(wèn)題已超出了理論力學(xué)所能研究的范圍，將留待材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等課程中取研究。圖4.1-4圖4.1-43）靜不定次（度）數(shù)在超靜定結(jié)構(gòu)中，總未知量數(shù)與總獨(dú)立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)（2）物體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的解法和步驟1）判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定系統(tǒng)。物體系統(tǒng)是否靜定，僅取決于系統(tǒng)內(nèi)各物體所具有的獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)以及系統(tǒng)未知量的總數(shù)，而不能由系統(tǒng)中某個(gè)研究對(duì)象來(lái)判斷系統(tǒng)是否靜定。若由個(gè)物體組成的靜定系統(tǒng)，且在平面任意力系作用下平衡，則該系統(tǒng)總共可列出個(gè)獨(dú)立平衡方程能解出個(gè)未知量。當(dāng)然，若系統(tǒng)中某些物體受其他力系作用時(shí)，則其獨(dú)立平衡方程數(shù)以及所能求出的未知量數(shù)均將相應(yīng)變化。2）選取研究對(duì)象的先后次序的原則是便于求解。根據(jù)已知條件和待求量，可以選取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以取其中的某些部分或是某一物體為研究對(duì)象。3）分析研究對(duì)象的受力情況并畫(huà)出受力分析圖。在受力分析圖上只畫(huà)外力而不畫(huà)內(nèi)力。在各物體的拆開(kāi)出，物體間的相互作用力必須符合作用與反作用定律。畫(huà)物體系統(tǒng)中某研究對(duì)象的受力分析圖時(shí)，不能將作用在系統(tǒng)中其他部分上的力傳遞、移動(dòng)和合成。4）列出平衡方程。平衡方程要根據(jù)物體所作用的力系類型列出，不能多列。為了避免解聯(lián)立方程，應(yīng)妥當(dāng)?shù)剡x取投影軸和矩軸（或矩心）。投影軸應(yīng)盡量選取與力系中多數(shù)未知力的作用線垂直；而矩軸應(yīng)使其與更多的未知力共面（矩心應(yīng)選在多數(shù)未知力的交點(diǎn)上）。力求做到一個(gè)平衡方程中只包含一個(gè)未知量。5）由平衡方程解出未知量。若求得的約束力或約束力偶為負(fù)值。說(shuō)明力的指向或力偶的轉(zhuǎn)向與受力分析圖中假設(shè)相反。若用它代入另一個(gè)方程求解其他未知量時(shí)，應(yīng)連同其負(fù)號(hào)一起代入。6）利用不獨(dú)立平衡方程進(jìn)行校核。7.平面桁架（1）定義由若干直桿在兩端用鉸鏈彼此連接而成幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)成為桁架。桿件與桿件的連接點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。所有桿件的軸線在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架，否則稱為空間桁架。（2）對(duì)于桁架的分析計(jì)算作如下假設(shè)1）各桿件都用光滑鉸鏈連接。2）各桿件都是直桿。3）桿件所受的外載荷都作用在節(jié)點(diǎn)上。對(duì)于平面桁架各力作用線都在桁架平面內(nèi)。4）各桿件的自重或略去不計(jì)，或平均分配到桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上。根據(jù)以上假設(shè)，桁架中各桿件都是二力構(gòu)件，只受到軸向力作用，受拉或受壓。（3）平面桁架內(nèi)力的計(jì)算方法分析桁架的目的就在于確定各桿件的內(nèi)力，通常有兩種計(jì)算桁架內(nèi)力的方法，如表4.1-8所述。當(dāng)需要計(jì)算桁架中所有桿件的內(nèi)力時(shí)，可采用節(jié)點(diǎn)法；若僅計(jì)算桁架中某幾根桿件的內(nèi)力，一般以截面法較為方便，但有時(shí)也可綜合應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法和截面法。在計(jì)算中，習(xí)慣將各桿件的內(nèi)力假設(shè)為拉力。若所得結(jié)果為正值，說(shuō)明桿件是拉桿，反之則為壓桿。表4.1-8平面桁架內(nèi)力計(jì)算方法節(jié)點(diǎn)法截面法研究對(duì)象取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象將桁架沿某個(gè)面截成兩部分，取其中一部分為研究對(duì)象平衡方程應(yīng)用平面匯交力系平衡方程求解桁架內(nèi)力應(yīng)用平面任意力系平衡方程求解桁架內(nèi)力為簡(jiǎn)化計(jì)算，一般先要判斷桁架中的零力桿（內(nèi)力為零的桿件），對(duì)于表4.1-9所述的三種情況，零力桿可以直接判斷出。表4.1-9桁架零力桿的判斷節(jié)點(diǎn)類型特點(diǎn)條件圖示判斷型節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)上連接兩根桿件，且只有兩根桿件不重合、不共線節(jié)點(diǎn)上不受力兩桿全是零力桿節(jié)點(diǎn)受一集中力，其方位與其中一根桿件的軸線共線桿件軸線不與力方位重合的桿件為零力桿型節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)上連接三根桿件只有三根桿件，其中兩根桿件的軸線共線，另一根桿件與這兩根桿件不重合節(jié)點(diǎn)上不受力桿件軸線不與兩根軸線共線桿件重合的桿件為零力桿9.物體的重心（1）物體的重心是一確定的點(diǎn)，它與物體在空間的位置有關(guān)。（2）物體的重心坐標(biāo)公式1）或式中：、、表示物體重心的坐標(biāo)；及表示各微小部分的重量；、、及、、表示各微小部分重心所在位置的坐標(biāo)；表示物體的總重量。2）當(dāng)物體在同一近地表面時(shí)，其重心就是其質(zhì)心，則質(zhì)心坐標(biāo)公式為或式中：、、表示物體質(zhì)心的坐標(biāo)；及表示各微小部分的質(zhì)量；、、及、、表示各微小部分質(zhì)心所在位置的坐標(biāo)；表示物體的總質(zhì)量。3）當(dāng)物體在同一近地表面及均質(zhì)時(shí)，其重心就是體積中心，則體積中心的坐標(biāo)公式為或式中：、、表示物體體積中心的坐標(biāo)；及表示各微小部分的體積；、、及、、表示各微小部分體積中心所在位置的坐標(biāo)；表示物體的總質(zhì)量。4)當(dāng)物體在同一近地表面、均質(zhì)及等厚薄板時(shí)，其重心就是形心，則形心的坐標(biāo)公式為或式中：、、表示物體形心的坐標(biāo)；及表示各微小部分的面積；、、及、、表示各微小部分形心所在位置的坐標(biāo)；表示物體的總面積。一、軸向拉伸與壓縮（一）考試大綱1．材料在拉伸、壓縮時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼、鑄鐵拉伸、壓縮實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線；力學(xué)性能指標(biāo)。2．拉伸和壓縮

軸力和軸力圖；桿件橫截面和斜截面上的應(yīng)力；強(qiáng)度條件；胡克定律；變形計(jì)算。（二）考點(diǎn)主要內(nèi)容要求：=1\*GB3①了解軸向拉（壓）桿的受力特征與變形特征；=2\*GB3②了解內(nèi)力、應(yīng)力、位移、變形和應(yīng)變的概念；=3\*GB3③掌握截面法求軸力的步驟和軸力圖的作法；=4\*GB3④掌握橫截面上的應(yīng)力計(jì)算，了解斜截面上的應(yīng)力計(jì)算；=5\*GB3⑤熟悉胡克定律及其應(yīng)用、拉（壓）桿變形計(jì)算；=6\*GB3⑥了解常用工程材料（低碳鋼、鑄鐵）拉（壓）時(shí)的力學(xué)性能，掌握強(qiáng)度條件的應(yīng)用。引言材料力學(xué)的任務(wù)材料力學(xué)是研究構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性計(jì)算的學(xué)科。這些計(jì)算是工程師選定既安全又最經(jīng)濟(jì)的構(gòu)件材料和尺寸的必要基礎(chǔ)。強(qiáng)度是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗破壞的能力。剛度是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗變形的能力。穩(wěn)定性是指構(gòu)件保持其原有平衡形式的能力。變形固體的基本假設(shè)各種構(gòu)件均由固體材料制成。固體在外力作用下將發(fā)生變形，故稱為變形固體。材料力學(xué)中對(duì)變形固體所作的基本假設(shè)如下。=1\*GB3①連續(xù)性假設(shè)：組成固體的物質(zhì)毫無(wú)空隙地充滿了固體的幾何空間。=2\*GB3②均勻性假設(shè)：在固體的體積內(nèi)，各處的力學(xué)性能完全相同。=3\*GB3③各向同性假設(shè)：在固體的各個(gè)方向上有相同的力學(xué)性能。=4\*GB3④小變形的概念：構(gòu)件由荷載引起的變形遠(yuǎn)小于構(gòu)件的原始尺寸。桿件的主要幾何特征桿件是指長(zhǎng)度L遠(yuǎn)大于橫向尺寸（高度和寬度）的構(gòu)件。這是材料力學(xué)研究的主要對(duì)象。桿件的兩個(gè)主要的幾何特征是橫截面的軸線。=1\*GB3①橫截面：垂直于桿件長(zhǎng)度方向的截面。=2\*GB3②軸線：各橫截面形心的連線。若桿的軸線為直線，稱為直桿。若桿的軸線為曲線，稱為曲桿。軸向拉伸與壓縮圖5-軸向拉伸與壓縮桿件的力學(xué)模型，如圖5-1-1所示。=1\*GB3①受力特征：作用于桿兩端的外力的合力，大小相等、指向相反、沿桿件軸線作用。=2\*GB3②變形特征：桿件主要產(chǎn)生軸線方向的均勻伸長(zhǎng)（縮短）。軸向拉伸（壓縮）桿橫截面上的內(nèi)力內(nèi)力內(nèi)力是由外力作用而引起的構(gòu)件內(nèi)部各部分之間的相互作用力。截面法截面法是求內(nèi)力的一般方法。用截面法求內(nèi)力的步驟如下。=1\*GB3①截開(kāi)：在須求內(nèi)力的截面處，假想沿該截面將構(gòu)件截開(kāi)分為二部分。=2\*GB3②代替：任取一部分為研究對(duì)象，稱為脫離體。用內(nèi)力代替棄去部分對(duì)脫離體的作用。=3\*GB3③平衡：對(duì)脫離體列寫(xiě)平衡條件，求解未知內(nèi)力。截面法的圖示如圖5-1-2圖5-1-2軸力軸向拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必定與桿軸線相重合，稱為軸力，以或N表示。軸力規(guī)定以拉力為正，壓力為負(fù)。軸力圖軸力圖是表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線，如圖5-1-3軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力軸向拉桿橫截面上的應(yīng)力垂直于截面，為正應(yīng)力。正應(yīng)力在整個(gè)橫截面上均勻分布，如圖5-1-4(5-1-1)式中：為橫截面上的正應(yīng)力，N/m2或Pa；為軸力，N；A為橫截面面積，m2。F2F2FFFNx(+)(-)F軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力均勻分布，如圖5-1-5總應(yīng)力(5-1-2)正應(yīng)力(5-1-3)切應(yīng)力(5-1-4)式中：為由橫截面外法線轉(zhuǎn)至截面外法線的夾角，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；為斜截面m-m的截面積；為橫截面上的正應(yīng)力。以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。以其對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩時(shí)為正，反之為負(fù)。軸向拉壓桿中最大正應(yīng)力發(fā)生在的橫截面上，最小正應(yīng)力發(fā)生在的縱截面上，其值分別為最大切應(yīng)力發(fā)生在的斜截面上，最小切應(yīng)力發(fā)生在的橫截面和的縱截面上，其值分別為圖5-1-5材料的力學(xué)性能低碳鋼在拉抻時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖5-圖5-1-6低碳鋼拉伸時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線這一曲線分四個(gè)階段，有四個(gè)特征點(diǎn)，見(jiàn)表5-1-1表5-1階段圖5-特征點(diǎn)說(shuō)明彈性階段Oab比例極限彈性極限為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力；為不產(chǎn)生殘余的最高應(yīng)力屈服階段bc屈服強(qiáng)度為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時(shí)的最低應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部變形階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到斷裂應(yīng)力－應(yīng)變曲線上還有如下規(guī)律：=1\*GB3①卸載定律：在卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化，如圖5-1-6中的直線。=2\*GB3②冷作硬化：材料拉伸到強(qiáng)化階段后，卸除荷載，再次加載時(shí)，材料的比例極限提高而塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化，如圖5-1-6中曲線，在圖5-1-6中，段表示未經(jīng)冷作硬化，拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變；段表示經(jīng)冷作硬化，再拉伸到斷裂后的塑性應(yīng)變。主要性能指標(biāo)表5-1-2表5-1-2性能性能指標(biāo)說(shuō)明彈性性能彈性模量Ｅ當(dāng)≤時(shí)，強(qiáng)度性能屈服強(qiáng)度材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度材料的最大承載能力塑性性能延伸率材料拉斷時(shí)的變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度低碳鋼的力學(xué)性能低碳鋼在壓縮時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變曲線如圖5-1-7低碳鋼壓縮時(shí)的比例極限、屈服強(qiáng)度、彈性模量Ｅ與拉伸時(shí)基本相同，但測(cè)不出抗拉強(qiáng)度。鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖5-1-8應(yīng)力與應(yīng)變無(wú)明顯的線性關(guān)系，拉斷前的應(yīng)變很小，實(shí)驗(yàn)時(shí)只能測(cè)到抗拉強(qiáng)度。彈性模量E以總應(yīng)變?yōu)?.1%時(shí)的割線斜率來(lái)度量。鑄鐵壓縮時(shí)的力學(xué)性能鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力－應(yīng)變曲線如圖5-1-9鑄鐵壓縮時(shí)的抗壓強(qiáng)度比拉伸時(shí)大4~5倍，破壞時(shí)破裂面與軸線成角，宜于作抗壓構(gòu)件。塑性材料和脆性材料延伸率的材料稱為脆性材料。屈服強(qiáng)度對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生0.2%的殘余應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服強(qiáng)度，并以表示，如圖5-1-10所示。強(qiáng)度條件許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料脆性材料式中：為屈服強(qiáng)度；為抗拉強(qiáng)度；ns、nb為安全系數(shù)。強(qiáng)度條件構(gòu)件的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件為強(qiáng)度計(jì)算的三大類問(wèn)題：強(qiáng)度校核截面設(shè)計(jì)確定許可荷載，再根據(jù)平衡條件，由計(jì)算。軸向拉壓桿的變形胡克定律軸向拉壓桿的變形桿件在軸向拉伸時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；而在軸向壓縮時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)，如圖5-1-11軸向變形(5-1-8)軸向線應(yīng)變(5-1-9)橫向變形(5-1-10)橫向線應(yīng)變(5-1-11)胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即式中

E為材料的彈性模量?；蛴幂S力及桿件變形量表示為式中：為桿的抗拉(壓)剛度，表示抗拉壓彈性變形的能力。泊松比當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變之比的絕對(duì)值為一常數(shù)，即泊松比是材料的彈性常數(shù)之一，無(wú)量綱。二、剪切（一）考試大綱剪切和擠壓的實(shí)用計(jì)算；剪切面；擠壓面；抗剪強(qiáng)度；擠壓強(qiáng)度。（二）考點(diǎn)主要內(nèi)容要求：=1\*GB3①熟悉連接件與被連接件的受力分析；=2\*GB3②準(zhǔn)確判定剪切面與擠壓面，掌握剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算；=3\*GB3③準(zhǔn)確理解切應(yīng)力互等定理的意義，了解剪切胡克定律及其應(yīng)用。剪切的概念及實(shí)用計(jì)算剪切的概念剪切的力學(xué)模型如圖5-=1\*GB3①受力特征：構(gòu)件上受到一對(duì)大小相等、方向相反，作用線相距很近且與構(gòu)件軸線垂直的力作用。=2\*GB3②變形特征：構(gòu)件沿內(nèi)力的分界面有發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的趨勢(shì)。=3\*GB3③剪切面：構(gòu)件將發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的面。=4\*GB3④剪力：剪切面上的內(nèi)力，其作用線與剪切面平行，用或表示。剪切實(shí)用計(jì)算名義切應(yīng)力假定切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的。若為剪切面面積，為剪力，則名義切應(yīng)力為(5-2-1)許用切應(yīng)力按實(shí)際的受力方式，用實(shí)驗(yàn)的方法求得名義剪切極限應(yīng)力，再除以安全因數(shù)n。剪切條件剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力(5-2-2)擠壓的概念及實(shí)用計(jì)算擠壓的概念=1\*GB3①擠壓：兩構(gòu)件相互接觸的局部承壓作用。=2\*GB3②擠壓面：兩構(gòu)件間相系接觸的面。=3\*GB3③擠壓力：承壓接觸面上的總壓力。擠壓實(shí)用計(jì)算名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓力在名義擠壓面上均勻分布，則名義擠壓應(yīng)力為(5-2-3)式中：Abs為名義擠壓面面積。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，則名義擠壓面面積等于實(shí)際的承壓接觸面面積；當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)，則名義擠壓面面積各取為實(shí)際承壓接觸面在垂直擠壓力方向的投影面積，如圖5-2-2鍵的名義擠壓面面積鉚釘?shù)拿x擠壓面面積為許用擠壓應(yīng)力根據(jù)直接實(shí)驗(yàn)結(jié)果，按照名義擠壓應(yīng)力公式計(jì)算名義極限擠壓應(yīng)力，再除以安全系數(shù)。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用擠壓應(yīng)力，即切應(yīng)力互等定理剪切胡克定律純剪切=1\*GB3①純剪切：若單元體各個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，則稱為純剪切。純剪切引起的剪應(yīng)變，如圖5-2-3所示。=2\*GB3②剪應(yīng)變：在切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊間直角的改變量。單位為rad，無(wú)量綱。在材料力學(xué)中規(guī)定以單元體左下直角增大時(shí)，為正，反之為負(fù)。切應(yīng)力互等定理在互相垂直的兩個(gè)平面上，垂直于兩平面交線的切應(yīng)力，總是大小相等，且共同指向或背離這一交線（圖5-2-3剪切胡克定律當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比，即式中G為剪切彈性模量。對(duì)各向同性材料，E、G、間只有二個(gè)獨(dú)立常數(shù)，它們之間的關(guān)系為三、扭轉(zhuǎn)（一）考試大綱扭矩和扭矩圖；圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力；切應(yīng)力互等定理；剪切胡克定律；圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件：扭轉(zhuǎn)角計(jì)算及剛度條件。（二）考點(diǎn)主要內(nèi)容要求：=1\*GB3①了解桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特征與變形特征；=2\*GB3②了解傳動(dòng)軸的外力偶矩計(jì)算，掌握求扭矩和作扭矩圖的方法；=3\*GB3③掌握橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律和切應(yīng)力的計(jì)算；=4\*GB3④掌握?qǐng)A截面極慣性矩、抗扭截面系數(shù)計(jì)算公式。扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型如圖5-3-1=1\*GB3①受力特征：桿兩端受到一對(duì)力偶矩相等、轉(zhuǎn)向相反、作用平面與桿件軸線相垂直的外力偶作用。=2\*GB3②變形特征：桿件表面縱向線變成螺旋線，即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。=3\*GB3③扭轉(zhuǎn)角：桿件任意兩橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。外力偶矩的計(jì)算軸所傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩間有如下關(guān)系：(5-3-1)(5-3-2)式中：傳遞功率N的單位為千瓦（kW）或公制馬力（，）；轉(zhuǎn)速n的單位為轉(zhuǎn)每分（r/min），Me的單位為kN·m。扭矩和扭矩圖=1\*GB3①扭矩：受扭桿件橫截面上的內(nèi)力，是一個(gè)橫截面平面內(nèi)的力偶，其力偶矩稱為扭矩，用表示，見(jiàn)圖5-3-2，其值用截面法求得。=2\*GB3②扭矩符號(hào)：扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定，以右手法則表示扭矩矢量，當(dāng)矢量的指向與截面外向的指向一致時(shí)，扭矩為正，反之為負(fù)。=3\*GB3③扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力及強(qiáng)度條件橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力分布規(guī)律橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力，其方向垂直于該點(diǎn)所在的半徑，其值與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，見(jiàn)圖5-3-3切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上距圓心為的任一點(diǎn)的切應(yīng)力(5-3-3)橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在橫截面周邊各點(diǎn)處其值為(5-3-4)切應(yīng)力計(jì)算公式的討論=1\*GB3①公式適用于線彈性范圍（≤），小變形條件下的等截面實(shí)心或空心圓直桿。=2\*GB3②為所求截面上的扭矩。=3\*GB3③Ｉp稱為極慣性矩，Ｗt稱為抗扭截面系數(shù)，其值與截面尺寸有關(guān)。對(duì)于實(shí)心圓截面（圖5-3-4(5-3-5)對(duì)于空心圓截面（圖5-3-4(5-3-6)其中：。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即≤(5-3-7)由強(qiáng)度條件可對(duì)受扭圓桿進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可荷載三類問(wèn)題的計(jì)算。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的扭轉(zhuǎn)角計(jì)算及剛度條件圓桿的扭轉(zhuǎn)角計(jì)算單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角(5-3-8)式中：的單位為扭轉(zhuǎn)角(5-3-9)式中：的單位為若長(zhǎng)度LＬ內(nèi)T、G、IP均為常量，則(5-3-10)公式適用于線彈性范圍，小變形下的等直圓桿。表示圓桿抵抗扭轉(zhuǎn)彈性變形的能力稱為抗扭剛度。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件剛度條件：圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角不得超赤規(guī)定的許可值，即由剛度條件，同樣可對(duì)受扭圓桿進(jìn)行剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可荷載三類問(wèn)題的計(jì)算。（三）例題分析例題1：某傳動(dòng)軸，承受外力偶作用，軸材料的許用切應(yīng)力為，試分別按=1\*GB3①橫截面為實(shí)心圓截面，直徑為；=2\*GB3②橫截面為的空心圓截面，外徑為，內(nèi)徑為，確定軸的截面尺寸，并確定其重量比。（A）（B）（C）（D）答案：（D）解析：1）橫截面為實(shí)心圓截面．設(shè)軸的直徑為，則所以有2）橫截面為空心圓截面，設(shè)橫截面的外徑為，得所以有3）重量比較，由于兩根軸的材料和長(zhǎng)度相同，其重量之比就等于兩者的橫截面面積之比，利用以上計(jì)算結(jié)果得：結(jié)果表明，在滿足強(qiáng)度的條件下，空心圓軸的重量是實(shí)心圓軸重量的一半。例題2：某傳動(dòng)軸，轉(zhuǎn)速n=300r/min(轉(zhuǎn)/分），輪1為主動(dòng)輪，輸入的功率P1=50kW，輪2、輪3與輪4為從動(dòng)輪，輸出功率分別為P2=10kW，P3=P4=20kW。(1)試畫(huà)軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩。(2)若將輪1與論3的位置對(duì)調(diào)，軸的最大扭矩變?yōu)楹沃担瑢?duì)軸的受力是否有利。8008008008001432P4P3P2P1解：(1)計(jì)算各傳動(dòng)輪傳遞的外力偶矩；(2)畫(huà)出軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩；TT(Nm)x(+)318.31273.4636.7(-)(3)對(duì)調(diào)論1與輪3，扭矩圖為；TT(Nm)x(+)636.7955636.7(-)所以對(duì)軸的受力有利。例題3：圖示受扭圓桿，沿平面ABCD截取下半部分為研究對(duì)象，如圖b所示。試問(wèn)截面ABCD上的切向內(nèi)力所形成的力偶矩將由哪個(gè)力偶矩來(lái)平衡？解題分析：由切應(yīng)力互等定理可知截面ABCD上的切向內(nèi)力分布及其大小。該截面上切向內(nèi)力形成一個(gè)垂直向上的力偶矩。在圖b中，左右兩個(gè)橫截面上的水平切向內(nèi)力分量形成垂直于截面ABCD的豎直向下的力偶矩，正好與截面ABCD上切向內(nèi)力的合力偶矩平衡。解：1、計(jì)算長(zhǎng)為l的縱截面ABCD上切向內(nèi)力的合力偶矩。如圖c所示，在縱截面上取一微面積，其上切向內(nèi)力的合力即微剪力對(duì)z軸的微力矩為積分得到縱截面上切向內(nèi)力對(duì)z軸的合力偶矩為，方向豎直向上。2、計(jì)算兩端橫截面切向內(nèi)力的水平分量形成的力偶矩如圖d所示，微面積上切向內(nèi)力的水平分量為右端橫截面上剪力的水平分量為左右兩個(gè)橫截面上水平剪力形成繞z軸的力偶矩為，豎直向下。所以，截面ABCD上的切向內(nèi)力所形成的力偶矩將由左右兩個(gè)橫截面上水平剪力形成的力偶矩平衡。例題4：已知鉆探機(jī)桿的外徑D=60mm，內(nèi)徑d=50mm，功率P=7.46kW，轉(zhuǎn)速n=180r/min，鉆桿入土深度l=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。設(shè)土壤對(duì)鉆桿的阻力是沿長(zhǎng)度均勻分布的，試求：(1)單位長(zhǎng)度上土壤對(duì)鉆桿的阻力矩M；(2)作鉆桿的扭矩圖，并進(jìn)行強(qiáng)度校核；(3)求A、B兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解題分析：根據(jù)題意，此題為圓軸扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。土壤對(duì)鉆桿的阻力形成扭力矩作用在鉆桿上，并沿鉆桿長(zhǎng)度方向均勻分布。解：1、求阻力矩集度M設(shè)鉆機(jī)輸出的功率完全用于克服土壤阻力，則有單位長(zhǎng)度阻力矩2、作扭矩圖，進(jìn)行強(qiáng)度校核鉆桿的扭矩圖如圖c所示。最大扭矩出現(xiàn)在A截面，所以A截面為危險(xiǎn)截面。其上最大切應(yīng)力為滿足強(qiáng)度要求。3、計(jì)算A、B兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角例題5：直徑的鋼圓桿，受軸向拉力作用時(shí)，在標(biāo)距為的長(zhǎng)度內(nèi)伸長(zhǎng)了。當(dāng)其承受一對(duì)扭轉(zhuǎn)外力偶矩時(shí)，在標(biāo)距為的長(zhǎng)度內(nèi)相對(duì)扭轉(zhuǎn)了的角度。試求鋼材的彈性常數(shù)E,G和。解：=1\*GB3①求彈性模量E=2\*GB3②計(jì)算切變模量Ｇ，由公式，求得=3\*GB3③由公式計(jì)算泊松比例題6：圖示圓軸，已知，，；，；，；，，；試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計(jì)算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。解：=1\*GB3①計(jì)算扭矩并作扭矩圖其扭矩見(jiàn)圖。=2\*GB3②計(jì)算切應(yīng)力和強(qiáng)度校核由于AB段內(nèi)的扭矩最大，而B(niǎo)C段的直徑小，因而不能直接確定最大切應(yīng)力發(fā)生在哪一段截面上，需分別計(jì)算兩段截面上最大切應(yīng)力值。AB段BC段滿足強(qiáng)度要求。=3\*GB3③剛度校核進(jìn)行剛度校核時(shí)，需計(jì)算最大單位扭轉(zhuǎn)角此軸不滿足剛度條件。=5\*GB3⑤計(jì)算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角因AB、BC段上的扭矩和截面各自不變，要分別計(jì)算兩段的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，然后相加；分析與討論：=1\*GB3①對(duì)截面、扭矩變化的軸必須計(jì)算出全軸中的最大切應(yīng)力和最大單位扭轉(zhuǎn)角，然后從強(qiáng)度和剛度分別考慮，才能保證軸安全正常工作。=2\*GB3②計(jì)算相對(duì)扭轉(zhuǎn)角時(shí)應(yīng)注意分段，總扭轉(zhuǎn)角為各段扭轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。各段的扭轉(zhuǎn)角的正、負(fù)號(hào)，可由該段扭矩的正、負(fù)表示。=3\*GB3③注意：階梯狀圓軸在兩段連接處有應(yīng)力集中現(xiàn)象，在以上計(jì)算中對(duì)此并未考慮。例題7：圖示圓截面軸，AB與BC段的直徑分別為d1與d2，且d1=4d2/3，材料的切變模量為G。若扭力偶矩M=1kNm，許用切應(yīng)力[τ]=80MPa，單位長(zhǎng)度的許用扭轉(zhuǎn)角[θ]=0.50/m，切變模量G=80GPa，試確定軸徑；試求軸內(nèi)的最大切應(yīng)力與截面C的轉(zhuǎn)角；若將BC段設(shè)計(jì)為空心的，內(nèi)外徑之比，則BC段實(shí)心與空心的用材量之比為多少？MlMllMACB=1\*GB3①考慮軸的強(qiáng)度條件；=2\*GB3②考慮軸的剛度條件；綜合軸的強(qiáng)度和剛度條件，確定軸的直徑；(2)求軸內(nèi)的最大切應(yīng)力與截面C的轉(zhuǎn)角=1\*GB3①畫(huà)軸的扭矩圖；2M2Tx(+)M=2\*GB3②求最大切應(yīng)力；比較得=3\*GB3③求C截面的轉(zhuǎn)角；（3）若將BC段設(shè)計(jì)為空心的，內(nèi)外徑之比，則BC段截面尺寸=1\*GB3①考慮軸的強(qiáng)度條件；=2\*GB3②考慮軸的剛度條件；綜合軸的強(qiáng)度和剛度條件，就取空心軸外徑=3\*GB3③比較BC實(shí)心與空心的用材量之比軸的材料、長(zhǎng)度相同，則質(zhì)量比等于軸的橫截面面積之比分析與討論：切應(yīng)力的分布規(guī)律知，實(shí)心軸圓心附近的切應(yīng)力還很小，這部分材料沒(méi)有充分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。所以空心軸的重量比實(shí)心軸輕。從截面幾何性質(zhì)分析，空心軸的材料分布離軸心愈遠(yuǎn)，其搞扭截面系數(shù)和極慣性矩愈大，從而提高了軸的搞扭強(qiáng)度和剛度。但應(yīng)注意過(guò)薄的圓筒受扭時(shí)容易發(fā)生皺折，還要注意加上成本和構(gòu)造上的要求等因素。五、彎曲（一）考試大綱梁的內(nèi)力方程；剪力圖和彎矩圖；分布荷載、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系；正應(yīng)力強(qiáng)度條件；切應(yīng)力強(qiáng)度條件；梁的合理截面；彎曲中心概念；求梁變形的積分法、疊加法。（二）考點(diǎn)主要內(nèi)容要求：彎曲內(nèi)力=1\*GB3①了解平面彎曲的概念，熟悉具有縱對(duì)稱面的梁產(chǎn)生平面彎曲的條件；=2\*GB3②熟練梁內(nèi)剪力，彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定；=3\*GB3③熟練掌握用截面法求指定截面的剪力、彎矩；=4\*GB3④掌握作用剪力圖，彎矩圖的基本方法——列出剪力方程和彎矩方程，然后，依據(jù)這些方程作圖；=5\*GB3⑤掌握荷載集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系及應(yīng)用于檢查剪力圖、彎矩圖的正確性。彎曲應(yīng)力=1\*GB3①了解中性軸的概念及其在截面上的位置；=2\*GB3②掌握橫截面上的正應(yīng)力的分布規(guī)律及其計(jì)算公式，明確彎曲正應(yīng)力公式的適用條件；=3\*GB3③熟悉工程上常用截面（圓形，矩形）的軸慣性矩、抗彎截面的計(jì)算公式；熟悉中性軸為截面對(duì)稱軸或非對(duì)稱軸時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條件；=4\*GB3④熟悉常見(jiàn)截面切應(yīng)力的分布規(guī)律及切應(yīng)力計(jì)算公式；=5\*GB3⑤了解梁的合理截面形狀，了解彎曲中心的概念。彎曲變形=1\*GB3①熟悉列出梁撓曲線近似微分方程的步驟；=2\*GB3②用積分法求解濰的位移時(shí)，能正確寫(xiě)出梁的邊界條件和連續(xù)條件；=3\*GB3③利用梁在簡(jiǎn)單荷載下的變形結(jié)果，會(huì)用疊加法求梁的位移。彎曲內(nèi)力平面彎曲的概念彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。彎曲變形特征任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)桿的軸線也彎成曲線。平面彎曲荷載作用（外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面）與彎曲平面（即梁軸線彎曲后所在平面）相平行或重合的彎曲，如圖5-5-1圖5-5-1圖5-5-1產(chǎn)生平面彎曲的條件如下。=1\*GB3①梁具有縱對(duì)稱面時(shí)，只要外力（橫向力或外力偶）都作用在此縱對(duì)稱面內(nèi)。=2\*GB3②對(duì)非對(duì)稱截面梁，純彎曲時(shí)，只要外力偶作用在與梁的形心主慣性平面（即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構(gòu)成的平面）平行的平面內(nèi)；橫力彎曲時(shí)，橫向力必須通過(guò)橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內(nèi)。梁橫截面上的內(nèi)力分量——剪力與彎矩剪力與彎矩=1\*GB3①剪力：梁橫截面上切向分布內(nèi)力的合力，稱為剪力，以表示。=2\*GB3②彎矩：梁橫截面上法向分布內(nèi)力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以M表示。=3\*GB3③剪力與彎矩的符號(hào)：考慮梁微段dx，使右側(cè)截面對(duì)左側(cè)截面產(chǎn)生向下相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的剪力為正，反之為負(fù)；使微段產(chǎn)生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為向，如圖5-5-2(b)所示。由截面法可知以下兩點(diǎn)。=1\*GB3①橫截面上的剪力，其數(shù)值等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力在橫截面方向的投影代數(shù)和；且左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負(fù)剪力，見(jiàn)圖5-5-2(a)。=2\*GB3②橫截面上的彎矩，其數(shù)值等于該截面左側(cè)（或右側(cè)）梁上所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和；且向上外力均引起正彎矩，左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶及右側(cè)梁上逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩，反之則產(chǎn)生負(fù)彎矩，如圖5-5-2(a)所示。剪力方程與彎矩方程=1\*GB3①剪力方程：表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱為剪力方程，表示為=2\*GB3②彎矩方程：表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù)，稱為彎矩方程，表示為剪力圖與彎矩圖=1\*GB3①剪力圖：表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。=2\*GB3②彎矩圖：表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用q、、M間的微分關(guān)系設(shè)荷載集度q(x)為截面位置x的連續(xù)函數(shù)，且規(guī)定以向上為正，則有(5-5-1)(5-5-2)(5-5-3)應(yīng)用=1\*GB3①校核剪力圖、彎矩圖的正確性。根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的幾何意義，式5-5-1和式5-5-2表明剪力圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)點(diǎn)處的荷載集度，彎矩圖上某點(diǎn)的切線斜率等于梁上相應(yīng)截面上的剪力。由式5-5-3的幾何意義可根據(jù)M(x)對(duì)x二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，定出M(x)圖的凸凹向。若q(x)>0，則M圖為上凸的曲線；若q(x)<0，則M圖為下凹的曲線；若q(x)＝0，則M=2\*GB3②利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖。由式5-5-1可得(5-5-4)即截面B上的剪力與截面A上的剪力之差等于梁上AB間荷載集度q(x)圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中外力作用。同理由式5-5-2(5-5-5)即截面B上的彎矩與截面A上的彎矩之差等于梁上AB間剪力圖的面積，但兩截面之間必須無(wú)集中力偶作用。于是可由式5-5-1、式5-5-2，根據(jù)梁上已知的荷載集度，判定剪力、彎矩圖的圖線形狀、凹向等；而由式5-5-4、式5-5-5或由截面法，確定控制截面的剪力、彎矩值，即可繪制剪力、彎矩圖。特殊截面上的剪力、彎矩值=1\*GB3①在集中力作用的截面處，圖有突變，M圖形成尖角。突變值等于集中力的大小，突變方向與集中力作用方向一致。=2\*GB3②在集中力偶作用處，圖無(wú)變化，但M圖有突變。其突變值等于該力偶之矩，突變方向看該力偶對(duì)后半段梁的影響，即該力偶對(duì)后半段梁產(chǎn)生正彎矩，則向正方向突變，否則反之。現(xiàn)將本節(jié)中有關(guān)彎矩、剪力與荷載間的關(guān)系以及剪力圖的彎矩圖的一些特征匯總整理為表5-5-1表5-5-1一段梁上受外力的情況向下的均布荷載無(wú)荷載集中力集中力偶剪力圖上的特征向下方傾斜的直線水平直線，一般為在C處有突變?cè)贑處無(wú)變化彎矩圖上的特征下凸的二次拋物線一般為斜直線在C處有尖角在C處有突變最大彎矩所在截面在的截面在剪力變號(hào)的截面在緊靠C點(diǎn)的某一側(cè)的截面彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力和正應(yīng)力強(qiáng)度條件純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力時(shí)的彎曲，稱為純彎曲。中性層與中性軸=1\*GB3①中性層：桿件彎曲變形時(shí)既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層。=2\*GB3②中性軸：中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線。=3\*GB3③中性軸位置：當(dāng)桿件發(fā)生平面彎曲，且處于線彈性范圍時(shí)，中性軸通過(guò)截面形心，且垂直于荷載作用平面。=4\*GB3④中性層的曲率：桿件發(fā)生平面彎曲時(shí)，中性層（或桿軸的曲率與彎矩間的關(guān)系為式中：為變形后中性層（或桿軸）的曲率半徑；EIz為桿的抗彎剛度，軸z為橫截面的中性軸。平面彎曲桿件橫截面上的正應(yīng)力=1\*GB3①分布規(guī)律：正應(yīng)力的大小與該點(diǎn)至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力，如圖5-5-3。=2\*GB3②計(jì)算公式：任一點(diǎn)應(yīng)力(5-5-7)最大應(yīng)力(5-5-8)式中：M為所求截面的彎矩；Iz截面對(duì)中性軸的慣性矩；Wz為抗彎截面系數(shù)。，它是一個(gè)只與橫截面的開(kāi)關(guān)和尺寸有關(guān)的幾何量。對(duì)于矩形截面（見(jiàn)圖5-5-4對(duì)于圓形截面（見(jiàn)圖5-5-討論：=1\*GB3①公式適用于線彈性范圍且材料在拉伸和壓縮時(shí)彈性模