課后素養(yǎng)落實(shí)(四十七)大事的相互性(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．以下大事中，A，B是相互大事的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面〞，B＝“其次次為反面〞B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球〞，B＝“其次次摸到白球〞C．?dāng)S一枚骰子，A＝“消失點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)〞，B＝“消失點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)〞D．A＝“人能活到20歲〞，B＝“人能活到50歲〞A[把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互的，其結(jié)果不受先后影響，故A是大事；B中是不放回地摸球，明顯A大事與B大事不相互；對于C，A，B應(yīng)為互斥大事，不相互；D是條件概率，大事B受大事A的影響．應(yīng)選A．]2．甲盒中有200個螺桿，其中有160個A型的，乙盒中有240個螺母，其中有180個A型的．今從甲、乙兩盒中各任取一個，那么恰好可配成A型螺栓的概率為()A．eq\f(1,20)B．eq\f(15,16)C．eq\f(3,5)D．eq\f(19,20)C[設(shè)“從甲盒中取一螺桿為A型螺桿〞為大事A，“從乙盒中取一螺母為A型螺母〞為大事B，那么A與B相互，P(A)＝eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，那么從甲、乙兩盒中各任取一個，恰好可配成A型螺栓的概率為P＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5)．]3．兩名射手射擊同一目標(biāo)，，假設(shè)各射擊一次，目標(biāo)被擊中的概率是()A．0.56B．0.92CC[∵×0.3＝0.06，∴目標(biāo)被擊中的概率為1－0.06＝0.94．]4．甲、乙兩人參與學(xué)問競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互，那么這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,7)D．eq\f(5,12)D[依據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，那么所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12)．]5．設(shè)兩個大事A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，那么大事A發(fā)生的概率P(A)等于()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)D[由題意，P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))·P(B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))．設(shè)P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x1－y＝\f(1,9)，,1－xy＝x1－y，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y(tǒng).))∴x2－2x＋1＝eq\f(1,9)，∴x－1＝－eq\f(1,3)，或x－1＝eq\f(1,3)(舍去)，∴x＝eq\f(2,3)．]二、填空題6．某籃球隊(duì)員在競賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，那么該隊(duì)員每次罰球的命中率為________．eq\f(3,5)[設(shè)此隊(duì)員每次罰球的命中率為p，那么1－p2＝eq\f(16,25)，所以p＝eq\f(3,5)．]7．A，B是相互大事，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，那么P(Aeq\x\to(B))＝________；P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝________．eq\f(1,6)eq\f(1,6)[∵P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，∴P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．]8．甲、乙、丙三人將參與某項(xiàng)測試，，那么三人都達(dá)標(biāo)的概率是________，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是________．0.240.96[由題意可知三人都達(dá)標(biāo)的概率為P××0.5＝0.24；三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．]三、解答題9．甲、乙兩名跳高運(yùn)發(fā)動在一次2米，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率．[解]記“甲第i次試跳成功〞為大事Ai，“乙第i次試跳成功〞為大事Bi(i＝1,2,3)，依題意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互．(1)“甲試跳三次，第三次才成功〞為大事eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，且這三次試跳相互．∴P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(A3××0.7＝0.063．(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功〞為大事C．P(C)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1×0.4＝0.88．10．計算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作考試兩局部，每局部考試成果只記“合格〞與“不合格〞，兩局部考試都“合格〞者，那么計算機(jī)考試“合格〞，并頒發(fā)合格證書．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格〞的概率依次為eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，在實(shí)際操作考試中“合格〞的概率依次為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(5,6)，甲、乙、丙每局部考試是否合格互不影響，且三人兩局部考試結(jié)果也互不影響．(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，誰獲得合格證書的可能性更大？(2)這三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率．[解](1)記大事A＝“甲獲得合格證書〞，大事B＝“乙獲得合格證書〞，大事C＝“丙獲得合格證書〞，那么P(A)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,9)．由于P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙獲得合格證書的可能性更大．(2)設(shè)大事D＝“三人考試后恰有兩人獲得合格證書〞，那么P(D)＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＝eq\f(11,30)，即甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得合格證書的概率為eq\f(11,30)．1．一個電路如下圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，其閉合的概率都是eq\f(1,2)，且是否閉合是相互的，那么燈亮的概率是()A．eq\f(55,64)B．eq\f(1,64)C．eq\f(1,8)D．eq\f(9,64)A[設(shè)大事G＝“C閉合〞，大事H＝“D閉合〞，大事T＝“A與B中至少有一個不閉合〞，大事R＝“E與F中至少有一個不閉合〞，那么P(G)＝P(H)＝eq\f(1,2)，P(T)＝P(R)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以燈亮的概率P＝1－P(T)P(R)P(eq\x\to(G))·P(eq\x\to(H))＝eq\f(55,64)．]2．(多項(xiàng)選擇題)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球競賽，實(shí)行五局三勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得三場成功時，該隊(duì)獲勝，競賽結(jié)束)．依據(jù)前期競賽成果可知在每一局競賽中，甲隊(duì)獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙隊(duì)獲勝的概率為eq\f(1,3)．假設(shè)前兩局中乙隊(duì)以2∶0領(lǐng)先，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．甲隊(duì)獲勝的概率為eq\f(8,27)B．乙隊(duì)以3∶0獲勝的概率為eq\f(1,3)C．乙隊(duì)以3∶1獲勝的概率為eq\f(1,9)D．乙隊(duì)以3∶2獲勝的概率為eq\f(4,9)AB[對于A，在乙隊(duì)以2∶0領(lǐng)先的前提下，假設(shè)甲隊(duì)獲勝那么第三、四、五局均為甲隊(duì)取勝，所以甲隊(duì)獲勝的概率為P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，故A正確；對于B，乙隊(duì)以3∶0獲勝，即第三局乙獲勝，概率為eq\f(1,3)，故B正確；對于C，乙隊(duì)以3∶1獲勝，即第三局甲獲勝，第四局乙獲勝，概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，故C錯誤；對于D，假設(shè)乙隊(duì)以3∶2獲勝，那么第五局為乙隊(duì)取勝，第三、四局乙隊(duì)輸，所以乙隊(duì)以3∶2獲勝的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故D錯誤．]3．荷花池中，有一只青蛙在成“品〞字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時，均從一葉跳到另一葉)，而且沿逆時針方向跳的概率是沿順時針方向跳的概率的2倍，如下圖．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，那么跳三次之后停在A葉上的概率是________．eq\f(1,3)[由題意知，青蛙沿逆時針方向跳的概率是eq\f(2,3)，沿順時針方向跳的概率是eq\f(1,3)．青蛙跳三次要回到A葉上只有兩條途徑：第一條，按A→B→C→A，此時停在A葉上的概率P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；其次條，按A→C→B→A，此時停在A葉上的概率P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)．所以跳三次之后停在A葉上的概率P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3)．]4．某中學(xué)籃球體育測試要求同學(xué)完成“立定投籃〞和“三步上籃〞兩項(xiàng)測試，“立定投籃〞與“三步上籃〞各有2次投籃時機(jī)，先進(jìn)行“立定投籃〞測試，假如合格才有時機(jī)進(jìn)行“三步上籃〞測試，為了節(jié)省時間，每項(xiàng)只需且必需投中一次即為合格．小明同學(xué)“立定投籃〞的命中率為eq\f(1,2)，“三步上籃〞的命中率為eq\f(3,4)，假設(shè)小明不放棄任何一次投籃時機(jī)且每次投籃是否命中互不影響，那么小明同學(xué)一次測試合格的概率為________．eq\f(45,64)[設(shè)小明第i次“立定投籃〞命中為大事Ai，第i次“三步上籃〞命中為大事Bi(i＝1,2)，依題意有P(Ai)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(3,4)(i＝1,2)，“小明同學(xué)一次測試合格〞為大事C．P(eq\o(C,\s\up7(－)))＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2)＋P(A1eq\x\to(B)1eq\x\to(B)2)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)＋P(A1)·P(eq\x\to(B)1)P(eq\x\to(B)2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(19,64)．∴P(C)＝1－eq\f(19,64)＝eq\f(45,64)．]甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋競賽，一共賽5局，商定先勝3局者獲得這次競賽的成功，同時競賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，，，各局競賽結(jié)果相互．前2局中，甲、乙各勝1局．(1)求再賽2局結(jié)束這次競賽的概率；(2)求甲獲得這次競賽成功的概率．[解]記Ai表示大事“第i局甲獲勝〞，i＝3,4,5，Bj表示大事“第