湖南省張家界市陳家河民族中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.集合則以下正確的是（

）

參考答案：D略2.設(shè)全集，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

參考答案：B3.已知y=loga（2﹣ax）是[0，1]上的減函數(shù)，則a的取值范圍為（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【分析】本題必須保證：①使loga（2﹣ax）有意義，即a＞0且a≠1，2﹣ax＞0．②使loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)．由于所給函數(shù)可分解為y=logau，u=2﹣ax，其中u=2﹣ax在a＞0時為減函數(shù)，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=loga（2﹣ax）定義域的子集．【解答】解：∵f（x）=loga（2﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，∴f（0）＞f（1），即loga2＞loga（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故答案為：B．4.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為，則C=A. B. C. D.參考答案：C分析：利用面積公式和余弦定理進行計算可得。詳解：由題可知所以由余弦定理所以故選C.點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理。5.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查．為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為(

)A．7

B．9

C．10

D．15參考答案：C略6.（5分）如果冪函數(shù)的圖象不過原點，則取n值為（） A． n=1或n=2 B． n=1或n=0 C． n=1 D． n=2參考答案：A考點： 冪函數(shù)的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 冪函數(shù)的圖象不過原點，可得n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解出即可．解答： ∵冪函數(shù)的圖象不過原點，∴n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解得n=1或2．故選：A．點評： 本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次不等式與方程的解法，屬于基礎(chǔ)題．7.下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（

）A．

B．

C． D． 參考答案：D8.設(shè)函數(shù)，點表示坐標原點，點，若向量，是與的夾角（其中）．則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知函數(shù)f（x）=log3x．（1）求f（45）﹣f（5）的值；（2）若函數(shù)y=g（x）（x∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）的表達式．參考答案：【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】（1）由已知中函數(shù)f（x）=log3x，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可得f（45）﹣f（5）的值；（2）根據(jù)函數(shù)y=g（x）（x∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x），可得函數(shù)y=g（x）的表達式．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=log3x．∴f（45）﹣f（5）=log345﹣log33=log39=2；（2）若函數(shù)y=g（x）（x∈R）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x）=log3x，∴當(dāng)x＜0時，﹣x＞0，g（x）=﹣g（﹣x）=﹣log3（﹣x），又由g（0）=0得：g（x）=．10.定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足在（﹣∞，0）上為增函數(shù)且f（﹣1）=0，則不等式x?f（x）＞0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）參考答案：A【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，畫出函數(shù)f（x）的草圖，又由x?f（x）＞0?或，結(jié)合函數(shù)的圖象分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）為奇函數(shù)且在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，則f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，若f（﹣1）=0，得f（﹣1）=﹣f（1）=0，即f（1）=0，作出f（x）的草圖，如圖所示：對于不等式x?f（x）＞0，有x?f（x）＞0?或，分析可得x＜﹣1或x＞1，即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故選：A．【點評】本題函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，涉及不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合進行求解比較容易．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若的最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱，則=

.參考答案：12.已知，且與的夾角，則

．參考答案：13.已知變量滿足則的最大值為__________。參考答案：1214.函數(shù)的最小正周期為

；最大值分別為．參考答案：π,1.【考點】正弦函數(shù)的定義域和值域；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)y為cos2x，再由余弦函數(shù)的定義域、值域、周期性，求出它的周期和最大值．【解答】解：函數(shù)===cos2x，故最小正周期等于=π，當(dāng)2x=2kπ，即x=kπ（k∈z）時，函數(shù)y=cos2x有最大值等于1，故答案為π，1．15.已知函數(shù)，2，則=

。參考答案：或或16.函數(shù)y=的單調(diào)減區(qū)間為

．參考答案：（﹣∞，1）和（1，+∞）【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】畫出函數(shù)的圖象，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：畫出函數(shù)的圖象，如圖示：，∴函數(shù)在（﹣∞，1）遞減，在（1，+∞）遞減，故答案為：（﹣∞，1）和（1，+∞）．17.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為，，若對任意實數(shù)，總存在自然數(shù)k，使得當(dāng)時，不等式恒成立，則k的最小值是

．參考答案：

5

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.計算：（1）；

（2）lg25﹣lg22+lg4．參考答案：【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可，（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可．【解答】解：（1）原式=××（）=×（22×3）×3×2=3×2=3；（2）原式=（lg5﹣lg2）（lg5+lg2）+2lg2=lg5﹣lg2+2lg2=lg5+lg2=1．【點評】本題主要考查了指數(shù)冪對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19.已知兩直線（1）求直線與的交點P的坐標；（2）求過交點P，且在兩坐標軸截距相等的直線方程；（3）若直線與不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)a的值.參考答案：（1）（2）或（3）或或【分析】（1）聯(lián)立方程解方程組；（2）分為截距為零和不為零兩種情況；（3）三直線不能構(gòu)成三角形，則與其中一條平行或過的交點.【詳解】解：（1）由，解得：所以點的坐標為（2）設(shè)所求直線為,當(dāng)直線在兩坐標軸截距為不零時,設(shè)直線方程為:，則，解得，所以直線的方程為，即.當(dāng)直線在兩坐標軸截距為零時,設(shè)直線方程為:設(shè)直線方程為:,則，解得，所以直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.（3）當(dāng)與平行時不能構(gòu)成三角形，此時：,解得；當(dāng)與平行時不能構(gòu)成三角形，此時：,解得；當(dāng)過的交點時不能構(gòu)成三角形，此時：，解得.綜上，當(dāng)或或時，不能構(gòu)成三角形.【點睛】本題考查直線位置關(guān)系的應(yīng)用.20.記函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，則稱以x0為函數(shù)f(x)的不動點．（1）當(dāng)a＝1，b＝-2時，求f（x）=ax2+(b+1)x+(b-1)(的“不動點”；（2）若函數(shù)f(x)=的圖象上有且只有兩個相異的“不動點”，試求實數(shù)a的取值范圍；（3）已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“不動點”，求證：f(x)必有奇數(shù)個“不動點”．參考答案：（1）f（x）=ax2+(b+1)x+(b-1)(的“不動點”為-1和3；（2）a<-1或a>7；（3）證明：函數(shù)f(x)的“不動點”即方程f(x)=x亦即f(x)-x=0的根.∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)-x為奇函數(shù).設(shè)方程f(x)-x=0在（0，+∞）上有k(k∈N)個實數(shù)根，則它在(-∞,0)上也有k個實數(shù)根.又∵f(x)-x為奇函數(shù)，∴f(0)-0=0，即0是f(x)-x=0的根∴方程f(x)-x=0共有2k+1(k∈N)個實數(shù)根.∴函數(shù)f(x)有2k+1(k∈N)個“不動點”.即f(x)有奇數(shù)個“不動點”．21.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.參考答案：（1）證明：取的中點，連接，則，∵∥平面，平面，平面平面，∴∥，即∥.

∵∴四邊形是平行四邊形.

∴∥，.在Rt△中，，又，得.∴.

在△中，，，，∴，∴.

∴，即.∵四邊形是正方形，∴.

∵，平面，平面，∴平面.

（2）連接，與相交于點，則點是的中點，取的中點，連接，，則∥，.由（1）知∥，且，∴∥，且.∴四邊形是平行四邊形.∴∥，且

由（1）知平面，又平面，∴.

∵，平面，平面，∴平面.

∴平面.

∵平面，∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∴是直線與平面所成的角.

在Rt△中，.

∴直線與平面所成角的正切值為.

22.已知函數(shù)是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）判斷并證明f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性．參考答案：【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)條件，奇函數(shù)f（x）在原點有定義，從而f（0）=b=0，從而，而根據(jù)便可求出a=1，這樣便得出a，b的值；（2）寫出，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，然后作差，通分，提取公因式，便得到，可以說明f（x1）＜f（x2），從而得出f（x）在（﹣1，1）上為增函數(shù)．【解答】解：（1）∵f（x）是定義在（﹣1，1）