河南省駐馬店市東洪鄉(xiāng)聯(lián)合中學2022年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.A.

B.

C.

D.參考答案：C2.在中，內角的對邊分別為，若，且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：由得因為所以,即又a>b,則∠B=,故選A.考點：解三角形.3.設函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．參考答案：D4.如右圖，將兩個全等的的直角三角形和直角三角形拼在一起組成平面四邊形，若，則分別等于A．

B．

C．

D．參考答案：D5.設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題 ①若 ②若③ ④其中正確的命題的個數(shù)是（

）A．0個 B．1個

C．2個 D．3個參考答案：B6.定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λa+（1﹣λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．[0，+∞）B．C．D．參考答案：D考點：函數(shù)與方程的綜合運用．專題：壓軸題；新定義．分析：本題求解的關鍵是得出M、N橫坐標相等，將恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題．解答：解：由題意，M、N橫坐標相等，恒成立即k恒大于等于，則k≥的最大值，所以本題即求的最大值．由N在AB線段上，得A（1，0），B（2，）AB方程y=（x﹣1）由圖象可知，MN=y1﹣y2=x﹣﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（均值不等式）故選D．點評：解答的關鍵是將已知條件進行轉化，同時應注意恒成立問題的處理策略．7.“”是“”的

(

)A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略8.如果命題“”是真命題，則正確的是A.均為真命題

B.中至少有一個為假命題 C.均為假命題

D.中至多有一個為假命題

參考答案：B略9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題，錯誤的命題是（）A．若m∥α，m∥β，α∩β=n，則m∥n B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥nC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，則m⊥α D．若α∥β，m∥α，則m∥β參考答案：D【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】對4個命題分別進行判斷，即可得出結論．【解答】解：對于A，因為若m∥α，m∥β，α∩β=n，根據(jù)線面平行的性質與判定，可得m∥n，正確；對于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n一定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β矛盾，通過平移使得m與n相交，且設m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，因為α⊥β，所以m與n所成的角為90°，故命題正確．對于C，因為γ，β垂直于同一個平面α，故γ，β的交線一定垂直于α，正確．對于D，若α∥β，m∥α，則m∥β或m?β，不正確，故選D．10.秦九韶是我國南宋時代的數(shù)學家，其代表作《數(shù)書九章》是我國13世紀數(shù)學成就的代表之一，秦九韶利用其多項式算法，給出了求高次代數(shù)方程的完整算法，這一成就比西方同樣的算法早五六百年，如圖是該算法求函數(shù)f（x）=x3+x+1零點的程序框圖，若輸入x=﹣1，c=1，d=0.1，則輸出的x的值為（）A．﹣0.6 B．﹣0.69 C．﹣0.7 D．﹣0.71參考答案：C【考點】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，即可得出結論．【解答】解：x=﹣1，f（﹣1）=﹣1＜0，c＞d，x=﹣1+1=0，第二次循環(huán)，x=0，f（0）=1＞0，x=0﹣1=﹣1，c=0.1=d，x=﹣0.9第3次循環(huán)，x=﹣0.9，f（﹣0.9）＜0，x=﹣0.8，第3次循環(huán)，x=﹣0.8，f（﹣0.8）＜0，x=﹣0.7，第4次循環(huán)，x=﹣0.7，f（﹣0.7）＜0，x=﹣0.6，第5次循環(huán)，x=﹣0.6，f（﹣0.6）＞0，x=﹣0.7，c=0.01＜d停止循環(huán)，輸出﹣0.7，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面上兩定點A,B之間距離為4,動點P滿足,則點P到AB中點的距離的最小值為

▲

.

參考答案：1略12.不等式logax﹣ln2x＜4（a＞0，且a≠1）對任意x∈（1，100）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：（0，1）∪（，+∞）

【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】不等式轉化為＜（lnx）2+4，令t=lnx，得到＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．【解答】解：∵不等式logax﹣ln2x＜4，∴＜（lnx）2+4，令t=lnx，∵x∈（1，100），∴t=lnx∈（0，ln100），∴＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，0＜a＜1時，lna＜0，顯然成立，a＞1時，lna＞0，故lna＞，令g（t）=，t∈（0，ln100），則g′（t）=，令g′（t）＞0，解得：0＜t＜2，令g′（t）＜0，解得：t＞2，故g（t）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，故g（t）≤g（2）=，故lna＞，解得：a＞，綜上，a∈（0，1）∪（，+∞），故答案為：（0，1）∪（，+∞）．【點評】本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．13.在數(shù)列{an}中，a1=6，an+1=2an+3×2n，則通項an=．參考答案：（3n+3）?2n﹣1【考點】數(shù)列遞推式．【專題】轉化思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】an+1=2an+3×2n，變形為=．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：∵an+1=2an+3×2n，∴=．∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項為3．∴=3+=，∴an=（3n+3）?2n﹣1，故答案為：（3n+3）?2n﹣1．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為

.參考答案：11.15.已知為鈍角，且，則______.參考答案：16.等比數(shù)列{an}滿足：a1=a（a＞0），成等比數(shù)列，若{an}唯一，則a的值等于．參考答案：【考點】等比數(shù)列的通項公式．【分析】設公比為q，由條件得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0關于q∈R且q≠0有唯一解，由此能求出結果．【解答】解：設公比為q，∵等比數(shù)列{an}滿足：a1=a（a＞0），成等比數(shù)列，∴（aq+2）2=（a+1）（aq2+3），整理，得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0，∵{an}唯一，∴由條件得：aq2﹣4aq+3a﹣1=0關于q∈R且q≠0有唯一解，注意到a＞0，△=16a2﹣4a（3a﹣1）＞0恒成立，∴3a﹣1=0，（q=0為方程的增解）．故答案為：．17.若定義域為R的函數(shù)f(x)滿足，則不等式的解集為

.（結果用區(qū)間表示）參考答案：

(0，e)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項的和為，為等差數(shù)列且各項均為正數(shù)，，，（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求．參考答案：（Ⅰ）當時，

∴，即

又

∴是公比為3的等比數(shù)列（Ⅱ）由（1）得：

設的公差為（），∵，∴依題意有，，∴

即，得，或（舍去）故19.已知△ABC的面積S滿足，且?=6，與的夾角為α．（1）求α的取值范圍；（2）若函數(shù)f（α）=sin2α+2sinαcosα+3cos2α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值時的α．參考答案：【考點】向量在幾何中的應用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】（1）利用兩個向量的數(shù)量積的定義及三角形的面積公式，求出tanα的范圍，從而求出α的取值范圍．（2）由二倍角的三角函數(shù)公式及同角三角函數(shù)的基本關系，把f（α）化為2+sin（2α+），由α的范圍得到2α+的范圍，進而得到2+sin（2α+）的最小值．【解答】解：（1）由題意知?=6=||?||cosα

①，S=||?||sin（π﹣α）=||?||sinα

②，由②÷①得=tanα，即3tanα=S，由3≤S≤3，得3≤3tanα≤3，即1≤tanα≤，又α為與的夾角，∴α∈〔0，π〕∴α∈[，]．（2）f（α）=sin2α+2sinαcosα+3cos2α=1+sin2α+2cos2α∴f（α）=2+sin2α+cos2α=2+sin（2α+），∵α∈〔，〕，∴2α+∈〔，〕，∴當2α+=，即α=時，f（α）min=．20.(本題滿分12分)某中學在校就餐的高一年級學生有440名，高二年級學生有460名，高三年級學生有500名；為了解學校食堂的服務質量情況，用分層抽樣的方法從中抽取70名學生進行抽樣調查，把學生對食堂的“服務滿意度”與“價格滿意度”都分為五個等級：1級（很不滿意）；2級（不滿意）；3級（一般）；4級（滿意）；5級（很滿意），其統(tǒng)計結果如下表（服務滿意度為，價格滿意度為）.(1)求高二年級共抽取學生人數(shù)；(2)求“服務滿意度”為3時的5個“價格滿意度”數(shù)據(jù)的方差；(3)為提高食堂服務質量，現(xiàn)從且的所有學生中隨機抽取兩人征求意見，求至少有一人的“服務滿意度”為1的概率.參考答案：解：（1）共有1400名學生，高二級抽取的人數(shù)為（人）3分（2）“服務滿意度為3”時的5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以方差………………7分（3）符合條件的所有學生共7人，其中“服務滿意度為2”的4人記為“服務滿意度為1”的3人記為.

在這7人中抽取2人有如下情況：共21種情況其中至少有一人的“服務滿意度為1”的情況有15種.……………10分所以至少有一人的“服務滿意度”為1的概率為………12分略21. 已知函數(shù)

（Ⅰ）若上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

（Ⅱ）若的一個極值點，求上的最大值。參考答案：解：（I）上是增函數(shù)

即上恒成立

則必有

（II）依題意，即

令得則當變化時，的變化情況如下表：1（1，3）3（3，4）4

—0+

—6

—18

—12在[1，4]上的最大值是略22.（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【專題】空間角．【分析】（Ⅰ）證明AC⊥PC．AC⊥BC．通過直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）判斷∠PCE為二面角P﹣AC﹣E的平面角，利用余弦定理即可求解．（Ⅲ）作PF⊥CE，F(xiàn)為垂足．連接AF，說明∠PAF就是直線PA與平面EAC所成角．然后解三角形即可求解直線PA與平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，∴AC⊥CP，AC⊥CE，∴∠PCE