第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022年山東省德州市高考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，則A∩B＝（）A．{0，1} B．[0，1] C．[﹣2，1] D．{0，1，2}2．（5分）已知m，n是兩條不重合的直線，β是一個(gè)平面且n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）已知i是虛數(shù)單位，a，b均為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)（a，b）所在的象限為（）A．一 B．二 C．三 D．四4．（5分）已知a＞0，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．36 B．30 C．15 D．105．（5分）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)y＝cos2x圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位6．（5分）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），若P（X＜2﹣a）＝0.3，則P（2﹣a＜X＜a）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.67．（5分）已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象見下圖，且f（x+2）＝f（2﹣x）對(duì)x∈R恒成立，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．8．（5分）雙曲線的一條漸近線方程為，F(xiàn)1、F2分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．12二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的2分，有選錯(cuò)的得0分.）（多選）9．（5分）教育部辦公廳“關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管頻率理工作的通知”中指出，各地要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生體質(zhì)健康0.06重要性的宣傳，中小學(xué)校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競(jìng)賽、班團(tuán)隊(duì)活動(dòng)，家校協(xié)同聯(lián)動(dòng)等多種形式加強(qiáng)教育引導(dǎo)，讓家長(zhǎng)和中小學(xué)生007科學(xué)認(rèn)識(shí)體質(zhì)健康的影響因素．了解運(yùn)動(dòng)在增強(qiáng)體質(zhì)、促進(jìn)健康、預(yù)防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，增強(qiáng)體質(zhì)健康管理的意識(shí)和能力，某學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生的體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A．樣本的眾數(shù)為 B．樣本的80%分位數(shù)為72 C．樣本的平均值為66 D．該校男生中低于60公斤的學(xué)生大約為300人（多選）10．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（，0），B（，），P，則下列結(jié)論正確的是（）A．△OAB為等邊三角形 B．最小值為 C．滿足的點(diǎn)P有兩個(gè) D．存在一點(diǎn)P使得（多選）11．（5分）某地舉辦數(shù)學(xué)建模大賽，本次大賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的表面積為16π，托盤由邊長(zhǎng)為8的等邊三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊面成，如圖②，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線AD與平面DEF所成的角為 B．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為 C．異面直線AD與CF所成角的余弦值為 D．球上的點(diǎn)到底面DEF的最大距離為（多選）12．（5分）若函數(shù)f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1）（a∈R）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），則（）A．函數(shù)f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn) B．a(chǎn)＜0或a＞2 C． D．f（x1）+f（x2）＞1﹣2ln2三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）設(shè)函數(shù)，若f（a）＝1，則a＝．14．（5分）已知角θ的終邊過點(diǎn)A（3，y），且sin（π+θ）＝，則tanθ＝．15．（5分）已知拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（t，1）是拋物線第一象限上的點(diǎn)，|AF|＝5，直線AF與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則S△AOB＝．16．（5分）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段（，），記為第1次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間[0，]，[，1]分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個(gè)區(qū)間為，若使前n次操作去掉的所有區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為.（lg2＝0.30，lg3＝0.47）四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，且滿足．（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）記，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．18．（12分）2021年12月17日，工信部發(fā)布的“十四五”促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立”百十萬千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專精特新”、“小巨人”、“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細(xì)化、特色化，新穎化優(yōu)勢(shì)的中小企業(yè)下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份（年）20172018201920202021年份代碼（x）12345新增企業(yè)數(shù)量：（y）817292442（1）請(qǐng)根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；（2）若在此地進(jìn)行考察，考察企業(yè)中有4個(gè)為“專精特新”企業(yè)，3個(gè)為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，用X表示抽取的3個(gè)為“專精特新”全業(yè)個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望．參考公式：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為，．19．（12分）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．問題：已知△ABC中，D為AB邊上的一點(diǎn)，且BD＝2AD，_______．（1）若，求∠BCD大??；（2）若CD＝CB，求cos∠ACB．20．（12分）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼，耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．在《九章算術(shù)?商功》篇中提到“陽(yáng)馬”這一幾何體，是指底面為矩形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，現(xiàn)有“陽(yáng)馬”P﹣ABCD，底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PA⊥面ABCD，PA＝2，E、F為邊BC、CD上的點(diǎn)，，，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)．（1）若，證明：面PBM⊥面PAF；（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使二面角P﹣EF﹣A的大小為45°？如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，求此時(shí)直線BM與面PEF所成角的正弦值．21．（12分）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣，0），（，0），圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線G．（1）求曲線G的方程；（2）設(shè)直線l與曲線G交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)D在曲線G上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷四邊形OMDN的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝cos2x+a（x2﹣1），g（x）＝1﹣cosx．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，求f（x）圖象在（，f（））處的切線方程；（2）當(dāng)a＞1時(shí)，求f（x）的極值；（3）若，f'（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，恒成立，求a的取值范圍．

2022年山東省德州市高考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，則A∩B＝（）A．{0，1} B．[0，1] C．[﹣2，1] D．{0，1，2}【分析】求出集合B，利用交集定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，∴A∩B＝{0，1}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知m，n是兩條不重合的直線，β是一個(gè)平面且n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：①根據(jù)線面垂直的定義，m必須垂直平面β內(nèi)的兩條相交直線，才有m⊥β，即充分性不成立，②若m⊥β，∵n?β，則m⊥n成立，即必要性成立，故m⊥n是m⊥β的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（5分）已知i是虛數(shù)單位，a，b均為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)（a，b）所在的象限為（）A．一 B．二 C．三 D．四【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：∵，∴b+ai＝（3+i）（1﹣i）＝3﹣3i+i+1＝4﹣2i，即b＝4，a＝﹣2，∴點(diǎn)（﹣2，4）所在的象限為二．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知a＞0，二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．36 B．30 C．15 D．10【分析】令x＝1，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1+a）6＝64，求出a的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解．【解答】解：令x＝1，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1+a）6＝64，且a＞0，∴1+a＝2，∴a＝1，∴二項(xiàng)式為（x+）6，展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝x6﹣r＝x6﹣3r，令6﹣3r＝0得r＝2，即展開式中的常數(shù)項(xiàng)為＝15，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)y＝cos2x圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)椋絚os（2x+﹣）＝cos2（x﹣），所以將函數(shù)y＝cos2x圖象向右平移個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），若P（X＜2﹣a）＝0.3，則P（2﹣a＜X＜a）＝（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可．【解答】解：∵（2﹣a）+a＝2，∴x＝2﹣a，x＝a關(guān)于x＝1對(duì)稱，∴P（2﹣a＜X＜a）＝2P（2﹣a＜X＜1）＝2×[0.5﹣P（X＜2﹣a）]＝0.4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象見下圖，且f（x+2）＝f（2﹣x）對(duì)x∈R恒成立，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【分析】由導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知判斷函數(shù)的對(duì)稱性，于是可得答案．【解答】解：由導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象可知，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；①又f（x+2）＝f（2﹣x）對(duì)x∈R恒成立，所以f（）＝f（），②所以f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，又函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以f（﹣1）＝f（1），③因?yàn)椋?＜，所以由①②③得：f（）＜f（1）＝f（﹣1）＜f（）＝f（），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（5分）雙曲線的一條漸近線方程為，F(xiàn)1、F2分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．12【分析】分析可知a＝3，且||MF1|﹣|MF2||＝6，要使的值最小，則|MF1|應(yīng)盡可能大，|MF2|應(yīng)盡可能小，則點(diǎn)M在雙曲線右支上，由此|MF2|＝|MF1|﹣6，再利用基本不等式判斷不能取到等號(hào)，最后結(jié)合|MF2|≥2，得到答案．【解答】解：∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴a＝3，由雙曲線的定義可知，||MF1|﹣|MF2||＝6，要使的值最小，則|MF1|應(yīng)盡可能大，|MF2|應(yīng)盡可能小，故點(diǎn)M應(yīng)為雙曲線右支上一點(diǎn)，|MF1|﹣|MF2|＝6，則|MF2|＝|MF1|﹣6，∴，當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|＝4時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)|MF2|＝﹣2＜0，故此時(shí)取不到等號(hào)，而|MF2|≥2，故當(dāng)|MF2|＝2，|MF1|＝8時(shí)，取得最小值4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線性質(zhì)的運(yùn)用，同時(shí)也考查了基本不等式的運(yùn)用，考查分析問題解決問題的能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的2分，有選錯(cuò)的得0分.）（多選）9．（5分）教育部辦公廳“關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管頻率理工作的通知”中指出，各地要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生體質(zhì)健康0.06重要性的宣傳，中小學(xué)校要通過體育與健康課程、大課間、課外體育鍛煉、體育競(jìng)賽、班團(tuán)隊(duì)活動(dòng)，家校協(xié)同聯(lián)動(dòng)等多種形式加強(qiáng)教育引導(dǎo)，讓家長(zhǎng)和中小學(xué)生007科學(xué)認(rèn)識(shí)體質(zhì)健康的影響因素．了解運(yùn)動(dòng)在增強(qiáng)體質(zhì)、促進(jìn)健康、預(yù)防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，增強(qiáng)體質(zhì)健康管理的意識(shí)和能力，某學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生的體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A．樣本的眾數(shù)為 B．樣本的80%分位數(shù)為72 C．樣本的平均值為66 D．該校男生中低于60公斤的學(xué)生大約為300人【分析】頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)值為眾數(shù)，從而判斷選項(xiàng)A；利用頻率分布直方圖求80%分位數(shù)判斷選項(xiàng)B，利用頻率分布直方圖求平均數(shù)判斷選項(xiàng)C，利用頻率分布直方圖求低于60公斤的學(xué)生的頻率，再求頻數(shù)即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，樣本的眾數(shù)為＝67，故正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8，0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8，∴樣本的80%分位數(shù)在（70，75]之間，70+×5＝72，故正確；對(duì)于選項(xiàng)C，樣本的平均值為57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，該校男生中低于60公斤的學(xué)生大約為2000×0.03×5＝300人，故正確；故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由頻數(shù)分布表、直方圖求頻數(shù)、頻率，考查頻率公式，頻率分布直方圖坐標(biāo)軸的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（，0），B（，），P，則下列結(jié)論正確的是（）A．△OAB為等邊三角形 B．最小值為 C．滿足的點(diǎn)P有兩個(gè) D．存在一點(diǎn)P使得【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)以及向量垂直的充要條件、向量的模長(zhǎng)公式和夾角公式等逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，，，||＝，故△OAB為等邊三角形，A正確；對(duì)于B，＝，當(dāng)α＝0時(shí)，該式取得最小值，該式取最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得＝＝＝0，結(jié)合，可知符合，故符合題意的P點(diǎn)只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題知＝＝（cosα，sinα），所以，即，結(jié)合，解得，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的概念、運(yùn)算和性質(zhì)，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）11．（5分）某地舉辦數(shù)學(xué)建模大賽，本次大賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的表面積為16π，托盤由邊長(zhǎng)為8的等邊三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊面成，如圖②，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線AD與平面DEF所成的角為 B．經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為 C．異面直線AD與CF所成角的余弦值為 D．球上的點(diǎn)到底面DEF的最大距離為【分析】根據(jù)線面角的定義，正弦定理，異面直線所成角的概念，點(diǎn)面距的轉(zhuǎn)化分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的問題求解．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)A，∵平面ADE⊥平面DEF，∴AD在平面DEF內(nèi)的射影為DE，∴∠ADE＝，即為AD與平面DEF所成的角，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)B，如右圖，分別取DE，EF，DF中點(diǎn)為M、N、P，連AM，BN，CP，則由題意得AM，BN，CP都和平面DEF垂直，且AM，BN，CP三線段都為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的高，∴AM，BN，CP三條線段相互平行且相等，∴CA平行且等于PM，PM平行且等于＝2，同理AB＝BC＝2，∴△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴由正弦定理，得△ABC的外接圓半徑r＝，∴經(jīng)過三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的球的截面圓的面積為，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，由B選項(xiàng)的解答知CA∥FN，且CA＝FN，∴CF∥AN且CF＝AN，∴異面直線AD與CF所成角即為∠DAN或其補(bǔ)角，在△DAN中，易知AD＝4，AN＝CF＝4，DN＝，設(shè)∠DAN＝2θ，則sinθ＝，∴，∴選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，∵球的表面積為16π，∴球的半徑R＝2，∴球心O到△ABC截面小圓圓心O1的距離，∴球上的點(diǎn)到底面DEF的最大距離為，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的定義，正弦定理，異面直線所成角的概念，空間想象力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．（多選）12．（5分）若函數(shù)f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1）（a∈R）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），則（）A．函數(shù)f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn) B．a(chǎn)＜0或a＞2 C． D．f（x1）+f（x2）＞1﹣2ln2【分析】對(duì)于A：當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝0，即可判斷A是否正確；對(duì)于B：求導(dǎo)得f′（x）＝，若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），則2ax2﹣2ax+1＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，f′（x）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，進(jìn)而可得Δ＞0且，即可解出a的取值范圍，進(jìn)而判斷B是否正確；對(duì)于C：由選項(xiàng)B分析可得x1+x2＝1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，x2＝1﹣x1，則1﹣x1＞x1，即可解出答案，進(jìn)而可判斷C是否正確．對(duì)于D：根據(jù)題意可得f（x1）+f（x2）＝lnx1x2+a[（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2]，將x1+x2＝1，x1x2＝代入上式，進(jìn)而可得f（x1）+f（x2）＝a﹣lna﹣ln2﹣1，令h（a）＝a﹣lna﹣ln2﹣1，a＞2，求導(dǎo)分析單調(diào)性，推出h（a）＞h（2）＝1﹣2ln2，即可判斷D是否正確．【解答】解：對(duì)于A：f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1）＝lnx+a（x﹣1）2，當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝ln1+a（1﹣1）2＝0，所以f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1），f′（x）＝+a（2x﹣2）＝+2ax﹣2a＝，因?yàn)閒（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），所以2ax2﹣2ax+1＝0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，所以f′（x）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以Δ＝（﹣2a）2﹣4×2a×1＝4a2﹣8a＝4a（a﹣2）＞0，所以a＞2或a＜0，因?yàn)閤1＞0，x2＞0，所以，所以a＞2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由選項(xiàng)B分析可得x1+x2＝1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，所以x2＝1﹣x1，所以1﹣x1＞x1，所以2x1＜1，解得0＜x1＜，故C正確；對(duì)于D：f（x1）+f（x2）＝lnx1+a（x12﹣2x1+1）+lnx2+a（x22﹣2x2+1）＝lnx1x2+a[x12+x22﹣2（x1+x2）+2]＝lnx1x2+a[（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2]，將x1+x2＝1，x1x2＝代入上式，f（x1）+f（x2）＝ln+a（1﹣2?﹣2×1+2）＝﹣ln2a+a（1﹣）＝﹣ln2﹣lna+a﹣1＝a﹣lna﹣ln2﹣1，令h（a）＝a﹣lna﹣ln2﹣1，a＞2h′（a）＝1﹣＝＞0，所以h（a）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（a）＞h（2）＝2﹣ln2﹣ln2﹣1＝1﹣2ln2，故D正確，故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．（5分）設(shè)函數(shù)，若f（a）＝1，則a＝0或e．【分析】由題意，利用分段函數(shù)，分類討論求得函數(shù)的值．【解答】解：∵函數(shù)，若f（a）＝1，則當(dāng)a≤0時(shí)，a2+1＝1，∴a＝0．則當(dāng)a＞0時(shí)，lna＝1，∴a＝e，故答案為：0或e．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知角θ的終邊過點(diǎn)A（3，y），且sin（π+θ）＝，則tanθ＝﹣．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式，任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)A（3，y），且sin（π+θ）＝﹣sinθ＝，所以sinθ＝＝﹣，可得y＝﹣4，則tanθ＝＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，任意角的三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（t，1）是拋物線第一象限上的點(diǎn)，|AF|＝5，直線AF與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則S△AOB＝40．【分析】根據(jù)已知求得p，以及A，進(jìn)而求出直線AF的方程，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：∵拋物線x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（t，1）是拋物線第一象限上的點(diǎn)，|AF|＝5，∴1+＝5，可得p＝8，∴拋物線x2＝16y的焦點(diǎn)為F（0，4），y＝1代入可得x＝4（﹣4舍去），∴A（4，1），∴l(xiāng)AF的方程為：＝，即3x+4y﹣16＝0，聯(lián)立，解得或，即B（﹣16，16），故|AB|＝＝25，點(diǎn)O到直線AB的距離為：，∴S△AOB＝×25×＝40，故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段（，），記為第1次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間[0，]，[，1]分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個(gè)區(qū)間為[，]，若使前n次操作去掉的所有區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為9.（lg2＝0.30，lg3＝0.47）【分析】先根據(jù)題意把第n次操作所去掉的長(zhǎng)度和求出來，然后再求和即可得到前n次操作所去掉的長(zhǎng)度，再建立不等式即可求出n的最小值．【解答】解：第一次操作去掉了區(qū)間長(zhǎng)度的，剩下的區(qū)間：，，第二次去掉2個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，剩下的區(qū)間：，，，，第三次去掉4個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，剩下的區(qū)間：，，，，?．以此類推，第n次將去掉2n﹣1個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，則{an}的前n項(xiàng)和可表示為：，由題意知，，，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即n（lg2﹣lg3）≤﹣3lg3，解得：n≥8.13，∴n＝9，故答案為：；9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型及其應(yīng)用，數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)文化試題等知識(shí)，屬于中等題．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（10分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，且滿足．（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）記，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（1）對(duì)于兩邊取倒數(shù)，可推得，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得答案；（2）由（1）求得的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，即可求得答案．【解答】證明：（1），所以，即是等比數(shù)列，則的首項(xiàng)為，公比為3，所以，所以；解：（2），所以①，②，①﹣②得，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的證明和錯(cuò)位相減求和，屬于中檔題．18．（12分）2021年12月17日，工信部發(fā)布的“十四五”促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立”百十萬千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專精特新”、“小巨人”、“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專精特新”是指具備專業(yè)化、精細(xì)化、特色化，新穎化優(yōu)勢(shì)的中小企業(yè)下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份（年）20172018201920202021年份代碼（x）12345新增企業(yè)數(shù)量：（y）817292442（1）請(qǐng)根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；（2）若在此地進(jìn)行考察，考察企業(yè)中有4個(gè)為“專精特新”企業(yè)，3個(gè)為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，用X表示抽取的3個(gè)為“專精特新”全業(yè)個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望．參考公式：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為，．【分析】（1）求得x，y的平均值，根據(jù)最小二乘法估計(jì)公式求得回歸方程的系數(shù)，即可求得答案，將x＝7代入回歸直線方程，即可預(yù)測(cè)2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量；（2）由題意可得X可能取值為0，1，2，3，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算求得X的分布列，進(jìn)而求得期望．【解答】解：（1），，＝75，，所以，，所以，2023年，即當(dāng)x＝7時(shí)，由線性回歸方程可得，所以估計(jì)2023年此地新增企業(yè)的數(shù)量的為54家；（2）由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)?，，，，所以X的分布列為：X0123P所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回歸方程和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題．19．（12分）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．問題：已知△ABC中，D為AB邊上的一點(diǎn)，且BD＝2AD，_______．（1）若，求∠BCD大?。唬?）若CD＝CB，求cos∠ACB．【分析】選條件①②③均可得，（1）設(shè)腰長(zhǎng)AC＝BC＝x，則，可得CD的長(zhǎng)，可得CD2+BC2＝BD2，可得結(jié)論；（2）取BD的中點(diǎn)E，連接CE，設(shè)AC＝2t，由余弦定理cos∠ACB＝可求值．【解答】解：若選①：因?yàn)閍sinC＝csinA，所以2c＝asinC+ccosA＝csinA+csinA，所以，所以，所以，因?yàn)?＜A＜π，所以，所以，若選②：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?＜A＜π，所以，若選③：因?yàn)閏cosB+bcosC＝a，所以，所以，因?yàn)?＜A＜π，所以，（1）若，△ABC為等腰三角形，且，設(shè)腰長(zhǎng)AC＝BC＝x，則，所以，由余弦定理CD2＝BC2+BD2﹣2BC?BDcosB＝x2+x2﹣2x2＝x2，所以CD2+BC2＝BD2，所以CD⊥BC所以∠BCD＝90°，（2）取BD的中點(diǎn)E，連接CE，由CB＝CD得CE⊥AB，設(shè)AC＝2t，在Rt△ACE中，，，，AE＝＝t，AB＝AE+BE＝t，由余弦定理得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．（12分）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼，耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)專著，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．在《九章算術(shù)?商功》篇中提到“陽(yáng)馬”這一幾何體，是指底面為矩形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，現(xiàn)有“陽(yáng)馬”P﹣ABCD，底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PA⊥面ABCD，PA＝2，E、F為邊BC、CD上的點(diǎn)，，，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)．（1）若，證明：面PBM⊥面PAF；（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使二面角P﹣EF﹣A的大小為45°？如果不存在，請(qǐng)說明理由；如果存在，求此時(shí)直線BM與面PEF所成角的正弦值．【分析】（1）證明面面垂直即證BM⊥面PAF線面垂直，證明線面垂直即證BM⊥AF、PA⊥BM線線垂直；（2）首先利用二面角PEFA的大小為45°，求出CF、CE的長(zhǎng)，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，然后再求其線面角．【解答】（1）證明：時(shí)，點(diǎn)E、F為BC及CD的中點(diǎn)．連接AF與BM交于點(diǎn)G，在△ABM和△DAF中，AB＝ADAM＝DF∠BAM＝∠ADF＝90°，所以△ABM?△DAF，于是∠ABM＝∠FAD．而∠FAD+∠BAF＝90°，所以∠ABM+∠BAF＝90°，故∠AGB＝90°，即BM⊥AF．又PA⊥面ABCD，BM?面ABCD，所以PA⊥BM．因?yàn)锽M⊥PA，BM⊥AF，PA?面PAF，AF?面PAF，PA∩AF＝A，所以BM⊥面PAF．又因?yàn)锽M?面PBM，所以面PBM⊥面PAF．（2）解：連接AC，交EF于點(diǎn)Q，連接PQ，記BD與AC交于點(diǎn)O，如圖：因?yàn)椋?，所以EF∥BD，因?yàn)锳C⊥BD，所以AC⊥EF，從而PQ⊥EF，所以∠AQP為二面角PEFA的一個(gè)平面角．由題意，∠AQP＝45°，從而AQ＝PA＝2，所以，于是，所以，．如圖，以AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，于是P（0，0，2），，，B（2，0，0），M（0，1，0），，，，設(shè)面PEF的一個(gè)法向量是，由，取x＝1，則y＝1，，則．所以直線BM與面PEF所成角為θ，則＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的證明，空間想象能力的培養(yǎng)，二面角的相關(guān)計(jì)算，空間向量及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．21．（12分）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣，0），（，0），圓E是△ABC的內(nèi)切圓，在邊AC，BC，AB上的切點(diǎn)分別為P，Q，R，，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線G．（1）求曲線G的方程；（2）設(shè)直線l與曲線G交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)D在曲線G上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷四邊形OMDN的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）由題意得|CA|+|CB|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，根據(jù)橢圓的定義，即可得a，c的值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得b值，即可得答案．（2）由題