專題46古典概型與概率的基本性質(zhì)【考點預(yù)測】知識點1、隨機事件的概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.知識點2、古典概型（1）定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.知識點3、概率的基本性質(zhì)（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．【方法技巧與總結(jié)】1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：(1)本試驗是否具有等可能性；(2)本試驗的基本事件有多少個；(3)事件是什么．2、解題實現(xiàn)步驟：(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；(2)判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；(3)分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；(4)利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型．①任一隨機事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和．②求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．【題型歸納目錄】題型一：簡單的古典概型問題題型二：古典概型與向量的交匯問題題型三：古典概型與幾何的交匯問題題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題題型六：古典概率與統(tǒng)計的綜合題型七：有放回與無放回問題的概率題型八：概率的基本性質(zhì)【典例例題】題型一：簡單的古典概型問題例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預(yù)報8月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，現(xiàn)用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十個整數(shù)值中，假定0，1，2，3，4，5表示當(dāng)天下雨，6，7，8，9表示當(dāng)天不下雨．在隨機數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機數(shù)：95339522001874720018387958693281789026928280842539908460798024365987388207538935據(jù)此估計四天中恰有三天下雨的概率為（

）A． B． C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：93281245856968343125

73930275564887301135據(jù)此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為（

）A．0.50 B．0.45 C．0.40 D．0.35例3．（2022·河北·武安市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）一袋中裝有除顏色外完全相同的4個白球和5個黑球，從中有放回的摸球3次，每次摸一個球．用模擬實驗的方法，讓計算機產(chǎn)生1～9的隨機數(shù)，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三個為一組，產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：917

966

191

925

271

932

735

458

569

683431

257

393

627

556

488

812

184

537

989則三次摸出的球中恰好有兩次是白球的概率近似為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））從3名男生和2名女生中隨機選取3人參加書法展覽會，則選取的3人中至少有2名男生的概率為（

）A． B． C． D．變式2．（2022·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高三階段練習(xí)）我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計算方法：籌算.籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng).即在算籌計數(shù)法中，表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，如圖所示，例如：表示62，表示26，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方式表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個位不為0），則這個兩位數(shù)大于40的概率為（

）A． B． C． D．變式3．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）在某種信息傳輸過程中，用6個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，例如001100就是一個信息．在所有信息中隨機取一信息，則該信息恰有2個1的概率是（

）A． B． C． D．變式4．（2022·全國·模擬預(yù)測）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的.”若在此對話的基礎(chǔ)上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A． B． C． D．變式5．（2022·全國·成都七中高三開學(xué)考試（理））已知某校高三年級共?人，按照順序從?到?編學(xué)號.為了如實了解學(xué)生“是否有帶智能手機進(jìn)入校園的行為”，設(shè)計如下調(diào)查方案：先從裝有?個黑球和?個白球的不透明盒子中隨機取出?個球，如果是白球，回答問題一；否則回答問題二.問題如下：一、你的學(xué)號的末位數(shù)字是奇數(shù)嗎？二、你是否有帶智能手機進(jìn)入校園的行為？現(xiàn)在高三年級?人全部參與調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計：有?人回答“否”，其余人回答“是”.則該校高三年級“帶智能手機進(jìn)入校園”的人數(shù)大概為（

）A．? B．? C．? D．?題型二：古典概型與向量的交匯問題例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（

）A． B． C． D．例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））從集合中隨機抽取一個數(shù)a，從集合中隨機抽取一個數(shù)b，則向量與向量垂直的概率為（

）A． B． C． D．例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，向量，則的概率為（

）A． B． C． D．變式6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量.若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足的概率.變式7．（2022·福建省福州外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n，向量=（m，n），=（2，6），則向量與共線的概率為___________題型三：古典概型與幾何的交匯問題例7．（2022·安徽馬鞍山·二模（文））在邊長為1的正方形四個頂點中任取兩個點，則這兩點之間距離大于1的概率為______.例8．（2022·云南·一模（理））河圖洛書是中國古代流傳下來的神秘圖案，被譽為“宇宙魔方”，九宮格源于河圖洛書.如圖是由9個單位正方形（邊長為1個單位的正方形）組成的九宮格，一個質(zhì)點從點沿單位正方形的邊以最短路徑運動到點，共有種不同的路線，則在這些路線中，該質(zhì)點經(jīng)過點的概率為______.例9．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））連續(xù)擲骰子兩次得到的點數(shù)分別記為a和b，則使直線與圓相交的概率為___________.變式8．（2022·四川·高考真題（文））在集合中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構(gòu)成以原點為起點的向量，從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為，其中面積等于的平行四邊形的個數(shù)為，則（

）A． B． C． D．變式9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面內(nèi)有個點等分圓周，從個點中任取3個，可構(gòu)成直角三角形的概率為，連接這個點可構(gòu)成正多邊形，則此正多邊形的邊數(shù)為（

）A．6 B．8 C．12 D．16變式10．（2022·河北邯鄲·高三開學(xué)考試）從正方體的個頂點和中心中任選個，則這個點恰好構(gòu)成三棱錐的概率為（

）A． B． C． D．變式11．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））對于正方體6個面的中心，甲，乙兩人分別從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率等于（

）A． B． C． D．變式12．（2022·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）從圓內(nèi)接正八邊形的個頂點中任取個頂點構(gòu)成三角形，則所得的三角形是直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．題型四：古典概型與函數(shù)的交匯問題例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，從集合A中任取一個元素a，使函數(shù)是奇函數(shù)且在上遞增的概率為__．例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：，，，，，．現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X，則的概率為___________．例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于定義域為D的函數(shù)，若對任意的，當(dāng)時都有，則稱函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”，若函數(shù)的定義域，值域為，則函數(shù)為“不嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)”的概率是______．變式13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知四條直線，，，從這三條直線中任取兩條，這兩條直線都與函數(shù)的圖象相切的概率為（

）A． B． C． D．變式14．（2022·河北·唐山市海港高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．若a，b分別是從1，2，3中任取的一個數(shù)，則函數(shù)有兩個極值點的概率為（

）A． B．C． D．變式15．（2022·河南·鶴壁高中高三階段練習(xí)（理））一個盒子中裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域為R的函數(shù)：f1（x）=x，f2（x）=cosx，f3（x）=x3，f4（x）=x5，f5（x）=sinx，f6（x）=|x|．現(xiàn)從盒子中任取2張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到一個新函數(shù)，則所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率是（

）A．0.2 B．0.25 C．0.75 D．0.4變式16．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．變式17．（2022·江西·南昌市豫章中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知集合，則“使函數(shù)的定義域為”的概率為（

）A． B． C． D．變式18．（2022·廣東·東莞市東華高級中學(xué)高三階段練習(xí)）在不超過18的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率是（

）A． B． C． D．變式19．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）從屬于區(qū)間的整數(shù)中任取兩個數(shù)，則至少有一個數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．變式20．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））從n個正整數(shù)1，2…n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．14題型五：古典概型與數(shù)列的交匯問題例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在二項式的展開式，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項中恰有兩項相鄰的概率為（

）A． B． C． D．例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推方法定義：數(shù)列滿足，，先從該數(shù)列前12項中隨機抽取1項，是質(zhì)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．例15．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））記數(shù)列的前項和為，已知，在數(shù)集中隨機抽取一個數(shù)作為，在數(shù)集中隨機抽取一個數(shù)作為.在這些不同數(shù)列中隨機抽取一個數(shù)列，則是遞增數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．變式21．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））記數(shù)列的前n項和為，已知，在數(shù)集中隨機抽取一個數(shù)作為a，在數(shù)集中隨機抽取一個數(shù)作為b，則滿足的概率為(

)A． B． C． D．變式22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，若數(shù)列滿足，從中任取兩個數(shù)，則至少一個數(shù)滿足的概率為（

）A． B． C． D．變式23．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）袋中裝有大小相同的四個球.四球上分別標(biāo)有數(shù)字“2”、“0”、“2”、“2”，現(xiàn)從中隨機選取三個球，則所選三個球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．變式24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，若從該數(shù)列的前96項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)的概率為_________．題型六：古典概率與統(tǒng)計的綜合例16．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））下圖是國家統(tǒng)計局7月發(fā)布的2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的月度走勢，其中2022年1~2月看作1個月，現(xiàn)有如下說法：①2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢；②2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為5.9；③從這12個增速中隨機抽取2個，增速都超過10的概率為．則說法正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例17．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（文））2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都市高新區(qū)體育中心舉行．某學(xué)校統(tǒng)計了全校學(xué)生在國慶期間觀看世乒賽中國隊比賽直播的時長情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式，從觀看時長在的學(xué)生中抽取6人．現(xiàn)從這6人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會，記“抽取的3人中恰有2人的觀賽時長在”為事件，求．例18．（2022·四川·樹德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開學(xué)考試（文））2021年秋季學(xué)期，某省在高一推進(jìn)新教材，為此該省某市教育部門組織該市全體高中教師在暑假期間進(jìn)行相關(guān)學(xué)科培訓(xùn)，培訓(xùn)后舉行測試（滿分100分），從該市參加測試的數(shù)學(xué)老師中抽取了100名老師并統(tǒng)計他們的測試分?jǐn)?shù)，將成績分成五組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值以及這100人中測試成績在的人數(shù)；(2)估計全市老師測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；(3)若要從第三、四、五組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學(xué)習(xí)心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔(dān)當(dāng)分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率.變式25．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)（文））“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺．該平臺首次實現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)國家政策的情況，從全市抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．(1)估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”時長在區(qū)間內(nèi)的概率；(2)估計該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的平均時長；(3)若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機選取2人參加座談會，求所選取的2人來自不同的組的概率．變式26．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室三模（文））某學(xué)校為了解高三尖子班數(shù)學(xué)成績，隨機抽查了60名尖子生的期中數(shù)學(xué)成績，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：期中數(shù)學(xué)成績（單位：分）頻數(shù)頻率30.05xp90.15150.25180.30yq合計601.00若數(shù)學(xué)成績超過135分的學(xué)生為“特別優(yōu)秀”，超過120分而不超過135分的學(xué)生為“優(yōu)秀”，已知數(shù)學(xué)成績“優(yōu)秀”的學(xué)生與“特別優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)比恰好為．(1)求x，y，p，q的值；(2)學(xué)校教務(wù)為進(jìn)一步了解這60名學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，從數(shù)學(xué)成績“優(yōu)秀”、“特別優(yōu)秀”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少抽到2名學(xué)生數(shù)學(xué)成績“特別優(yōu)秀”的概率．變式27．（2022·四川·高三開學(xué)考試（理））致敬百年，讀書筑夢，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識競賽”活動，并從中抽取100位學(xué)生的競賽成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定：成績在內(nèi)為優(yōu)秀，成績低于60分為不及格．(1)求a的值，并用樣本估算總體，能否認(rèn)為該校參加本活動的學(xué)生成績符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求；(2)若樣本中成績優(yōu)秀的男生為5人，現(xiàn)從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機選取3份作進(jìn)一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．【方法技巧與總結(jié)】1、有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點，概率與統(tǒng)計結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，即可解決此類問題．2、求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法： 一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和；二是先求其對立事件的概率，然后再應(yīng)用公式求解．如果采用解法一，一定是將事件拆分成若干個互斥事件，不能重復(fù)和遺漏；如果采用第二種，一定要找準(zhǔn)其對立事件，否則容易出現(xiàn)錯誤．題型七：有放回與無放回問題的概率例19．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）一個盒子里裝有除顏色外完全相同的6個小球，盒子中有編號分別為1、2、3、4的紅球4個，編號分別為4、5的白球2個，從盒子中任取3個小球（假設(shè)取到任何一個小球的可能性相同）.則在取出的3個小球中，小球編號最大值為4的概率是________.例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從標(biāo)有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出兩張卡片，則4號卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整個抽樣過程中被抽到的概率”分別是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一箱中裝有6個同樣大小的紅球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的黃球，編號為7，8，9，10．現(xiàn)從箱中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．X表示取出的最小號碼B．若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼C．取出一個紅球記2分，取一個黃球記1分，X表示取出的4個球的總得分D．若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數(shù)變式28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））紙箱里有編號為1到9的9個大小相同的球，從中不放回地隨機取9次，每次取1個球，則編號為偶數(shù)的球被連續(xù)抽取出來的概率為（

）A． B． C． D．變式29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）每次從0～9這10個數(shù)字中隨機取一個數(shù)字（取后放回），連續(xù)取n次，依次得到n個數(shù)字組成的數(shù)字序列．若使該序列中的數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9，則n的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)）A．23 B．22 C．21 D．20變式30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）不透明袋中裝有質(zhì)地，大小相同的4個紅球，m個白球，若從中不放回地取出2個球，在第一個取出的球是紅球的前提下，第二個取出的球是白球的概率為．(1)求白球的個數(shù)m；(2)若有放回的取出兩個求，記取出的紅球個數(shù)為X，求，．變式31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知甲袋中有4個白球2個黑球，乙袋中有3個白球2個黑球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，然后再從乙袋中任取1個球.(1)求甲袋中任取出的2個球為同色球的概率；(2)求乙袋中任取出1球為白球的概率.變式32．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)三模（理））甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球游戲，盒中裝有6個大小和質(zhì)地相同的球，其中有4個白球，2個紅球．(1)甲、乙先后不放回地各摸出1個球，求兩球顏色相同的概率；(2)甲、乙兩人先后輪流不放回地摸球，每次摸1個球，當(dāng)摸出第二個紅球時游戲結(jié)束，或能判斷出第二個紅球被哪位同學(xué)摸到時游戲也結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時甲、乙兩人摸球的總次數(shù)為X，求X的分布列和期望．變式33．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三學(xué)業(yè)考試）袋中有8個除顏色外完全相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球．(1)若從袋中一次摸出2個小球，求這兩個小球恰為異色球的概率；(2)若從袋中一次摸出3個小球，求黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球個數(shù)的概率；(3)若從袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球記0分，取到白球記4分，取到紅球記2分，求最后得分為8分的概率．變式34．（2022·天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的5個小球，其中白色球3個，黑色球2個．若從中任取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球3次，恰好取到兩次白球”的概率為_____________；若從中任取2個球，記所取球中白球可能被取到的個數(shù)為，則隨機變量的期望為_____________．變式35．（2022·浙江·模擬預(yù)測）從裝有大小完全相同的m個白球，n個紅球和3個黑球共6個球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取3次，記摸取的白球個數(shù)為X，若，則__________，__________．題型八：概率的基本性質(zhì)例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一架飛機向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為0.2，目標(biāo)未受損的概率為0.4，則使目標(biāo)受損但未擊毀的概率是（

）A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知事件A?B相互獨立，，則（

）A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72變式36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙獲勝的概率為（

）A． B． C． D．變式37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)不超過3”，則P(A∪B)=（

）A． B． C． D．1變式39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，則P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)變式40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件；②若為兩個事件，則；③若事件兩兩互斥；④若滿足且，則是對立事件.其中錯誤的命題個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））下圖是國家統(tǒng)計局7月發(fā)布的2021年6月至2022年6月規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的月度走勢，其中2022年1~2月看作1個月，現(xiàn)有如下說法：①2021年10月至2022年3月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速呈現(xiàn)上升趨勢；②2021年6月至2022年6月，規(guī)模以上工業(yè)原煤產(chǎn)量增速的中位數(shù)為；③從這12個增速中隨機抽取1個，增速超過10的概率為．則說法正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·福建·福州十八中高三開學(xué)考試）將5個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川成都·高三開學(xué)考試（文））從3男2女共5名醫(yī)生中，抽取2名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測工作，則至少有1名女醫(yī)生參加的概率為（

）．A． B． C． D．4．（2022·上海交大附中高三開學(xué)考試）分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如圖所示莖葉圖，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)約為8.60（按四舍五入精確到0.01）C．甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值小于0.4D．乙同學(xué)周課外體育運動時長的方差約為0.80（按四舍五入精確到0.01）5．（2022·四川·樹德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））20名學(xué)生，任意分成甲、乙兩組，每組10人，其中2名學(xué)生干部恰好被分在不同組內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．6．（2022·四川·模擬預(yù)測（文））從集合中任取2個不同的質(zhì)數(shù)，則的概率為（

）A．

B．

C．

D．7．（2022·河南·商丘市第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））為進(jìn)一步強化學(xué)校美育育人功能，構(gòu)建“五育并舉”的全面培養(yǎng)的教育體系，某校開設(shè)了傳統(tǒng)體育、美育、書法三門選修課程，該校某班級有6名同學(xué)分別選修其中的一門課程，每門課程至少有一位同學(xué)選修，則恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記分別為事件A，B發(fā)生的概率，則下列結(jié)論中可能成立的有（

）A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機變量ξ的分布如下：則實數(shù)a的值為（

）ξ123PA．－ B． C． D．10．（2022·湖南·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項和為，且或的概率均為.設(shè)能被3整除的概率為，則（

）A． B． C． D．當(dāng)時，11．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）盒中裝有大小相同的5個小球（編號為1至5），其中黑球3個，白球2個.每次取一球（取后放回），則（

）A．每次取到1號球的概率為B．每次取到黑球的概率為C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件D．“每次取到3號球”與“每次取到4號球”是對立事件三、填空題12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）通過手機驗證碼登錄哈羅單車，驗證碼由四位數(shù)字隨機組成，如某人收到的驗證碼滿足，則稱該驗證碼為遞增型驗證碼，某人收到一個驗證碼，那么是首位為2的遞增型驗證碼的概率為__．13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有5名師范大學(xué)畢業(yè)生主動要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每個學(xué)校至少去1人，則恰好