第1課時集合的概念

匚課前自主預習

y學習目標

i.『解集合與元素的含義.

2.理解集合中元素的特征，并能利用它們進行解題.

3.理解集合與元素的關系.

4.掌握數(shù)學中一些常見的集合及其記法.

要點梳理

1.元素與集合的概念及表示

(1)兀素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為兀素,兀素常用小寫的拉丁字母.a,b,c,…表

示.

(2)集合：把一些元素組成的總便叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母4

B,a…表示.

(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,就稱這兩個集合是相等的.

2.元素的特性

(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的,也就是說，給定一個集合，那么任

何一個元素在不在這個集合中就確定了.簡記為“確定性”.

(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的.也就是說，集合中的元素是不重復

出現(xiàn)的.簡記為“互異性”.

(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的.簡記為“無序性”.

溫馨提示：集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素，研究集合問題的核心即研

究集合中的元素，因此在解決集合問題時，首先要明確集合中的元素是什么.集合中的元

素可以是數(shù)、點，也可以是一些人或一些物.

3.兀素與集合的關系

(1)屬于：如果且是集合力的元素，就說a屬于集合A,記作

(2)不屬于：如果a不是集合力的兀素，就說a不屬于集合4記作漁&

溫馨提示：(1)符號“3”“年”刻畫的是元素與集合之間的關系.對于一個元素a與

一個集合4而言，只有力”與這兩種結(jié)果.

(2)￡和在具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如RWO是錯誤的.

4.常用的數(shù)集及其記法

常用的數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

記法gN*或N+ZQR

1.某中學2019年高一年級20個班構(gòu)成一集合.

(1)高一(3)班、高一(2)班是這個集合的元素嗎？

(2)高二(3)班是這個集合中的元素嗎？

［答案］(1)是(2)不是

2.判斷正誤(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)本班的高個子同學組成集合.()

(2)聯(lián)合國常任理事國組成集合.()

(3)由1,2,2,4,1組成的集合有五個元素.()

⑷由a,瓦。組成的集合與由瓦a,c組成的集合是同一個集合.()

［答案］⑴X⑵J⑶X(4)V

題型一集合的基本概念

【典例1】判斷下列每組對象的全體能否構(gòu)成一個集合?

⑴接近于2019的數(shù);

⑵大于2019的數(shù);

(3)育才中學高一(1)班視力較好的同學;

(4)方程2=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解;

⑸函數(shù)y=/圖象匕的點.

［思路導引］構(gòu)成集合的關鍵是要有明確的研究對象，即元素不能模糊不清、模棱兩

可.

［解］(1)(3)由于標準不明確，故不能構(gòu)成集合；(2)(4)(5)能構(gòu)成集合.

對集合含義的理解

給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指

所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元

素.

［針對訓練］

1.下列所給的對象能構(gòu)成集合的是.（填序號）

①所有的正三角形；

②比較接近1的數(shù)的全體；

③某校高一年級16歲以下的學生；

④平面直角坐標系內(nèi)到原點距離等于1的點的全體；

⑤我校教職員工中的年輕人；

孰舊的近似值的全體.

［解析］①能構(gòu)成集合，其中的元素需滿足三條邊相等；②不能構(gòu)成集合，因為“比

較接近1”的標準不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；③能構(gòu)成集合，其中的元

素是“某校高一年級16歲以下的學生”；④能構(gòu)成集合，其中的元素是“平面直角坐標系

內(nèi)到原點距離等于1的點”；⑤不能構(gòu)成集合，因為“年輕”的標準是模糊的、不確定的,

故不能構(gòu)成集合；⑥不能構(gòu)成集合，因為“鏡的近似值”不明確精確到什么程度，所以不

能構(gòu)成集合.

［答案］①③④

題型二元素與集合的關系

【典例2】（1）下列關系中，正確的有（）

*GR；③|-3|GN；GQ.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

（2）集合力中的元素x滿足xWN,則集合力中的元素為_______.

6—x

［思路導引］判斷一個元素是否為某集合的元素，關鍵是抓住集合中元素的特征.

［解析］（11是實數(shù)；鏡是無理數(shù)；I一3|=3,是自然數(shù)；|-V3i=V3,是無理

數(shù).故①②③正確，選C.

（2）當x=0時，~T==2；

3—0

當x=l時，白丁=3；

3-1

當"=2時’六=6；

當x23時不符合題意，故集合/中元素有0,1,2.

［答案］(DC(2)0,1,2

|名師提醒A

判斷元素與集合關系的2種方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即

可.

(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具

有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征.

［針對訓練］

2.已知集合1中有四個元素0,1,2,3,集合6中有三個元素0,1,2,且元素ad/l,出

B,則a的值為()

A.0B.1

C.2I).3

［解析］,：a￡A,會8,...由元素與集合之間的關系知，a=3.

［答案］I)

3.用適當?shù)姆柼羁眨?/p>

已知集合力中的元素x是被3除余2的整數(shù)，則有：17

A；-5________A?

［解析］由題意可設x=34+2,kH,令34+2=17得，4=5￡Z.所以17￡4

令3%+2=-5得，4=-*Z.所以-544

［答案］e0

題型三集合中元素的特性

【典例3】已知集合/含有兩個元素a和才，若則實數(shù)a的值為.

［思路導引］由集合中元素的確定性和互異性切入.

［解析］若a=l,則J=l,此時集合月中兩元素相同，與互異性矛盾，故aWl；

若3=1,則a=—1或a=l(舍去)，此時集合/中兩元素為一1,1,故a=—l.

綜上所述a=-1.

［答案］一1

［變式］(1)本例若將條件"le"'改為"2《力”，其他條件不變，求實數(shù)a的值.

⑵本例若去掉條件“164”，其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

［解］(1)若a=2,則a?=4,符合元素的互異性；

若J=2,則@=/或。=一/，符合元素的互異性.

所以a的取值為2,木,-72.

(2)根據(jù)集合中元素的互異性可知，aWa?,所以aWO且aWL

名師提醒A

應用集合元素的特性解題的要點

(D集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是

什么.

(2)構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，而且是互不相同的(互異性)，在書寫時可

以不考慮先后順序(無序性).

(3)利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互

異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用.

［針對訓練］

4.已知集合力由三個元素而，序+1,1組成，若2G4,求實數(shù)〃的值.

［解］V2G/I,.,.z?=2或橫+1=2,

則m-2或而=±1.

當叫=2時，集合力中的元素為：2,5,1,符合題意；

當0=1時，集合4中的元素為：1,2,1,不滿足互異性，舍去；

當位=一1時，集合力中的元素為：-1,2,1,符合題意.

綜上知，0=2或勿=—1.

課堂歸納小結(jié)

1.判斷一組對象的全體能否構(gòu)成集合，關鍵是看研究對象是否確定.若研究對象不確

定，則不能構(gòu)成集合.

2.集合中的元素是確定的，某一元素a要么滿足aC4要么滿足兇4兩者必居其

一.這也是判斷一組對象能否

構(gòu)成集合的依據(jù).

3.集合中元素的三種特性：確定性、互異性、無序性.求集合中字母的取值時，一定

要檢驗是否滿足集合中元素的互異性.

1.已知aGR,且超Q,則a可以為（）

A.mB.1

C.—2D.一—

［解析］也是無理數(shù)，所以A儂Q,4區(qū)

［答案］A

2.若由a"2019a組成的集合"中有兩個元素，則a的取值可以是（）

A.a=0B.a=2019

C.a=lD.a=0或a=2019

［解析］若集合M中有兩個元素,則，#2019a即a#0,且#2019.故選C.

［答案］C

3.下列各組對象能構(gòu)成集合的有（）

①接近于。的實數(shù)；②小于。的實數(shù)；③（2019,1）與（1,2019）；@1,2,3,1.

A.1組B.2組

C.3組D.4組

［解析］①中“接近于0”不是一個明確的標準，不滿足集合中元素的確定性，所以

不能構(gòu)成集合；②中“小于0”是一個明確的標準，能構(gòu)成集合；③中（2019,1）與（1,2019）

是兩個不同的對象，是確定的，能構(gòu)成集合，注意該集合有兩個元素；④中的對象是確定

的，可以構(gòu)成集合，根據(jù)集合中元素的互異性，可知構(gòu)成的集合為{1,2,3}.

［答案］C

4.若方程af+ax+1=0的解構(gòu)成的集合中只有一個元素，則@為（）

A.4B.2

C.0D.0或4

［解析］當a=0時，方程變?yōu)?=0不成立，故a=0不成立；當a#0時，zl=a2—

4a=0,a=4,故選A.

［答案］A

5.下列說法正確的是.

①及第書業(yè)的全體員工形成一個集合；

②2019年高考試卷中的難題形成一個集合；

③方程V—1=0與方程x+l=0所有解組成的集合中共有3個元素:

④x,Ip,迎|x|形成的集合中最多有2個元素.

［解析］①及第書業(yè)的全體員工是一個確定的集體，能形成一個集合，正確；②難題

沒有明確的標準，不能形成集合，錯誤；③方程/一1=0的解為x=±l,方程x+l=O的

解為*=-1,由集合中元素的互異性知，兩方程所有解組成的集合中共有2個元素1,-1,

故錯誤；④q，=ixi,故正確.

［答案］①④

課后作業(yè)（一）

復習鞏固

一、選擇題

1.下列說法正確的是（）

A.某班中年齡較小的同學能夠形成一個集合

B.由1,2,3和m，1,而組成的集合不相等

C.不超過20的非負數(shù)組成一個集合

D.方程（x—l）（x+1）2=0的所有解構(gòu)成的集合中有3個元素

［解析］A項中元素不確定.B項中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，

所以兩個集合相等.D項中方程的解分別是汨=1,版=四=一1.由互異性知，構(gòu)成的集合

含2個元素.

［答案］C

2.已知集合｛由x〈l的數(shù)構(gòu)成，則有（）

A.3ejB.1G4

C.oejD.一IM

［解析］很明顯3,1不滿足不等式，而0,一1滿足不等式.

［答案］C

3.下列各組中集合夕與0,表示同一個集合的是（）

A.尸是由2,3構(gòu)成的集合，0是由有序數(shù)對⑵3）構(gòu)成的集合

B.P是由n構(gòu)成的集合，。是由3.14159構(gòu)成的集合

C.一是由元素1,小,n構(gòu)成的集合，0是由元素“，1,I—十構(gòu)成的集合

D.P是滿足不等式一IWxWl的自然數(shù)構(gòu)成的集合，。是方程f=1的解集

［解析］由于C中。、。元素完全相同，所以。與。表示同一個集合，而A、B、D中元

素不相同，所以。與。不能表示同一個集合.故選C.

［答案］C

4.己知集合/含有三個元素2,4,6,且當有則。為（）

A.2B.2或4

C.4D.0

［解析］若a=2￡4則6—a=4￡4或a=4￡4則6—a=2W4若a=6￡4則6

—a=0住4故選B.

［答案］B

5.由實數(shù)一a,a,|a|,，所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

［解析］當a=0時，這四個數(shù)都是0,所組成的集合只有一個元素0.當時，

—fa,a>0,

正=|4=所以一定與a或一a中的一個一致.故組成的集合中有兩個元

【一&X0,

素.故選B.

［答案］B

二、填空題

6.給出下列關系：①^GZ；(2)^5eR；③|一5飛N+；

O

④|一坐GQ；⑤萬GR.

其中，正確的個數(shù)為.

［解析］由z,R,Q,N+的含義，可知②⑤正確，①③④不正確.故正確的個數(shù)為2.

［答案］2

7.由才2—a,4組成一個集合4,4中含有3個元素，則實數(shù)a滿足的條件是—

付#4,

［解析］由元素的互異性，得?2-a#4,

［a。#2—a,

即a#±2,且a#1.

［答案］aW±2且

8.若集合A中含有三個元素a—3,2a—1,a-4,且一364,則實數(shù)a的值為

［解析］①若a—3=—3,則a=0,此時4中元素為-3,-1,-4,滿足題意.

②若2a—l=-3,則a=-l,此時/中元素為-4,-3,-3,不滿足元素的互異性.

③若a2—4=-3,則a=±l.當a=l時，A中元素為一2,1,—3,滿足題意；當a=

一1時，由②知不合題意.

綜上可知：a=0或a=l.

［答案］0或1

三、解答題

9.已知集合力中含有兩個元素x,%集合6中含有兩個元素0,x,茗A=B,求實數(shù)

x,y的值.

［解］因為集合4,6相等，則x=0或y=0.

①當x=0時，f=o,6中元素為0,0,不滿足集合中元素的互異性，故舍去.

②當尸0時，x—x,解得x=0或x=l.由①知x=0應舍去.

綜上知：x=l,y=0.

10.設集合4中含有三個元素3,x,7-2A-.

(1)求實數(shù)x應滿足的條件；

(2)若一2G4求實數(shù)x.

［解］(1)由集合中元素的互異性可知，xW3.

且x^x~2x,x—2x^3.

解之得xN—1,且啟x#3.

(2)由一264知x=-2或/—2x——2,

當才=一2時，x-2x=(-2)2-2X(-2)=8.

此時力中含有三個元素3,—2,8滿足條件.

當x~2x——2,

即六一2x+2=0時，/=(一2)2-4X1X2=4-8〈O,

故方程無解，顯然—2.

綜上，x=-2.

綜合運用

11.下面有四個命題：

①集合》中最小的數(shù)是1：

②若一a不屬于M則a屬于出

③若a《N,b&N,則a+b的最小值為2；

④/+1=2x的解構(gòu)成的集合有兩個元素.

其中正確命題的個數(shù)為()

A.0個B.1個

C.2個D.3個

［解析］①最小的數(shù)應該是0;②反例：一0.5$%且0.5由￥：③當a—0,b—\時，a

+b=l；④因為元素的互異性，故集合中有一個元素.

［答案］A

12.若以集合4的四個元素a,b,c,d為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是

()

A.梯形B.平行四邊形

C.菱形D.矩形

［解析］由于a,b,c,d四個元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等.

［答案］A

13.已知集合。中元素x滿足：xWN,且2〈水a(chǎn),又集合P中恰有三個元素，則整數(shù)a

［解析］；xCN,2〈水a(chǎn),且集合戶中恰有三個元素，

二整數(shù)a為6.

［答案］6

14.若集合力中有三個元素1,a+b,a：集合6中有三個元素0,立若集合力與集

a

合8相等，則6—a的值為.

［解析］由題意可知a+Z?=0且a#0,，a=-6,

b..

-1.Aa=-1,Z?=l,故b—a=2.

a

［答案］2

15.集合力中共有3個元素-4,2a—1,a,集合占中也共有3個元素9,a—5,1—a,

現(xiàn)知9G4且集合6中再沒有其他元素屬于A,能否根據(jù)上述條件求出實數(shù)a的值？若能，

則求出a的值，若不能，則說明理由.

［解］V9G/1,.?.24-1=9或才=9,

若2a—1=9,則a=5,此時4中的元素為-4,9,25；6中的元素為9,0,—4,顯然一

4Gzi且一4e6,與已知矛盾，故舍去.

若成=9,則2=±3,當a=3時，/中的元素為一4,5,9；

6中的元素為9,-2,-2,6中有兩個一2,與集合中元素的互異性矛盾，故舍去.

當a=-3時，4中的元素為-4,—7,9；6中的元素為9,—8,4,符合題意.

綜上所述，滿足條件的a存在，且a=-3.

第2課時集合的表示

L課前自主預習

學習目標

1.掌握用列舉法表示有限集.

2.理解描述法格式及其適用情形.

3.學會在集合不同的表示法中作出選擇和轉(zhuǎn)換.

要點梳理

1.列舉法

把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列

舉法.

溫馨提示：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開.

(2)集合中的元素必須是明確的.

(3)集合中的元素不能重復.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

(1)定義：一般地，設A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x

所組成的集合表示為{xd川產(chǎn)(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.有時也用冒號或分號

代替豎線.

(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

溫馨提示：(1)寫清楚集合中元素的符號.如數(shù)或點等.

(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等.

(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母.

思考診斷

i.觀察下列集合：

①方程x—4—O的根；

②20的所有正因數(shù)組成的集合.

(1)上述兩個集合中的元素能一一列舉出來嗎？

(2)如何表示上述兩個集合？

［答案］(1)能.①中的元素為一2,2：②中的元素為1,2,4,5,10,20

(2)用列舉法表示

2.觀察下列集合：

①不等式“一2》3的解集；

②函數(shù)尸/一1的圖象上的所有點.

(1)這兩個集合能用列舉法表示嗎？

(2)你覺得用什么方法表示這兩個集合比較合適？

［答案］(D不能(2)利用描述法

3.判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為｛1,1,2,3｝.()

(2)集合｛(1,2)｝中的元素是1和2.()

(3)集合4=｛x|x-1=0｝與集合6=｛1｝表示同一個集合.()

(4)集合｛x|4<x<5｝可用列舉法表示.()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)X

霞課堂互動探究

題型-用列舉法表示集合

【典例1】用列舉法表示下列集合：

(1)方程x(x—1產(chǎn)=0的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)不大于10的非負偶數(shù)集；

(3)一次函數(shù)y=x與y=2x-l圖象的交點組成的集合.

［思路導引］用列舉法表示集合的關鍵是弄清集合中的元素是什么，還要弄清集合中

的元素個數(shù).

［解］(1)方程內(nèi)矛一1尸=0的實數(shù)根為0,1,

故其實數(shù)根組成的集合為｛0,1｝.

(2)不大于10的非負偶數(shù)即為從0到10的偶數(shù)，故不大于10的非負偶數(shù)集為

｛0,2,4,6,8,10｝.

故一次函數(shù)y=x與y=2%-1圖象的交點組成的集合為｛(1,1)｝.

名師提醒A

用列舉法表示集合的3個步驟

求?求出集合的元素

把元素一一列舉出來，且

相同元素只能列舉一次

用花括號括起來

［針對訓練］

1.用列舉法表示下列集合：

(1)我國現(xiàn)有的所有直轄市；

(2)絕對值小于3的整數(shù)集合；

24

(3)一次函數(shù)y=x-l與尸一的圖象交點組成的集合.

［解］(1)我國現(xiàn)有的直轄市有北京市、天津市、上海市和重慶市，故我國現(xiàn)有的所有

直轄市組成的集合為｛北京市，天津市，上海市，重慶市｝.

(2)絕對值小于3的整數(shù)有一2,-1,0,1,2,故絕對值小于3的整數(shù)集合為｛-2,-

1,0,1,2).

故一次函數(shù)y=x—\與尸一意+^的圖象交點組成的集合為帶，|)］.

題型二用描述法表示集合

【典例2】用描述法表示下列集合：

(1)正偶數(shù)集；

(2)被3除余2的正整數(shù)的集合；

(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合；

(4)不等式3、-2<4的解集.

［思路導引］用描述法表示集合的關鍵是確定代表元素的屬性和表示元素的共同特征.

［解］(1)偶數(shù)可用式子x=2n,表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定所

以正偶數(shù)集可表示為｛x|x=2〃，〃GN*｝.

(2)設被3除余2的數(shù)為x,則x=3〃+2,〃eZ,但元素為正整數(shù)，故x=3〃+2,

N,所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為｛x［x=3〃+2,〃GN｝.

(3)坐標軸上的點(x,y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0,即燈=0,故坐標軸

上的點的集合可表示為{(x,燈=0}.

(4)不等式3%-2<4可化簡為水2,

所以不等式3x—2<4的解集為{x\x<2}.

|名師提醒A

用描述法表示集合應注意的3點

(1)用描述法表示集合，首先應弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型.一

般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示.

(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含

義或取值范圍.

(3)多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).

［針對訓練］

2.用描述法表示下列集合：

(1)所有被5整除的數(shù)；

(2)方程6f—5x+l=0的實數(shù)解集；

(3)直線尸x上去掉原點的點的集合.

I解］(1)被5整除的數(shù)可用式子x=5〃，表示，所以所有被5整除的數(shù)的集合可

表示為{x|*=5",nGZ}.

(2)由6/—5x+1=0解得或x=；,所以方程6Z—5%+1=0的實數(shù)解集為

卜尾或I

(3)直線y=x上除去原點，即xWO,所以直線y=x上去掉原點的點的集合為{(*,

y)\y^x,且xWO}.

題型三集合表示方法的應用

【典例3】(1)若集合4={x|af—8x+16=0,a6R}中只有一個元素，則a的值為

()

A.1B.4

C.0D.0或1

⑵已知力=3履+2>0,AGR},若一2W4則在的取值范圍是—

［思路導引］借助描述法求值或范圍的關鍵是弄清集合中元素的特征.

［解析］(1)①當a=0時，原方程為16—8x=0.

：.x=2,此時/=⑵；

②當aWO時，由集合/中只有一個元素，

方程a/-8%+16=0有兩個相等實根，

貝1］4=64—64a=0,即a=l.

從而用=照=4,.,.集合4=⑷.

綜上所述，實數(shù)a的值為0或1.故選D.

(2)V-2GJ,；.-2k+2>0,得挺1.

［答案］(DD⑵衣1

［變式］(D本例(1)中條件“有一個元素”改為有“兩個元素”，其他條件不變，求

a的取值范圍.

(2)本例(2)中條件“-264”改為“一2住4”，其他條件不變，求A的取值范圍.

［解］(D由題意可知方程af—8x+16=0有兩個不等實根.

aWO,

解得水1,且aWO.

4=64—64a>0,

(2).?.一2A+2W0,得女21.

|名師提醒A

集合表示方法的應用的注意點

(D若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表兀素及其屬性是解題的關鍵.

(2)與方程af—8x+16=0的根有關問題易忽視a=0的情況.

［針對訓練］

3.已知集合4={川/一ax+6=0},若/={2,3},求a,6的值.

［解］由4={2,3}知，方程x2—ax+/>=0的兩根為2,3,由根與系數(shù)的關系得,

2+3=a,

因此a=5,6=6.

2X3=6,

4.設集合

(1)試判斷元素1,2與集合6的關系;

(2)用列舉法表示集合8.

［解］(1)當*=1時，擊=2GN.

當x=2時，圭=$N.所以16氏2混?.

(2)V^^eN,*6M，2+*只能取2,3,6.

.?.X只能取0,1,4..,.^={0,1,4).

課堂歸納小結(jié)

1.表示集合的要求

(D根據(jù)要表示的集合元素的特點，選擇適當方法表示集合，一般要符合最簡原則.

(2)一般情況下，元素個數(shù)無限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元素個數(shù)

無限的集合，也可以表示元素個數(shù)有限的集合.

2.在用描述法表示集合時應注意的問題

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(點)、還是集

合或其他形式？

(2)元素具有怎樣的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽

存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.

?隨堂鞏固驗收

1.用列舉法表示集合2.+1=0}為()

A.{1,1}B.{1}

C.u=l}D.{/-2^-4-1=0}

［解析］x—2x+l—0,即(x—D=O,x=l,選B.

［答案］B

2.己知集合/f={xGN|-mWxW/},則必有()

A.—1￡力B.O^A

C.小G4D.1SJ

［解析］：xeN*,一季SxW乖,：,x=l,2,即4={1,2},選D.

［答案］D

3.一次函數(shù)y=x-3與尸=-2%的圖象的交點組成的集合是()

A.{1,—2)B.{x=l,y——2］

C.{(-2,1)}D.{(1,-2))

y=x-3,x=\,

［解析］由1C得.?.交點為(1,-2),故選D.

［y=-2xy=-2,

［答案］D

4.若4={—2,2,3,4},6={/|x=/，te/},用列舉法表示集合6為

［解析］當亡=-2時，x=4；

當￡=2時，x=4；

當t=3時，x=9；

當t=4時，X—16；

."={4,9,16}.

［答案］{4,9,16}

5.選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)絕對值不大于2的整數(shù)組成的集合；

(2)方程(3x—5)(x+2)=0的實數(shù)解組成的集合；

(3)一次函數(shù)y=x+6圖象上所有點組成的集合.

［解］(1)絕對值不大于2的整數(shù)是一2,-1,0,1,2,共有5個元素，則用列舉法表示

為{—2,—1,0,1,2).

(2)方程(3x-5)(x+2)=0的實數(shù)解僅有兩個，分別是*-2,用列舉法表示為

(3)一次函數(shù)y=x+6圖象上有無數(shù)個點，用描述法表示為{(X,y*y=x+6}.

課內(nèi)拓展課外探究

集合的表示方法

1.有限集、無限集

根據(jù)集合中元素的個數(shù)可以將集合分為有限集和無限集.當集合中元素的個數(shù)有限時,

稱之為有限集；而當集合中元素的個數(shù)無限時，則稱之為無限集.

當集合為有限集，且元素個數(shù)較少時宜采用列舉法表示集合；對元素個數(shù)較多的集合

和無限集，一般采用描述法表示集合.

對于元素個數(shù)較多的集合或無限集，其元素呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不產(chǎn)生誤解的情況下,

也可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示.

【典例1】用列舉法表示下列集合：

(1)正整數(shù)集；

(2)被3整除的數(shù)組成的集合.

［解］(1)此集合為無限集，且有一定規(guī)律，用列舉法表示為{1,2,3,4,…}.

(2)此集合為無限集，且有一定規(guī)律，用列舉法表示為{…，-6,-3,0,3,6,…}.

［點評］(1){1,2,3,4,…}—?般不寫成⑵1,4,3,…};

(2)此題中的省略號不能漏掉.

2.集合含義的正確識別

集合的元素類型多是以數(shù)、點、圖形等形式出現(xiàn)的.對于已知集合必須弄清集合元素

的形式，特別是對于用描述法給定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何屬性

（如表示數(shù)集、點集等）.

【典例2】己知下面三個集合：①{x|y=f+l}；②{3/=丁+1）；③{（x,y）\y^x

+1}.問：它們是否為同一個集合？它們各自的含義是什么？

［解］...三個集合的代表元素互不相同，

,它們是互不相同的集合.

集合①{x1y=f+l}的代表元素是x,即滿足條件y=x'+l中的所有x,{xj=f+

1}=R.

集合②5"=丁+1}的代表元素是y,滿足條件y=1+l的y的取值范圍是

{y|y=x+l}={y|y》l}.

集合③{（x，y）ly=/+l}的代表元素是（x,y）,可認為是滿足條件y=x2+1的實數(shù)對

（x,的集合，也可認為是坐標平面內(nèi)的點（x,力，且這些點的坐標滿足y=/+l.

{（x,y）\y=x+l}={尸|尸是拋物線y=x+l上的點}.

［點評］使用特征性質(zhì)描述來表示集合時，首先要明確集合中的元素是什么，如本題

中元素的屬性都與尸=產(chǎn)+1有關，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一樣.

課后作業(yè)（二）

復習鞏固

一、選擇題

1.已知材中有三個元素可以作為某一個三角形的邊長，則此三角形一定不是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

［解析］集合〃的三個元素是互不相同的，所以作為某一個三角形的邊長，三邊是互

不相等的，故選D.

［答案］D

2.下列集合中，不同于另外三個集合的是（）

A.{x|x=l}B.{x，=l}

C.{1}D.{-）』}

［解析］{x?=i}={—i,i},另外三個集合都是口},選B.

［答案］B

3.已知J仁{x|x—1<6},那么（）

A.2e,M-2ej/B.2ej/,-2&M

C.2a隊一24"D.2由獷，一2GM

［解析］若x=2,則x—1=1＜鏡，所以2GM；若x=-2,則L1=—3〈小,所以

一2G也故選A.

［答案］A

4.下列集合的表示方法正確的是（）

A.第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{（x,力］加0,xCR,yGR}

B.不等式x—1〈4的解集為{K5}

C.{全體整數(shù)}

I）.實數(shù)集可表示為R

［解析］選項A中應是孫＜0；選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)

范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x：選項C的“{}”與“全體”意思重復.

［答案］D

x+尸1,

5.方程組z2c的解集是()

［x~y=9

A.(-5,4)B.(5,-4)

C.{(一5,4)}D.{(5,-4)}

［x+y—1,［x—5,

［解析］解方程組z,得故解集為{(5,-4)},選D.

［V一歹=9,L/=—4,

［答案］D

二、填空題

6.設集合力={1,一2,a-1},B=［1,一一3&0},若46相等，則實數(shù)a=

2

［解析］由集合相等的概念得［a?—31戶=0,_2,解得a=L

［答案］1

7.設一5￡{x|/一ax—5=0},則集合{x|V+ax+3=0}=

［解析］由題意知，一5是方程系一ax—5=0的一個根，

所以（一5y+5a—5=0,得a=-4,

則方程/+己*+3=0,即x—4x+3=0,

解得矛=1或x=3,

所以{X，-4X+3=0}={1,3}.

［答案］{1,3}

8.若A={-2,0,2,3),y)\y=x,x^A},用列舉法表示集合B為

%=—2,X=0,x=2,x=3,

［解析］得集合B={(-2,4)，

y=4y=0,y=4,y=9,

(0,0),(2,4),(3,9)}.

［答案］{(-2,4),(0,0),(2,4),(3,9)}

三、解答題

9.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)一年中有31天的月份的全體；

(2)由直線y=—x+4上的橫坐標和縱坐標都是自然數(shù)的點組成的集合.

［解］(DU月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2)用描述法表示該集合為，仁{(x,y)|y=-%+4,xeN,y《N},或用列舉法表示該

集合為{(04),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)).

10.含有三個實數(shù)的集合4=卜，a］,若Oe/f且』，求產(chǎn)+”的值.

［解］由06兒“0不能做分母”可知aWO,故3W0,所以2=0,即6=0.

a

又可知/=1或a=l.

當a=l時，得3=1,由集合元素的互異性，知8=1不合題意.

當d=1時，得a=-l或a=l(舍).

故a=-1,6=0,所以庚的值為一1.

綜合運用

11.集合4={尸)=9+1},集合6={(x,y)|y=x2+1}(A,8中x《R,yGR).選項

中元素與集合的關系都正確的是()

A.2GA,且2G6

B.(1,2)64且(1,2)63

C.2G/,且(3,10)G8

D.(3,10)&A,且2G8

［解析］集合/中元素y是實數(shù)，不是點，故選項B,D不對.集合B的元素(x,力是

點而不是實數(shù)，268不正確，所以A錯.

［答案］C

12.定義WQ=(ab\aRP,660,若々{0,1,2},0={1,2,3},則次0中元素的個數(shù)

是()

A.6個B.7個C.8個D.9個

［解析］若a=0,則數(shù)=0；若a=l,則a6=l,2,3；若a=2,則a6=2,4,6.故業(yè)0

={0,1,2,3,4,6},共6個元素.

［答案］A

13.已知集合<={—1,0,1},集合Q{y|y=|x|,x^A},則8=.

［解析］.*.當X=-1時，尸3=1；

當x=0時，y=|x\=0；當x=l時，y=1*1=1.

［答案］{0,1}

14.用描述法表示圖中陰影部分的點構(gòu)成的集合為

1--------------

O2X

［解析］依題設知：該集合為一點集，且其橫坐標滿足0<xW2,

縱坐標滿足0<工1，

所以該集合為{(筋y)|0WXW2,0WJ<1}.

［答案］{(x,y)|0W后2,0?尺1}

15.設集合4={x|f+ax+l=0}.

(1)當a=2時，試求出集合4

(2)a為何值時，集合4中只有一個元素：

(3)a為何值時，集合/中有兩個元素.

［解］集合/是方程*+ax+1=0的解構(gòu)成的集合.

(1)當a=2時，x+2JC+1=0,即(X+1)1=0,x=—1,所以/={-1}.

(2)1中只有一個元素，即方程f+ax+l=O有兩個相等實根，由4=才一4=0,得a

=±2.

所以a=±2時，集合力中只有一個元素.

2

(3)4中有兩個元素，即方程V+ax+1=0有兩個不相等的實根，由zl=a-4>0,得

a<—2或a>2.

所