課標(biāo)版理數(shù)§12.1幾何證明選講1.平行線截割定理(1)平行線等分線段定理及其推論(i)定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段①相等

,那么在其知識(shí)梳理他直線上截得的線段也②相等

.(ii)推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.(iii)推論2:經(jīng)過梯形一腰的③中點(diǎn)

,且與底邊④平行

的直線平分

另一腰.(2)平行線分線段成比例定理及其推論(i)定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段⑤成比例

.(ii)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的

對(duì)應(yīng)線段⑥成比例

.2.相似三角形(1)相似三角形的判定(i)判定定理a.⑦兩角

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.b.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角⑧相等

的兩個(gè)三角形相似.c.三邊⑨對(duì)應(yīng)成比例

的兩個(gè)三角形相似.(ii)預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相

交,所構(gòu)成的三角形與⑩原三角形

相似.(iii)直角三角形相似的特殊判定斜邊與一條

直角邊

對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.(2)相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于

相似比

,面積比等于

相似比的平方

.(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上

射影

的

比例中項(xiàng)

;兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的

比例中項(xiàng)

.3.圓周角定理(1)圓周角:頂點(diǎn)在

圓周上

且兩邊都與圓相交的角.(2)圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的

一半

.(3)圓周角定理的推論(i)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也

相等

.(ii)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是

直角

;90°的圓周角所對(duì)的弦是

直徑

.4.圓的切線(1)直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關(guān)系相交兩個(gè)d

<

r相切一個(gè)d

=

r相離無d

>

r(2)切線的性質(zhì)及判定定理(i)切線的性質(zhì)定理:圓的切線

垂直于

經(jīng)過

切點(diǎn)

的半徑.(ii)切線的判定定理:經(jīng)過半徑的

外端

并且

垂直

于這條半徑的

直線

是圓的切線.(3)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)

相等

,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.5.弦切角(1)弦切角:頂點(diǎn)在

圓

上,一邊與圓

相切

、另一邊與圓相交的角.(2)弦切角定理及推論(i)定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的

圓周角

.(ii)推論:同弧或等弧所對(duì)的弦切角

相等

,同弧或等弧所對(duì)的弦切角與圓周角

相等

.6.與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理

弦AB、CD相

交于圓內(nèi)點(diǎn)P(1)PA·PB=

PC·PD

;(2)△ACP∽

△DBP

(1)在PA、

PB、PC、PD

四條線段中,知

三可求一;(2)

求弦長(zhǎng)及角切割線定理

PA切☉O于A,

PBC是☉O的

割線(1)PA2=

PB·PC

;(2)△PAB∽△

PCA(1)在PA、

PB、PC中,知

二可求一;(2)

求AB、AC割線定理

PAB、PCD是

☉O的割線(1)PA·PB=

PC·PD

;(2)△PAC∽△

PDB(1)在PA、

PB、PC、PD

中,知三可求

一;(2)應(yīng)用相

似求AC、BD7.圓內(nèi)接四邊形(1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理:(i)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角

互補(bǔ)

.(ii)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角.(2)圓內(nèi)接四邊形判定定理及推論(i)定理:如果一個(gè)四邊形的對(duì)角

互補(bǔ)

,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.(ii)推論:如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的

四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

1.如圖,PAB,PC分別是圓O的割線和切線(C為切點(diǎn)),若PA=AB=3,則PC的長(zhǎng)

為

(

)

A.6

B.6

C.3

D.3

答案

C由切割線定理得PC2=PA·PB=3×6=18,故PC=3

,故選C.2.如圖,從圓O外一點(diǎn)P引圓O的切線PA和割線PBC,已知PA=2

,PC=4,圓心O到BC的距離為

,則圓O的半徑為

.

答案

2

解析取BC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM,OB,則OM⊥BC.由切割線定理知PA2=PB·PC,故PB=2,所以BC=2.因?yàn)樵赗t△OMB中,BM=1,OM=

,所以O(shè)B=2.3.如圖,已知PA是圓O的切線,切點(diǎn)為A,PBC為圓O的割線,且過圓心O,PA=

,PB=1,則圓O的半徑r=

,∠C=

.

解析

PA為切線,PBC為割線,則有PA2=PB·PC,即3=1×(1+2r),則r=1.連結(jié)OA,則OA⊥PA,又OA=1,OP=2,則∠AOB=60°.因?yàn)镺A=OC,所以∠C=

∠OAC=30°.

答案

1;30°4.席如圖逢,PA與圓O相切綿于A,PC追B為圓O的割糖線,劫并且這不過舅圓心O,已螺知∠BP房誠(chéng)A=30°,PA=2,PC=1脊,則登圓O的半會(huì)徑等籍于.答案扔7解析瘦由PA2=PC·PB,得PB=1黨2,撤連結(jié)OA,交PB于D,并足反向擇延長(zhǎng)OA,交貼圓O于點(diǎn)E.在虎直角圾三角哈形AP常D中可京以求夾得PD=4紡,DA=2飛,故CD=3受,DB=8花.記治圓O的半徑結(jié)為R,由徑于ED·DA=CD·DB,所闖以(墊2R-2洋)×2=傳3×8,輪解得R=7餓.5.荷如圖饑,在衫△AB惕C中,D是AC的中飼點(diǎn),E是BD的中罵點(diǎn),占延長(zhǎng)AE交BC于F,則=.答案解析炭過陽(yáng)點(diǎn)E作BC的平哥行線程交AC于點(diǎn)M,可萬(wàn)知M為DC的中丑點(diǎn),梳故=,=,∴=,∴=.典例扶1倘(璃20鴉14繳廣東芽,1款5,頂5分化)如莖圖,國(guó)在平昏行四虹邊形AB你CD中,氧點(diǎn)E在AB上且EB=2AE,AC與DE交于木點(diǎn)F,則=.答案錦9解析逝依送題意緞得△CD住F∽△AE投F,由EB=2AE可知AE∶CD=1朗∶3斷.故=9鞠.典例題組相似伙三角幫形的監(jiān)判定呀及性吹質(zhì)判定呼兩個(gè)掩三角銜形相壤似的牢幾種補(bǔ)方法憂:①句兩角傻對(duì)應(yīng)悲相等列,兩君三角朱形相關(guān)似;藝②兩全邊對(duì)應(yīng)謎成比卸例且貸夾角長(zhǎng)相等湖,兩掉三角量形相糾似;誕③三并邊對(duì)蛙應(yīng)成卷比例臘,兩盛三角慰形相莊似.1-舌1縫如圖濱所示淋,在農(nóng)△AB掠C中,AD為BC邊上艙的中逼線,F為AB上任拜意一楚點(diǎn),CF交AD于點(diǎn)E.求駕證:AE·BF=2DE·AF.在△BC位F中,D是BC的中感點(diǎn),DN∥BF,∴DN=BF.∵DN∥AF,∴徐△AF享E∽△DN過E,∴=.又DN=BF,∴=,即AE·BF=2DE·AF.證明脆過莊點(diǎn)D作AB的平烈行線DM交AC于點(diǎn)M,交FC于點(diǎn)N.典例允2淚(折20夸14撇課標(biāo)孕Ⅰ,叢22刃,1弄0分篩)如塘圖,掀四邊腳形AB榨CD是☉O的內(nèi)俯接四秩邊形附,AB的延特長(zhǎng)線憂與DC的延憲長(zhǎng)線狡交于喇點(diǎn)E,且CB=CE.(1符)證狐明:孤∠D=∠E;(2森)設(shè)AD不是劫☉O的直喪徑,AD的中艦點(diǎn)為M,且MB=MC,證殼明:蝴△AD飽E為等活邊三角形窩.有關(guān)廁圓的過定理邀的應(yīng)療用解析產(chǎn)(1膏)證鼓明:俘由題獅設(shè)知A,B,C,D四點(diǎn)您共圓鋪,所柱以∠D=∠CB障E.由已泥知得清∠CB膨E=∠E,故吐∠D=∠E.(2死)設(shè)BC的中干點(diǎn)為N,連同結(jié)MN,則克由MB=MC知MN⊥BC,故O在直正線MN上.又AD不是耀☉O的直絨徑,M為AD的中常點(diǎn),彼故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故閘∠A=∠CB尤E.又∠CB豆E=∠E,故糊∠A=∠E.由誰(shuí)(1鵝)知碗,∠D=∠E,所防以△AD扶E為等卸邊三桌角形賄.相交頂弦定舞理、逆切割遭線定酷理主鹽要是北用于沉與圓蜜有關(guān)膠的比赴例線奏段的甚計(jì)算抖與證籍明.解決乞問題性時(shí)要紗注意案相似梳三角續(xù)形知塊識(shí)及絕圓周柔角、圖弦切勻角、胡圓的克切線興等相妄關(guān)知識(shí)老的綜營(yíng)合應(yīng)緞?dòng)?2-稀1搖如圖朱,已塘知AP是☉O的切啄線,P為切毅點(diǎn),AC是☉O的割濟(jì)線,插與☉O交于B、C兩點(diǎn)明,圓倉(cāng)心O在∠PA識(shí)C的內(nèi)曠部,烏點(diǎn)M是BC的中岔點(diǎn).(1難)證冠明:A,P,O,M四點(diǎn)珠共圓治;(2促)求?！螼A慢M+∠AP凳M的大擦小.解析狼(1鐮)證段明:巧連結(jié)OP、OM.因?yàn)锳P與☉O相切礎(chǔ)于點(diǎn)P,所刮以O(shè)P⊥AP.因?yàn)镸是☉O的弦BC的中霞