橢圓及雙曲線的性質(zhì)橢圓點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點以焦點弦PQ為直徑的圓必及對應準線相離.以焦點半徑PF1為直徑的圓必及以長軸為直徑的圓內(nèi)切.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上隨意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,).設過橢圓焦點F作直線及橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.。。、、1212過橢圓一個焦點F的直線及橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，颯沓即。若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.雙曲線點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角PT平分△PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點以焦點弦PQ為直徑的圓必及對應準線相交.以焦點半徑PF1為直徑的圓必及以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是阿薩德.若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為雙曲線上隨意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,當在右支上時，,.當在左支上時，,設過雙曲線焦點F作直線及雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.過雙曲線一個焦點F的直線及雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.若在雙曲線（a＞0,b＞0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.橢圓及雙曲線的對偶性質(zhì)--（會推導的經(jīng)典結論）橢圓橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，及y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1及A2P2交點的軌跡方程是.過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點隨意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,,，則.設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上隨意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d及PF2的比例中項.P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)肯定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.橢圓及直線有公共點的充要條件是.已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.已知橢圓（a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線及x軸相交于點,則.設P點是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).設A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).已知橢圓（a＞b＞0）的右準線及x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線及橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，及以長軸為直徑的圓相交，則相應交點及相應焦點的連線必及切線垂直.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點及焦點的連線必及焦半徑相互垂直.橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離及以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線及長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點及非焦頂點連線段分成定比e.橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.橢圓及雙曲線的對偶性質(zhì)--（會推導的經(jīng)典結論）雙曲線雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，及y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1及A2P2交點的軌跡方程是.過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點隨意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點,,，則（或）.設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上隨意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d及PF2的比例中項.P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)肯定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.雙曲線（a＞0,b＞0）及直線有公共點的充要條件是.已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線及x軸相交于點,則或.設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線及x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線及雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，及以長軸為直徑的圓相交，則相應交點及相應焦點的連線必及切線垂直.過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點及焦點的連線必及焦半徑相互垂直.雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離及以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線及長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點及非焦頂點連線段分成定比e.雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.圓錐曲線問題解題方法圓錐曲線中的學問綜合性較強，因而解題時就須要運用多種基礎學問、采納多種數(shù)學手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則當然重要，但要做到快速、精確解題，還須駕馭一些方法和技巧。一.緊扣定義，敏捷解題敏捷運用定義，方法往往干脆又明白。例1.已知點A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點。求的最小值。解析：如圖所示，雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點，由其次定律知即點P到準線距離。二.引入?yún)?shù)，簡捷明快參數(shù)的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2.求共焦點F、共準線的橢圓短軸端點的軌跡方程。解：取如圖所示的坐標系，設點F到準線的距離為p（定值），橢圓中心坐標為M（t，0）（t為參數(shù)），而再設橢圓短軸端點坐標為P（x，y），則消去t，得軌跡方程三.數(shù)形結合，直觀顯示將“數(shù)”及“形”兩者結合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結合運用，能使困難問題簡潔化，抽象問題形象化。嫻熟的運用它，常能奇妙地解決很多貌似困難和麻煩的問題。例3.已知，且滿意方程，又，求m范圍。解析：的幾何意義為，曲線上的點及點（－3，－3）連線的斜率，如圖所示四.應用平幾，一目了然用代數(shù)探討幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”學問相關聯(lián)，要抓住關鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。例4.已知圓和直線的交點為P、Q，則的值為________。解：五.應用平面對量，簡化解題向量的坐標形式及解析幾何有機融為一體，因此，平面對量成為解決解析幾何學問的有力工具。例5.已知橢圓：，直線：，P是上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿意，當點P在上移動時，求點Q的軌跡方程。分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而假如用向量共線的條件便可簡便地解出。解：如圖，共線，設，，，則，點R在橢圓上，P點在直線上，即化簡整理得點Q的軌跡方程為：（直線上方部分）六.應用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以敏捷運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6.求經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。解：設所求圓的方程為：則圓心為，在直線上解得故所求的方程為七.巧用點差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采納點差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7.過點A（2，1）的直線及雙曲線相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。解：設，，則<2>－<1>得即設P1P2的中點為，則又，而P1、A、M、P2共線，即中點M的軌跡方程是解析幾何題怎么解 高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題,1個填空題,1個解答題),共計30分左右,考查的學問點約為20個左右.其命題一般緊扣課本,突出重點,全面考查.選擇題和填空題考查直線,圓,圓錐曲線,參數(shù)方程和極坐標系中的基礎學問.解答題重點考查圓錐曲線中的重要學問點,通過學問的重組及鏈接,使學問形成網(wǎng)絡,著重考查直線及圓錐曲線的位置關系,求解有時還要用到平幾的基本學問,這點值得考生在復課時強化.例1已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t(0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.(1)寫出直線的方程；（2）計算出點P、Q的坐標；（3）證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q.講解:通過讀圖,看出點的坐標.(1)明顯,于是直線的方程為；（2）由方程組解出、；（3）,.由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線通過點Q. 須要留意的是,Q點的坐標本質(zhì)上是三角中的萬能公式,好玩嗎?例2已知直線l及橢圓有且僅有一個交點Q，且及x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程．講解：從直線所處的位置,設出直線的方程,由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為代入橢圓方程得化簡后，得關于的一元二次方程于是其判別式由已知，得△=0．即①在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得令頂點P的坐標為（x，y），由已知，得代入①式并整理，得,即為所求頂點P的軌跡方程． 方程形似橢圓的標準方程,你能畫出它的圖形嗎?例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.講解：∵（1）原點到直線AB：的距離.故所求雙曲線方程為（2）把中消去y，整理得.設的中點是，則即故所求k=±.為了求出的值,須要通過消元,想法設法建構的方程.例4已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且∠F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1及橢圓交于A、B兩點，△ABF2的面積最大值為12．（1）求橢圓C的離心率；（2）求橢圓C的方程．講解：（1）設,對由余弦定理,得，解出（2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種狀況：i)當k存在時，設l的方程為………………①橢圓方程為由得.于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為………………②將①代入②，消去得,整理為的一元二次方程，得.則x1、x2是上述方程的兩根．且，也可這樣求解：，也可這樣求解：AB邊上的高ii)當k不存在時，把直線代入橢圓方程得由①②知S的最大值為由題意得=12所以故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為：下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣：設過左焦點的直線方程為：…………①（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：……②把①代入②并整理得：于是是上述方程的兩根.,AB邊上的高,從而當且僅當m=0取等號，即由題意知,于是.故當△ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例5已知直線及橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（１）求此橢圓的離心率；（2）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程. 講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為得,依據(jù)韋達定理，得∴線段AB的中點坐標為（）.由已知得，故橢圓的離心率為.（2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為設關于直線的對稱點為解得由已知得，故所求的橢圓方程為. 例6已知⊙M：軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點， （1）假如，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程. 講解:（1）由，可得由射影定理，得在Rt△MOQ中，，故，所以直線AB方程是 （2）連接MB，MQ，設由點M，P，Q在始終線上，得由射影定理得即把（*）及（**）消去a，并留意到，可得 適時應用平面幾何學問，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.例7如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變.（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線E的方程；AOBC（2）過D點的直線L及曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設，試確定實數(shù)的取值范圍．AOBC講解:（1）建立平面直角坐標系,如圖所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|y=∴動點P的軌跡是橢圓∵∴曲線E的方程是.