2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學復習提分復習資專題5立體幾何（理科）解答題30題1．（青海省海東市第一中學2022屆高考模擬（一）數(shù)學（理）試題）如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設P是棱的中點，求AC與平面所成角的正弦值．2．（陜西省榆林市2023屆高三上學期一模理科數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.3．（廣西南寧市第二中學2023屆高三上學期1月月考（期末）數(shù)學（理）試題）如圖，四棱柱ABCD—的側棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，AA1的中點.(1)證明：B，E，D1，F(xiàn)四點共面；(2)若求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.4．（河南省十所名校2022-2023學年高三階段性測試（四）理科數(shù)學試題）如圖所示，四棱臺的上?下底面均為正方形，且底面ABCD.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.5．（貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級診斷性考試（一）數(shù)學（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分別為CD，PD的中點，K為PA上一點，.(1)證明：B，M，N，K四點共面；(2)若PC與平面ABCD所成的角為，求平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.6．（貴陽省銅仁市2023屆高三下學期適應性考試（一）數(shù)學（理）試題）如圖（1），在梯形中，，，，為中點，現(xiàn)沿將折起，如圖（2），其中分別是的中點.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.7．（湖北省武漢市2022屆高三下學期2月調(diào)研考試數(shù)學試題）在如圖所示的多面體中，點在矩形的同側，直線平面，平面平面，且為等邊三角形，.(1)證明：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.8．（甘肅省蘭州市第五十中學2022-2023學年高三第一次模擬考試數(shù)學（理科）試題）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形，，AB⊥AD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M為線段BD的中點．(1)求證：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．9．（甘肅省蘭州市第五十八中學2022-2023學年高三上學期第一次模擬考試數(shù)學（理科）試題）在直角梯形(如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．(1)求證：CD⊥平面ABC；(2)求AB與平面BCM所成角的正弦值．10．（陜西省西安市長安區(qū)2023屆高三下學期一模理科數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點，F(xiàn)在上，滿足.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.11．（陜西省銅川市王益中學2023屆高三下學期一模理科數(shù)學試題）如圖，四棱錐中，底面，，，且．(1)求證：；(2)若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求與底面所成的角的正切值．12．（山西省太原市2022屆高三下學期模擬三理科數(shù)學試題）已知三角形PAD是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形ABCD沿AD折疊，所成二面角的大小為，此時恰有.(1)求BD的長；(2)求二面角的余弦值.13．（山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學試題）如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側面是矩形，為的中點，.(1)證明：平面；(2)點在線段上，若，求二面角的余弦值.14．（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）理科數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點.(1)證明：∥平面；(2)當?shù)拈L為多少時，平面平面？請說明理由，并求出此時直線與平面所成角的大小.15．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市部分校2022屆高考模擬數(shù)學（理）試題）如圖，在四棱錐中，PA平面ABCD，，，AD=2.(1)求證：平面PCD⊥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.16．（內(nèi)蒙古呼和浩特市2022屆高三第二次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測理科數(shù)學試題）如圖，在三棱柱中，側棱底面，，，D、E分別是，的中點．(1)證明：平面平面；(2)已知，求直線與平面所成角的正弦值．17．（內(nèi)蒙古包頭市2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題）已知直三棱柱中，側面為正方形.，D，E分別為AC和上的點，且，，F(xiàn)為棱上的點，.(1)證明：，且；(2)當為何值時，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最??？18．（浙江省金華十校2022-2023學年高三上學期期末模擬數(shù)學試題）如圖，在三棱錐中，，為的中點，.(1)證明：平面平面；(2)若是邊長為的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.19．（慕華優(yōu)策聯(lián)考2022-2023學年高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學試題）在四棱錐中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.(1)求證：為直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.20．（新疆部分學校2023屆高三下學期2月大聯(lián)考（全國乙卷）數(shù)學（理）試題）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，平面平面ABCD，，E為CD的中點.(1)求證：；(2)若，，求平面PBC與平面PAE所成銳二面角的余弦值.21．（江西省金溪縣第一中學2023屆高三一輪復習驗收考試數(shù)學（理）試題）如圖，在長方體中，，點為的中點.(1)證明；(2)求平面與平面夾角的余弦值.22．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）如圖，在斜三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側棱，頂點在平面上的射影為邊的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.23．（江西省重點中學協(xié)作體2023屆高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）如圖，已知直角梯形與，，，，，，G是線段上一點.(1)求證：平面；(2)若平面上平面，設平面與平面所成角為，求的取值范圍.24．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學（理）試題）在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形，點在底面上的射影為棱的中點，且與底面所成角為，點為線段上一動點．(1)求證：；(2)是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．25．（山東省青島市青島第二中學2022-2023學年高三上學期期中數(shù)學試題）某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數(shù)學探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接就得到了一個“芻甍”

(如圖2)。(1)若O是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的大小為求平面與平面夾角的余弦值.26．（江西省部分學校2023屆高三上學期1月聯(lián)考數(shù)學（理）試題）如圖，在正三棱柱中，，，分別是棱，的中點．(1)證明：平面平面．(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．27．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三下學期2月入學摸底考試數(shù)學（理科）試題）如圖，四邊形是菱形，，平面，，，設，連接，交于點，連接，.(1)試問是否存在實數(shù)，使得平面?若存在，請求出的值，并寫出求解過程；若不存在，請說明理由.(2)當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.28．（河南省濮陽市2022-2023學年高三下學期第一次摸底考試理科數(shù)學試題）在如圖所示的六面體中，平面平面，，，.(1)求證：平面；(2)若兩兩互相垂直，，，求二面角的余弦值．29．（吉林省長春市長春外國語學校2021-2022學年高三下學期期末數(shù)學試題）如圖，直四棱柱的底面是邊長為的菱形，且.(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，求與平面所成角的正弦值.30．（廣東省廣州市天河區(qū)2021-2022學年高三下學期期末數(shù)學試題）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，平面，E是的中點．(1)若的中點是M，求證：平面；(2)若，求平面與平面所成二面角的正弦值．專題5立體幾何（理科）解答題30題1．（青海省海東市第一中學2022屆高考模擬（一）數(shù)學（理）試題）如圖，在三棱柱中，，．(1)證明：平面平面．(2)設P是棱的中點，求AC與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設，由余弦定理求出，從而由勾股定理得到，，進而證明出線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角的正弦值.（1）設．在四邊形中，∵，，連接，∴由余弦定理得，即，∵，∴．又∵，∴，，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）取AB中點D，連接CD，∵，∴，由（1）易知平面，且．如圖，以B為原點，分別以射線BA，為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系B-xyz，則，，，，，．，，設平面的法向量為，則，得，令，則取，，，AC與平面所成角的正弦值為．2．（陜西省榆林市2023屆高三上學期一模理科數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后利用線面垂直證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值【詳解】（1）證明：取的中點，連接.因為，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.因為在平面內(nèi)相交，所以平面.又平面，所以.（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設平面的法向量為，則令，得.由題可知，平面的一個法向量為.設平面和平面所成的銳二面角為，則.3．（廣西南寧市第二中學2023屆高三上學期1月月考（期末）數(shù)學（理）試題）如圖，四棱柱ABCD—的側棱⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為，AA1的中點.(1)證明：B，E，D1，F(xiàn)四點共面；(2)若求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明來證明B，E，D1，F(xiàn)四點共面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【詳解】（1）取的中點為G，連接AG，GE，由E，G分別為，的中點，∴EG∥DC∥AB，且，∴四邊形ABEG為平行四邊形，故.又F是的中點，即，∴，故B，F(xiàn)，，E四點共面.（2）連接AC、BD交于點O，取上底面的中心為，以O為原點，、、分別為x、y、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則A（，0，0），B（0，1，0），，F(xiàn)（，0，1），∴設面的一個法向量為，則，即，取，設直線AE與平面BED1F所成角為θ，故，∴直線AE與平面BED1F所成角的正弦值為.4．（河南省十所名校2022-2023學年高三階段性測試（四）理科數(shù)學試題）如圖所示，四棱臺的上?下底面均為正方形，且底面ABCD.(1)證明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明線線垂直；(2)利用空間向量的坐標運算求面面角.【詳解】（1）平面平面，如圖，連接四邊形為正方形，，又平面，平面，平面.（2）由題意知直線兩兩互相垂直，故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得，.設平面與平面的法向量分別為.則令，則，令，則，，故二面角的正弦值為.5．（貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級診斷性考試（一）數(shù)學（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，，，M，N分別為CD，PD的中點，K為PA上一點，.(1)證明：B，M，N，K四點共面；(2)若PC與平面ABCD所成的角為，求平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明線線平行，再利用基本事實判定四點共面；（2）建立空間直角坐標系，求出點的坐標，求解兩個平面的法向量，然后利用向量法求解二面角平面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接AC交BM于E，連接KE，∵四邊形ABCD是矩形，M為CD的中點，且，，，，，，∵M，N分別是CD，PD的中點，，，K，E，M，N四點共面，，B，M，N，K四點共面.（2），，∴，平面ABCD，∴PC與平面ABCD所成的角為，在中，，∴，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，如圖，，，，，，設平面BMNK的一個法向量為，則，令，得平面BMNK的一個法向量為，又平面PAD的一個法向量為，設平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的大小為，，平面BMNK與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為.6．（貴陽省銅仁市2023屆高三下學期適應性考試（一）數(shù)學（理）試題）如圖（1），在梯形中，，，，為中點，現(xiàn)沿將折起，如圖（2），其中分別是的中點.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，易證得四邊形為平行四邊形，從而得到，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)可分別得到，結合平行關系和線面垂直的判定可證得結論；（2）根據(jù)長度關系可證得兩兩互相垂直，則以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結果.【詳解】（1）取中點，連接，為中點，，，又，四邊形為平行四邊形，，，分別為中點，，，又為中點，，，，，四邊形為平行四邊形，；，為中點，，；，，，四邊形為正方形，，，又，平面，平面.（2）由（1）知：，，又，；，為中點，，，，，，又，平面，平面，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量，，令，解得：，；平面，平面的一個法向量為，，由圖形知：二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.7．（湖北省武漢市2022屆高三下學期2月調(diào)研考試數(shù)學試題）在如圖所示的多面體中，點在矩形的同側，直線平面，平面平面，且為等邊三角形，.(1)證明：；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，則由平面平面，可得平面，再由平面，可得，，再由已知條件可證得，由線面垂直的判定定理可得平面，然后由線面垂直的性質(zhì)可得結論，（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】（1）取中點，連接，.由平面平面，且交線為，平面.又平面，有，四點共面.平面平面，.又在矩形中，，∴∽，∴,∵,∴，.又∵，平面.平面.（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則有：.設平面的法向量.，令，則.設平面ECF的法向量.，令，則.所平面與平面所成銳二面角的余弦值為.8．（甘肅省蘭州市第五十中學2022-2023學年高三第一次模擬考試數(shù)學（理科）試題）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形，，AB⊥AD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M為線段BD的中點．(1)求證：BD⊥平面AFM；(2)求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)證明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求證BD⊥AM；(2)在點A處建立空間坐標系，分別計算平面AFM與平面ACE的法向量，結合空間角與向量角的聯(lián)系計算即可.【詳解】（1）因為四邊形ADEF為正方形，所以AF⊥AD．又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因為AB＝AD，M線段BD的中點，所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM（2）由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AF兩兩垂直．分別以為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A－xyz（如圖）．設AB＝1，則A，B，C，D，E，所以，，，設平面ACE的一個法向量為，則

即，令y＝1，則，則．由（1）知，為平面AFM的一個法向量．設平面AFM與平面ACE所成的銳二面角為，則．所以平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值為．9．（甘肅省蘭州市第五十八中學2022-2023學年高三上學期第一次模擬考試數(shù)學（理科）試題）在直角梯形(如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．(1)求證：CD⊥平面ABC；(2)求AB與平面BCM所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證CD⊥平面ABC；（2）取AC的中點O，連接OB，先證明兩兩垂直，再以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式可求出結果.【詳解】（1）由題設可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，∴CD⊥平面ABC．（2）取AC的中點O，連接OB，由題設可知△ABC為等腰直角三角形，所以，又因為平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，所以平面,連接OM，因為平面,所以，因為M、O分別為AD和AC的中點，所以，所以OM⊥AC，故以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，∴，，，設平面BCM的一個法向量為，則，得，令，得，∴．所以AB與平面BCM所成角的正弦值為.10．（陜西省西安市長安區(qū)2023屆高三下學期一模理科數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點，F(xiàn)在上，滿足.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結論；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)題意求得相關點坐標，求出點F的坐標，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）證明：因為平面，平面ABCD,所以,又因為，平面，所以平面.（2）過A作的垂線交于點M,因為平面，平面,所以,以A為坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系如圖，則,因為E為的中點，所以,因為F在上，設,則,故,因為，所以，即，即，即，所以，設平面的一個法向量為，則,即，令，則，故；，設平面的一個法向量為，則,即，令，則，故，故，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.11．（陜西省銅川市王益中學2023屆高三下學期一模理科數(shù)學試題）如圖，四棱錐中，底面，，，且．(1)求證：；(2)若平面與平面所成的二面角的余弦值為，求與底面所成的角的正切值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知結合勾股定理可推得，.進而證得平面，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得出；（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系.設寫出各點的坐標，根據(jù)向量法得出平面與平面的法向量，結合已知可得，求出點坐標.在中，求出即可.【詳解】（1）取中點E，連接，則由已知得且，所以．由已知可得，，.又，所以，所以.又底面，平面，所以.又，平面，平面.所以平面.因為平面，所以．（2）如圖，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設，由題知，，，，.則，，.設是平面的一個法向量.所以有，令，則，，則是平面的一個法向量.由已知得，是平面的一個法向量.又平面與平面所成的二面角的余弦值為，則，整理可得，.因為，所以，即．由直線與平面所成角定義知與底面所成的角為，在中，有，所以．所以，與底面所成的角的正切值為.12．（山西省太原市2022屆高三下學期模擬三理科數(shù)學試題）已知三角形PAD是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形ABCD沿AD折疊，所成二面角的大小為，此時恰有.(1)求BD的長；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中點，連接，，即可得到，再由，從而得到平面，即可得解，從而求出；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】（1）解：取中點，連接，，∵是正三角形，∴，又∴，，平面∴平面，平面，∴，∴在菱形中，，則，∴（2）解：取為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設平面PCD的法向量為，∵∴，令，則，，∴，設平面PCB的法向量為∵∴，令，則，，所以所以，又二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為；13．（山西省呂梁市2022屆高三三模理科數(shù)學試題）如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側面是矩形，為的中點，.(1)證明：平面；(2)點在線段上，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用線面垂直的判定定理可得平面，進而即得；（2）建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法即得.(1)因為矩形中，為的中點，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以平面.因為平面，所以，又，所以平面.(2)由（1）知兩兩相互垂直，所以以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，令，連接，則，所以.設平面的一個法向量為，則，得，所以，令，得，所以，由（1）知是平面的一個法向量，所以，故二面角的余弦值為.14．（山西省際名校2022屆高三聯(lián)考二（沖刺卷）理科數(shù)學試題）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點.(1)證明：∥平面；(2)當?shù)拈L為多少時，平面平面？請說明理由，并求出此時直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）取線段的中點，連接，利用三角形中位線定理結合已知條件可得四邊形為平行四邊形，則∥，然后利用線面平行的判定定理可證得結論，（2）當時，由已知條件可證得平面，從而可得平面平面，分別取線段，的中點，，連接，，則可證得兩兩垂直，所以分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解(1)證明：取線段的中點，連接，則為的中位線，∥，，∵∥，，∥，，∴四邊形為平行四邊形.∥，平面，平面，∥平面.(2)當時，平面平面.理由如下：在中，，，.又，，平面，又平面，∴平面平面.分別取線段，的中點，，連接，，因為為等邊三角形，為的中點，所以，即平面，.因為，分別為，的中點，所以，又，所以.分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，..所以直線與平面所成角的正弦值為，所成的角為.15．（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市部分校2022屆高考模擬數(shù)學（理）試題）如圖，在四棱錐中，PA平面ABCD，，，AD=2.(1)求證：平面PCD⊥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點，連接，證明，，由線面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.(1)取的中點，連接，如圖，因為AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，

因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.(2)過點作于，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，在等腰梯形中，AD//BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，則，所以，，設平面的法向量為，因為，所以，令，則，

設平面的法向量為，因為，所以，令，則，

所以.16．（內(nèi)蒙古呼和浩特市2022屆高三第二次質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測理科數(shù)學試題）如圖，在三棱柱中，側棱底面，，，D、E分別是，的中點．(1)證明：平面平面；(2)已知，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由，證得，再根據(jù)題意證得平面，得到，進而證得平面，即可證得平面平面.（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，在平面內(nèi)，過D且平行與直線為z軸，建立空間直角坐標系，得到和平面的法向量為，結合向量的夾角公式，即可求解.(1)證明：由題意知，，可得，，所以，所以，所以，因為，且為的中點，可得，又因為側棱底面，且底面，所以，又由，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.(2)解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，在平面內(nèi)，過D且平行與直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，可得，設，可得，，，則，，由平面，所以平面的法向量為，設與平面ADE所成角為，則.17．（內(nèi)蒙古包頭市2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題）已知直三棱柱中，側面為正方形.，D，E分別為AC和上的點，且，，F(xiàn)為棱上的點，.(1)證明：，且；(2)當為何值時，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最?。俊敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）先證以及即可證得平面，即可證得，建立空間直角坐標系，求出，由即可證得；（2）直接寫出平面的一個法向量，求出平面DEF的法向量，由夾角公式表示出余弦值，由平方關系求出二面角的正弦值，結合二次函數(shù)求解即可.【詳解】（1）因為，，所以，又，且，所以平面，又平面，所以.因為，所以在中，，又，所以，由，且，得，取點B為坐標原點，以BA，BC，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系（如圖所示）.則，，，，設，則，于是，所以，即.（2）因為平面的一個法向量為，又由（1）知，，設平面DEF的法向量為，則，所以有取，得，，于是平面DEF的法向量為，所以，設平面與平面DEF所成的二面角為，則，故當時，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值取得最小值為.所以當時，平面與平面DEF所成的二面角的正弦值最小.18．（浙江省金華十校2022-2023學年高三上學期期末模擬數(shù)學試題）如圖，在三棱錐中，，為的中點，.(1)證明：平面平面；(2)若是邊長為的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得；利用線面垂直判定可證得平面，由面面垂直的判定可得結論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，利用二面角的向量求法可構造方程求得的值，利用棱錐體積公式可求得結果.【詳解】（1），為中點，，又，，平面，平面，平面，平面平面.（2）以為坐標原點，正方向為軸，過作垂直于的直線為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，設平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量；二面角的大小為，，解得：；，.19．（慕華優(yōu)策聯(lián)考2022-2023學年高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學試題）在四棱錐中，底面ABCD是等腰梯形，，，平面平面，.(1)求證：為直角三角形；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）由平面平面證平面、，由幾何關系證，即可證平面、；（2）以P為原點PC，PD分別為x，y軸建立如圖空間直角坐標系，由向量法求得平面PAB及平面的法向量，即可求二面角的余弦值，最后求正弦值即可【詳解】（1）證明：在等腰梯形中，，，作，且為垂足，∴，，∴，∴，∴.又∵，面面，面面，面，∴面，又平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，∴，即△為直角三角形.（2）由（1）知，平面，平面，∴，∵，∴，，過A作于，面面，面面，面，則平面.在中，.以P為原點PC，PD分別為x，y軸建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，.在平面PAB中，設其法向量為，，，則，令，解得，則，在平面中，設其法向量為，，.則，令，得，故，則，故求二面角的正弦值為.20．（新疆部分學校2023屆高三下學期2月大聯(lián)考（全國乙卷）數(shù)學（理）試題）如圖，已知四棱錐的底面ABCD為菱形，平面平面ABCD，，E為CD的中點.(1)求證：；(2)若，，求平面PBC與平面PAE所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AD的中點F，連接PF，EF，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面ABCD，得，根據(jù)四邊形ABCD為菱形以及是三角形的中位線，推出，再根據(jù)線面垂直的判定推出平面PEF，從而可得；（2）記，過點O作，以OA，OB，OQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用面面角的向量公式可求出結果.【詳解】（1）如圖，取AD的中點F，連接PF，EF.∵，∴.∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵四邊形ABCD為菱形，∴.∵點E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點，∴，∴.∵，，，PF，平面PEF，∴平面PEF.又平面PEF，∴.（2）記，則.由（1）知，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，則，.過點O作，則OA，OB，OQ兩兩垂直.如圖，以OA，OB，OQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，因為，，所以，所以，，所以，∴，，，.設平面PAE的法向量為，由，令，則，，所以.設平面PBC的法向量為，由，令，則，，所以.設平面PBC與平面PAE所成銳二面角為，則，所以平面PBC與平面PAE所成銳二面角的余弦值為.21．（江西省金溪縣第一中學2023屆高三一輪復習驗收考試數(shù)學（理）試題）如圖，在長方體中，，點為的中點.(1)證明；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先利用線面垂直判定定理證明平面，進而證得；（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，利用向量的方法即可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）因為在長方體中，，所以，因為點為的中點，所以，又均為銳角，所以，因為，所以，所以，又在長方體中，平面，平面，所以，又因為，平面，平面所以平面，因為平面，所以.（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則有得，取，得，設平面的一個法向量為，則有，取，得，設平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.22．（江西省上饒市六校2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）如圖，在斜三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側棱，頂點在平面上的射影為邊的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明出面，利用面面垂直的判定定理即可證明；（2）以為原點，分別為軸正方向建立空間直角坐標系.利用向量法求解.【詳解】（1）因為是邊長為4的正三角形，邊的中點，所以.因為頂點在平面上的射影為，所以平面,.因為面，面，,所以面.所以面，所以平面平面.（2）以為原點，分別為軸正方向建立空間直角坐標系.因為是邊長為4的正三角形，為邊的中點，所以.在直角三角形中，.所以，，，，.所以,.在三棱柱中，由，可求得：.同理求得：.所以，,.設為平面的一個法向量，為平面的一個法向量.因為，即，不妨設，則.同理可求：.設為二面角的平面角，由圖可知：為銳角，所以.即二面角的余弦值為.23．（江西省重點中學協(xié)作體2023屆高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學（理）試題）如圖，已知直角梯形與，，，，，，G是線段上一點.(1)求證：平面；(2)若平面上平面，設平面與平面所成角為，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)連接，連接，根據(jù)比例關系可以找到平面內(nèi)一條直線平行于平面外的一條直線.(2)根據(jù)已知條件可以建立空間直角坐標系，求平面與平面的法向量，代入公式求出夾角的余弦值，通過換元轉化為二次函數(shù)的值域問題即可求解.【詳解】（1）連接，連接，可知，即，因為平面，平面，所以平面.（2）由題意可知，平面，平面，建立空間直角坐標系，則，，平面的法向量為，又，設平面的法向量為，則，取，故，令，，當時，，當時，，所以.綜上，24．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學（理）試題）在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形，點在底面上的射影為棱的中點，且與底面所成角為，點為線段上一動點．(1)求證：；(2)是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且點為的中點【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結論成立；（2）分析可知，平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，其中，利用空間向量法可得出關于的方程，求出的值，即可得出結論.【詳解】（1）證明：連接，為等邊三角形，為的中點，則，因為點在底面上的射影為點，則平面，平面，，，、平面，平面，平面，.（2）解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為平面，所以，與底面所成的角為，則、、，設點，其中，，，設平面的法向量為，則，取，則，，設平面的法向量為，則，取，則，由已知可得，可得，，解得，即點.因此，當點為的中點時，二面角的余弦值為．25．（山東省青島市青島第二中學2022-2023學年高三上學期期中數(shù)學試題）某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數(shù)學探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接就得到了一個“芻甍”

(如圖2)。(1)若O是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的大小為求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取線段中點，連接、，可得四邊形是平行四邊形，然后線面平行的判定定理即得；（2）由題可得即為二面角的平面角，以為坐標原點，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標系，求解平面ABE和平面OAB的一個法向量，利用空間向量夾角公式即得．【詳解】（1）取線段CF中點H，連接OH、GH，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點，∴且，在圖1中且，且．所以在圖2中，且，∴且，∴四邊形AOHG是平行四邊形，則，

由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．（2）由圖1，，，折起后在圖2中仍有，，∴即為二面角的平面角．∴，以E為坐標原點，，分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標系如圖，設，則、、，∴，，易知平面ABE的一個法向量，設平面OAB的一個法向量，由，得，取，則，，于是平面的一個法向量，∴，∴平面ABE與平面OAB夾角的余弦值為．26．（江西省部分學校2023屆高三上學期1月聯(lián)考數(shù)學（理）試題）如圖，在正三棱柱中，，，分別是棱，的中點．(1)證明：平面平面．(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)法向量垂直，即可求證，（2）根據(jù)平面法向量的夾角即可求解面面角.【詳解】（1）設，分別是，的中點，連接，，，則，是等邊三角形，，又根據(jù)題意可得：平面平面，且交線為，又平面，平面，又平面，．又根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知：平面，平面，，平面，，，以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，，設平面，平面的法向量分別為，所以取，則，取，則，所以，故，所以平面平面．（2）設平面的法向量分別為,則，取，則，設平面與平面所成的銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為27．（湘豫名校聯(lián)考2023屆高三下學期2月入學摸底考試數(shù)學（理科）試題）如圖，四邊形是菱形，，平面，，，設，連接，交于點，連接，.(1)試問是否存在實數(shù)，使得平面?若存在，請求出的值，并寫出求解過程；若不存在，請說明理由.(2)當時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）依題意，可得平面，過點作于點，則四邊形為矩形，設，求出，，，欲使平面，只需，再列方程求解即可；（2）建立空間直角坐標系利用向量法求解.【詳解】