8函數(shù)單調(diào)定方法：

秘

期：

零貳年1月8日生：期;課時：師：1.判斷具體數(shù)單調(diào)性的法1.1定法般地設為定在上函。對任何、D，21

時，有(1)

f(

)f

)

，則稱f為上的增函，特當立嚴格不等

f(

)f

)時，f為上的嚴格增數(shù)

f(

)f

)

,則稱

f

為上的減函數(shù)特別當成立嚴格不等式

f(

)(

)時，稱f為上的嚴格減數(shù)。利用義來明數(shù))在間上單調(diào)的般步：（1設任,且2

；（2）差

f(

1

)f(

2

)

；（3變形普因解配方；（4）號判

f(

1

)f(

2

)

差0的?。唬?）論指數(shù))在給定的區(qū)D上調(diào)性。例用定義證f)(aR)

在

是。證明設,121

2

，則f(

1

f(

2

31

32

)

32

31

2

1

)(

21

22

1

由于

212

1

1

2)2

22

0

，01則

f(

1

f(

2

(

2

1

)(

21

221

，f(

)f

)

，以f()

在

8

8。例用義證明函數(shù)()

()

在0

上的單調(diào)。證明設、0,1

1

2

，則f(

1

)f(

2

)

1

1

)

2

2

)12

1

2

1

2

)(

2112

)1

)

1212

)12

)(

1212

)

，又

所以

02

，

0

，當

1

、

]

f(2

)f

)0

，時函數(shù)()為數(shù)；當

1

、

,

時

f(2

)f

)0

，時函數(shù)()增函。綜上數(shù)()

()

在間(]減函數(shù)；在間(

內(nèi)為增函數(shù)。此數(shù)()是一特殊數(shù)（對號數(shù)）定義法明時通常需要進行因式分解，于

2

與0的大系()

不是確，此分討。用定義法判定函數(shù)單調(diào)性比較適用那種對于義域內(nèi)任意兩個數(shù),當

時容得

f()

與

f(

大小關系的函數(shù)解法是最直接方也我首考慮的方，說種方思比清晰，但常程較繁。1.2函數(shù)質(zhì)法函數(shù)質(zhì)法是用單函的質(zhì)判函數(shù)單調(diào)的法。數(shù)質(zhì)法常我常見的單函的調(diào)性結合起使用對一些常見的單函的調(diào)性如下表：函數(shù))

單調(diào)間當，在上是增函數(shù)；

特殊函圖一次

當

0

時

在上減數(shù)。函數(shù)

8

8y2bx(,,)

當，a

時單調(diào)減二次

a

時單；函數(shù)反比)例函數(shù)

當0時，時單調(diào)增，a時單。a當,y在時單減，在0單調(diào)；當0,y在時單增在0單調(diào)。y

x

當時，在是增函數(shù)；指a)數(shù)函數(shù)

當a

，時在上減數(shù)。ygxaa)對數(shù)函數(shù)

當時，在增函數(shù)；當a時，在減函數(shù)。一些用關函單的質(zhì)可結下個論：⑴

f()

與

f()

+

C

單調(diào)性同（為）⑵當，(x)與

kf()

具有相同的單當，)與

kf()

具有相反的單性。⑶．當(x恒等于零時，(x與

fx)

具有反單性。⑷當(x)、。

x

在都是增（減）數(shù)時，則f(x)＋g(x在上是增（減）函⑸當(x)、

(x

在D上是增（）函數(shù)且兩者都恒大于時，(x)(x在上是

8

8增（減）函數(shù)；當(x、(x)在上是增（減）函數(shù)且兩者都恒小于，f()g(x)

在D上減）。設f(x,x為格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)且域f(D)

上也是格增（減）函。例判斷(xx3g

2

(2)

單性。解函數(shù)(x)的定義域為,，由簡單函數(shù)的單調(diào)性知在此定義域內(nèi)x,x

g

均為增函數(shù)，因為x0

x

2

由性質(zhì)⑸得x(x

2

也是增函數(shù)；由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)⑷知x3g為增函數(shù)，再由性質(zhì)知函數(shù)2f(x)x

3

2

3

x

2

+5在0,

為單遞函。x例.設函數(shù)()(a)x

，判斷x)在其義域上的單性。解函數(shù)(x的域為(

先判斷()在

內(nèi)的調(diào)性，題可把f()

轉為x

ax

，a

故0

1由質(zhì)可得得由xx性⑴得(x

ax

在

內(nèi)是減數(shù)。同理斷x在

故函數(shù)(x)

在(內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)性質(zhì)法能助于們悉的調(diào)函數(shù)去判斷一函的單調(diào)性，因此先函數(shù)等地轉化成我們熟悉的調(diào)函數(shù)的四則混運算形，然后用數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去斷，但有些函數(shù)不能化成簡單混運算形式就不能采用這種方法。1.3圖法用函圖來斷數(shù)調(diào)的方叫像。據(jù)調(diào)數(shù)圖像征若數(shù)(x)的圖區(qū)間I上從往右漸升則數(shù)()在區(qū)間I上是增函數(shù)；若函數(shù)(x)圖像在區(qū)I上從左往右逐漸降函數(shù)(x)在區(qū)間I上函。、

8

8例如圖是定義閉間[-5,5]上的函數(shù)f(x)的圖像試判斷其單調(diào)性。數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間有[-5,-2），[），[，[）.其中函數(shù)(x在間），[1,3）上的圖像是從左往右逐漸下降的，則數(shù)y(x)

在區(qū)間））為減函；函數(shù)f(x在區(qū)間[-2,1[3,5]的圖像是從往右逐漸上升，則函數(shù)f(x在區(qū)間[-2,1），[3,5]上是增函數(shù)。例用數(shù)圖像判斷函數(shù)f(xx；g(x)

x

；hx)2

x

x

在[-3,3]上單調(diào)。分析：觀察三函數(shù)，見(x()()

，作圖一般步驟為列表、描點作圖。首先作出f()x

和

()

x

的像再利用物理學上的加就可大致作出(x2

x

x

的圖像，后利用圖像判斷函數(shù)(x)2x

x

的單調(diào)性。解作圖像如下所：由以上函數(shù)圖像得知函數(shù)(xx在間是；()x間[-3,3]上物理上的疊加以直接大作(x)

x

x

在閉間[-3,3]即(x)2

在閉間[-3,3]上是單調(diào)增函數(shù)事實上本題中的個函數(shù)可以直接函數(shù)性質(zhì)法判斷單調(diào)性。

8

8像法單調(diào)觀，能夠示出的增加，相應的數(shù)值變化趨勢，作圖常較煩。對于容易作出圖的函用圖像法比較簡單直觀，以類似物理上波疊加來大致出圖像。而對不易作圖的函數(shù)不太適用了。但如果我們助于相關的數(shù)學軟去作函數(shù)的圖像，么用圖像法判斷函單調(diào)性是非簡方的。1.4合函數(shù)單調(diào)性判斷法定理若數(shù)f()在U內(nèi)單調(diào)，x)在內(nèi)調(diào)，且集合{︳ux

，}（）若f()是增函數(shù)，ux是（減）函，則f[(x)]是（）函2）若()是減，g(x是增（減）函數(shù)，則f[gx)]是）。歸此理可得口訣同增異則（增減）復合函數(shù)單調(diào)性的四種情形可列表如下：情情形形形形函數(shù)性內(nèi)層數(shù)u()外層數(shù)f(u)復合數(shù)[x)]

形顯然對大于次復函此也立。推論若數(shù)f(x)是

KN

)個單調(diào)函復合而成其中有個減函數(shù)：當m，則f(x)函數(shù)當2k時，則(x是增函數(shù)。判斷復函數(shù)f[(x的單性的一步驟：⑴合地分成個基本初等數(shù)(uug(x)；⑵分別解出兩個基本初等函數(shù)定義域

81a1a

8分別確定單調(diào)區(qū)；若兩個基本初等函數(shù)在對應區(qū)間上的單調(diào)性是同時單調(diào)遞增或同單調(diào)遞減，則f[(x)]

為增函數(shù)，若一增一，則[g(x)]為減函數(shù)（同增異減；⑸出應間的交集既復函數(shù)f[(x的單區(qū)間。以上驟可用個字簡記“分”“求”，“三”，四”。利用“八字”求法可以解一些復合函數(shù)的調(diào)性問。例7.求xa

2

)

（且a）調(diào)。解由題可得函數(shù)(xx)a

由外數(shù)gua

和內(nèi)數(shù)ux

2

x

1符而成。由題知函數(shù)(的域是(3

。內(nèi)數(shù)ux

2

x

1在,3

內(nèi)增函數(shù)，在減數(shù)。①若，函數(shù)為函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)x在3上是函數(shù)函數(shù)(x)在。②若

，外數(shù)為減函數(shù)，同增異減法則，故函數(shù)(x)在a1(3

上是函數(shù)函數(shù)在。2．斷抽象函數(shù)調(diào)性的方法如果一個函數(shù)有給具體解析式，那這樣的象函數(shù)。抽象函數(shù)沒有具體的解析式，需充提取題目條件給的信息。2.1定法通過差(或者商)根據(jù)題目提出的信息進行變形，然后與0（者）比較大小關系來判斷其函數(shù)單性。通常有以下種方法：2.1.1差法根據(jù)義，設中“湊”f()f(x)

”的式然后較fx)f(x)與0的系。例11.知函數(shù)x對實數(shù)m、n有

f((n

，當m0時，f(

，試討函數(shù)(x)的單。

8

8：得(m()(n)

，令m,m12

且，01又由題意當0時，()f(x)f(x)(n)02數(shù)。2.1.2項法

，所以函數(shù)(x為函弄清題目中的結構特點，采用加減添項或乘除添項，以達到能判斷“

fx)f()

”0大關的。例12.（同11解

任

取

x,R,x12

，

xx0

，fx)f()f[(x)x]11題意數(shù)(x對意數(shù)、

均(m)(f(n

，當時，f()f(x(f(2122.1.3量法

所以數(shù)(x為增函數(shù)。單調(diào)性的義出發(fā)，取x,x1

設

xx

,然后系題目提取的信息給出解答。例同11解：任取x,R,x12

設

xx

由題意函數(shù)(x對任實數(shù)、n均有m(m)f

，f(xf(f(xf(xf(211

，由題當0時，f()f()f(f0()212.1.4縮法

所以數(shù)(x為增函數(shù)。利用縮法判斷(x與f(x)2

的大關，而得)在其義內(nèi)單調(diào)。例已知函數(shù)(x)的定義為（0，∞），對任意正實數(shù)、均f(mn)(m)()

，且當時()

判斷數(shù)(x的調(diào).

822

8x解：設0xx，則又當m時f()x1中令，得(再由(mn)f(m)()

，故0(1

)當x

11時，(1f(x)()知此時(x)，故(x0恒立。xx因此(xf(1

)f(1

21

)f(xf(x)()f(x)f(x)1111即(x)在（，∞上單遞函數(shù)。對于抽象函數(shù)，由于抽象函數(shù)分提取題目條件給出的信觀察結構特點用定義法判定抽象函數(shù)單調(diào)性比較適用于那種于定義域內(nèi)任意兩個數(shù)x,2

當x2

時，容易得出f(x)

-

f(x

與大小關系的。定義法思路也比較清晰題靈活選