3.2雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪知識(shí)探究1.雙曲線的定義平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作

.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫作雙曲線的

,兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫作雙曲線的

.[思考1]在雙曲線的定義中,若去掉“絕對(duì)值”,其軌跡還是雙曲線嗎?提示:不是,其軌跡是雙曲線的一支.雙曲線焦點(diǎn)焦距[思考2](1)雙曲線定義中,將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”,其他條件不變,點(diǎn)的軌跡是什么?提示:(1)當(dāng)距離之差的絕對(duì)值等于|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線,端點(diǎn)分別是F1,F2,當(dāng)距離之差的絕對(duì)值大于|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.(2)雙曲線的定義中,若|MF1|-|MF2|=2a(常數(shù)),且2a<|F1F2|,則點(diǎn)M的軌跡是什么?提示:(2)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的一支.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[思考3]如何根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置?提示:若x2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上,若y2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在y軸上.a2+b2小試身手1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”).(2)在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b的大小關(guān)系是a>b.(

)(3)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)×××2.已知F1(-8,3),F2(2,3),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=10,則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.雙曲線

B.雙曲線的一支C.直線

D.一條射線DC課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用解:(1)設(shè)|MF1|=16,根據(jù)雙曲線的定義知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.即點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22.方法總結(jié)在解決雙曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的問題時(shí),要注意定義中的條件||PF1|-|PF2||=2a的應(yīng)用.與三角形有關(guān)的問題要考慮正弦定理、余弦定理、勾股定理等.另外,在運(yùn)算中要注意一些變形技巧和整體代換思想的應(yīng)用.[變式訓(xùn)練1](1)(多選題)已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡中為雙曲線的是(

)A.|PF1|-|PF2|=±2B.|PF1|-|PF2|=±3C.|PF1|-|PF2|=±4D.|PF1|2-|PF2|2=±4解析:(1)|F1F2|=4,根據(jù)雙曲線的定義知選AB.答案:(1)AB答案:(2)9探究點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方法總結(jié)(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法如下.①定義法:根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a,b,c,再寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程有以下兩個(gè)關(guān)注點(diǎn).①定位:指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置.在“標(biāo)準(zhǔn)方程”的前提下,確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上,以判斷方程的形式.②定量:指確定a2,b2的具體數(shù)值.常根據(jù)條件列方程(組)求解.[變式訓(xùn)練2]求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于8;探究點(diǎn)三雙曲線定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用(2)某工程要挖一個(gè)橫斷面為半圓的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP,BP運(yùn)到P處(如圖所示),|PA|=100m,|PB|=150m,∠APB=60°,試說明怎樣運(yùn)土才能最省工.方法總結(jié)(2)利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟如下.①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;②求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;③根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問題.注意:實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.(2)設(shè)聲速為m米/秒,在相距10m米的A,B兩哨所,聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間差6秒,求炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程