9.2.4總體離散程度的

估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的含義，會(huì)計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差.2.掌握求分層隨機(jī)抽樣總樣本的平均數(shù)及方差的方法.復(fù)習(xí)引入1.如何計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第P百分位數(shù)？2.如何計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)？原始數(shù)據(jù)直方圖新知探究第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次甲命中環(huán)數(shù)78795491074乙命中環(huán)數(shù)9578768677現(xiàn)有甲，乙兩名射擊手，在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中環(huán)數(shù)如下：新知探究如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次甲命中環(huán)數(shù)78795491074乙命中環(huán)數(shù)9578768677甲的眾數(shù)：7乙的眾數(shù)：7新知探究甲的中位數(shù)：7乙的中位數(shù)：7甲的眾數(shù)：7乙的眾數(shù)：7發(fā)現(xiàn)：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7，從這個(gè)角度看，兩名運(yùn)動(dòng)員沒有差異.下面我們作出條形圖再進(jìn)一步觀察！從圖形中，甲的成績(jī)比較分散，乙的成績(jī)相對(duì)集中，甲的成績(jī)波動(dòng)性大，而乙的成績(jī)比較穩(wěn)定.如何度量這種差異呢？新知探究極差甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度，但極差只使用了數(shù)據(jù)中最大和最小的兩個(gè)值的信息，對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含信息量很少.有沒有更好的方法刻畫數(shù)據(jù)的離散程度？觀察下圖，思考成績(jī)波動(dòng)情況與各成績(jī)到平均成績(jī)的距離有什么關(guān)系？新知探究發(fā)現(xiàn)：若射擊成績(jī)穩(wěn)定，則大多數(shù)射擊成績(jī)離平均成績(jī)不會(huì)太遠(yuǎn)；反之則會(huì)離平均成績(jī)較遠(yuǎn)；因此可以通過(guò)這兩組射擊成績(jī)與它們的平均成績(jī)的“平均距離”來(lái)度量成績(jī)的波動(dòng)幅度如何定義“平均距離”？假設(shè)一組數(shù)據(jù)是x1,x2,…,xn,用

表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為“距離”即

作為xi到

的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn到

的“平均距離”為新知探究為了避免式中含有絕對(duì)值，通常改用平方來(lái)代替

方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.方差新知探究試歸納計(jì)算方差的基本步驟:①計(jì)算平均值②計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均值的差的平方③將所有平方相加④將上述平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)新知探究標(biāo)準(zhǔn)差也可用于衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)情況標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定，即離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，越穩(wěn)定,即離散程度較小.想一想，方差的單位是什么？與原始單位一致嗎？標(biāo)準(zhǔn)差新知探究如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次甲命中環(huán)數(shù)78795491074乙命中環(huán)數(shù)9578768677甲的眾數(shù)：7乙的眾數(shù)：7請(qǐng)同學(xué)們利用方差判斷兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的離散程度？s甲＝2，s乙≈1.095由s甲>s乙可知，甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì)，乙比甲的成績(jī)穩(wěn)定新知探究能找到更簡(jiǎn)便的方差計(jì)算方法嗎？方差等于逐項(xiàng)數(shù)據(jù)平方和的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方新知探究完成教材P215練習(xí)題1,2,3新知探究例1

若在身高調(diào)查中采用抽樣調(diào)查，抽取男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算總樣本方差并對(duì)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì).解：把男生樣本記為x1,x2,…,x23,其平均數(shù)記為

，方差記為

；把女生樣本記為y1,y2,…,y27,其平均數(shù)記為

，方差記為

；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為

，方差記為.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為：新知探究由

可得同理可得,因此，新知探究由

根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總體樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總體樣本平均數(shù)為將已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值帶入可得我們計(jì)算出總樣本的方差為51.4862，并據(jù)此估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生的身高的總體方差為51.4862.新知探究歸納總結(jié)：分層隨機(jī)抽樣的方差新知探究變式1新知探究變式2

某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人為了獲得該校全體學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值163.83，方差為30.03.（1）根據(jù)以上信息，能夠計(jì)算出總樣本的均值和方差嗎？（2）如果已知男、女生樣本量按比例分配，你能計(jì)算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？（3）如果已知男、女的樣本量都是25，你能計(jì)算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？它們分別作為總體的均值和方差的估計(jì)合適嗎？為什么？新知探究變式2

某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人為了獲得該校全體學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值163.83，方差為30.03.（1）根據(jù)以上信息，能夠計(jì)算出總樣本的均值和方差嗎？解

（1）不能.理由：男生、女生樣本量未知.新知探究變式2

某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人為了獲得該校全體學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值163.83，方差為30.03.（2）如果已知男、女生樣本量按比例分配，你能計(jì)算出總樣本的均值和方差各為多少嗎？解（2）因?yàn)槭前幢壤謱与S機(jī)抽樣，可以加權(quán)平均數(shù)計(jì)算總樣本的均值.新知探究變式2

某學(xué)校有高中學(xué)生500人，其中男生320人，女生180人.有人為了獲得該校全體學(xué)生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測(cè)樣本的指標(biāo)值（單位：cm），計(jì)算得男生樣本的均值為173.5，方差為17，女生樣本的均值163.83，方差為30.03.（3）如果已知男、女的樣本量都是25，你能計(jì)算出總樣本的均值和方差各為多