2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)

理科(數(shù)學(xué))

參考公式：

錐體的體積公式v其中s是錐體的底面積，//是錐體的高.

3

如果事件4B互斥,那么P(4+3)=P(/)+P(B).

如果事件48相互獨(dú)立，那么P(加8)=P(/)CP(8).

用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式2=號(hào)-------，a=y-hx.

—nx

I=I

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1

1.己知函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)镸,g(x)=ln(l+x)的定義域?yàn)镹,則MDN=

dl—x

(A){x|x>-l}(B){x[x<l}(C){x|-l<x<l}(D)0

答案：C；

2.若復(fù)數(shù)(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù))，則6=

(A)-2(B)-1(C)|(D)2

答案:B；解析：(1+bi)(2+i尸(2-b)+(2b+l)i,故2b+l=0,故選B；

3.若函數(shù)/(x)=sin2x-g(xeR),則f(x)是

(A)最小正周期為主的奇函數(shù)；(B)最小正周期為乃的奇函數(shù)；

2

(C)最小正周期為27的偶函數(shù)；(D)最小正周期為"的偶函數(shù)；

答案：D；

4.客車從甲地以60km/h的速度行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以80km/h

的速度行駛1小時(shí)到達(dá)丙地，下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的

路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系圖象中，正確的是

C.D.

答案：C；

5.已知數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和S.=/-9",第k項(xiàng)滿足5<%<8,則k=

(A)9(B)8(C)7(D)6

答案：B；解析：此數(shù)列為等差數(shù)列，a?=S?-S?_t=2n-10,由5〈2k-10<8得至Uk=8.

6.圖1是某縣參加2007年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形圖表示學(xué)生人數(shù)

依次記為A1、A?、...Ai。(如A2表示身高(單位：cm)在[150,155)內(nèi)的人數(shù)].圖2是統(tǒng)計(jì)

圖1中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160-180cm(含

160cm,不含180cm)的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是

(A)i<6(B)i<7(C)i<8(D)i<9

7.圖3是某汽車維修公司的維修點(diǎn)分布圖，公司在年初分配給A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)

的某種配件各50件，在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為

40、45、54、61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么完成上述調(diào)整，最少

的調(diào)動(dòng)件次(n個(gè)配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為

(A)15(B)20(C)17(D)18

8.設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a,be

S,對(duì)于有序元素對(duì)(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)).若對(duì)于任意的a,b6S,有

a*(b*a)=b,則對(duì)任意的a,bGS,下列等式中不恒成立的是

(A)(a*b)*a=a(B)[a*(b*a)]*(a*b)=a

(C)b*(b*b)=b(D)(a*b)*[b*(a*b)]=b

答案：A；

二、填空題:本題7小題，每題5分，滿分30分，其中13,15是選做題，考生只能選做兩

題，三題全答的，只計(jì)前兩題得分.

9.甲、乙兩個(gè)袋子中均裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲

袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)臼球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球.現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機(jī)抽

取1個(gè)球，則取出的兩球是紅球的概率為(答案用分?jǐn)?shù)表示)

答案：—解析：—X—=—;

9669

10.若向量￡[滿足|"|=|引=1,￡[的夾角為60。,則

答案：|;解析：67-a+a-^=l+lxlx—=—,

22

11.在直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2,l).若線段OA的垂直平分線過拋物線/=2Px(p>0)

的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是；

答案：x=-2；解析：OA的垂直平分線的方程是y」=-2(x-l),令y=0得到x=3;

424

12.如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有條,

這些直線中共有了(〃)對(duì)異面直線，則〃4)=—；f(n)=(答案用數(shù)字或n的解析式表

示)

答案：;8;n(n-2).解析：：；/(4)=4x2=8;〃")="?("-2)

13.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的參數(shù)方程為

(參數(shù)tWR),圓C的參數(shù)方程為尸=cos。(參數(shù)0€[0,2句)，則圓C的圓心坐標(biāo)為

[y=2sin6+2

，圓心到直線1的距離為.

答案：(0,2)；272.解析：直線的方程為x+y-6=0,<1=與？=2&;

V2

14.(不等式選講選做題)設(shè)函數(shù)〃x)=|2x-l|+x+3,則/(-2)=；若/(x)V5,貝Ux的

取值范圍是;

答案：6；[-1,1]

15.幾何證明選講選做題]如圖所示，圓。的直徑為6,

C為圓周上一點(diǎn)BC=3,過C作圓的切線1,過A作1的

垂線AD,垂足為D,則NDAC=；線段AE的長(zhǎng)

為.

答案：-53.解析：根據(jù)弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角

6

及直角三角形兩銳角互余，很容易得到答案；AE=EC=BC=3；

三、解答題

16.(本小題滿分12分)

己知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)

(1)若c=5,求sinNA的值；

(2)若NA為鈍角，求c的取值范圍；

解析：(1)A8=(-3,-4),JC=(c-3,-4),若c=5,則而=(2,-4),

?/A~A7^~Tn—O十101?,/八一乙

??cos/—A=cos</iC,AB>=-------產(chǎn)=—產(chǎn),??sinNA--------；

5x2V5V55

(2)若/A為鈍角，則尸c+9+16<°解得c>竺，.人的取值范圍是(史代);

cwO33

17.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生

產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)

X3456

y2.5344.5

(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=+1

(3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤；試根據(jù)(2)求出的

線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)

準(zhǔn)煤？

(3X2.5+4X3+5X4+6X4.5=66.5)

解析：

(1)略；(2)方法1(不作要求)：設(shè)線性回歸方程為y=bx+“，則

f(a,b)=(3b+a-2.5)2+(4b+a-3)2+(56+a-4)2+(6b+a-4.5)2

=4a2+2a(l86-14)+(3b-2.5)2+(4b-3)2+(5a-4)2+(6b-4.5)2

aJ;°=3.5-4.56時(shí)，f(a,b)取得最小值

(1.56-1)2+(0.5/)-0.5)2+(0.5A-0.5)2+(1.56-1)2B|J0.5[(3/>-2)2+{b-1)2]=5/>2-7b+-,

/,=0,7,a=0.35時(shí)f(a,b)取得最小值；所以線性回歸方程為y=0.7x+0.35；

方法2：由系數(shù)公式可知，I=4.5,工=35G=66.5-史45芋5=66.5-63=。?

86-4x4.525

Z=3.5-0.7xg=0.35,所以線性回歸方程為y=0.7x+0.35；

(3)x=l00時(shí)，y=0.7x+0.35=70.35,所以預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗

比技術(shù)改造前降低19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤.

18.(本小題滿分14分)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2應(yīng)的圓C

與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓，■+9=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和

為10.(1)求圓C的方程；(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓的

右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng)，若存在求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：(1)圓C：(*+2>+(,-2)2=8；

Y2

(2)由條件可知a=5,橢圓上+Lv=1,；.F(4,0),若存在，則F在OQ的中垂線

259

上，又O、Q在圓C上，所以0、Q關(guān)于直線CF對(duì)稱；直線CF的方程為y-l=-g(x-l),

_4

即x+3y-4=0,設(shè)Q(x,y),貝.》,，解得，；2所以存在，Q的坐標(biāo)為(土乜).

二型-4=0

.22

19.(本小題滿分14分)如圖6所示，等腰三角形AABC的底邊AB=66，高CD=3,點(diǎn)E

是線段BD上異于B、D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF_LAB,現(xiàn)沿EF將4BEF折起到

△PEF的位置，使PELAE,記BE=x,V(x)表示四棱錐P-ACEF的體積.

(1)求V(x)的表達(dá)式；

⑵當(dāng)x為何值時(shí),V(x)取得最大值？

(3)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面

直線AC與PF所成角的余弦值.

(1)由折起的過程可知，PE_L平面

ABC,S1Mc=9瓜，

^ABEF~~X

V(x)=—x(9-—x2)(0<x<376)

/7i

(2)K'(x)=—(9-一x2),所以xe(0,6)時(shí)，v'(x)>0,V(x)單調(diào)遞增;6Vx<36時(shí)

34

v'(x)<0，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時(shí)，V(x)取得最大值12遙;

(3)過F作MF//AC交AD與M,則也=竺?=四=空■,A/B=28￡■=12,PM=6上,

ABBCBD—1AB

2

MF=BF=PF=SC=—V54+9=V52,

3V63

在△PFM中，85/尸/必=生2=2,...異面直線AC與PF所成角的余弦值為2；

4277

20.(本題滿分14分)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=2-+2x-3-a,如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)

間［-1,1］上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析1：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-1,1］上有零點(diǎn)，即方程/。)=2爾2+2X_3-〃=0在［-1,1］上

有解，a=0時(shí),不符合題意，所以aWO,方程f(x)=O在［-1,1］上有解40或

‘叭-1)20

叭1R0_3_/y_3_/y

-A=4+8a(3+a)20o14445或a4，^—或a25oa<------或ael.

--e［-l.l］

、a

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是土包或a2l.

2

解析2：a=0時(shí)，不符合題意，所以aWO,又

；?/(x)=lax2+2x—3—tz=0在［-1,1］上有解，o(2x2—\)a=3—2x在［?1,1］上有解

='=@二1在卜i,i]上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)夕=生二1[-1,1]上的值域；設(shè)t=3-2x,x

a3—2x3-2x

e[-l,1],則2x=3-7,tG[l,5],y=；.(T；―2=；?+/_6),

7f2_7

設(shè)g(，)=，+—.g'Q)=，01近時(shí),g'?)<0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，/w而,5]時(shí),g'(0>0,

tt

此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，，y的取值范圍是麗-3,1],.?./(x)=2ox2+2x-3-a=0在[-1,1]上

有解0，e[77-3,1]<=>?>!

a2

21.(本題滿分14分)已知函數(shù)/a)=V+x-l,a,夕是方程人x尸0的兩個(gè)根。>夕)，/(X)

是Xx)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)q=l,*=a,-(n=l,2,........)

(1)求a,/的值；(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,都有a“>a；

記二求數(shù)列的前項(xiàng)和。.

(3)b“=ln%2(n=l,2,……),｛bn｝nS

解析:(l)V/(x)=x2+x-l,a,/?是方程火x)=0的兩個(gè)根(a>￡),；.a=7+J,0=二1丁

+l)+；(2a〃+1)一(

(2)f*(x)=2x+l

2%+1

5

=；(24+l)+^^—???q=l,???有基本不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)卬=2^

時(shí)取等號(hào))，同，

a2>――^>0^a3>——-?.......，an>—―-=a(n=l,2,........),

￡222

(3)一+i一夕=%-夕-吐a)(a“一￡)=上g⑷+1+a),而a+/=-l,即a+l=-￡,

2a“+l2a?+l

%〃=轉(zhuǎn)'同理總a=(a"~a),，+|=2々，又a=ln^^=ln^i^=21n^^

2a?+l"+,"1l-a3-b2

S,,=2(2"-1)In檸叵

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(海南、寧夏)

數(shù)學(xué)(理科)

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)玉，…，的標(biāo)準(zhǔn)差：錐體體積公式:

X2，X”

s=\~[(X1~X)2+(工2-X)2+-?,+(X?-X)2]V^-Sh

Vn3

其中康為樣本平均數(shù)其中S為底面面積、。為高

柱體體積公式：球的表面積、體積公式：

,4,

V=ShS=4nR?,昨一兀2

3

其中S為底面面積，%為高其中H為球的半徑

第I卷

一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.)

1.已知命題p:VxwR,sinxWl,則()

A.-i/?:eR,sinxNlB.—\p:XfxeR,sinxNl

C.—.p:3XGR,sinx>1D.—VXGR,sinx>l

13

2.已知平面向量a=(l,l>D=(1,一1),則向量5a-55=()

A.(—2,—1)B.(—2,1)

C.(—1,0)D.(—1,2)

4.已知｛%｝是等差數(shù)列，為)=10,其前10項(xiàng)和S]o=7O,

則其公差"=()

2112

A.一一B.一一C.-D.-

3333

5.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的S=()

A.2450B.2500

C.2550D.2652

6.已知拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，

點(diǎn)<(再，yx),P2(x2,y2),呂(工3，%)在拋物線上，

且2%2=X]+X3'則有()

B.閥『+閥卜陷『

A.同|+陷|=附|

C.2閥閆田+閥|D.閥|2=用.四

(a+b)-

7.已知x>0，y>0,x,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列，則--」一的

最小值是（）

A.0B.1C.2D.4

8.已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出

的尺寸（單位：cm）,可得這個(gè)幾何體的體積是

)

4000

A.----cm3

3

8000

B.----cm'3

3

C.2000cm3

D.4000cm3

什cos2a6

9.-T4——，則cosa+sina的值為()

兀2

sina——

4

A幣V7

A.----BCD.

2-4-IV

10.曲線y=e?"在點(diǎn)（4,e?）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（)

A.|e2

B.4e2C.2e2D.e2

11.甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤?/p>

甲的成績(jī)乙的成績(jī)丙的成績(jī)

環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910

頻數(shù)5555頻數(shù)6446頻數(shù)4664

”$2，S3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）

A.53>5]>S2B.邑>S]>S3c.S]>$2>S3D.S2>S3>5,

12.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱，這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且

底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等.設(shè)四棱錐、三棱錐、

三棱柱的高分別為4,h2,h,則%:"：。=（)

A.73:1:1B.73:2:2C.V3:2：V2D.G：2：6

第II卷

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題一第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須

做答，第22題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分.）

13.已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,則該雙曲線的離心

率為?

14.設(shè)函數(shù)/（x）=P+D@為奇函數(shù),則。=.

15.2.是虛數(shù)單位，~5+1O-=_____.（用4?的形式表示，a,beR）

3+4z

16.某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)

班，不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.（本小題滿分12分）

如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高48時(shí)，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與。.現(xiàn)

測(cè)得=4BDC=%CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂Z的仰角為。，求塔高

18.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐S—Z8C中，X........\Z

側(cè)面S45與側(cè)面S/C均為等邊三角形，/歷1C=9O°,口4

。為8c中點(diǎn).

（I）證明：SOJL平面Z3C；（H）求二面角/一SC-8的余弦值.

19.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，經(jīng)過點(diǎn)（0,a）且斜率為左的直線/與

V-2

橢圓彳+/=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和。.

（I）求人的取值范圍；

（II）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為4B,是否存在常數(shù)左，使得向量

麗+麗與荔共線？如果存在，求比值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

20.（本小題滿分12分）如圖，面積為S的正方形Z8C。中----------------,C

有一個(gè)不規(guī)則的圖形“，可按下面方法估計(jì)用的面積：在正

方形Z8C。中隨機(jī)投擲〃個(gè)點(diǎn)，若〃個(gè)點(diǎn)中有加個(gè)點(diǎn)落入

M中，則V的面積的估計(jì)值為二S,假設(shè)正方形的

AB

邊長(zhǎng)為2,M的面積為1,并向正方形/8C。中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，以X表示落入"中

的點(diǎn)的數(shù)目.

(I)求X的均值EX；

(II)求用以上方法估計(jì)M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間

(一0.03,0.03)內(nèi)的概率.

k

附表：P(k)=ZCW0cx0.25'*0.75儂°°-'

f=0

k2424242525742575

P(k)0.04030.04230.95700.9590

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+a)+x2

(I)若當(dāng)x=-1時(shí)，/(x)取得極值，求。的值，并討論/(x)的單調(diào)性;

(ID若/(x)存在極值，求。的取值范圍，并證明所有極值之和大于In].

22.請(qǐng)考生在4B,。三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí),

用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.

22.A(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖，已知ZP是口。的切線，。為切點(diǎn)，NC是口0的割

線，與口。交于AC兩點(diǎn)，圓心。在/尸/C的內(nèi)部，點(diǎn)“

是8C的中點(diǎn).

(I)證明4P,O,M四點(diǎn)共圓；

(II)求NOAM+NAPM的大小.

22.B(本小題滿分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程口

和口&的極坐標(biāo)方程分別為0=4cos&p=_4sind.

(I)把口。和口02的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(II)求經(jīng)過口g,□02交點(diǎn)的直

線的直角坐標(biāo)方程.

22.C(本小題滿分10分)選修4-5；不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+l|-k—4].(I)解不等式/(x)>2；(II)求函數(shù)歹=/(x)的最小值.

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

1.C2.D3.A4.D5.C6.C

7.D8.B9.C10.D11.B12.B

二、填空題

13.314.-115.l+2i16.240

三'解答題

BCCD

17.解：在中,ACBD=n-a-/3.由正弦定理得

sinZBDCsinNCBD

所以8C=("sin/BDQ=上sip/?在RtZ\4?C中，

sinZ.CBDsin(a+0)

“nMs?tanOsinO

AB=BCtanZACB=--------.

sin(a+￡)

18.證明：(I)由題設(shè)Z8=/C=S6=SC=SN,連結(jié)CM,

△Z8C為等腰直角三角形，所以04=08=0。=J”,

2

且Z0_L8C,又aSBC為等腰三角形，故S0_L8C,且

5

SO=—SA,/A^OA2+SO2-SA2.所以△SO/為直角三角形，SO1AO.又

2

AOC]BO=O.所以SO_L平面N8C.

(II)解法一：取SC中點(diǎn)V,連結(jié)0M,由(I)知SO=OGSA^AC,得

OM1SC,AM±SC.：.ZOMA為二面角A-SC-B的平面角.由

AOLBC,AO±SO,SOP!8c=0得AO1平面SBC.所以AOA.OM,又

AM^—SA,故sinNAMO=9=￡=立.所以二面角4一5。一8的余弦值為

2AMM3

百

T-

解法二:

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線。8分別為x軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.設(shè)8(1,0,0),則。(一1,0,0),4(0,1,0),5(0,0,1).

SC的中點(diǎn)

MO—?0,———(萬1-])sC—(—1>0?—1).

二MO-SC=0,MA-SC=0.

故MO_LSC,MA±SC,〈而，必〉等于二面角/一SC—8的平面角.

嘩里=、5,所以二面角/—SC-8的余弦值為也.

cos<MO,MA>=——

MOV\MA33

19.解：（I）由己知條件，直線/的方程為丁=去+3,

2—

代入橢圓方程得三+（日+/）2=1.整理得（；+公）1+2行自+1=0

①

直線/與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和0等價(jià)于△=8-一4［；+公）=4/一2>0,

V2、

解得左〈一注或即%的取值范圍為一8,--"luf—.+OO

222乂2

7

設(shè)y),

(II)P(X1,y),Q(X2,2則。P+O0=(X1+w，y}+y2),

4岳

由方程①，+x=-②

21+2公

又凹+%=k(x]+x2)+2^2.③

而A(6,0),B(0A),AB=(-y/2,l).所以O(shè)P+OQ與萬共線等價(jià)于

%+“2=—+必），將②③代入上式,解得k=——.由（I）知左<-----或左>-^―,

故沒有符合題意的常數(shù)八

20.解：每個(gè)點(diǎn)落入A1中的概率均為p=L.依題意知X?臺(tái)［10000,；）.

4

(I)EX=lOOOOx」=2500.

4

（II）依題意所求概率為0.03（上匚義4一1<0.03］,

I10000J

-0.03<~^—x4-1<0.031=尸(2425<X<2575)

I10000J

=EC^xO^xOJS'0000-1

(=2426

25742425

=E^0000x0.25zxO.7510000---X^ooooxO.251xO.7510000-'

1=2426/=0

0.9570-0.0423=0.9147.

11

21.解：(I)/'(x)=——+2x,依題意有/''(—1)=0,故a=2.從而

x+a2

j.,.、2.X~+3x+1(2%+1)(X+1)j.，xAArJ-,</-j(3、、r,3,,

/(x)=------—=------/(x)的定義域?yàn)橐?,+8,當(dāng)一一<X<—1時(shí),

x+-x+-12/2

22

/z(x)>0；當(dāng)—1<x<—5時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)x>—§時(shí)，/'(x)>0.

從而，/(X)分別在區(qū)間(一|，-[，(—；，+8)單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少.

(JI)/(%)的定義域?yàn)?—a,+8),/“(X)=.2二+2"X+1.方程2/+2ax+1=0的判別

x+a

式A=4/一8.(i)若八<0,即—血<a<0,在/(x)的定義域內(nèi)f(x)>0,故/(%)

的極值.(ii)若A=0,則a—V2或a=—V2.若a=V2,xG(—V2?+0°)?

r(x)=(心害.當(dāng)x=_也時(shí)，/'(x)=0,當(dāng)xef—"―也]u]—也，+81時(shí),

x+62I2乂2J

/"(x)>0,所以/(x)無極值.若a=—&,x€(屈+8),r(x)=巫二L)]>o,/(x)

x-y/2

也無極值.(iii)若△>(),即a>正或a<—JI,則2x?+2ax+l=0有兩個(gè)不同的實(shí)根

-a—yla2—2

“+~.當(dāng)。<-y/2時(shí)，x<-a,x<-a,從而/'(x)

x,=-----------i2

12

有/(x)的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，故/(x)無極值.當(dāng)a>&時(shí)，xx>-a,x2>-a,f\x)

在/(x)的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知/(x)在X=Xpx=》2取得極

值.綜上，/(x)存在極值時(shí)，a的取值范圍為

(V2,+o0)./(x)的極值之和為

2

/(%))+f(x2)-ln(Xj+a)+x；+ln(x2+a)+x2=In；+/_]

:M

22.AB

(I)證明：連結(jié)。尸，OM.因?yàn)椤ㄊc口。相切于C

點(diǎn)、P,所以O(shè)PJ_/P.因?yàn)镸是□O的弦8C的中點(diǎn)，所以。MJLBC.于是

ZOPA+ZOMA=ISO°.由圓心。在NPZC的內(nèi)部，可知四邊形ZPOM的對(duì)角互補(bǔ),

所以4P,O,M四點(diǎn)共圓.

（H）解：由（I）得4P,O,M四點(diǎn)共圓，所以.由（I）得

OPLAP.由圓心。在NP/C的內(nèi)部，可知NOPM+NZPM=90°.所以

ZOAM+ZAPM^90°.

22.B

解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單

位.（I）x=pcosff,y="sin。,由p=4cos）得p2=4pcos6.所以x'+/=4x.即

/+「-4x=o為口q的直角坐標(biāo)方程.同理/+/+4y=o為口a2的直角坐標(biāo)方程.

x2+y2-4x=0,fx,=0,fx,=2

（H）由,二解得《?\

22

x+y+4y=0[=0,[y2=-2

即口Oi，口。2交于點(diǎn)（°，°）和（2，-2）.過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為歹=—x.

22.C解：

(I)令y=|2x+l|_|x_4|,則

-x-5,

2

1,

y="3x-3,---<x<4,

2

x+5,x24.

作出函數(shù)_y=Rx+l|Tx-4|的圖象，它與直線y=2的交點(diǎn)為（―7,2）和仁,2）.

所以|2》+1|-k一4|>2的解集為（.x,_7）U（（+x）.（II）由函數(shù)>=|2x+l卜,一4|的

圖像可知，當(dāng)》=一；時(shí)，^=|2》+1卜卜一4|取得最小值一?.

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

數(shù)學(xué)（理科）

第I卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選

擇一個(gè)符合題目要求的選項(xiàng).

（1）若2=85。+15由。（i為虛數(shù)單位），則使z2=—l的。值可能是（）

7C7T7C7T

A.-B.-C.-D.一

6432

（2）已知集合用={-1,1},=<x-<2v+1<4,xeZ,,則MDN=（）

A.{-1,1}B.{-1}C.{O}D.{-1,。}

（4）設(shè)則使函數(shù)y=￡的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有。值為（）

A.1,3B.-1,1C.—1,3D.—1,1,3

（5）函數(shù)y=sin（2x+R-cosbx+3的最小正周期和最大值分別為（）

A.K,1B.兀，0C.2K,1D.2兀，V2

(6)給出下列三個(gè)等式：/(盯)=/(x)+/Q)，/(x+y)=/(x)/(y)，

/（x+y）=/（"）+/（刃，下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是（）

l-/（xW）

X

A./（x）=3B.f（x）=sinxC.J\x）=log2xD.f（x）=tanx

（7）命題“對(duì)任意的xwR,》3-/+1忘0”的否定是（）

A.不存在xwR,x3-x2+K0B.存在xwR,x3-x2+K0

C.存在xeR,x3-x2+l>0D.對(duì)任意的xeR,x3-x2+1>0

（8）某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與

19秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績(jī)大

于等于13秒且小于14秒；第二組，成績(jī)大于等于14秒且小于

15秒：……第六組，成績(jī)大于等于18秒且小于等于19秒.右

圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績(jī)小于17

秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為X,成績(jī)大于等于15

秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y,則從頻率分布直方圖中可分

析出x和歹分別為（）

A.0.9,35B.0.9,45

C.0.1,35D.0.1,45

（9）下列各小題中，p是的充要條件的是（）

①p：加＜-2或加＞6；q：y=x?+/nx+”?+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

②p:=1；q'.y=/'(X)是偶函數(shù).

/(x)

③p:cosa=cos/3；q:tana=tan￡.

@p-.Ar\B=A-,q-.'^Bc,VA.

A.（D?B.②③C.③④D.①④

（10）閱讀右邊的程序框圖，若輸入的〃是100,則輸出的變量

S和T的值依次是（）

A.2500,2500B.2550,2550

C.2500,2550D.2550,2500,

（11）在直角△ZBC中，CD是斜邊N8上的高，則下列等式

不成立的是（）

A.國，就荻B.|5c|2=5J0ffC

C.17§|2=AOTD口|小『_（配而）x（麗阮）

1?阿

（12）位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下列規(guī)則移動(dòng):質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向

為向上或向右，并且向上、向右移動(dòng)的概率都是工，

質(zhì)點(diǎn)尸移動(dòng)五次后位、于點(diǎn)（2,3）的概

2

率是（）

第n卷（共加分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.答案須填在題中橫線上.

（13）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，/是拋物線產(chǎn)=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，2是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A

與x軸正向的夾角為60°,則網(wǎng)為.

x+2yW10,

2x+_y23,

（14）設(shè)。是不等式組《表示的平面區(qū)域，則。中的點(diǎn)尸（x，力到直線

、yA

x+y=10距離的最大值是

（15）與直線x+y-2=0和曲線/+_/一I2x-12y-54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程是.

（16）函數(shù)歹=loga（x+3）—l（〃>0,且QW1）的圖象恒過定點(diǎn)/,若點(diǎn)4在直線

12

加x+及y+l=O上，其中加〃>0,則一+一的最小值為.

mn

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（17）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛g｝滿足q+3%+32%+…+3"””=§，a&N*.

（I）求數(shù)列｛%