向量組的線性相關(guān)性演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)§4.3

向量組的線性相關(guān)性目前二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量組及其線性組合目前三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定義：n個(gè)有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱(chēng)為n維向量，這n個(gè)數(shù)稱(chēng)為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)ai稱(chēng)為第i個(gè)分量．行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量．所討論的向量在沒(méi)有指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量．本書(shū)中，列向量用黑色小寫(xiě)字母a,b,a,b等表示，行向量則用aT,bT,aT,bT

表示．目前四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定義：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱(chēng)為向量組．當(dāng)R(A)<

n時(shí)，齊次線性方程組Ax=0的全體解組成的向量組含有無(wú)窮多個(gè)向量．結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)．有限向量組目前五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)

k1,k2,…,km

，表達(dá)式k1a1+k2a2+…+kmam稱(chēng)為向量組A

的一個(gè)線性組合．k1,k2,…,km稱(chēng)為這個(gè)線性組合的系數(shù)．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實(shí)數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時(shí)稱(chēng)向量b能由向量組

A

的線性表示．目前六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：設(shè)那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對(duì)于任意的n維向量b

，必有目前七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標(biāo)向量．目前八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)回顧：線性方程組的表達(dá)式一般形式向量方程的形式增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式方程組有解？向量是否能用線性表示？目前九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)．向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解目前十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定義：設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

中的每個(gè)向量都能由向量組

A

線性表示，則稱(chēng)向量組

B

能由向量組

A

線性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià)．目前十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即線性表示的系數(shù)矩陣目前十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)設(shè)有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即對(duì)于b1，存在一組實(shí)數(shù)k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21a2+…+km1

am；對(duì)于b2，存在一組實(shí)數(shù)k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22a2+…+km2

am；……對(duì)于bl，存在一組實(shí)數(shù)k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam目前十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，

B

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．目前十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結(jié)論：矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，

A

為這一線性表示的系數(shù)矩陣．目前十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)口訣：左行右列定理：設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.目前十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)結(jié)論：若C=AB，那么矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，A為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（A

在左邊）矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，B為這一線性表示的系數(shù)矩陣．（B

在右邊）目前十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)A經(jīng)過(guò)有限次初等列變換變成B存在有限個(gè)初等矩陣P1,P2,…,Pl，使AP1

P2…,Pl=B存在m

階可逆矩陣P，使得AP=B矩陣B

的列向量組與矩陣A

的列向量組等價(jià)矩陣B

的行向量組與矩陣A

的行向量組等價(jià)同理可得口訣：左行右列.把

P

看成是線性表示的系數(shù)矩陣目前十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量組

B：b1,b2,…,bl能由向量組A：a1,a2,…,am線性表示 存在矩陣K，使得AK=B

矩陣方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤

R(A)（P.85定理3）推論：向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl等價(jià)的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)．證明：向量組

A和B等價(jià)

向量組

B能由向量組A

線性表示

向量組

A能由向量組B

線性表示從而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因?yàn)镽(B)≤

R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)目前十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：設(shè)證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=R(A,b)．因?yàn)镽(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．目前二十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)行最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．目前二十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)n

階單位矩陣的列向量叫做n

維單位坐標(biāo)向量．設(shè)有n×m矩陣A=(a1,a2,…,am)

，試證：n

維單位坐標(biāo)向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示的充分必要條件是R(A)=n．分析：n

維單位坐標(biāo)向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示

R(A)=R(A,E) R(A)=n．

（注意到：R(A,E)=n一定成立）目前二十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)小結(jié)向量

b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解向量組

B能由向量組

A線性表示矩陣方程組AX=B

有解向量組

A與向量組

B等價(jià)目前二十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖n維向量向量組向量組與矩陣的對(duì)應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價(jià)判定定理及必要條件判定定理目前二十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)回顧：向量組的線性組合定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1,

k2,…,km

，表達(dá)式k1a1+k2a2+…+kmam稱(chēng)為向量組A

的一個(gè)線性組合．k1,k2,…,km稱(chēng)為這個(gè)線性組合的系數(shù)．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實(shí)數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則稱(chēng)向量b能由向量組A

的線性表示．目前二十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)引言問(wèn)題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表 示？問(wèn)題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的

系數(shù)是否不全為零？目前二十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解前面的結(jié)論：?jiǎn)栴}1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表示？問(wèn)題1′：齊次線性方程組Ax=0是否存在解？回答：齊次線性方程組Ax=0一定存在解．事實(shí)上，可令k1=k2=…=km=0，則k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）目前二十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)問(wèn)題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的系數(shù)

是否不全為零？問(wèn)題2′：齊次線性方程組Ax=0是否存在非零解？回答：齊次線性方程組不一定有非零解，從而線性組合的系數(shù)

不一定全等于零．例：設(shè)若則k1=k2=k3=0．目前二十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量組的線性相關(guān)性定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱(chēng)向量組A是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)它是線性無(wú)關(guān)的．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<

m目前二十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)備注：給定向量組A，不是線性相關(guān)，就是線性無(wú)關(guān)，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個(gè)向量：當(dāng)

a

是零向量時(shí)，線性相關(guān)；當(dāng)

a不是零向量時(shí)，線性無(wú)關(guān)．向量組A：a1,a2,…,am(m≥2)線性相關(guān)，也就是向量組A

中，至少有一個(gè)向量能由其余m－1個(gè)向量線性表示． 特別地，a1,a2線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2的分量對(duì)應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線．a(chǎn)1,a2,a3

線性相關(guān)的幾何意義是三個(gè)向量共面．目前三十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān) 存在不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m． 向量組A

中至少有一個(gè)向量能由其余m－1個(gè)向量線性 表示．目前三十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量組線性無(wú)關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組A：a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān) 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個(gè)數(shù)m． 向量組A

中任何一個(gè)向量都不能由其余m－1個(gè)向量線 性表示．目前三十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：試討論n

維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見(jiàn)R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)；同時(shí)，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無(wú)關(guān)．目前三十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：已知向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問(wèn)題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問(wèn)題．目前三十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：已知向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問(wèn)題．已知，記作B=AK．設(shè)Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因?yàn)橄蛄拷Ma1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，從而向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．目前三十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：已知向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問(wèn)題．已知，記作B=AK．因?yàn)閨K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無(wú)關(guān)，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無(wú)關(guān)．目前三十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定理若向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關(guān)． 其逆否命題也成立，即若向量組B線性無(wú)關(guān)，則向量組A也線性無(wú)關(guān)．m

個(gè)n

維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù)n

小于向量個(gè)數(shù)m

時(shí)，一定線性相關(guān)． 特別地，n+1個(gè)n

維向量一定線性相關(guān)．設(shè)向量組A：a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān)，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．目前三十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)§4.4

向量組的秩目前三十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示課本P.

88定理4：向量組A：a1,a2,…,am線性相關(guān)的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個(gè)數(shù)m；向量組A：a1,a2,…,am線性無(wú)關(guān)的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個(gè)數(shù)m．目前三十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)矩陣線性方程組有限向量組無(wú)限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)目前四十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)

n元線性方程組

Ax=b其中A是n×m

矩陣矩陣(A,b)向量組A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量組A線性表示？無(wú)解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是線性組合的系數(shù)唯一解R(A)=R(A,b)

=未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式唯一無(wú)窮解R(A)=R(A,b)

<未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式不唯一目前四十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)回顧：矩陣的秩定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱(chēng)為矩陣A的k階子式．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱(chēng)為矩陣A

的最高階非零子式，數(shù)r

稱(chēng)為矩陣

A

的秩，記作R(A)．結(jié)論：矩陣的秩

=矩陣中最高階非零子式的階數(shù)

=矩陣對(duì)應(yīng)的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)目前四十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量組的秩的概念定義：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,

ar，滿(mǎn)足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)；向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；那么稱(chēng)向量組A0是向量組A

的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱(chēng)最大無(wú)關(guān)組．最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)r

稱(chēng)為向量組A

的秩，記作RA．目前四十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．目前四十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列

，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．目前四十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．目前四十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)事實(shí)上，根據(jù)

R(A0)=3

可知：A0的

3個(gè)列向量就是矩陣A

的列向量組的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的部分組．在矩陣A任取4個(gè)列向量，根據(jù)

R(A)=3

可知：A中所有4階子式都等于零，從而這4個(gè)列向量所對(duì)應(yīng)的矩陣的秩小于

4，即這4個(gè)列向量線性相關(guān)．A0的

3個(gè)列向量就是矩陣A

的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組．矩陣A

的列向量組的秩等于3．同理可證，矩陣A

的行向量組的秩也等于3．目前四十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)矩陣線性方程組有限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）目前四十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）今后，向量組a1,a2,…,am的秩也記作R(a1,a2,…,am)．若Dr

是矩陣A

的一個(gè)最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組．向量組的最大無(wú)關(guān)組一般是不唯一的．目前四十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關(guān)性．解：可見(jiàn)R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無(wú)關(guān)，同時(shí)，R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關(guān)，從而a1,a2

是向量組a1,a2,a3的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組．事實(shí)上，a1,a3

和a2,a3也是最大無(wú)關(guān)組．目前五十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)最大無(wú)關(guān)組的等價(jià)定義結(jié)論：向量組A

和它自己的最大無(wú)關(guān)組A0是等價(jià)的．定義：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,

ar，滿(mǎn)足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)；向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；向量組A

中任意一個(gè)向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱(chēng)向量組A0是向量組A

的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組．目前五十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)矩陣線性方程組有限向量組無(wú)限向量組系數(shù)矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當(dāng)且僅當(dāng)向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)目前五十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)最大無(wú)關(guān)組的意義結(jié)論：向量組A

和它自己的最大無(wú)關(guān)組A0是等價(jià)的．用A0來(lái)代表A，掌握了最大無(wú)關(guān)組，就掌握了向量組的全體． 特別，當(dāng)向量組A為無(wú)限向量組，就能用有限向量組來(lái)代表．凡是對(duì)有限向量組成立的結(jié)論，用最大無(wú)關(guān)組作過(guò)渡，立即可推廣到無(wú)限向量組的情形中去．目前五十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：全體n維向量構(gòu)成的向量組記作Rn，求Rn的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組及Rn的秩．解：n階單位矩陣的列向量組是Rn的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，Rn的秩等于n．思考：上三角形矩陣的列向量組是Rn的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組嗎？目前五十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：設(shè)齊次線性方程組的通解是試求全體解向量構(gòu)成的向量組S

的秩．目前五十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式．例：設(shè)矩陣求矩陣A

的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把不屬于最大無(wú)關(guān)組的列向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示．目前五十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列

，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．目前五十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)R(A0)=3，計(jì)算

A0的前

3行構(gòu)成的子式因此這就是A

的一個(gè)最高階非零子式．A0的

3個(gè)列向量就是矩陣A

的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組．目前五十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)思考：如何把a(bǔ)3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合？思路1：利用P.83定理1的結(jié)論思路2：利用矩陣A

的行最簡(jiǎn)形矩陣．向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解令A(yù)0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5目前五十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)解（續(xù)）：為把a(bǔ)3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合，把矩陣A

再變成行最簡(jiǎn)形矩陣于是Ax=0與Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩陣

A的列向量組與矩陣

B的列向量組有相同的線性關(guān)系.目前六十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)可以看出：

b3=?b1?b2 b5=4b1+3b2?3b4所以

a3=?

a1?

a2 a5=4a1+3a2?3a4目前六十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)§4.5

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)目前六十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)回顧：線性方程組的解的判定包含n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組Ax=0

有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<

n．包含n個(gè)未知數(shù)的非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)=R(A,b)，并且當(dāng)R(A)=R(A,b)=n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)R(A)=R(A,b)<

n時(shí)，方程組有無(wú)限多個(gè)解．目前六十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)引言問(wèn)題：什么是線性方程組的解的結(jié)構(gòu)？答：所謂線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，就是當(dāng)線性方程組有無(wú)限 多個(gè)解時(shí)，解與解之間的相互關(guān)系．備注：當(dāng)方程組存在唯一解時(shí)，無(wú)須討論解的結(jié)構(gòu)．下面的討論都是假設(shè)線性方程組有解．目前六十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)解向量的定義定義：設(shè)有齊次線性方程組Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1為該方程組的解，則稱(chēng)為方程組的解向量．目前六十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)1：若x=x1，

x=x2

是齊次線性方程組Ax=0的解， 則x=x1+x2還是Ax=0的解．證明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性質(zhì)2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0的解，k為實(shí)數(shù)， 則x=kx

還是Ax=0的解．證明：A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt還是Ax=0的解.目前六十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)結(jié)論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt還是Ax=0的解.已知齊次方程組Ax=0的幾個(gè)解向量，可以通過(guò)這些解向量的線性組合給出更多的解．能否通過(guò)有限個(gè)解向量的線性組合把Ax=0的解全部表示出來(lái)？把Ax=0的全體解組成的集合記作S，若求得S

的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt．齊次線性方程組的解集的最大無(wú)關(guān)組稱(chēng)為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（不唯一）．目前六十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)回顧：向量組的秩的概念定義：設(shè)有向量組A

，如果在A

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,

ar，滿(mǎn)足①向量組A0：a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)；②向量組A

中任意r+1個(gè)向量（如果A

中有r+1個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；②'向量組A

中任意一個(gè)向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱(chēng)向量組A0是向量組A

的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組．向量組的最大無(wú)關(guān)組一般是不唯一的．返回目前六十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)基礎(chǔ)解系的概念定義：齊次線性方程組Ax=0的一組解向量：x1,x2,...,xr如果滿(mǎn)足①x1，x2，...，xr線性無(wú)關(guān)；②方程組中任意一個(gè)解都可以表示x1,x2,...,xr的線性組合，那么稱(chēng)這組解是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．目前六十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)后n-r

列前r

列設(shè)R(A)=r，為敘述方便，不妨設(shè)A行最簡(jiǎn)形矩陣為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組令xr+1,…,xn

作自由變量，則目前七十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則齊次線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿(mǎn)足基礎(chǔ)解系②）

目前七十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)n

?

r

列前

r

行后

n

?

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

?

r

，即x1,

x2,…,xn-r線性無(wú)關(guān)．（滿(mǎn)足基礎(chǔ)解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系．目前七十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿(mǎn)足基礎(chǔ)解系②）

目前七十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)此即為Ax=0的基礎(chǔ)解系．通解為

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，則令目前七十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定理：設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩

RS=n

?r．目前七十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)基礎(chǔ)解系的求解例：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．方法1：先求出通解，再?gòu)耐ń馇蟮没A(chǔ)解系．即目前七十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)令x3=c1，x4=c2，得通解表達(dá)式因?yàn)榉匠探M的任意一個(gè)解都可以表示為x1,x2

的線性組合．x1,x2的四個(gè)分量不成比例，所以x1,x2線性無(wú)關(guān)．所以x1,x2是原方程組的基礎(chǔ)解系．目前七十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)方法2：先求出基礎(chǔ)解系，再寫(xiě)出通解．即令合起來(lái)便得到基礎(chǔ)解系，得還能找出其它基礎(chǔ)解系嗎？目前七十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)問(wèn)題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因?yàn)槭欠癜严禂?shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣，其實(shí)并不影響方程組的求解．當(dāng)兩個(gè)矩陣行等價(jià)時(shí)，以這兩個(gè)矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組同解．目前七十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)令x1=c1，x2=c2，得通解表達(dá)式即從而可得另一個(gè)基礎(chǔ)解系：h1和h2．目前八十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定理：設(shè)m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩

RS=n

?r．例：設(shè)Am×nBn×l=O（零矩陣），證明R(A)+R(B)≤

n．例：證明R(ATA)=R(A)．例：設(shè)n

元齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解，證明R(A)=R(B)．目前八十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)非齊次線性方程組的解的性質(zhì)性質(zhì)3：若x=h1，

x=h2

是非齊次線性方程組Ax=b

的解，則x=h1?h2是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0（導(dǎo)出組）的解．證明：A(h1?h2)=

Ah1?Ah2

=b

?b=0．性質(zhì)4：若x=h是非齊次線性方程組Ax=b

的解，x=x是導(dǎo)出組Ax=0的解，則x=x+h

還是Ax=b

的解．證明：A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．目前八十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)根據(jù)性質(zhì)3和性質(zhì)4可知若x=h*是Ax=b

的解，x=x是Ax=0的解，那么

x=x+h*也是Ax=b

的解．設(shè)Ax=0的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．于是Ax=b

的通解為h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*目前八十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求線性方程組的通解．解：容易看出是方程組的一個(gè)特解

．其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為根據(jù)前面的結(jié)論，導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為目前八十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)于是，原方程組的通解為目前八十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)小結(jié)：關(guān)于線性方程組求解線性方程組（利用矩陣的初等行變換）線性方程組的幾何意義（四種等價(jià)形式）齊次線性方程組的通解能由它的基礎(chǔ)解系來(lái)構(gòu)造．基礎(chǔ)解系是解集S

的最大無(wú)關(guān)組．解集S是基礎(chǔ)解系的所有可能的線性組合．非齊次線性方程組的通解與其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系.目前八十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)§5

向量空間目前八十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)封閉的概念定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個(gè)元素作某一運(yùn)算得到的結(jié)果仍屬于該集合．例：試討論下列數(shù)集對(duì)四則運(yùn)算是否封閉？整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R目前八十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量空間的概念定義：設(shè)V

是n

維向量的集合，如果①集合V

非空，②集合V

對(duì)于向量的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，具體地說(shuō)，就是：若a∈V，b∈V，則a+b∈V．（對(duì)加法封閉）若a∈V，l∈R，則l

a∈V．（對(duì)乘數(shù)封閉）那么就稱(chēng)集合V為向量空間．目前八十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}非齊次線性方程組的解集S2={x|Ax=b}解：集合Rn，V1，S1是向量空間，集合V2，S2不是向量空間．定義：齊次線性方程組的解集稱(chēng)為齊次線性方程組的解空間.目前九十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：設(shè)a,b為兩個(gè)已知的n維向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一個(gè)向量空間嗎？解：設(shè)x1,x2∈L，k∈R，因?yàn)閤1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一個(gè)向量空間．目前九十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定義：把集合L={la+mb|l,m∈R}稱(chēng)為由向量a,b所生成的向量空間．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}稱(chēng)為由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空間．例：設(shè)向量組a1

,a2

,...,am和b1

,b2

,...,bs等價(jià)，記L1={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}，L2={m1b1+m2b2+…+msbs|m1,m2,...,ms∈R}，試證L1=L2．結(jié)論：等價(jià)的向量組所生成的空間相等．目前九十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)alaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamb目前九十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)a1a2L1={l1a1+l2a2|l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2|m1,m2∈R}則

L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3∈R}問(wèn)題：L1=L2=L3?b1b2b3返回目前九十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)子空間的概念定義：如果向量空間V

的非空子集合V1對(duì)于V

中所定義的加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算是封閉的，則稱(chēng)V1是V

的子空間．例：

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：V1是Rn

的子空間，V2不是Rn

的子空間．目前九十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)向量空間的基的概念定義：設(shè)有向量空間V

，如果在V

中能選出r個(gè)向量a1,a2,…,

ar，滿(mǎn)足①a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)；②V

中任意一個(gè)向量都能由a1,a2,…,ar線性表示；那么稱(chēng)向量組a1,a2,…,ar

是向量空間V

的一個(gè)基．r

稱(chēng)為向量空間V

的維數(shù)，并稱(chēng)V

為r

維向量空間

．

向量空間向量空間的基向量空間的維數(shù)向量組向量組的最大無(wú)關(guān)組向量組的秩目前九十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個(gè)基，故Rn

的維數(shù)等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1個(gè)列向量是V1的一個(gè)基，故

V1的維數(shù)等于n－1

．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是S1的一個(gè)基，故

S1的維數(shù)等于n－R(A)．目前九十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個(gè)基，故Rn

的維數(shù)等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1個(gè)列向量是V1的一個(gè)基，故

V1的維數(shù)等于n－1

．結(jié)論：若V1是V

的子空間，則V1的維數(shù)不超過(guò)V的維數(shù)．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是S1的一個(gè)基，故

S1的維數(shù)等于n－R(A)．目前九十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}若a1

,a2

,...,am線性無(wú)關(guān)，則

a1

,a2

,...,am是向量空間L

的一個(gè)基．若a1

,a2

,...,am線性相關(guān)，則

向量組A：a1

,a2

,...,am等價(jià)于 向量組A的最大無(wú)關(guān)組A0：a1

,a2

,...,ar從而L=L1={l1a1+l2a2+…+lrar|l1,l2,...,lr∈R}故向量組A0就是L的一個(gè)基，A0中向量的個(gè)數(shù)就是L的維數(shù).目前九十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}解：L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}

向量組A：a1

,a2

,...,am等價(jià)于 向量組A的最大無(wú)關(guān)組A0：a1

,a2

,...,ar故向量組A0就是L的一個(gè)基，A0中向量的個(gè)數(shù)就是L的維數(shù).一般來(lái)說(shuō)，若a1

,a2

,...,am∈V，則L

是V

的子空間．若向量組a1

,a2

,...,am是向量空間V

的一個(gè)基，那么V={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}目前一百頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)L={l1a1+l2a2+l3a3|l1,l2,l3∈R}

向量組a1,a2,a3

等價(jià)于 相應(yīng)的最大無(wú)關(guān)組a1,a2所以L={m1a1+m2a2|m1,m2∈R}從而a1,a2就是

L的一個(gè)基，L的維數(shù)等于2．a(chǎn)3a1a2結(jié)論：等價(jià)的向量組所生成的空間相等．目前一百零一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)定義：如果在向量空間V中取定一個(gè)基a1

,a2

,...,ar

，那么V中任意一個(gè)向量可唯一表示為x=l1a1+l2a2+…+lrar數(shù)組l1,l2,...,lr稱(chēng)為向量x在基a1

,a2

,...,ar中的坐標(biāo)．例：的列向量組是R3

的一個(gè)基，那么b

在基e1,e2,e3中的坐標(biāo)目前一百零二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標(biāo)向量．n

階單位矩陣En

的列向量組稱(chēng)為Rn的自然基．目前一百零三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)上三角形矩陣的列向量組也是R3

的一個(gè)基，那么結(jié)論：同一個(gè)向量在不同基中的坐標(biāo)是不同的．目前一百零四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：設(shè)驗(yàn)證a1,a2,a3是R3的一個(gè)基，并求b1,b2在這個(gè)基中的坐標(biāo).分析：a1,a2,a3是R3的一個(gè)基R(a1,a2,a3)=3b1,b2在這個(gè)基中的坐標(biāo)用a1,a2,a3

表示b1,b2當(dāng)時(shí)，A

的列向量組與B

的列向量組有相同的線性關(guān)系．為此，考慮把(A,B)=(a1,a2,a3,

b1,b2)化為行最簡(jiǎn)形矩陣．目前一百零五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)解：于是例：設(shè)驗(yàn)證a1,a2,a3是R3的一個(gè)基，并求b1,b2在這個(gè)基中的坐標(biāo).目前一百零六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：在R3中取定一個(gè)基a1,a2,a3

，再取一個(gè)新基b1,b2,b3，設(shè)A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)．①求用a1,a2,a3

表示b1,b2,b3的表示式（基變換公式）；②求向量在兩個(gè)基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式（坐標(biāo)變換公式）.分析：求解矩陣方程AX=B．設(shè)

x∈R3，且，求解 矩陣方程．目前一百零七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.返回目前一百零八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)第五章方陣的特征值與特征向量目前一百零九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)引言純量陣lE

與任何同階矩陣的乘法都滿(mǎn)足交換律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，即AB

≠

BA

．?dāng)?shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?

例：目前一百一十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)一、基本概念定義：設(shè)A

是n階矩陣，如果數(shù)l

和n維非零向量x

滿(mǎn)足Ax=lx，那么這樣的數(shù)l

稱(chēng)為矩陣A

的特征值，非零向量x

稱(chēng)為A

對(duì)應(yīng)于特征值l

的特征向量．例：則l=1為的特征值，為對(duì)應(yīng)于l=1的特征向量.目前一百一十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)一、基本概念定義：設(shè)A

是n階矩陣，如果數(shù)l

和n維非零向量x

滿(mǎn)足Ax=lx，那么這樣的數(shù)l

稱(chēng)為矩陣A

的特征值，非零向量x

稱(chēng)為A

對(duì)應(yīng)于特征值l

的特征向量．

Ax=lx=lE

x

非零向量x

滿(mǎn)足(A?lE)x=0（零向量） 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式|A?lE|=0目前一百一十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)特征方程特征多項(xiàng)式特征方程 |A?lE|=0特征多項(xiàng)式 |A?lE|目前一百一十三頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)二、基本性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|目前一百一十四頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求矩陣的特征值和特征向量．解：A

的特征多項(xiàng)式為所以A

的特征值為l1=2，l2=4．當(dāng)l1=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿(mǎn)足，即解得基礎(chǔ)解系．k

p1（k

≠

0）就是對(duì)應(yīng)的特征向量．目前一百一十五頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求矩陣的特征值和特征向量．解：A

的特征多項(xiàng)式為所以A

的特征值為l1=2，l2=4．當(dāng)l2=4時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿(mǎn)足，即解得基礎(chǔ)解系．k

p2（k

≠

0）就是對(duì)應(yīng)的特征向量．目前一百一十六頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求矩陣的特征值和特征向量．解：所以A

的特征值為l1=?1，l2=l3=2．目前一百一十七頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求矩陣的特征值和特征向量．解（續(xù)）：當(dāng)l1=?1時(shí)，因?yàn)榻夥匠探M(A+E)

x=0．解得基礎(chǔ)解系．k

p1（k

≠

0）就是對(duì)應(yīng)的特征向量．目前一百一十八頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：求矩陣的特征值和特征向量．解（續(xù)）：當(dāng)l2=l3=2時(shí)，因?yàn)榻夥匠探M(A?2E)

x=0．解得基礎(chǔ)解系．k2

p2+k3

p3（k2,k3

不同時(shí)為零）就是對(duì)應(yīng)的特征向量．目前一百一十九頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)二、基本性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 就是對(duì)應(yīng)于特征值為l

的全體特征向量的最大無(wú)關(guān)組．目前一百二十頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：設(shè)l是方陣A

的特征值，證明(1)l2

是A2

的特征值；(2)當(dāng)A

可逆時(shí)，1/l

是A?1

的特征值．結(jié)論：若非零向量p

是A對(duì)應(yīng)于特征值l

的特征向量，則l2

是A2

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是

p

．lk

是Ak

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量也是

p

．當(dāng)A

可逆時(shí)，1/l

是A?1

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍然是

p

．目前一百二十一頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)二、基本性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 就是對(duì)應(yīng)于特征值為l

的全體特征向量的最大無(wú)關(guān)組．若l是

A的一個(gè)特征值，則

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m

是矩陣多項(xiàng)式j(luò)

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．目前一百二十二頁(yè)\總數(shù)一百九十四頁(yè)\編于十八點(diǎn)例：設(shè)3階方陣A

的特征值為1,?1,2，求A*+3A?2E的特征值．解：A*+3A?2E=|A|A?1+3A?2E=?2A?1+3A?2E=j

(A)其中|A|=1×(?1)×2=?2．設(shè)l是

A的一個(gè)特