中學(xué)數(shù)學(xué)解題數(shù)學(xué)思想方法趙強(qiáng)玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2013.10數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓、靈魂，它是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重思想方法滲透，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是提高個(gè)體思維品質(zhì)和教學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展智力的關(guān)鍵所在，也是現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人才培養(yǎng)的基本要求。

數(shù)學(xué)思想是指人類對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其研究本質(zhì)及規(guī)律性認(rèn)識(shí)。它是在教學(xué)活動(dòng)中解決問題的基本觀點(diǎn)和根本想法，是從某些具體的教學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，并在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問題的指導(dǎo)思想。一.數(shù)學(xué)思想方法及其意義一）數(shù)學(xué)思想方法及其分類

數(shù)學(xué)思想按其對(duì)認(rèn)識(shí)的研究范圍來劃分，可分為宏觀數(shù)學(xué)思想和微觀數(shù)學(xué)思想。宏觀數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)，能夠運(yùn)用于其他科學(xué)和數(shù)學(xué)內(nèi)部的各個(gè)分支，如公理化思想、模型思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想等。微觀數(shù)學(xué)思想則是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支及各種體系結(jié)構(gòu)中特定內(nèi)容和方法的認(rèn)識(shí)，如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等等。數(shù)學(xué)方法是指從數(shù)學(xué)角度提出問題、解決問題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題）的過程中的概括性策略。在中小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本數(shù)學(xué)方法大致可以分為三類。第一，一般的邏輯推理方法和發(fā)現(xiàn)方法，分析法、綜合法、反證法、窮舉法（分類討論）和歸納法、類比法等，它們不僅適用于數(shù)學(xué)，而且適用于其他學(xué)科領(lǐng)域，而當(dāng)它們運(yùn)用于數(shù)學(xué)中時(shí)則具有明顯的數(shù)學(xué)特色。第二，數(shù)學(xué)中的一般方法，如極限法、關(guān)系映射反演方法，數(shù)學(xué)模型方法、圖像法（坐標(biāo)法）、比較法、向量法、數(shù)學(xué)歸納法等。這些方法的作用范圍很廣，有的甚至影響著一個(gè)數(shù)學(xué)

分支和其他學(xué)科的發(fā)展方向。第三，數(shù)學(xué)

中的特殊方法，如換元法、待定系數(shù)法、

配方法、公式法、平移法、翻折法等，它

們往往和數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系在一起，是解決某

些具體的數(shù)學(xué)問題的方法。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)中處理問題的基本觀點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法本質(zhì)的概括，數(shù)學(xué)方法是處理、解決、探索問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段和工具。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間既有聯(lián)系又有區(qū)別：首先，兩者都是以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)。其次，兩者具有抽象概括程度的不同，表現(xiàn)出互為表里的關(guān)系。數(shù)學(xué)方法受到數(shù)學(xué)思想的指引，是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的反映和體現(xiàn)，表現(xiàn)形式外顯；而數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)數(shù)學(xué)方法的結(jié)晶和升華，表現(xiàn)形式內(nèi)隱。數(shù)學(xué)思想往往帶有理論性的特征，而數(shù)學(xué)方法具有實(shí)踐性的傾向。數(shù)學(xué)中用到的解題方法都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想，一定的數(shù)學(xué)思想要靠數(shù)學(xué)方法去實(shí)現(xiàn)。由于人們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究活動(dòng)中，很難把思想和方法嚴(yán)格區(qū)分開，所以常統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

二）數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)是陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)的統(tǒng)一體，它是客觀的、普遍的、是以數(shù)學(xué)語言表述的概念、公理、定理、法則等及其相互關(guān)系的邏輯演繹體系，是明確的、顯性的，是看得見摸得著的；數(shù)學(xué)思想方法則是由數(shù)學(xué)內(nèi)容來反映的，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)概念、規(guī)律等基礎(chǔ)知識(shí)之中。除基本的數(shù)學(xué)方法以外，其他思想方法都是隱性的，滲透在學(xué)習(xí)知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的過程之中，它是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步提煉、概括。數(shù)學(xué)的發(fā)展不只是一些知識(shí)的簡單堆砌，它同時(shí)也是思想方法的沉淀、發(fā)展和演進(jìn)。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法隸屬于數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)人們遇到數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先產(chǎn)生的是解決它的數(shù)學(xué)思想，然后將數(shù)學(xué)思想具體化為具體操作的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)作下產(chǎn)生出數(shù)學(xué)概念，所以數(shù)學(xué)思想方法是以一定的數(shù)學(xué)概念形式表現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)中，又相對(duì)超脫于我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。沒有游離于數(shù)學(xué)知識(shí)之外的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括任何數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)，這兩者是相輔相成的。正像一個(gè)人的存在必須有肉體和靈魂的統(tǒng)一一樣，數(shù)學(xué)概念、原理是肉體而數(shù)學(xué)思想方法是靈魂，它們共同組成了數(shù)學(xué)的知識(shí)體系。實(shí)際上，中學(xué)數(shù)學(xué)教材的教學(xué)內(nèi)容始終貫徹兩條主線，即數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，即通常講的“雙基”，這是一條明線，是用文字形式明明白白寫在教材里的，反映著知識(shí)間的縱向聯(lián)系；而數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，同時(shí)還包含著情感、態(tài)度、能力諸多因素，反映著知識(shí)間的橫向聯(lián)系，常常隱含在知識(shí)的背后，需要人們加以分析、挖掘、提煉才能顯露出來，這是老師的工作和責(zé)任。只有這樣，教師才能講得清楚明白、生動(dòng)活潑，入木三分，你這個(gè)老師才有水平。學(xué)生才能學(xué)有所思、學(xué)有所悟、學(xué)有所得。三）數(shù)學(xué)思想方法的主要特點(diǎn)

1、概括性

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)離不開概括，數(shù)學(xué)知識(shí)較其他學(xué)科的知識(shí)更具抽象性、更具概括性。而數(shù)學(xué)思想方法又是不斷地從數(shù)學(xué)概念、命題和數(shù)學(xué)理論中提煉和概括的產(chǎn)物。例如，數(shù)學(xué)歸納法是在皮亞諾自然數(shù)公理基礎(chǔ)上的提煉、概括。正是由于數(shù)學(xué)對(duì)象本身的概括性及數(shù)學(xué)思想方法又是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉和再概括，這就使得數(shù)學(xué)思想方法具有高度概括性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想方法因此而具有廣泛的實(shí)用性。2、隸屬性數(shù)學(xué)思想方法所具有的高度概括性，使它不同于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而以元知識(shí)的形態(tài)與數(shù)學(xué)知識(shí)渾然一體地存在著，成為數(shù)學(xué)科學(xué)體系中兩個(gè)不可分割的部分。數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵著思想方法，而數(shù)學(xué)思想方法又隸屬于數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)思想方法的載體，數(shù)學(xué)思想方法通過數(shù)學(xué)知識(shí)顯化。例如在等比數(shù)列定義教學(xué)中，蘊(yùn)涵了觀察、類比、猜想、化歸、字母表示數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法通過等比數(shù)列定義這一概念教學(xué)而體現(xiàn)。3、層次感數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象概括，概括程度的高低決定了數(shù)學(xué)思想方法具有不同的層次。第一層，與某些特殊問題聯(lián)系在一起的方法，它是在某些特定情況下才能發(fā)揮作用的具有賜教固定的操作程序，例如比較兩個(gè)數(shù)的大小的“差值比較法”。第二層，解決一類問題采用的共同方法，這些方法的操作程序不是非常具體，其適用范圍比較廣。例如：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法等。第三層，數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)和方法是形成數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，有了知識(shí)不等于有思想，有方法沒有思想指導(dǎo)，只是機(jī)械操作，思想是對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通的理解與升華，有思想的知識(shí)才是具有自我生成能力的知識(shí)。只是掌握了深層次的數(shù)學(xué)思想方法才算掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的核心。第四層，數(shù)學(xué)觀念。這是數(shù)學(xué)思想方法的最高境界，是一種認(rèn)識(shí)客觀世界的哲學(xué)思想。4、結(jié)歉意選性學(xué)習(xí)有遷移與即一馳種學(xué)兇習(xí)對(duì)經(jīng)另一應(yīng)種學(xué)沃習(xí)的饒影響萍。任腔何一驕種學(xué)濟(jì)習(xí)都槽要受剖到學(xué)副習(xí)者頁已有睬知識(shí)季經(jīng)驗(yàn)嬌、技佳能、申態(tài)度醬等的梁影響循，只裝要有懼學(xué)習(xí)落，就竄有遷孤移?？皵?shù)學(xué)企思想宜方法銅是對(duì)萌數(shù)學(xué)及抽象拿概括護(hù)的結(jié)彼果，鼠它也蒸具有棋遷移羅性特感點(diǎn)，袖對(duì)數(shù)努學(xué)知捉識(shí)的額深刻牙理解益有利閥于學(xué)錢生領(lǐng)攻會(huì)其規(guī)中蘊(yùn)兼涵的售數(shù)學(xué)還思想私方法貪，同拋時(shí)，排理解侮并掌墊握數(shù)仗學(xué)思算想方浸法對(duì)吐進(jìn)一舒步學(xué)低習(xí)數(shù)腦學(xué)乃左至從嘉事其重他工咱作會(huì)萍產(chǎn)生速積極敏的影歷響。由于短思想結(jié)和方托法的半不同蝕層次柱，數(shù)善學(xué)思廢想方狼法還韻具有偷其他哪不同素特點(diǎn)惕，數(shù)拌學(xué)思社想應(yīng)很呈現(xiàn)匯它的死本質(zhì)顛性、移向?qū)Х滦浴簝?nèi)隱模性，琴而數(shù)醫(yī)學(xué)方急法更涂多表智現(xiàn)出獸程序窯性、鄰操作騎性、污外顯陽性。四）慢數(shù)推學(xué)思狂想方絡(luò)法的艷意義從數(shù)接學(xué)思爭想方飼法發(fā)稿展與逼演進(jìn)呀史看瞧，數(shù)葉學(xué)上慢每一水項(xiàng)重族大成劑果的殊取得陪無不稱與數(shù)云學(xué)思跡想方御法的猾突破指創(chuàng)新搜有關(guān)上。如鏟坐標(biāo)秘法的海創(chuàng)立鴉，解啊決了她數(shù)、碎形溝至通及母互相殃轉(zhuǎn)化慌的問怨題，橋不僅股直接雜導(dǎo)致泥產(chǎn)生測了解命析幾宋何這炮門學(xué)鐵科，爺而且信數(shù)學(xué)詠從此核進(jìn)入了變謀量數(shù)慢學(xué)時(shí)漂期。夠許多須數(shù)學(xué)乒家之灶所以模在數(shù)請(qǐng)學(xué)領(lǐng)尸域取撓得巨乓大成腸就，橫除了患具有車超人糖的智征慧外遵，對(duì)忙數(shù)學(xué)改思想樹方法小的深帥邃的睜洞察燭也是鍛一項(xiàng)夏十分啟重要?dú)У脑x因。的如，枯歐拉辦在眾逃多的豈數(shù)學(xué)鞋領(lǐng)域統(tǒng)以及娘自然影科學(xué)俱作出億了巨象大貢禾獻(xiàn)，插一個(gè)桐重要更原因制就是冊他即坊精通困微觀數(shù)女學(xué)方架法論滾，又城精通談宏觀如數(shù)學(xué)費(fèi)方法成論，查既有卻深刻付的數(shù)驅(qū)學(xué)思豆想，壟又具翼有運(yùn)蛾用數(shù)錫學(xué)知汪識(shí)和資方法殿的卓葛越才具能。曬正是堅(jiān)新的飾思想疲方法踩的不饅斷開毯拓，奇促進(jìn)現(xiàn)著數(shù)枕學(xué)事仁實(shí)的拳發(fā)現(xiàn)陰和繁測衍，高因此金可以認(rèn)說數(shù)腳學(xué)思溫想方篩法是必?cái)?shù)學(xué)哈發(fā)展輝的內(nèi)籠在動(dòng)掏力。數(shù)學(xué)菌思想啄方法臥對(duì)人及的素偶質(zhì)的愁發(fā)展舒具有衫重要愧影響扮。從使人的舊素質(zhì)昨發(fā)展灣的角皆度看氧，數(shù)渣學(xué)思兇想方江法比猜形式秩化的鑼數(shù)學(xué)龜知識(shí)企更重紅要，始因?yàn)楣那罢呶犯邉e有普扁遍性炎。社蘆會(huì)各塘行業(yè)盤、各儀部門年對(duì)數(shù)自學(xué)知打識(shí)要擦求的陽深度牛與廣糾度的盜差是禍很大的，擋但對(duì)察人的牌素質(zhì)夠的要伯求是槳具有眼共性漂的。潛例如竭要求角一個(gè)陷人要敲具備案嚴(yán)謹(jǐn)裳的工僻作態(tài)娃度、歇具有賀善于觸分析遲情況缸、歸淚納總慶結(jié)、夠綜合柏比較耐、分晃類評(píng)南析、貿(mào)概括刮判斷禽的工下作方祝法，匙這些捉素質(zhì)昏的形叛成和休提高愉與他梁所受穩(wěn)到的滋數(shù)學(xué)嘗思想營方法筋的參岸透、倚訓(xùn)練悲緊密區(qū)相連晨。日牌本著氧名數(shù)量學(xué)教遞育家飄米山濟(jì)國藏唐指出露：“喂學(xué)生肌所學(xué)它的數(shù)賤學(xué)知相識(shí)，盞如果甚在進(jìn)誼入社脹會(huì)后鎮(zhèn)沒有肯機(jī)會(huì)逝應(yīng)用歷，這做種作笛為知蟲識(shí)的偵數(shù)學(xué)浙，通端常在咳走出誓校門冊后不強(qiáng)到一鍋兩年妹就忘鍋掉了陡。然壩而不戒管他意們從懼事什牛么工滲作，送唯有味深深諒銘刻旁于心擋的數(shù)命學(xué)的粱精神足、數(shù)學(xué)饑思想期和方積法等著隨時(shí)我隨地狐發(fā)生尼作用井，使曲他們顫受益量終身秋?！睌?shù)學(xué)番思想耳方法綱對(duì)于五數(shù)學(xué)丹學(xué)習(xí)激也具踢有十疏分重梢要的苗意義治。數(shù)蟻學(xué)教蠅學(xué)的巷根本嘴目的簽就是吉使學(xué)箏生通偶過具繞體的流數(shù)學(xué)冒認(rèn)知案活動(dòng)狀去發(fā)子現(xiàn)、斬領(lǐng)會(huì)吩蘊(yùn)涵腔其中舟的數(shù)侍學(xué)思潤想方利法。襖反之創(chuàng)，“監(jiān)懂得鹽基本蠅原理酸使得態(tài)學(xué)科鏟更容朝易理嶄解”丟（布寫魯納禾），動(dòng)形成視良好嬌的知破識(shí)結(jié)丑構(gòu)和爛思維弱品質(zhì)王，提蘿高學(xué)課生的叔洞察磚能力止和問億題解雀決能減力，有有利掩于學(xué)攔生形娛成全伍面的豪、正窯確的緣瑞數(shù)學(xué)炕觀。二、察中小悼學(xué)常查用基壟本數(shù)旋學(xué)思乞想方讓法中小邪學(xué)數(shù)映學(xué)中貧蘊(yùn)涵代著許專多思卸想方稻法，央一些徑重要相的數(shù)吊學(xué)思服想方吧法在圓教材鼓中反腰復(fù)出則現(xiàn)，螺貫穿覽在中澤小學(xué)李整個(gè)件數(shù)學(xué)摩知識(shí)掩體系姓之中研?！稊?shù)學(xué)宅課程哈標(biāo)準(zhǔn)》明確敢提出秤了對(duì)宏數(shù)學(xué)氣思想共方法賊的要嶄求，望將數(shù)異學(xué)思抱想方霧法的蘋要求溉，將糟數(shù)學(xué)練思想亡方法吐作為撓基礎(chǔ)牽知識(shí)筐和基笨本技酸能的掌成分倚，幾善乎參狗透到乓每一癢個(gè)模辯塊和明專題哥。提速高學(xué)修生“至數(shù)學(xué)護(hù)地提新出、澤分析躬和解玻決問咬題的愁能力巷”，溝“力醫(yī)求對(duì)粱現(xiàn)實(shí)克世界禮中蘊(yùn)烤涵的鋼一些伙數(shù)學(xué)觀模式襖進(jìn)行草思考宇和做秧出判渡斷”牌，就弱意味違著數(shù)癢學(xué)學(xué)薦習(xí)不邀僅是隆對(duì)知慌識(shí)和鹿技能閑的掌港握以救及具趁體的解題鋤技巧財(cái)和方叢法的劉掌握惜，還琴應(yīng)該鋪對(duì)所貴學(xué)的鑒知識(shí)還在充貸分理段解的爽基礎(chǔ)換上進(jìn)來行升瘋?cè)A，時(shí)達(dá)到搜對(duì)更習(xí)一般戲的思賴想和炊方法損的理紙解和珍應(yīng)用掏。在義秧務(wù)教士育和劑普通郵高中初數(shù)學(xué)搬課程值標(biāo)準(zhǔn)床中，宅包含案的數(shù)鬧學(xué)思撕想方緊法又撤觀察吩、實(shí)本驗(yàn)、竭歸納齊、類準(zhǔn)比、臣分析環(huán)、綜膊合、攔抽象調(diào)、概株括、升邏輯無推理合、證腿明，供以及龍化歸務(wù)、遞騎推、感等價(jià)疼轉(zhuǎn)換透、推旗廣與備限定溉等常嫩用的漂一般倡數(shù)學(xué)滅思想鋼方法淚。此磚外還珠有著課也行扇數(shù)學(xué)板學(xué)科清特有啊的數(shù)討學(xué)思腐想方盯法，掉如用預(yù)字母臉表示容數(shù)、每集合湖與對(duì)巷應(yīng)的膚思想傅方法辱、函改數(shù)與米方程餡的思縱想方槳法、而數(shù)形冠結(jié)合思散想方遇法、需數(shù)學(xué)脖模型丈思想柜方法床、最貧優(yōu)化律思想童方法反、統(tǒng)仗計(jì)思蒼想和滿數(shù)據(jù)駁處理梅方法當(dāng)、分咬類思胃想方哄法、嬸參數(shù)摘代數(shù)彩學(xué)方卵法等犬。下報(bào)面對(duì)監(jiān)幾種問常用航的基稼本的櫻數(shù)學(xué)優(yōu)思想烏方法濁加以伙介紹忠。一）帽、瓜用字臺(tái)母代卻替數(shù)尿的思溝想方系法用字覺母代破替數(shù)澇的思冊想方憐法中請(qǐng)學(xué)數(shù)柿學(xué)中或最基頃本的艙思想豆方法龍之一輝。也裳是代嘗數(shù)的掛基本請(qǐng)?zhí)卣餍蓿婵梢詰?yīng)把數(shù)漏或數(shù)憐量關(guān)艱系簡鳳明而主普遍叮地表叫現(xiàn)出圣來，端也可希以使性一些鍵復(fù)雜同的運(yùn)知算變撿得簡留單，烤這是軍發(fā)展蒙符號(hào)誦意識(shí)寄，進(jìn)允行量槳化刻宴畫的鍬基礎(chǔ)蜓，也詠是從巨常量鹿研究五過渡集到變塊量研淺究的基美礎(chǔ)。艘從用適字母留表示無數(shù)到睬用字傷母表屢示未塑知元物、表斷示待冷定系必?cái)?shù)、追表示糾函數(shù)y=f(甜x)、表顆示字卵母變腔換等先，這賤一整箏套的剃代數(shù)該方法其都離足不開肌字母量代替窮數(shù)的眾思想森方法諷。在巴具體劇解題引中，陳引進(jìn)腹輔助緣瑞元法患、待盛定系根數(shù)法增、換閉元法牛等都地體現(xiàn)邊了用亦字母警代替磨數(shù)的霸思想遞方法塊。二）蓮、集寬合與熟對(duì)應(yīng)悉的思承想方梨法集合原論是拍現(xiàn)代臥數(shù)學(xué)遵的基猾礎(chǔ)，葛它為望數(shù)學(xué)樹的公星理化瞎、結(jié)鍋構(gòu)化漲、形界式化漫、統(tǒng)源一化奪提供化了語懷言基翻礎(chǔ)與之組織各形式拆。中遍學(xué)數(shù)從學(xué)中限，集綿合是丹一種瓦基本煙數(shù)學(xué)而語言婚和一荒種基告本數(shù)亭學(xué)工蹈具，臥數(shù)學(xué)途名詞屠的描緊述（端包括延概念財(cái)?shù)膬?nèi)堆涵與拴外延疑的表彎現(xiàn)）豎，數(shù)碑學(xué)關(guān)御系的鳳表達(dá)素，都未可以蠟借助騰集合芒而獲免得清虹晰、初準(zhǔn)確突和一幻玉致的脫刻畫野。用銳集合棗表示陽數(shù)系暢或代炎數(shù)式靠、用櫻集合繪表示脈空間判的線萌面關(guān)引系、擺用集愿合表病示平閘面軌皮跡及墻其關(guān)評(píng)系、并用集壞合表曬示方盞程（梅組）總或不岸等式狐（組笛）的獻(xiàn)解、英用集合表萄示排丙列組漢合計(jì)閱數(shù)、基用集柱合表淡示基幕本邏食輯關(guān)寄系與椒推理肺格式潑等，甲都是葉集合撈思想晉的具齒體方怒法?？偨忸}燭中的構(gòu)分類豬討論尊法、闊容斥宅原理咬都與氧集合跡的分填拆或主交并劃運(yùn)算職有關(guān)伐，與歪集合誕思想滅緊密聞聯(lián)系車。集合翁之間隸的對(duì)寫應(yīng)，歸則為喝研究晚相依炮關(guān)系蔬、運(yùn)谷動(dòng)變唯化提碗供了且工具踏，使寫得能葵力方祝便地蹈由一態(tài)種狀豈態(tài)確以定地家刻畫精另一貞種狀恨態(tài)，賣由研爪究狀廚態(tài)過轟過渡悟到研沖究變宰化過川程。豪數(shù)軸噴與坐甘標(biāo)系糞的建饒立，檔函數(shù)菜概念腎的描雅述，RM卵I原理駝的精神實(shí)起質(zhì)等域，都梯體現(xiàn)飾著集麥合之造間的支對(duì)應(yīng)器。三）柴、函規(guī)數(shù)與襯方程須的思瓶想方宴法函數(shù)灘與方綁程是護(hù)從用天字母浙表示義數(shù)的稼思想方法意、集暖合與圣對(duì)應(yīng)扎的思揪想方擦法這伸兩種債思想赴方法君衍生綠的一斷種思匯想方續(xù)法方程糠是初講中數(shù)轉(zhuǎn)學(xué)的冒一項(xiàng)翻主體填內(nèi)容紛，并在高陶中數(shù)將學(xué)中觸延續(xù)猴。函嗚數(shù)從姨初中蠻就開夢始研毒究，念并成稿為高爹中數(shù)段學(xué)的軌主體娘內(nèi)容跌（基債本初賄等函暑數(shù)）旗，可單以說大，函倒數(shù)與德方程顛是中賓學(xué)數(shù)后學(xué)中右最重勻要的漠組成字部分顆。方程部，可滋以表歇示兩存?zhèn)€不跪同事合物具踢有相揪同的體數(shù)量福關(guān)系適，也仔可以溉表示寧同一賄事物具績有不糧同的箏表達(dá)厭方式緞。方先程的擠內(nèi)在易本質(zhì)腐是在許已知件數(shù)和研未知浮數(shù)之逆間建寶立一滅種等嗓式關(guān)重系。翻“方踐程思苗想”瀉的本旋質(zhì)就柜在于策建立相關(guān)系留。運(yùn)督用方瓦程觀貌點(diǎn)可坊以解刷決大殃量的斤應(yīng)用波問題況（建流模）狼、求秋值問象題、傻曲線講問題禽的確區(qū)定及況其位燃置關(guān)掌系的英討論賠問題猛等。函數(shù)說的許堪多性按質(zhì)也承可以哪通過貓方程投來研勝究。專函數(shù)侍概念站是客設(shè)觀事妥物運(yùn)估動(dòng)變丑化和刃相依圍關(guān)系敲在數(shù)濾學(xué)上認(rèn)的反斃應(yīng)，飲本質(zhì)堪上市涂集合亮間的強(qiáng)對(duì)應(yīng)品。它生是中育學(xué)數(shù)繁學(xué)從索常量掛到變膊量的漠一個(gè)鎖認(rèn)識(shí)良上的弱飛躍惜。數(shù)尊學(xué)中和關(guān)系糟式、銷方程窗、不甚等式定、排軟列組悠合、賺數(shù)列乓等重?zé)┮獌?nèi)甘容都孕可以臂通過柔函數(shù)極來表?xiàng)l達(dá)、于溝通紫與研殿究。（一福）、怖函數(shù)運(yùn)的思們想方艦法函數(shù)招思想穴的最培大特刷點(diǎn)就潤時(shí)從棗變化菠、動(dòng)果態(tài)的胡觀點(diǎn)階來認(rèn)遞識(shí)數(shù)絨學(xué)對(duì)歌象和憤它們磁的性議質(zhì)之公間的閑關(guān)系具，這赤能夠友更全首面、浪深入餡地認(rèn)笑識(shí)事容物的碧本質(zhì)搭，從緣瑞上圖插我們乞可以虹發(fā)現(xiàn)殼，函蒸數(shù)思至想在說中數(shù)墳學(xué)解糠題中院的應(yīng)情用主膀要表尿現(xiàn)在損兩個(gè)稠方面亞：一帝是根候據(jù)題缺目條姐件，虎構(gòu)造漫有關(guān)曬初等零函數(shù)思，借真助其景性質(zhì)革，解瞞決有銷關(guān)求翻值，組不等算式，追方程排以及安討論各參數(shù)構(gòu)的取尺值范副圍等偵問題催，二尺是在猜問題罷的研弟究中夠，通醉過建插立函峰數(shù)關(guān)甩系式仍或構(gòu)張?jiān)熘信P間函皇數(shù)，尊把所注研究鉆的問添題轉(zhuǎn)這化為棗討論務(wù)函數(shù)近的有關(guān)關(guān)問繞題。1、在談方程列問題繭中的孕應(yīng)用函數(shù)椅與方頸程有赴密切駐的聯(lián)咬系，落函數(shù)溪思想最是解綠決不箱定方卷程基蓬礎(chǔ)上沾萌芽窗并發(fā)吸展的少，可秒以說餡方程陜是函瓶數(shù)的慚局部妙，而鋸函數(shù)鑰則包閃括方揪程的亂全部嚇內(nèi)涵恭，在術(shù)一定直范圍輔內(nèi)它品們可配以相得互轉(zhuǎn)飄換，爬因此棵用函忙數(shù)的國思想既方法抽解決去方程沖問題角往往陸是一塵種很轎有效扁的方解法。2、存電在性感問題伏中的洪應(yīng)用初等楚函數(shù)伙均屬旁于連跨續(xù)函努數(shù)，汗對(duì)某吹些初揮等函俊數(shù)的耳存在態(tài)性問市題利弦用其干連續(xù)嫁性，接可以磁達(dá)到夜很好篇的效戀果。（二森）、叢方程胖的思索想方女法很多碼具有栗數(shù)量共關(guān)系合的數(shù)落學(xué)對(duì)脆象，壩最基紋本的統(tǒng)相互坐關(guān)系用是相腰等和瓶不等疑，當(dāng)池我們限將數(shù)握學(xué)量孝的相利等關(guān)勁系用橫等量本來表斗示，瓣而且熊其中龜一個(gè)劑或幾戰(zhàn)個(gè)數(shù)牢學(xué)量輪當(dāng)做筑未知樓數(shù)時(shí)顫，就醒得到炭方程島，再筋利用樂方程穴的知覆識(shí)來掘解決辛問題盛是就尚是方宇程思濕想的竄具體屆表現(xiàn)列，而扒挖掘慰出問界題中背的等笨量關(guān)餃系，卵根據(jù)洽題設(shè)西本身聲各量獅間的極制約淘關(guān)系鄉(xiāng)豐列出攻等式榮，是克方程意思想屑運(yùn)用某的關(guān)截鍵與特基礎(chǔ)理所在召。在伴應(yīng)用傾方程誼思想稈解題雪時(shí)，鎖主要司運(yùn)用參方程嘴的如直下性卻質(zhì)：1）、疑方程鄰（組絡(luò)）解的定麗義；2）、護(hù)代數(shù)項(xiàng)基本煎定理涼（一卸元N次方瓣程有N個(gè)根武）；3）、旬其次沙線性裂方程缸組的萄性質(zhì)儉；4）、首一元譜二次奮方程繳根的揮判別資式；5）、獅韋達(dá)醉定理鵲及其索逆定慚理。注：扣如果散按習(xí)醬慣思壁維，廳囿于抗化簡勺求值隔問題逮，僅描僅對(duì)肺原式紹進(jìn)行狐恒等場變形幕，這遙樣做胳只能徑越化捐越繁殲。本帥題突綁破思籍維定顛式，獅運(yùn)用仇方程尸思想犯，另拆辟蹊僚徑，賺順利扁解題跑。很多日具有斬?cái)?shù)量常關(guān)系眠的數(shù)句學(xué)對(duì)沒象，組最基謹(jǐn)本的爆相互撒關(guān)系甜是相音等和擇不等夫，當(dāng)亦我們屯將數(shù)遮學(xué)量玻的相粒等關(guān)挽系用欣等量亮來表受示，恰而且洞其中朝一個(gè)驢或幾防個(gè)數(shù)塵學(xué)量宏當(dāng)做低未知怠數(shù)時(shí)極，就美得到解方程抄，再北利用抵方程質(zhì)的知識(shí)來也解決醉問題迫時(shí)就吩是方璃程思禿想的書具體售表現(xiàn)穿，而呆挖掘猾出問階題中稠的等比量關(guān)俊系，良根據(jù)足題設(shè)未本身卸各量花間的碑制約學(xué)關(guān)系媽列出洪等式耐，是誰方程搏思想慨運(yùn)用兄的關(guān)里鍵與資基礎(chǔ)彎所在略。四）竊、乓數(shù)形滅結(jié)合佳思想數(shù)學(xué)鼻是研蜓究空暴間形揉式和控?cái)?shù)量蝴關(guān)系養(yǎng)的一嫂門科篩學(xué)，還數(shù)與屆形是抽中學(xué)引被研拒究得升最多起的兩帝個(gè)側(cè)豆面，拼數(shù)與球形的趴結(jié)合徒是一污種極象具數(shù)果學(xué)意網(wǎng)義的跑信息鄉(xiāng)豐轉(zhuǎn)換促。著爛名數(shù)效學(xué)家們、數(shù)勇學(xué)教準(zhǔn)育家喚華羅拋庚先壯生曾胡經(jīng)指搬出：陰“數(shù)費(fèi)缺形音時(shí)少轟直觀傍，形吹少數(shù)退難入始微”沉。這冠說明助數(shù)形掛結(jié)合儉在數(shù)聲學(xué)中襯是十艱分重妙要的笑。所蒼謂數(shù)錄形結(jié)洋合思伐想，律就是些在研汪究問緊題時(shí)茄把數(shù)騎和形肅結(jié)合鐵考慮奧，把夜問題去的數(shù)彼量關(guān)串系轉(zhuǎn)臣化為霉圖形床性質(zhì)知，或螞把圖黑形性盤質(zhì)轉(zhuǎn)狠化為胃數(shù)量私關(guān)系瓜，從師而使礙復(fù)雜此問題進(jìn)簡單即化，抽填象問弊題具威體化郵。解乞題中脅的數(shù)墨形結(jié)耳合，料是指幣對(duì)問研題既員進(jìn)行弓幾何焦直觀性的呈換現(xiàn)，清又進(jìn)昏行代盲數(shù)抽抬象的跳揭示夜，兩武個(gè)方莖面相站輔相喬成，笨而不狠是簡撤單地師代數(shù)澡問題磚用幾船何方北法或添幾何名問題國用代匹數(shù)方繡法，田兩方界面有巷機(jī)結(jié)擴(kuò)合才垮是完熱整的筍數(shù)形材結(jié)合跑。（一鉗）、鈴用代戀數(shù)方羽法解鑄幾何忙問題研究憂某些簡度量障關(guān)系循的幾遷何問浴題時(shí)便，可衣將有膏關(guān)線貍段、農(nóng)角度胃、面培積用扯未知斗數(shù)表路示，豎根據(jù)手已知外條件尊建立搞相應(yīng)謙的關(guān)新系式澇，然瞎后用賠代數(shù)饅中的糖，恒代等變來化或?qū)O解方膏程解卻出。（二螞）、擺用三成角方旱法解受幾何腿問題用三欄角方證法解弱幾何過問題聽，常削將線呆段和享角的傘關(guān)系食轉(zhuǎn)化擇為三伴角函跟數(shù)關(guān)敵系，愉通過層三角飛恒等雷變化斑、解井三角哨方程描或證換明三另角不窯等式輸來，艷完成嗚幾何廊問題葛的解之答。（三麥）、廳用幾軋何法畢解代雜數(shù)問拜題從上殺面的礎(chǔ)這些塑例子曾我們象可以乳發(fā)現(xiàn)粘，數(shù)子形結(jié)會(huì)合的早途徑盲可以回歸為趴三大眾類：腎第一尊，通搏過坐鉤標(biāo)系溪：包醉括直遙角坐訂標(biāo)系手，極齒坐標(biāo)經(jīng)系和蝴復(fù)平創(chuàng)面。凝第二然，構(gòu)寇造：配可以削構(gòu)造文幾何栽模型長，構(gòu)奏造函慶數(shù)或雞圖形括。第寫三,轉(zhuǎn)化罪：通脂過分嫁析數(shù)弱、式腿與方午程的林幾何漸意義跡，以暮及數(shù)慮、式秋與圖項(xiàng)形之鐘間的車對(duì)應(yīng)辰關(guān)系吐，實(shí)拒現(xiàn)數(shù)沾與形汪的轉(zhuǎn)抓化。此外別，我央們還臟需要唱圖形窮直觀逗的特串點(diǎn)，威使問冶題的緣瑞分析泛過程局形象凱化、荒可視糠化，鬼從而麗達(dá)到帶探索大解題緊途徑揪的目紗的。五）夸、數(shù)峽學(xué)模譜型的晶思想舍方法現(xiàn)代眼數(shù)學(xué)蠶哲學(xué)遠(yuǎn)認(rèn)為墓數(shù)學(xué)接是模叉型的俊科學(xué)折，數(shù)心學(xué)所紋揭示乖的是格人們疤從自查然界脾和數(shù)挨學(xué)本怪身的龜抽象腳世界糕中所隙觀察烈到的尿數(shù)學(xué)宴結(jié)構(gòu)曬。各逼種數(shù)怨學(xué)概夜念和你各種俱數(shù)學(xué)濫命題掏都具屆有超汗越特膏殊對(duì)穿象的穩(wěn)普遍艦意義私，它惹們都跪是一始種模甩式。饞并且岸數(shù)學(xué)臉的問責(zé)題和即方法總也是及一種鳳模式糊，數(shù)旋學(xué)思件維方痰法就加是一谷些思祝維模傭式。煌如果食把數(shù)必學(xué)理霉解為掛由概沸念、捷命題伙、問杯題和差方法閑等組浙合成雁的復(fù)之合體聰，那漢么，肅掌握儉模式哄的思局想就督有助啞于領(lǐng)抄悟數(shù)碑學(xué)的吧本質(zhì)栽。在敲中學(xué)趟數(shù)學(xué)身的教宏學(xué)中御，常言稱“舍模式敗”為昂“數(shù)狂學(xué)模堤型”冒，它漲不同襯于具驗(yàn)體的珠模型辨。歐拉治將“蔑哥尼叔斯堡符七橋躬問題騾”抽拴象為僑“一卸筆畫勵(lì)”問丸題的瓜討論答，清洪晰地麥展示精了數(shù)引學(xué)模椅型思般想方繞法的欲應(yīng)用都過程廉：1）選夫擇有過意義舅的實(shí)撞際問貍題；2）把精實(shí)際殼問題凍構(gòu)建梯成數(shù)欠學(xué)模思型（漠建模北）；3)尋找漆適當(dāng)協(xié)的數(shù)揉學(xué)工米具解近決問妥題；4）把代數(shù)學(xué)污中的食結(jié)論段拿到共實(shí)際撓中去土應(yīng)用工、檢幼驗(yàn)。重其中捏，“機(jī)建模覺”是堤這種遲方法申的關(guān)星鍵。亂在具誤體解姿體中新，構(gòu)梁造“蝴數(shù)學(xué)資模型狂”的朝途徑暑是非兼常寬順廣的系，可塵以構(gòu)往造函響數(shù)、惰構(gòu)造化方程辱、構(gòu)絹造恒提等式尖、構(gòu)卵造圖獸形、滿構(gòu)造捷算法忠等等倘。近插年來積，中禮學(xué)數(shù)則學(xué)源典于實(shí)昆際應(yīng)脹用的她題目遭劇增約，通刺常采蒼用數(shù)概學(xué)建把模思奮想方閱法，昆將具敘有實(shí)窩際意賢義的應(yīng)姑用題妹，通庸過數(shù)慰學(xué)抽懲象轉(zhuǎn)倦化為屑數(shù)學(xué)剃模型尤，以榨求得瀉問題沸的解幣決。中小哨學(xué)數(shù)秤學(xué)中倘的“臥列方萍程解顛應(yīng)用墓題”損就