（優(yōu)選）高等代數(shù)線性變換ppt目前一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)，§1線性變換的定義一、線性變換的概念定義

線性空間V到其自身的映射稱為線性空間V的一個(gè)變換.目前二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定義

設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間,

A:V?V為V的一個(gè)變換,若對(duì)任意a,b?V

和數(shù)k?P,都有

A(a+b

)=A(a)+A(b)A(ka)=kA(a)

則稱A是線性空間V的一個(gè)線性變換.(lineartransformation).

稱A(a)或Aa為向量a在線性變換A下的象(image)．目前三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例1

(1)

設(shè)A:V

?

V,若關(guān)于任意a?V,都有A(a)=0,則稱A

為零變換,記作O.

(2)

設(shè)A:V?V,若關(guān)于任意a?V,都有A(a)=a,

則稱A

為恒等變換,(identitytransformation),記作E.注

零變換和恒等變換都是線性變換.

目前四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例2

設(shè)A:

V?V,k是數(shù)域P中常數(shù)。定義

A(a)=

k

a,"a?V則

A

是

V的一個(gè)線性變換。因?yàn)?/p>

A(a+b)=k(a+b)=ka+kb=A(a)+A(b)A(la)=k(la)=l(ka)=lA(a)通常稱上述變換為數(shù)乘變換或位似變換.用K表示.

當(dāng)k=0時(shí)，K為零變換O；

當(dāng)k=1時(shí)，K為恒等變換E．目前五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例3

設(shè)rq是把平面上的向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)反

時(shí)針旋轉(zhuǎn)q角的變換.設(shè)a

=(x,y)T,rq

(a)=

(x’,y’)T,則(因?yàn)閤’=|rq

(a)|cos(j+q

)

=

|rq

(a)|(cosjcosq

-

sinjsinq

)

=xcosq

-ysinq

同樣

y’=

xsinq+

ycosq

)。目前六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)記

A=

則rq(a)=

Aa，稱為旋轉(zhuǎn)變換.可以證明旋轉(zhuǎn)變換

rq是一個(gè)線性變換。（如何證明？）

目前七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例4

設(shè)A:R3?R3,"a

=(a1,a2,a3),

定義A(a)=(a1,a2,0),

易證A是線性變換.它是把向量a投影到平面Oxy上,稱為投影變換例5

設(shè)A:R2?R2,a

=(a1,a2),定義

A(a)=(a1,-a2),

則A是線性變換,稱為鏡面反射或反射變換.目前八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

例6

線性空間P[x]或Pn[x]中,定義D為

求導(dǎo)數(shù)的變換，即

D

(f(x))=f’(x)

"f(x)

?

Pn[x]D是一個(gè)線性變換，稱為微分變換.例7

閉區(qū)間[a,b]上所有連續(xù)函數(shù)全體組成實(shí)數(shù)域R上的線性空間C0(a,b).

定義變換

J(f

(x))

=

則J是一個(gè)線性變換.目前九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)二、線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)1、設(shè)A是線性空間V的一個(gè)線性變換,則

A(0)=0,A(-a)=

-

A(a)2、線性變換保持向量的線性組合與線性關(guān)系式不變.即若

b

=k1a1+k2a2+…+ksas

則

A(b)=k1A(a1)+k2A(a2)+…+ksA(as)目前十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)3、線性相關(guān)的向量組經(jīng)線性變換后其象向量組仍線性相關(guān)．即a1,，

a2，…，as線性相關(guān)則

A(

a1,)，A(a2)，…，A(as)也線性相關(guān)目前十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)注

線性無關(guān)向量組的象向量組未必線性無關(guān)．即a1，a2，…，as

線性無關(guān)推不出

A(a1)，A(a2)，…，A(as)也線性無關(guān)。目前十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)§2線性變換的運(yùn)算設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,V的所有線性變換的集合記作L(V).

設(shè)A,B

?

L(V)，若對(duì)于所有的a?V，都有A(a)=

B(a)，則說A,B

是相等的，記作A

=

B

．

下面在L(V)中引入乘法、加法、數(shù)乘運(yùn)算．目前十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)一、線性變換的乘法及其性質(zhì)設(shè)A,B?L(V),定義A與B

的乘積為V

的一個(gè)變換,"a?V,有

(AB)(a)=A(B(a))．1.AB

也是線性變換．證因?yàn)?a,b?V和"k,

l?P,有

(AB)(ka+lb)=A(B(ka+lb))

=

A(kB(a)+lB(b))=

A(kB(a))+A(lB(b))

=kA(B(a))+lA(B(b))

=

k(AB)(a)+l(AB)(b)．目前十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)2、乘法適合結(jié)合律,即

(AB)C

=A(BC)

因?yàn)橛成涞暮铣蓾M足結(jié)合律3、乘法不滿足交換律,即一般地

AB

1

BA

如求微分變換D與求積分變換J,有

DJ=

E,但一般地

JD1

E4、單位變換的作用

AE=

EA=

A5、零變換的乘法

OA=AO=

O

目前十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)二、線性變換的加法及其性質(zhì)

設(shè)A,B?L(V),定義A與B的和為V的一個(gè)變換,使"a?V,有

(A+B)(a)=A(a)+B(a)．1、A+B

也是V的一個(gè)線性變換．

因?yàn)閷?duì)于所有的a,b?V和數(shù)k，l?P,有

(A+B)(ka+lb)=

A(ka+lb)+B(ka+lb)

=kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b)

=k(A+B)(a)+l(A+B)(b)

目前十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)2、(1)交換律

A+B=B+A

(2)結(jié)合律

(A+B)+C=A+(B+C)

(3)零變換

A+O=A

(4)負(fù)變換

A+(-A)=O

其中

(-A)(a)=-A(a),從而

(A-B)=(A+(-B))3、分配律

A(B+C)=AB+AC(A+B)C=AC+BC目前十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)三、線性變換的數(shù)量乘法及其性質(zhì)

設(shè)A?L(V),

k?P,定義k與A的數(shù)量乘

積為V的一個(gè)變換,使得

kA=KA

其中K為由k決定的數(shù)乘變換,即"a

?V

(kA)(a)=(KA)(a)=K(A(a))．1、kA也是線性變換．

目前十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)2、(1)1的數(shù)乘

1A=A

(2)數(shù)乘結(jié)合律

(kl)A=k(lA)

(3)數(shù)乘分配律

(k+l)A=kA+lA

(4)數(shù)乘分配律

k(A+B)=kA+kB定理

L(V)對(duì)于如上定義的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間．目前十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)四、線性變換的逆變換

V的變換A稱為可逆的,如果存在V的變換B,使

AB=BA=E

這時(shí),變換B稱為A的逆變換,記為A-1.可逆線性變換A的逆變換A-1也是線性變換目前二十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)可逆線性變換A的逆變換A-1也是線性變換A-1(ka+lb)=

A-1[k(AA-1)(a)+l(AA-1)(b)]

=

A-1[A(kA-1(a))+A(lA-1(b))]

=

A-1[A(kA-1(a)+lA-1(b))]

=

(A-1A)(kA-1(a)+lA-1(b)）

=

kA-1(a)+lA-1(b)

目前二十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)五、線性變換的多項(xiàng)式

An

=AA…A(n個(gè))

規(guī)定

A0=E線性變換的冪滿足如下指數(shù)法則Am+n=AmAn

,(Am

)n=Amn

(m,n30)目前二十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)當(dāng)線性變換A可逆時(shí)，定義A的負(fù)整數(shù)冪為

A-n

=(A-1)n

(n是正整數(shù))

注線性變換乘積的指數(shù)法則不成立,即一般地

(AB)n≠AnBn目前二十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)設(shè)

f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a0是P[x]中一多項(xiàng)式,A是V的線性變換,定義

f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E

f(A)是線性變換,稱為線性變換A的多項(xiàng)式目前二十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)若在P[x]中

h(x)=f(x)+g(x)，

p(x)=f(x)g(x)，則

h(A)=f(A)+g(A)，p(A)=f(A)g(A)，特別地，

f(A)g(A)=g(A)f(A).即同一線性變換的多項(xiàng)式的乘法可交換目前二十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例在線性空間Pn[l]中,求微商是線性變換,用D表示.顯然有

Dn

=O又變量的平移

f(l)|?

f(l+a)(a?P)也是線性變換,用Sa表示.按Taylor公式

f(l+a)=f(l)+af’(l)+f’’(l)+…

+

f(n-1)(l)因此Sa實(shí)質(zhì)上是D的多項(xiàng)式,即

Sa

=

E+aD+

D2

+…+

Dn-1目前二十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)§3線性變換的矩陣一、線性變換作用在基上定理設(shè)e1,

e2,…,en是線性空間V的一組基,

a1,a2,…,an是V中任意取定的n個(gè)向量,則必存在唯一的線性變換A,使得

Aei

=ai

i=1,2,…,n目前二十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證

存在性任給a

=k1e1+k2e2+?+knen,令

A:V

?

V

a|?

k1a1+k2a2+?+knan則A是線性變換,且因

ei

=0e1+?+0ei-1

+

ei+

0ei+1+?+0enAei

=0a1+?+0ai-1+ai+0ai+1+?+0an

=

ai目前二十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)唯一性設(shè)有兩個(gè)線性變換A與B，使

Ae1=Be1,Ae2=Be2,…,Aen=Ben，

則對(duì)V中任一向量

a=k1e1+k2e2+?+knen,

Aa

=

k1Ae1+k2Ae2+?+knAen,

=k1a1+k2a2+?+knan

Ba

=

k1Be1+k2Be2+?+knBen,

=

k1a1+k2a2+?+knan于是Aa=Ba.

由a的任意性,知

A

=B.目前二十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)推論設(shè)e1,

e2,…,en是線性空間V的一組基,如果V的兩個(gè)線性變換A與B在這組基上的作用相同,即

Aei=

Bei,則必有

A

=B.目前三十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)推論設(shè)x1,

x2,…,xs是n維線性空間V的一組線性無關(guān)向量,

a1,a2,…,as是V中任意取定的s個(gè)向量,則必存在線性變換A,使

Axi

=

ai

i=1,2,…,s證將x1,

x2,…,xs擴(kuò)成V的一組基,再由定理即得.注當(dāng)s<n時(shí),這樣的線性變換不止一個(gè).目前三十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)注(1)

基向量的象可以是任意指定的.換言之,V中的每一組向量都可作為基向量在適當(dāng)線性變換下的象.

(2)

一個(gè)線性變換被它在一組基上的作用完全決定.亦即,當(dāng)基向量確定后,這樣的線性變換是唯一的.目前三十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)二、線性變換在一組基下的矩陣

定義設(shè)e1,

e2,…,en是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基,A是V的線性變換,則基向量的象可唯一地被基線性表示為目前三十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)稱矩陣

為線性變換A在基e1,

e2,…,en下的矩陣.目前三十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)采用矩陣形式記號(hào)，可寫成

[Ae1,Ae2,…,Aen]

=[e1,e2,…,en

]

=[e1,e2,…,en

]A并記

A[e1,e2,…,en

]=[Ae1,Ae2,…,Aen]則得到

A[e1,e2,…,en

]=[e1,e2,…,en

]A目前三十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例1

設(shè)V是數(shù)域P上n維線性空間,則恒等變換在任一組基下的矩陣都是n階單位矩陣E;

零變換在任一組基下的矩陣都是n階零矩陣0;

由k決定的數(shù)乘變換在任一組基下的矩陣都是n階數(shù)量矩陣kE.目前三十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例2

設(shè)P3的線性變換A為

A(x1,x2,x3)=(x1,x2,x1+x2)取一組基e1=(1,0,0),

e2=(0,1,0),

e3=(0,0,1).則

Ae1=e1

+e3

Ae2=

e2+e3

Ae3=0

,所以在e1,

e2,e3下A的矩陣為目前三十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例3

在由所有2階實(shí)方陣所構(gòu)成的線性空間R2×2

中，對(duì)取定的方陣

A0=可以定義變換

A

(X)=A0X，"X?R2×2由矩陣的乘法性質(zhì)不難驗(yàn)證，A是R2×2的一個(gè)線性變換，目前三十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)取基

則AE11=aE11+0E12+cE21+0E22AE12=

0E11+aE12+0E21+cE22目前三十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)AE21=bE11+0E12+dE21+0E22

AE22=0E11+bE12+0E21+dE22因此目前四十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例4

在線性空間Pn[x]中取定一組基

e1

=1，e2

=x，e3

=x2，…，en

=xn－1，

D為Pn[x]的微分變換，即

D

(f(x))=f’(x)

"f(x)

?

Pn[x]

因?yàn)?/p>

D(e1)=0D(e2)=

e1D(e3)=2e2………D(en)=

(n－1)en－1目前四十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)所以D

在這組基下的矩陣是:

目前四十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理

設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間,e1,

e2,…,en是它的一組基．則V的全體線性變換的集合L(V)和n階矩陣全體的集合Pn×n之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．亦即，每個(gè)線性變換A都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)n階矩陣A；目前四十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)反之，任給一個(gè)n階矩陣A，都可以構(gòu)造唯一的一個(gè)線性變換A以矩陣A為A這組基下的矩陣．目前四十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間,

1,2,…,n是它的一組基.則V的線性變換和n階矩陣之間的一一對(duì)應(yīng)有以下性質(zhì)：

(1)線性變換的和對(duì)應(yīng)矩陣的和；

(2)線性變換的乘積對(duì)應(yīng)矩陣的乘積；目前四十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)(3)線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)矩陣的數(shù)量乘積；(4)可逆線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣是可逆的；且逆變換對(duì)應(yīng)矩陣的逆矩陣．目前四十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證設(shè)A與B是兩個(gè)線性變換,它們?cè)诨?,2,…,n下的矩陣分別是A和B，即

A

[1,2,…,n]=[1,2,…,n]AB

[1,2,…,n]=[1,2,…,n]B(1)因?yàn)?/p>

(A+

B)[1,2,…,n]=A[1,2,…,n]+B[1,2,…,n]

=[1,2,…,n]A+[1,2,…,n]B

=[1,2,…,n](A+B)所以線性變換A+B在基1,2,…,n下的矩陣是A+B。目前四十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)(2)因?yàn)?/p>

(AB)[1,2,…,n]=A(B[1,2,…,n])=A([1,2,…,n]B)=(A[1,2,…,n])B=[1,2,…,n](AB)所以線性變換AB在基1,2,…,n下的矩陣是AB．

目前四十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)(3)因?yàn)?/p>

(kA)[1,2,…,n]=k(A[1,2,…,n])=k[1,2,…,n]A

=[1,2,…,n](kA)故線性變換kA在基1,2,…,n下的矩陣是kA.目前四十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)4)

假設(shè)

[A1,A2,…,An]=[1,2,…,n]A

若A可逆,記其逆變換為B，B在基1,2,…,n下的矩陣為B.則AB,BA在基1,2,…,n下的矩陣分別為AB,BA.因?yàn)锳B=BA=E，所以

AB=BA=E，即矩陣A可逆.且A的逆變換B對(duì)應(yīng)的矩陣B是A的逆矩陣。目前五十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)三、向量的象的坐標(biāo)現(xiàn)描述任一向量V在線性變換A下的象A與原象在同一基下的坐標(biāo)間的關(guān)系。目前五十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理設(shè)線性變換A在基1,2,…,n下的矩陣是A,向量與A在該基下的坐標(biāo)分別是X=(x1,x2,…,xn)T和Y=(y1,y2,…,yn)T，則

Y=AX目前五十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證由假設(shè)

A[1,2,…,n]=[1,2,…,n]A

=x11+x22+…+xnn

=[1,2,…,n]所以

A

=[A1,A2,…,An]

=[1,2,…,n]A

目前五十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)由假設(shè)

A=[1,2,…,n]而1,2,…,n線性無關(guān),所以

=A目前五十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)四、線性變換在不同基下的矩陣定理設(shè)V是數(shù)域P上n維線性空間,V的線性變換A在V的兩組基1,2,…,n與1,2,,n下的矩陣分別為A和B,從基1,2,…,n到1,2,,n的過渡矩陣是P,則

B=P－1AP目前五十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證由于

[1,2,,n]=[1,2,…,n]P又

A[1,2,,n]=A([1,2,…,n]P)=(A[1,2,…,n])P

=[1,2,…,n]AP=([1,2,,n]P－1)AP=[1,2,,n]P－1AP由于線性變換在取定基下的矩陣是唯一的,

可得

B=P－1AP

。目前五十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定義設(shè)A和B都是n階方陣,如果存在可逆矩陣P,使得

B=P－1AP,則稱A與B是相似的(similar),記作A~B.

矩陣之間的相似關(guān)系滿足:(1)自反性：A~A；

(2)對(duì)稱性：若A~B，則B~A；

(3)

傳遞性：若A~B,B~C,則A~C.

目前五十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)性質(zhì)1.若P-1A1P=B1,P-1A2P=B2,則(1)P-1(A1+A2)P=B1+B2；(2)P-1(A1A2)P=B1

B2；

(3)P-1(kA1)P=kB1．2.若A~B,則

f

(A)~

f(B),其中

f(x)=anxn+an-1xn-1+…a1x+a0

目前五十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理

n維線性空間V的線性變換A在V的不同基下的矩陣是相似矩陣;

反之,如果兩個(gè)矩陣A和B相似,那么它們可以看作同一個(gè)線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣.目前五十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證假設(shè)B=P－1AP。設(shè)A為線性變換A在基1,2,…,n下的矩陣.

令

[1,2,,n]=[1,2,…,n]P

顯然1,2,,n也是一組基,且A在這組基下的矩陣就是B.目前六十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例設(shè)V是數(shù)域P上二維線性空間,1,2是一組基,線性變換A在基1,2下的矩陣是

現(xiàn)在計(jì)算A在另一組基1,2下的矩陣,這里

[1,2]=[1,2].目前六十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)由定理,A在1,2下的矩陣為目前六十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)由于可計(jì)算得目前六十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)§4特征值與特征向量一、線性變換的特征值與特征向量定義設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,

A是V的一個(gè)線性變換,如果對(duì)于數(shù)域P中的數(shù)0,

存在V中非零向量,使得

A

=0,成立,則稱0為線性變換A的一個(gè)特征值，非零向量稱為線性變換A的對(duì)應(yīng)于(或?qū)儆?特征值0

的特征向量．目前六十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)注

從幾何上看,A作用于之上就相當(dāng)于對(duì)特征向量作數(shù)乘變換,使之方向相同(0>0),方向相反(0<0),或?yàn)?．目前六十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例1

設(shè)A是線性空間R3中以xOy面為鏡面的反射變換．于是A作用于基向量i,j,k的像是

A(i)=i,A(j)=j,A(k)=－k

即A的特征值是1（2重）和－1，xOy面上任意非零向量l1i

+l2j是屬于特征值1的特征向量；

形如l3k

(l3

0)

的向量是屬于特征值－1的特征向量．目前六十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例2

設(shè)C(a,b)是區(qū)間(a,b)內(nèi)所有任意次可微實(shí)函數(shù)所構(gòu)成的實(shí)線性空間,

D是C(a,b)的微分變換，對(duì)于每一個(gè)，有

D(ex)=ex所以任何實(shí)數(shù)

都是D的特征值，而ex是屬于

的一個(gè)特征向量．

目前六十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)二與矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系

由于矩陣是一個(gè)特殊的線性變換，所以可以定義矩陣的特征值與特征向量。定義設(shè)A是數(shù)域P上的n

階方陣。如果對(duì)于數(shù)域P中的數(shù),存在非零n維(列)向量,使得

A

=

,成立,則稱為矩陣A的一個(gè)特征值，非零列向量稱為矩陣A的對(duì)應(yīng)于(或?qū)儆?特征值

的特征向量。目前六十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理設(shè)A是n維線性空間V的一線性變換,1,2,…,n是V的一組基.A在此基下的矩陣是A,則

0

是A的特征值,當(dāng)且僅當(dāng)0

是A的特征值;

是A的屬于特征值0的特征向量,當(dāng)且僅當(dāng)在基1,2,…,n下的坐標(biāo)x=(x1,x2,…,xn)T是A的屬于特征值0的特征向量.

目前六十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)上面定理說明：可通過求矩陣A的特征值和特征向量,來求相應(yīng)的線性變換的特征值和特征向量.目前七十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)三、矩陣特征值與特征向量的求法

定義

設(shè)A=[aij]是n階方陣,

是一個(gè)文字,矩陣E－A的行列式稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式目前七十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理

設(shè)A是n階方陣。則（1）0是A的特征值,當(dāng)且僅當(dāng)0是A的特征多項(xiàng)式E－A

的根；（2）x0

是A的屬于特征值0的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)

x0是齊次線性方程組

(0E-A)x=0的一個(gè)非零解。目前七十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)線性變換的特征值與特征向量的求法(1)在線性空間V中取一組基1,2,…,n,寫出A在這組基下的矩陣A;(2)求出A的特征多項(xiàng)式E-A在數(shù)域P中全部的根,也就是線性變換A的全部特征值。目前七十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)(3)把求得的特征值0逐個(gè)代入齊次方程組

(0E-A)x=0,對(duì)于每一個(gè)特征值0,求出該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,它們就是屬于該特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量在基1,2,…,n下的坐標(biāo),這樣,也就求出了屬于每個(gè)特征值的全部線性無關(guān)的特征向量.目前七十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例已知P2×2

的線性變換A如下：

A

(X)=MX－XM,XP2×2求A的特征值與特征向量.解

取P2×2的基E11,E12,E21,E22，可求得A在這組基下的矩陣為

目前七十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)A的特征多項(xiàng)式為

所以A

的特征值為:1=2=0,3=－2,4=2目前七十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)把特征值1=0代入(E－A)x=0，得到

它的基礎(chǔ)解系是

(－1,1,0,0)T，(1,0,0,1)T

目前七十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)因此,屬于特征值0的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量是

而屬于特征值0的全部特征向量就是

k1X1+k2X2(k1,k2不全為零的數(shù))目前七十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)因此，屬于特征值－2的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是再將特征值－2代入(E－A)x=0，得到它的基礎(chǔ)解系是

(0,1,0,0,)T，

目前七十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)而屬于特征值－2的全部特征向量就是

k3X3(k3任意非零的數(shù))同理可求得屬于特征值2的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量就是而屬于特征值2的全部特征向量就是

k4X4(k4任意不為零的數(shù))．目前八十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例3

在空間Pn[x]中，線性變換

Df(x)=f’(x)

在基下的矩陣是目前八十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)的特征多項(xiàng)式是齊次線性方程組知道，屬于特征值0的線性無關(guān)的特征向量只能是任一非零常數(shù)。這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零或非零的常數(shù)。因此，的特征值只有0.通過解相應(yīng)的目前八十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例4

平面上全體向量構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)二維線性空間，第一節(jié)例3中旋轉(zhuǎn)在直角坐標(biāo)系下的矩陣為它的特征多項(xiàng)式為

當(dāng)k時(shí),這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根.因此,當(dāng)k時(shí)沒有特征值.從幾何上看,這個(gè)結(jié)論是顯然的.目前八十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)性質(zhì)(一)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和相同的特征值.(二)線性變換的特征值與基的選擇無關(guān).(三)屬于同一特征值0

的特征向量全體連同零向量構(gòu)成V的一個(gè)子空間V0

，稱其為特征子空間，它的維數(shù)等于屬于同一特征值0

的線性無關(guān)特征向量的最大個(gè)數(shù)。目前八十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)（四）若1,2,,n是n階方陣A=[aij]n×n的全部特征值,則為方便，記目前八十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)（五）Hamilton-Cayley定理設(shè)A是數(shù)域P上一個(gè)矩陣,f()=E－A是A的特征多項(xiàng)式,則

f(A)=An-(a11+a22+…+ann)An-1+…+(-1)nAE=0目前八十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證設(shè)B()是E－A的伴隨矩陣,則

B()(E－A)=E－AE=f()E因?yàn)锽()的元素都是E-A的各個(gè)代數(shù)余子式,都是的多項(xiàng)式,其次數(shù)不超過n-1.因此,B()可以寫成

B()=n-1B0+n-2B1+…+Bn-1其中B0,B1,…,Bn-1都是nn數(shù)字矩陣.目前八十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)再設(shè)

f()=n+a1n-1++an-1+an

,則

f()E=nE+a1n-1E++an-1E+anE,

B()(E-A)=nB0+n-1(B1-B0A)+n-2(B2-B1A)++(Bn-1

-Bn-2A)-Bn-1A

比較同次項(xiàng)系數(shù),得目前八十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

以An,An-1

,···A,E依次從右邊乘上式第

一式,第二式，···，第n式,第n＋1式,得

目前八十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)把上式的n+1個(gè)式子一起加起來,左邊變成零,右邊即f(A),故f(A)=0.定理得證.目前九十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)推論

設(shè)A是有限維空間V的線性變換.

f()是A的特征多項(xiàng)式(A在任一組基下的矩陣的特征多項(xiàng)式），那么f(A)=O.目前九十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)§5對(duì)角矩陣本節(jié)的任務(wù)是討論哪一些線性變換在一組適當(dāng)基下的矩陣可以是對(duì)角矩陣;進(jìn)而如何尋找這一組基.目前九十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換,A在某一組基下的矩陣為對(duì)角矩陣的充分必要條件是,A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。目前九十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).推論若n維線性空間V中,線性變換A的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中有n個(gè)不同的根,即A有n個(gè)不同的特征值,則A在某組基下的矩陣是對(duì)角矩陣.目前九十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理若1,,k,是線性變換A的不同的特征值,而

是屬于特征值i

的線性無關(guān)的特征向量,(i=1,2,…,k)則向量組也線性無關(guān)目前九十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理若1,,k,是線性變換A的不同的特征值,而

是屬于特征值i

的特征子空間(i=1,2,…,k)則和是直和。目前九十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理設(shè)A是n維線性空間V上的線性變換。是A的k

重特征值，則的維數(shù)不超過k。目前九十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理

數(shù)域P上

n維空間V的線性變

換A在某組基下的矩陣是對(duì)角矩陣.

當(dāng)且僅當(dāng)（2）關(guān)于每個(gè)特征值，的維數(shù)等于它的重?cái)?shù)。(1)在P中A的特征值有n個(gè)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）；目前九十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理

數(shù)域P上

n階方陣A相似于對(duì)角矩陣.當(dāng)且僅當(dāng)(1)在P中A的特征值有n個(gè)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）；(2)關(guān)于每個(gè)特征值

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。它的重?cái)?shù)等于目前九十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？目前一百頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)解目前一百零一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)解之得基礎(chǔ)解系目前一百零二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)解之得基礎(chǔ)解系故不能相似于對(duì)角矩陣.目前一百零三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)A能否對(duì)角化？若能對(duì)角例2解目前一百零四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)解之得基礎(chǔ)解系目前一百零五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)所以可對(duì)角化.目前一百零六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)目前一百零七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)注意即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．目前一百零八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)把一個(gè)矩陣化為對(duì)角陣，不僅可以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義?？蓪?duì)角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：1.由特征值、特征向量反求矩陣?yán)?：已知方陣的特征值是目前一百零九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)解：因?yàn)樘卣飨蛄渴?維向量，所以矩陣是3階方陣。因?yàn)橛?個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。即存在可逆矩陣,使得其中求得目前一百一十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)目前一百一十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)2.求方陣的冪例4：設(shè)求解：可以對(duì)角化。齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:目前一百一十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，系數(shù)矩陣令得基礎(chǔ)解系:令求得即存在可逆矩陣,使得目前一百一十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)目前一百一十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)3.求行列式例5：設(shè)是階方陣，是的個(gè)特征值，計(jì)算解：方法1求的全部特征值，再求乘積即為行列式的值。設(shè)的特征值是即的特征值是目前一百一十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)方法2：已知有個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣,使得目前一百一十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)4.判斷矩陣是否相似解：方法1的特征值為令3階矩陣有3個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化。例6：已知3階矩陣的特征值為1，2，3，設(shè)問矩陣能否與對(duì)角陣相似？目前一百一十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)即存在可逆矩陣,使得方法2：因?yàn)榫仃囉?個(gè)不同的特征值，所以可以對(duì)角化，所以矩陣能與對(duì)角陣相似。目前一百一十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例7：設(shè)階方陣有個(gè)互異的特征值，

階方陣與有相同的特征值。證明：與相似。證：設(shè)的n個(gè)互異的特征值為則存在可逆矩陣,使得目前一百一十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)又也是矩陣的特征值，所以存在可逆矩陣,使得即即存在可逆矩陣,使得即與相似。目前一百二十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)§6線性變換的值域與核定義設(shè)A是線性空間V的一個(gè)線性變換,A的全體象組成的集合稱為A的值域,用AV表示.

所有被A變成零向量的向量組成的集合稱為A的核，用A－1(0)表示．亦即

AV

={A

V}，

A－1(0)={V

A

=0}．目前一百二十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

定理線性變換A的值域與核都是子空間.

證首先AV非空,并且對(duì)于V中任何向量,

和kP，都有

A+A

=A(

+

)，

kA

=A(k)．即AV對(duì)V的加法和數(shù)乘封閉,故AV是V的子空間.同樣，由于A(0)=0,故0A－1(0),A－1(0)非空．

目前一百二十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)設(shè),

是A－1(0)中任何向量和kP．由

A

=0，A

=0，可知

A(

+

)=0，

A(k

)=0所以，A－1(0)對(duì)加法和數(shù)乘封閉，故A－1(0)是V

的子空間．

目前一百二十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例

線性空間V的零變換O的值域是零子空間，核是整個(gè)空間V．

例線性空間V的可逆變換的值域是V，核是零子空間．

例線性空間Pn[x]的微分變換D

的值域是Pn-1[x]，核是一維子空間P．

目前一百二十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定義

值域AV的維數(shù)稱為線性變換A的秩,記作r(A).

核A-1(0)的維數(shù)稱為線性變換A的零度，記為nul(A)．

目前一百二十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)定理設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換,

1,2,…,n是V的一組基.A在基1,2,…,n下的矩陣是A，則

(1)A的值域是由基1,2,…,n在A下像生成的子空間,即

AV=L(A1,A2,…,An)；

(2)A的秩等于A的秩，即

r(A)=dim(AV)=r(A)。

(3)A-1目前一百二十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證

(1)設(shè)是V中任一向量，可表示為

=

a11

+

a22

+…+

ann于是

A

=

a1A1+a2A2+…+anAn

L(A1,A2,…,An)故

A(V)

L(A1,A2,…,An)．

反之，顯然有

L(A1,A2,…,An)

AV．所以

A(V)

=

L(A1,A2,…,An)目前一百二十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)(2)由(1)得

r(A)=

r{A1,A2,…,An}

=r(A)．(?)

(3)任取A-1(0)中的向量

，則有A()=0，亦即對(duì)于基1,2,…,n的坐標(biāo)(x1,x2,…,xn)T滿足方程Ax=0，即有

A(x1,x2,…,xn)T

=(0,0,…,0)T

．反之,任取線性方程組Ax=0的一個(gè)解(a1,a2,…,an)T,則在基1,2,…,n下坐標(biāo)為(a1,a2,…,an)T的向量就一定在A-1(0)中.目前一百二十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

定理設(shè)A是n維線性空間V的線性變換,則r(A)+nul(A)=n

證設(shè)1,2,…,n是V的一組基.A在基1,2,…,n下的矩陣是A，則r(A)=r(A)。由上定理之（3）知A-1目前一百二十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)所以A-1(0)的維數(shù)等于線性方程組Ax=0的解空間的維數(shù),即n-r(A),

故有

r(A)+nul(A)=n．

目前一百三十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

推論設(shè)A是n維線性空間V的線性變換,則下幾條等價(jià)：

(1)r(A)=n；

(2)A是滿射；

(2)nul(A)=0；

(4)A是單射。．目前一百三十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

例設(shè)A是n維線性空間V的線性變換,且A2=A，則A可以相似于對(duì)角陣目前一百三十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

證

先證明V是A-1(0)和AV的直和。再分別取A-1(0)和AV的一組基，合起來構(gòu)成V的基，且A在該基下矩陣就是對(duì)角陣目前一百三十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)§7不變子空間一.概念定義設(shè)A是數(shù)域P上線性空間V的線性變換,W是V的子空間.如果W中的向量在A下的像仍在W中.換句話說,對(duì)于W中任一向量,有AW，就稱W是A的不變子空間,簡(jiǎn)稱A-子空間.目前一百三十四頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

例1

線性空間V的平凡子空間V和{0},

對(duì)于每個(gè)線性變換A,都是A-子空間.

例2

線性變換A的值域與核都是A-子空間.

證因?yàn)锳VV,

有AAV,所以值域AV是A-子空間.又因?yàn)锳-1(0),A=0A-1(0),所以A的核是A-子空間.目前一百三十五頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例3

設(shè)A是3維幾何空間V中以某一過原點(diǎn)的直線L為軸,旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的旋轉(zhuǎn)變換.則旋轉(zhuǎn)軸L是A的1維不變子空間;而過原點(diǎn)與L垂直的平面H是A的2維不變子空間.例4

線性空間V的任意一個(gè)子空間都是任何一個(gè)數(shù)乘變換的不變子空間.目前一百三十六頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)例5

若線性變換A與B可交換,則B的核B-1(0)

與值域BV都是A-子空間.證

B-1(0),由于

B(A)=(BA)=(AB)=A(B)=A(0)=0,故AB-1(0),所以B-1(0)是A-子空間.

又BBV,A(B)=B(A)BV.所以BV也是A-子空間.注因?yàn)閒(A)與A可交換,故f(A)的值域與核都是A-子空間.目前一百三十七頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)二.特征子空間命題

A的屬于特征值0的特征子空間V0是A的不變子空間,這里命題

A-子空間的和與交還是A-子空間.目前一百三十八頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)三.線性變換在不變子空間上的限制

設(shè)A是線性空間V的線性變換,W是A的不變子空間.現(xiàn)在W中考慮A,即把A看成是W的一個(gè)線性變換,稱為A在不變子空間W上引起的變換.記作A|W,常常仍用A來表示.

注意A和A|W的異同:A是V的線性變換,V中每個(gè)向量在A下都有確定的像;A|W是不變子空間W上的線性變換;目前一百三十九頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)

對(duì)于W中任一向量

,有(A|W)=A.但對(duì)于V中不屬于W的向量,(A|W)沒有意義.例如,對(duì)于任一線性變換A,A|A-1(0)=0;另一方面,A在特征子空間上引起的變換是數(shù)乘變換,即目前一百四十頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)四.關(guān)于生成子空間如果線性空間V的子空間W是由向量組1,2,…,s生成的,即

W=L(1,2,…,s),則W是A-子空間的充分必要條件為A1,A2,…,

As全屬于W.目前一百四十一頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)證必要性是顯然的.現(xiàn)在來證充分性.

如果A1,A2,…,As全屬于W,由于W中每個(gè)向量都可以被1,2,…,s線性表示，即有

=k11+k22+…+kss.所以

A=k1A1+k2A2+…+ksAs

∈W.目前一百四十二頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)五.線性變換矩陣的化簡(jiǎn)

設(shè)A是n維線性空間V的線性變換,W是V的A-子空間.在W中取一組基1,2,…,k,將其擴(kuò)充成V的一組基

1,2,…,k,k+1,…,n

則A在這組基下的矩陣就有如下形狀目前一百四十三頁\總數(shù)一百六十九頁\編于四點(diǎn)且A1