二階電路分析第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五二階電路：由二階微分方程描述的電路。分析二階電路的方法：仍然是建立微分方程(二階)，并利用初始條件求解得到電路的響應(yīng)。它是一階電路的推廣。本章主要討論含兩個(gè)(獨(dú)立)動(dòng)態(tài)元件的線性二階電路，重點(diǎn)是討論電路的零輸入響應(yīng)。第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

為了得到圖示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程代元件VCR得：6－1

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五這是一個(gè)常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。為了得到電路的零輸入響應(yīng)，令uS(t)=0，得二階齊次微分方程其特征方程為由此解得特征根第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五特征根稱為電路的固有頻率。當(dāng)電路元件參數(shù)R,L,C的量值不同時(shí)，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：1時(shí)，s1,s2為不相等的負(fù)實(shí)根。3時(shí)，s1,s2

為相等的負(fù)實(shí)根。2時(shí)，s1,s2

為共軛復(fù)數(shù)根。第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.當(dāng)兩個(gè)特征根為不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是過(guò)阻尼的；2.當(dāng)兩個(gè)特征根為相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是臨界阻尼的；3.當(dāng)兩個(gè)特征根為共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，稱電路是欠阻尼的。以下分別討論這三種情況。

第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、過(guò)阻尼情況電路的固有頻率s1,s2不相同的實(shí)數(shù)，齊次微分方程的解為：式中的常數(shù)A1，A2由初始條件確定。令上式中的t=0+得對(duì)uC(t)求導(dǎo)，再令t=0+得第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五聯(lián)立求解，可得:將A1，A2代入vC(t)得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)uC(0+)=U0,iL(0+)=

0時(shí)t>0第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零輸入響應(yīng)。則：解：由R,L,C的值，計(jì)算出固有頻率第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：解得:K1=6和K2=-4，最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五它們的波形曲線如下圖所示。

過(guò)阻尼情況uC20tiL10t第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五從波形可看出，在t>0以后，電感電流減少，電感放出它儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶?chǎng)能，使電容電壓增加。到電感電流變?yōu)榱銜r(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，此時(shí)電感放出全部磁場(chǎng)能。以后，電容放出電場(chǎng)能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌?chǎng)能。到電感電流達(dá)到負(fù)的最大值后，電感和電容均放出能量供給電阻消耗，直到電阻將電容和電感的初始儲(chǔ)能全部消耗完為止。第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、臨界情況固有頻率s1,s2相同的實(shí)數(shù)s1=s2=-。齊次解式中常數(shù)K1,K2由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定。令t=0+得到對(duì)uC(t)求導(dǎo)，再令t=0+,得到聯(lián)立求解以上兩個(gè)方程，可以得到第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五代入vC(t)表達(dá)式，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應(yīng)。當(dāng)uC(0+)=U0,iL(0+)=

0時(shí)第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2

已知R=1,L=0.25H,C=1F,uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。解：固有頻率利用初始值，得則：第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五求解以上兩個(gè)方程得到常數(shù)K1=-1和K2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng).得到電感電流的零輸入響應(yīng)第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五波形曲線如圖所示。臨界阻尼情況uC-10tiL0t第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

三、欠阻尼情況固有頻率s1,s2為兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根，即：其中三者組成一個(gè)直角三角形。第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五齊次微分方程的解為：(用歐拉公式)式中由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定常數(shù)K1,K2后，得到電容電壓的零輸入響應(yīng)，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應(yīng)。第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3

已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。則得：利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:解：固有頻率：第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五解得K1=3和K2=4，得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)(a)衰減系數(shù)=3的電容電壓波形(b)=3的電感波形(c)=0.5的電容電壓的波形（d)=0.5的電感電流的波形下圖為欠阻尼情況第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五可以看出，欠阻尼情況的特點(diǎn)是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時(shí)間消耗能量越少，曲線衰減越慢。當(dāng)例3中電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時(shí)，可以看出電容電壓和電感電流的波形曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時(shí)，電容電壓和電感電流將形成無(wú)衰減的等幅振蕩。第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。解：固有頻率:則：利用初始條件得：第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五解得：K1=3和K2=1.4，得電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

從電容電壓和電感電流的表達(dá)式和波形可見(jiàn)，由于電路中沒(méi)有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會(huì)減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90，當(dāng)電容電壓為零，電場(chǎng)儲(chǔ)能為零時(shí)，電感電流達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于磁場(chǎng)中；而當(dāng)電感電流為零，磁場(chǎng)儲(chǔ)能為零時(shí)，電容電壓達(dá)到最大值，全部能量?jī)?chǔ)存于電場(chǎng)中。

綜上所述，RLC二階電路的零輸入響應(yīng)形式與其固有頻率密切相關(guān)，如下圖：第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.過(guò)阻尼情況，s1和s2是不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。2.臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負(fù)實(shí)數(shù)，響應(yīng)按指數(shù)規(guī)律衰減。3.欠阻尼情況，s1和s2是共軛復(fù)數(shù)，響應(yīng)是振幅隨時(shí)間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù)越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率d

越大，振蕩周期越小，振蕩越快。圖中按Ke-t畫(huà)出的虛線稱為包絡(luò)線，它限定了振幅的變化范圍。第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.無(wú)阻尼情況，s1和s2是共軛虛數(shù)，=0，振幅不再衰減，形成角頻率為0的等幅振蕩。顯然，當(dāng)固有頻率的實(shí)部為正時(shí)，響應(yīng)的振幅將隨時(shí)間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當(dāng)一個(gè)電路的全部固有頻率具有負(fù)實(shí)部時(shí)，電路是穩(wěn)定的。第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

直流激勵(lì)的RLC串聯(lián)電路，當(dāng)uS(t)=US時(shí)，可以利用初始條件uC(0+)=U0和iL(0+)=I0來(lái)求解以下非齊次微分方程,從而得到全響應(yīng)6－2RLC串聯(lián)電路在恒定激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)

第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五全響應(yīng)由對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成電路的固有頻率為當(dāng)s1s2時(shí)，對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解為特解為第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五全響應(yīng)為利用初始條件，可以得到聯(lián)立求解，得到常數(shù)K1和K2后，就可得到電容電壓的全響應(yīng)，再利用KCL和電容元件VCR可以求得電感電流的全響應(yīng)。第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五類(lèi)似地，當(dāng)s1=s2時(shí)，全響應(yīng)為求兩個(gè)待定系數(shù)的方法也類(lèi)似：類(lèi)似地，根據(jù)元件的VCR或KVL計(jì)算其它響應(yīng)。

第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五類(lèi)似地，當(dāng)特征根為共軛復(fù)根時(shí)，全響應(yīng)為求兩個(gè)待定系數(shù)的方法也類(lèi)似：類(lèi)似地，根據(jù)元件的VCR或KVL計(jì)算其它響應(yīng)。

第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5

已知R=6,L=1H,C=0.04F,uS(t)=(t)V。求t>0時(shí)電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。(單位階躍響應(yīng))解：t>0時(shí)，(t)=1V，可以作為直流激勵(lì)處理。固有頻率固有頻率為共軛復(fù)根,可以得到第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五利用初始值uC(0+)=0和iL(0+)=0,得:解得：K1＝-1和K2＝-0.75，得到電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)波形如圖(a)(b)：第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時(shí)，波形如圖(c)和(d)。第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五6－3GCL并聯(lián)電路分析

與RLC串聯(lián)電路對(duì)偶：

得二階微分方程第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五其特征方程為解得特征根同樣對(duì)偶地，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：1，時(shí)，s1,s2為不等的實(shí)根。2，時(shí)，s1,s2為相等的實(shí)根。3，時(shí)，s1,s2為共軛復(fù)數(shù)根。第四十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

當(dāng)兩個(gè)特征根為不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是過(guò)阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，稱電路是臨界阻尼的；當(dāng)兩個(gè)特征根為共軛復(fù)