1.圖論問題的起源

18世紀東普魯士哥尼斯堡被普列戈爾河分為四塊,它們通過七座橋相互連接,如下圖.當時該城的市民熱衷于這樣一個游戲:“一個散步者怎樣才能從某塊陸地出發(fā)，經(jīng)每座橋一次且僅一次回到出發(fā)點？”SNAB七橋問題的分析

七橋問題看起來不難，很多人都想試一試，但沒有人找到答案.后來有人寫信告訴了當時的著名數(shù)學家歐拉.千百人的失敗使歐拉猜想,也許那樣的走法根本不可能.1876年,他證明了自己的猜想.Euler把南北兩岸和四個島抽象成四個點,將連接這些陸地的橋用連接相應兩點的一條線來表示,就得到如下一個簡圖:SNAB歐拉的結(jié)論歐拉指出:一個線圖中存在通過每邊一次僅一次回到出發(fā)點的路線的充要條件是:1)圖是連通的,即任意兩點可由圖中的一些邊連接起來;2)與圖中每一頂點相連的邊必須是偶數(shù).由此得出結(jié)論:七橋問題無解.歐拉由七橋問題所引發(fā)的研究論文是圖論的開篇之作,因此稱歐拉為圖論之父.4.圖的作用

圖是一種表示工具.改變問題的描述方式,往往是創(chuàng)造性的啟發(fā)式解決問題的手段.一種描述方式就好比我們站在一個位置和角度觀察目標,有的東西被遮擋住了,但如果換一個位置和角度,原來隱藏著的東西就可能被發(fā)現(xiàn).采用一種新的描述方式,可能會產(chǎn)生新思想.圖論中的圖提供了一種直觀,清晰表達已知信息的方式.它有時就像小學數(shù)學應用題中的線段圖一樣,能使我們用語言描述時未顯示的或不易觀察到的特征、關(guān)系,直觀地呈現(xiàn)在我們面前,幫助我們分析和思考問題,激發(fā)我們的靈感.5.圖的廣泛應用圖的應用是非常廣泛的,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運輸、通訊和電力領(lǐng)域經(jīng)常都能看到許多網(wǎng)絡,如河道網(wǎng)、灌溉網(wǎng)、管道網(wǎng)、公路網(wǎng)、鐵路網(wǎng)、電話線網(wǎng)、計算機通訊網(wǎng)、輸電線網(wǎng)等等.還有許多看不見的網(wǎng)絡,如各種關(guān)系網(wǎng),像狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系、事物的相互沖突關(guān)系、工序的時間先后次序關(guān)系等等,這些網(wǎng)絡都可以歸結(jié)為圖論的研究對象----圖.其中存在大量的網(wǎng)絡優(yōu)化問題需要我們解決.還有象生產(chǎn)計劃、投資計劃、設備更新等問題也可以轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡優(yōu)化的問題.6.基本的網(wǎng)絡優(yōu)化問題基本的網(wǎng)絡優(yōu)化問題有:最短路徑問題、最小生成樹問題、最大流問題和最小費用問題.圖論作為數(shù)學的一個分支,已經(jīng)有有效的算法來解決這些問題.當然這當中的有些問題也可以建立線性規(guī)劃的模型,但有時若變量特別多,約束也特別多,用線性規(guī)劃的方法求解效率不高甚至不能在可忍受的時間內(nèi)解決.而根據(jù)這些問題的特點,采用網(wǎng)絡分析的方法去求解可能會非常有效.例如,在1978年,美國財政部的稅務分析部門在對卡特爾稅制改革做評估的過程中,就有一個100,000個約束以上,25,000,000個變量的問題,若用普通的線性規(guī)劃求解,預計要花7個月的時間.他們利用網(wǎng)絡分析的方法,將其分解成6個子問題,利用特殊的網(wǎng)絡計算機程序,花了大約7個小時問題就得到了解決.由于后續(xù)學習的需要,我們補充離散數(shù)學中的一些基本內(nèi)容:關(guān)系與函數(shù).第一章圖的基本概念(1)定義1圖圖G是一個三元組,記作其中(1)V(G)={v1,v2,…,vn},稱為圖G的結(jié)點集.(2)E(G)={e1,e2,…,em}是G的邊集合,其中ei為{vj,vt}或<vj,vt>.若ei為{vj,vt},稱ei為vj和vt為端點的無向邊;若ei為<vj,vt>,稱ei為vj為起點,vt為終點的有向邊;(3)稱為關(guān)聯(lián)函數(shù).第一章圖的基本概念(2)定義2.鄰接結(jié)點:關(guān)聯(lián)于同一條邊的兩個結(jié)點.孤立結(jié)點:不與任何結(jié)點相連接的結(jié)點.鄰接邊:關(guān)聯(lián)于同一頂點的兩條邊.環(huán):兩端點相同的邊稱為環(huán)或自回路.平行邊:兩個結(jié)點間方向相同的若干條邊稱為平行邊或重邊對稱邊:兩端點相同但方向相反的兩條有向邊.第一章圖的基本概念(3)定義3無向圖:每條邊都是無向邊的圖.有向圖:每條邊都是有向邊的圖.混合圖:圖中不全是有向邊,也不全是無向邊的圖.平凡圖:只有一個孤立結(jié)點的圖.定義4.多重圖:含有平行邊的圖.簡單圖:無環(huán)且無平行邊的圖.完全圖:任何不同結(jié)點之間都有邊相連的簡單無向圖.第一章圖的基本概念(4)說明:(1)在簡單圖中,以x為起點y為終點的邊至多有一條,因此,圖中的邊可直接用頂點對表示,而關(guān)聯(lián)函數(shù)就可以直接表示在其邊集中,故可簡記為G=<V(G),E(G)>.(2)對無向圖G,將G中的每條邊用兩條與e有相同端點對稱邊e和e’來代替后得到一個有向圖D,這樣得到的有向圖D稱為G的對稱有向圖.由此可見,無向圖可視為特殊的有向圖.(3)n個結(jié)點的完全圖記為Kn,完全圖Kn有條邊.完全圖的對稱有向圖稱為完全有向圖,記作.(4)圖G的頂點個數(shù)還稱為圖G的階.(5)對于有向圖D,去掉邊上的方向得到的無向圖G稱為D的基礎圖.反之,任一個無向圖G,將G的邊指定一個方向得到一個有向圖D,稱D為G的一個定向圖.例證明:在任意六個人的聚會上,要么三個曾相識,要么三個不曾相識.證明:用A,B,C,D,E,F代表這六個人,若兩人曾相識,則在代表該兩人的頂點間連一條紅邊;否則連一條藍邊.于是,原問題等價于證明所得圖中必含有同色三角形.考察某一頂點,設為F.與F關(guān)聯(lián)的邊中必有三條同色,不妨設它們是三條紅邊FA,FB,FC.再看三角形ABC.若它有一條紅邊,設為AB,則FAB是紅邊三角形;若三角形ABC沒有紅邊,則其本身就是藍邊三角形.第二節(jié)圖的頂點度和圖的同構(gòu)(1)定義1設G是任意圖,x為G的任意結(jié)點,與結(jié)點x關(guān)聯(lián)的邊數(shù)(一條環(huán)計算兩次)稱為x的度數(shù).記作deg(x)或d(x).定義2設G為無向圖,對于G的每個結(jié)點x,若d(x)=K,則稱G為K正則的無向圖.設G為有向圖,對于G的每個結(jié)點x,若d+(x)=d-(x),則稱G為平衡有向圖.在有向圖G中,若則稱G為K正則有向圖.定理1(握手定理，圖論基本定理)每個圖中,結(jié)點度數(shù)的總和等于邊數(shù)的二倍,即定理2每個圖中,度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點必定是偶數(shù)個.第二節(jié)圖的頂點度和圖的同構(gòu)(2)定理3在任何有向圖中,所有結(jié)點入度之和等于所有結(jié)點出度之和.證明因為每條有向邊必對應一個入度和出度,若一個結(jié)點具有一個入度或出度,則必關(guān)聯(lián)一條有向邊,因此,有向圖中各結(jié)點的入度之和等于邊數(shù),各結(jié)點出度之和也等于邊數(shù).定義度序列,若V(G)={v1,v2,…,vp},稱非負整數(shù)序列(d(v1),d(v2),…,d(vp))為圖G的度序列.第二拔節(jié)卻圖征的頂響點度打和圖栽的同專構(gòu)(3云)推論1非負賢整數(shù)璃序列拼是某茅個圖托的度依序列灑當且駱僅當收是惡偶數(shù).證明:由定到理1知必旦要性梯成立.對于杠充分默性取p各相序異頂癢點v1,v2,…駐,vp,若di是偶阻數(shù),就在vi處作di/2個環(huán);若di是奇拌數(shù),在vi處作(di-1針)/奶2個環(huán),由于緞是偶鄙數(shù),故拿中由游偶數(shù)牲個奇薪數(shù)頂瘡點,從而尾將所林有與文奇數(shù)di相對應合的頂刮點vi兩兩看配對尿并連避上一粒條邊.最后爭所得寒的序悶列就頓是.第二鑼節(jié)膝圖炊的頂倆點度酬和圖告的同高構(gòu)(4炕)圖序攻列:簡單凍圖的攝度序抽列.定理4非負循整數(shù)皮序列展是圖缸序列杠當且青僅當冠是凡偶數(shù),并且亭對一祖切整缸數(shù)k,有定義3設G1=<蜜V1,E1>和G2=<嗎V2,E2>是簡記單圖,若存集在一化個從V1到V2的雙衰射函恒數(shù)f,且f具有范這樣葬的性剩質(zhì),對V1中的葡所有x和y,牙x和y在G1中相鄰,當且提僅當f(侄x)和f(領(lǐng)y)在G2中相鄰,就說G1和G2是同構(gòu)集的,記作G1∽G2.例1畫出耕所有無不同緒構(gòu)的貍具有5個結(jié)炎點,3條邊義的簡嬌單無文向圖.例2是否珍可以紹畫一絡個簡簡單無截向圖,使各掩點度您數(shù)與餃下列氣的序愁列一嘉致:(繪1)佛2,楊2,注2,冬2,舍2,交2烈(2臥)2歸,2晝,3輕,4聯(lián),5勾,6愿(麗3)匹1,落2犁,3遭,4差,4虧,5第三瞎節(jié)需圖結(jié)的運身算(一）定義1設春與醋是躁任何摘兩個爽圖.若且循是捉在埋上的培限制,則稱是G的子灰圖,記作稱G為G1的母桃圖.若夫且,則稱悲是G的生箭成子柴圖或落支撐醉子圖.設,以V1為頂點,以兩始端點轉(zhuǎn)均在V1中的棗全體憤邊為邊晝集的G的子圖,稱為V1的導出熄子圖,記作G[艷V1].設,以E1為邊集,以E1中的凡邊關(guān)子聯(lián)的釘全部誓頂點集的G的子圖,稱為E1的導出深子圖,記作G[宅E1].特別,若,則以G-拜V1表示僻從G中刪體去V1內(nèi)的說所有次點以化及與咱這些籠頂點蠶關(guān)聯(lián)輪的邊蓮所得遠到的雄子圖,若V1={炭v}醒,常把G-土{v做}簡記勝為G-牲v,始,類似鏡地,設,G鉆-E1表示怠在G中刪胳去E1中所劃有邊書所得觀的子圈圖,同樣G-晃{e逢}簡記絲式為G-對e.第三粉節(jié)沙圖柿的運漂算(二）定義2設G＝<V，E>是n階無厲向簡芒單圖,以V為頂?shù)近c集,以所照有能油使G成為完全受圖Kn的添半加邊狐組成訴的集下合為恢邊集象的圖,稱為G相對火于完全誤圖Kn補圖,簡稱G的補倡圖,記作.定義3設G1和G2都是逼圖G的子攀圖.G1和G2的并:僅由G1和G2中所有婚邊組鑰成的降圖.G1和G2的交:僅由G1和G2的公疏共邊滅組成貝的圖.G1和G2的差G1-G2:僅由G1中去掉G2中的出邊組籍成的謠圖.G1和G2的環(huán)和:在G1和G2的并禿中去掉G1和G2的交象所腎得到士的圖.定義4.自補錯圖:若簡脖單圖G同構(gòu)寄于G的補傭圖,則稱G為自烈補圖.(1受)證明:自補昏圖的仿階數(shù)例為n=鍛4k或n=蕉4k鋒+1旋,k為某帶個自相然數(shù).(自己拐查閱)(2盯)找出發(fā)所有4階和5階的恭自補就圖.例.在一救次舞錢會上,A肺,B兩國閑留學層生各n人,A國每揀個學繳生都鳳與B國一怎些學見生(不是妥所有)跳過敬舞.B國每齡個學調(diào)生至旨少與A國一湯個學枯生跳頭過舞.證明:一定堡可以貌找到A國兩跑個學戰(zhàn)生a1扶,a順2及B國兩輪個學莫生b1辱,b圣2,使得a1和b1償,a漲2和b2跳過鍋舞,而a2和b1瞇,a足1和b2沒有臥跳過來舞.(自己倒思考)圖的運算(三)定義于四:設G1和G2是任兩個奧無向勢圖,量G1和G2的笛自卡兒島積為僻圖,其中G滿足:升V(倘G)竿=V刑(G1)割V(拍G2);用G中的階兩頂宿點<a禮,b有>和<c漸,d原>是鄰竟接的最當且旁僅當a=溝c且{b,慎d}橋E鍋(G2)或者b=青d且{a稀,c博}頓E帝(G1).說明:(權(quán)1)通過烏圖的脂笛卡裁兒積傅運算,可歸坑納地濕定義吩一個灑重要塑的圖尸類--馬-n立方賠體Qn(n1潑):當n=彩1,坡Qn=K2;當n>輝1,法Qn=Qn-靈1K2.(2食)n立方昌體Qn也可圍以看朵作是約用頂凈點表吹示2n個長鍬度為n的位割串圖.兩個辰頂點銅相鄰,當且翼僅當共它們啦所表討示的憲位串菊恰恰搶差一罩位.第四葵節(jié)裝路濟與連顯通圖(一)定義1設u和v是任珍意圖G的頂待點,圖G的一曲條u-建v是有隙限的梯頂點灶和邊蠶交替援序列u0e1u1e2…un-譽1enun(u沉=霉u0,v燭=un),其中舞與邊ei(1i懲寺n)相鄰龍的兩我頂點ui-慎1和ui正好占是ei的兩樂個端立點.數(shù)n(鏈中話出現(xiàn)螞的邊門數(shù))稱為貝鏈的盛長度.u頃(u0)和v(廢un)稱為嶺鏈的固端點,其余醒的頂勁點稱輕為鏈蠅的內(nèi)期部點.一條u-田v鏈,當uv時,稱它旦為開淺的,否則脾稱為上閉的.邊互警不相慰同的盈鏈稱淋為跡,內(nèi)部玻點互諒不相掃同的拴鏈稱東為路.注釋1.(1純)在一尼條鏈依中,頂點膝和邊紅可以敞重復.(2撞)若G是簡灰單圖,G中的擁鏈u0e1u1e2…un-圍1enun還可肝用結(jié)功點序身列u0u1…un-即1un表示.(3腿)不含買邊的駕鏈(即長壟度為0)稱為禾平凡錯鏈.(4請)設W是有惰向圖D中u-郊v鏈(跡,路),指定W的方菠向從u到v.若W中所羅有邊值的方嗽向與胃此方矮向一復致,則稱W為D中從u到V的有疲向鏈(跡,路).第四愉節(jié)嘩路位與連劫通圖(二)定義2.兩端質(zhì)點相防同的懲跡(即閉踩集)稱為帥回.兩端飄點相暗同的裳路(即閉悉路)稱為假圈或灰回路.長度扯為K,奇數(shù),偶數(shù)號的回(圈)分別羅稱為K,奇,偶回(圈).有向唯閉跡(閉路)稱為暑有向辛回(有向暗圈).定理1.若簡頌單圖G中每姿個頂己點的削度數(shù)抖至少曉是k(搜k2燦),則G中必蠻含有豆一個闊長度榮至少枕是k+像1的圈.證明:在G的所廚有路盆中,取一開條長衰度最棵長的努路p,記P=萍v0v1…vt-排1vt.則v0的所蘇有鄰獎接點馳全在p中,由于d(疤v0)滾k宏龍2,所以v0至少甘有k個鄰子接點,設所財有鄰多接點戴為vi1,vi2,…欺,vis,1怪i1i2…揭哈ist社,其中s=星d(鈴v0)送k隱慎2,則C=晶v0v1v2…visv0就是G的一綱個長啄為is+1的圈,顯然is+1棟胞k摘+1極.第四參節(jié)笛路矩與連價通圖(三)定理2.設簡摩單圖G中每著個頂漸點的峰度數(shù)港至少鴨是3,則G中含灶有偶彎圈.證明:在G的所陣有路洞中,取一粘條長卷度最的長的禿路p,記P=雄v0v1…vt-這1vt.則v0的所辭有鄰貿(mào)接點帳全在p中,設v0的所控有鄰械接點匙為vi1,vi2,…天,vis,1李i1i2…坐越ist悉,其中s=舊d(旺v0)乒3壤,在G中取如三個茶圈c1=v0v1…vi2v0亡,c2=v0v1…visv0,c3=v0vi2vi2苦+1…visv0,它們滋的長余度分技別為i2+1爺,is+1和is-i2+2盯.這三次個數(shù)漆中至碼少有錢一個利是偶走數(shù).即c1,芒c2,塊c3中至少指有一房誠個是蹲偶圈.定義3.給定嫂無向蠅圖G=誓<V身(G售),傾E(形G)劃,徒(G理)>淹,x,獅yV(除G)單,若圖嚴中存猴在連朋接x和y的路,稱節(jié)孩點x和y是連嬸通的.規(guī)定x到自年身總味是連遭通的.第四康節(jié)卻路始與連乒通圖(四)1.說明:容易殊驗證,結(jié)點館集V(際G)上的鏈頂點愛間的離連通負關(guān)系是V(炭G)上的朱一個等價梅關(guān)系,該等俘價關(guān)莖系確詠定V(蒜G)的一攪個劃分{V1,V2,…縮慧,Vm},使得當且葬僅當兩個格頂點x和y屬于釣同一子春集Vi時,勉x和y才是朱連通卡的.爪Vi在G中的罵導出叫子圖G[樓V1],廈G[優(yōu)V2],烘…,G[啟Vm]稱為G的連通源分支盟或分竿支,m稱為G的連悅通分抗支數(shù),記作W(忠G)頂=m蘿.如下搏圖有4個連中通分煮支.定義4.如果銷無向進圖G中每敬一對湊不同味的頂描點x和y都有一條路,即W(振G)繞=1痕,則稱G是連剝通圖,反之懂稱為折非連別通圖.第四賞節(jié)攜路慈與連洋通圖(五)引理1非平祥凡圖G是連通亂圖當且宣僅當對V(臂G)的每遷一個鴉非空顫真子騎集S,定理3設G是P階連帆通圖,則證明:只需匙證明研連通億的簡青單圖頭成立放即可.設懸掛羽點:度數(shù)狹為1頂點.第四召節(jié)梨路陽與連漠通圖(六)定理4設連穴通圖G至少務有兩糊個頂揉點,其邊粘數(shù)小惠于頂姜點數(shù),則此提圖至彩少有摩一個駕懸掛旗點.證明:設圖G是滿抄足條盆件的P階圖.反設胃圖G沒有尺懸掛懲點,由于G是連昏通圖,故每域個頂漸點的面度數(shù)肥至少屆為2,即對晴每個回頂點v,篇d(豆v)2阿,故,與項矛盾.定理5設簡傻單圖G的結(jié)搞點序狗列為.度數(shù)啟依次扒是d(支v1)≤d(忽v2)≤…≤d(擁vp)梨,如果狐對任宵意的同則G是連礎通圖.證明:反設G不連顧通,令G1是G中不翻含vp的一應個連訴通分承支,蔬,而G2是G中含vp的一坦個連種通分辰支,則G2至少姨有游個秩頂點,且第四臘節(jié)兇路鉆與連非通圖(七)則由已知,站.若記則,則與犁矛瘦盾.推論1設G是P階簡泳單圖,每個沾頂點赴的度潑至少課是[P碰/2向],則G是連推通圖.定義5設總是菜有向堪圖,多,若圖D中存熟在x到y(tǒng)的有壯向路,稱結(jié)煉點x可達柱結(jié)點y.規(guī)定x到自禿身總煉是可陰達的.定義6設G是有懶向圖,任何訪結(jié)點狀間,至少曲有一察個結(jié)隨點可公達另口一個染結(jié)點,則稱慘該有疫向圖掘是單儀側(cè)連臨通的.如果丹有向摸圖D的任講何一來對結(jié)咐點間暮是相扒互可偉達的,則稱枕該有奧向圖慣是強猛連通湯的.若有妹向圖G的基尿礎圖牢是連濾通的,則稱準該有勵向圖D是弱租連通皮的.定義7設G是有碎向圖,耳,敞G中所偉有從x到y(tǒng)的有灘向路抬的最想小長著度稱弊為從x到y(tǒng)的距拒離.稱為飄圖G的直巷徑.第五怨節(jié)鐮連殺通圖延和二讓分圖(1亦)定義1如果鈴在圖G中刪變?nèi)ヒ蛔矀€結(jié)罪點x后,圖G連通趕分支禁數(shù)增材加,即W(約G-折x)范>W愧(G犯),則稱州結(jié)點x為G的割洋點.如果嗚在圖G中刪偵去一沒條邊e后,圖G的連揚通分肉支數(shù)蠢增加,即W(蛙G-炭e)叛>W眠(G霉),則稱告邊e為G的割鞏邊.定義2沒有煌割點礎的非域平凡運連通朵圖稱碰為塊.G中不杏含割義點的糖極大辦連通狠子圖天稱為眾圖G的塊.定義3如果G的頂賞點集盤的一濃個真蘆子集T滿足G-泳T不連左通或栽是平晝凡圖,則稱T為G的一影個點岡割.如果緩圖G的邊塞集的薄一個揮真子捏集S滿足G-婆S不連跨通或令是平恰凡圖,則稱S為G的一梁個邊晶割.定義4設G是連昌通圖,稱彩是G的點風割}為G的點梯連通摩度或窩連通逮度;稱稻是G的邊耕割}為G的邊漁連通繼度.定理1對一霧個圖G,有椅是圖G的最牙小頂倦點度.證明:若G不連迅通,則促結(jié)炮論成查立.若G連通.(1胞)先證雖設x是G中度燈數(shù)最燃小的叫頂點,即.設所涼有與園關(guān)鋪聯(lián)的蜘邊集投為S(作x)澆,顯然x是G-斑S(升x)的一堂個孤述立點.所以(2敞)再證當所時,顯然假設遷對所鎖有口的虹圖G有稠設S是H的一幻玉個邊煎割,且紋若刃邊能易長知故由水假設醋知豬并在設T是H-捐e的一求個點造割,且瓦此肉時,就是H的一矛個點尋割,即K(瓦H)≤︱T繳∪{笑u}︱籠≤n警+1演=（H）.再由金歸納螺假設助即知K(塊G)≤（G）結(jié)論遲成立.第五穿節(jié)匠連欄通圖竹和二遭分圖(3編)定義5如果后無向馳圖G的連通襖度氣稱圖G是n連通啦的或G為n連通怠圖.若乘稱圖G是n邊連劇通的遺或G為n邊連鼓通圖.定理2設圖G是n連通概的,則對(反證)定理3設G是2邊連黃通圖,則G有強連礙通的俯定向研圖.證明:設G是2邊連瓣通圖,則G必含所有圈.先取閘一個塞圈C1,定義G的連明通子私圖序蛛列G1,G2,…如下:芬G1=妻C1;若Gi(i=1槍,2屈,…奔)不是G的生槐成子險圖,設vi是在G中而枝不在Gi中的梳一個狼頂點,則存蛛在從vi到Gi的邊該不重暮路Pi和Qi,定義,由于柱該序運列必艷終止棋于G的一遭個生址成子靜圖Gn.依次織對每嶄個Gi定向:首先勞讓G1的定庭向圖樸成為角一個輪有向隸圈;對設已頌有定刊向圖,讓Pi成為艱以vi為始踏點的型有向胃路,而Qi成為使以vi為終死點的縣有向坦路,得,即爛是攜強連災通圖i=襲1,藍2,叢…n濫.第五出節(jié)帶連沃通圖項和二榜分圖(4閱)因此燈最后夜的兆是泊強連坊通有欣向圖.由于Gn是G的生臘成子績圖,所以G有強些連通寶的定屬向圖.一個魯圖G有強浴連通昨的定總向圖挪的必律要條雹件是G為2邊連預通的.否則G有割膝邊,這與G有強趙連通己的定張向圖史矛盾.定義6把簡榴單圖G的頂鍵點集陵合分部成兩界個不曬相交川的非輪空集鍬合V1,V2,使得挪圖G中的搖每一苗條邊,與其簽關(guān)聯(lián)像的兩祥個結(jié)指點分蒼別在V1和V2中,則G稱為敵偶圖瓦或二推分圖,記作G=松<V1,V2,E聽>,其中V1和V2叫做G的二恢劃分.對于投二分哭圖G=港<V1,V2,E攻>,若,V1中的撇任意灘一點捕與V2中的支所有撐點相屯鄰且V2中的褲任意案一點盟與V1中的織所有搜點相煌鄰,則稱該圖傍為結(jié)休點m和n的完突全偶帽圖或晨完全劇二分受圖,記作Km,梁n.例1試說栗明n立方遼體Qn是二浮分圖.證明:不妨窄設快由Qn的定津義知Qn是簡嶺單圖.假定則邊,即兩當結(jié)點恭序列僵恰差映一位.令顯然.而且,若存弱在即零與極矛盾.所以X中任刻何兩就頂點打之間擦無邊要相連.同理揭可證Y中任撿何兩唯頂點抖之間估也無弓邊相凡連.因此Qn是二獎分圖.定理4非平壯凡圖G是二端分圖當且蕩僅當G中不球含有家長為嚼奇數(shù)色的圈.證明:(裳)設G是一疾個二縫分圖,G的二介分為V1和V2,則G[挎V1]和G[才V2]為零秀圖.設v=沃v1v2…vkv1是G中長呈度為k的一獵個圈.下證k為偶桐數(shù).不妨給設抵由柏于v2和v1相鄰,故;同樣秀有又最數(shù)后一較個頂日點是V1,故k必為為偶數(shù).不妨蓄設G中每綱一對宮點之紋間有號路連恰接(否則愉只考陜慮G的每候個每軟一對呼點之切間有脅路連良接的工極大現(xiàn)子圖).任取G的一襯個頂描點u,由G的假鑒設,對G的每裳個頂滑點v,在G中存拜在u-我v路.現(xiàn)利俗用u對G的頂竊點進福行分雁類.設顯然,擴.由于G中不摘存在綱長度徑為奇犧數(shù)的扯圈,所以騰對任荒意一闊個點v,本G中所碧有從u到v的路排的長弱度都大有相小同的位奇偶阻性,因而州由G的假酒設,現(xiàn)對G的每卸一條旋邊e=排{u1,u2},若u1,u2都在V1上,則存揪在兩英條路P1與P2分別吳連接u與u1和u與u2,且P1與P2的長度膛均為馳偶數(shù),閉鏈問的長內(nèi)度為恰奇數(shù),故G中有幸一條臣長為醒奇數(shù)紛的圈,矛盾.同樣u1和u2不能誓同時瘡在V2中.故e的兩霞個端憑點分狹別在V1和V2中.因此G是二裝分圖.第六收節(jié)病圖菌的矩叢陣表來示(1籮)1.鄰接坐矩陣:設有是任丟意圖,其中V=駱{x1,x2,…乓,xn},產(chǎn)E={煎e1,e2,…惹,em},則n階方籠陣A=紋(aij)稱為G的鄰滾接矩足陣.其中aij為圖G中以xi為起耀點且殿以xj為終償點的遣邊的克數(shù)目.說明1:由定裕義易緊知,無向沒圖的占鄰接把矩陣顧是對奧稱矩修陣,而有茄向圖蹲的鄰黃接矩墳陣未畝必是江對稱座矩陣.(如P2扁7)定理1已知晃有向陜圖,其中V=良{x1,x2,…買,xn},且A=鮮(aij)nn為G的鄰耕接矩愛陣,則Ak中的i和j列元架素aij(k)是圖G中從xi到xj且長冷度為k的有要向鏈谷的數(shù)蘭目.證明:谷k=華1時,結(jié)論尾顯然登成立.若Ak-斗1第i行j列元驗素aij(k倉-1拔)是G中長件度為k-村1的從xi到xj的有旅向鏈呢的數(shù)邀目.又Ak=Ak-妨1A,所以aij(k)=因為G中每鉗條從xi到xj且長瀉度為k的有頂向鏈膽都是捕由長嚼度為k-什1的從xi到xt(1t騾石n)的鏈難再接籠上邊<xt,xj>而得.據(jù)歸烏納假密設知頓定理索得證.說明2:該定斯理同謊樣適類合無嗚向圖,且定喜理中柜的鏈嘗不能尊改為風跡或描路.第六來節(jié)醒圖棚的矩銅陣表匹示(2恐)推論1若G是P階簡炸單圖,且G的鄰接庸矩陣稈為A=立(aij),則對G的每殿一個奏頂點vi,i硬=1關(guān),2蚊,…傾,p河,有d(魔vi)=暗aii(2剖),其中A2=(讀aii(2紹)).證明:因為掛圖G中與判頂點vi關(guān)聯(lián)稈的邊巡壽數(shù)等按于從vi到vi長為2的鏈紗的數(shù)宋目,故由夾定理1知結(jié)致論成賤立.R=蝴A+錫A2+…站+Ap-充1=(rij),rij為xi到xj長度俱不超梁過p-桌1的鏈疑的數(shù)宜目定理2已知P(您P3劃)階圖G的鄰反接矩欠陣為A,作P階方質(zhì)陣R=等A+支A2+…采+Ap-袍1,則圖G連通奧的充分淘必要蝴條件為R中的飄每個跑元素亞都不傘為零.2.關(guān)聯(lián)慮矩陣:設洗是有縫向圖,且V=,稱糞階矩磨陣M=斗(mi雖j)為有副向圖D的關(guān)掩聯(lián)矩陣,其中第六疊節(jié)碰圖金的矩聽陣表指示(3禿)設問是無征向圖,且V=,稱勇階奧矩陣M=想