第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年天津重點中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共9小題，共27.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列說法中，正確的是(

)A.三點確定一個平面 B.過一條直線的平面有無數(shù)多個

C.兩條直線確定一個平面 D.三條兩兩相交的直線確定三個平面2.已知復(fù)數(shù)z=1+iA.z的虛部為1 B.|z|=2

C.z23.一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′BA.1

B.2

C.224.已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若OA?4OB+A.13 B.34 C.125.已知|a|=2,|b|=1，a與b的夾角為2A.3e B.32e C.26.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z?，若2z+z?=A.?1+2i B.1+27.已知正三棱錐P?ABC的底面邊長為6cm，頂點P到底面AA.27cm2 B.93c8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是A.若a=23，b=4，A=30°，則B只有一解

B.若a2+b2?c2>9.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，

A.2 B.4 C.263二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）10.已知平面向量a=(3,?2)，b=11.在長方體ABCD?A1B1C1D12.若一個圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是______．13.若直線a//平面α，直線b//平面β，且a∈β，b?α，則a，b的位置關(guān)系是______，若已知α與β相交，則14.如圖，已知棱長為1的正方體ABCD?EFGH，點P為棱CG的中點，點Q、R分別在棱BF、D

15.在△ABC中，∠BAC=60°，|AC|=2，BD=2三、解答題（本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.(本小題12.0分)

已知復(fù)數(shù)z=m2?5m+6+(m2?m?2)i(17.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點，過A、N、D三點的平面交PC于M.求證：

18.(本小題12.0分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各條棱長均為2，M，N分別為CC1，AB的中點．

(1)求證：19.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(a,3b)與n=(cosA20.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=0，c=4，a=27．答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵不在一條直線上的三點確定一個平面，∴A錯誤；

∵過一條直線的平面有無數(shù)個，∴B正確；

∵兩條相交或平行直線確定一個平面，∴C錯誤；

∵空間兩兩相交的三條直線確定一個平面或三個平面．∴D錯誤．

故選：B．

利用確定平面的條件．不在一條直線上的三點，兩條平行或相交直線．過一條直線有無數(shù)個平面．

本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】C

【解析】解：z=1+ii=?i(1+i)=1?i，

則z的虛部為3.【答案】D

【解析】解：因為三角形的斜二側(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB=O′B′=2，

腰A′O′=22，在△A4.【答案】B

【解析】解：因為OA?4OB+3OC=0，

所以O(shè)A?OB=3(OB5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了向量數(shù)量積的運算及計算公式，投影的計算公式，以及投影向量的定義，考查了計算能力，屬于中檔題．

根據(jù)條件可求出a?b=?1，進(jìn)而可求出|a+b|=3,a?(a+b)=3，然后根據(jù)投影向量的計算公式即可得出投影向量．

【解答】

解：∵|a|6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)相等，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，根據(jù)【解答】解：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z?=a?bi，

因為2z+

7.【答案】A

【解析】解：由題意可作底面三角形的中心到底面三角形的邊的距離為：13×32×6=3cm，

所以正三棱錐的斜高為：68.【答案】C

【解析】解：對于A，根據(jù)正弦定理asinA=bsinB，可得sinB=4×1223=33，結(jié)合b>a可知B有2解，故錯誤；

對于B，△ABC中，∵a2+b2?c2>0，∴角C為銳角，但△AB9.【答案】A

【解析】解：設(shè)CP=λCD，則AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ(23AB?AC)=23λAB+(1?λ)AC=13A10.【答案】?7【解析】解：∵a?b=(1,?2?λ)，a⊥(a?b)，

∴a?(11.【答案】64π【解析】解：由題意可知，長方體的體對角線為其外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R，

則2R=BD1=AB2+BC2+BB112.【答案】1+【解析】解：可以設(shè)該側(cè)面的正方形邊長為A，

則S側(cè)面積=A2

全面積S=A2+2π(A2π)2

則圓柱的全面積與側(cè)面積的比

S全面積S13.【答案】平行或異面

相交、平行或異面

【解析】解：直線a//平面α，直線b//平面β，且a∈β，b?α，

則a，b的位置關(guān)系是平行或異面，

若α與β相交，則a，b14.【答案】16【解析】解：∵VG?AQPR=2VG?RQP=2VR?PQG

=2×13×S△PQG×15.【答案】3

2711【解析】解：因為BD=2DC，所以點D為線段BC上靠近點C的三等分點，

由三點共線定理可知AD=13AB+23AC，

上式左右同時平方得AD2=19AB2+49AC2+49AB?AC，

已知∠BAC=60°，|AC|=2，|AD|=373，

所以379=116.【答案】解：(1)若z是純虛數(shù)，

則m2?5m+6=0m2?m?【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合z17.【答案】證明：(1)連結(jié)BD，AC，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)NO，

∵ABCD是平行四邊形，

∴O是BD的中點，在△PBD中，N是PB的中點，

∴PD//NO，

又NO?平面ANC，PD?平面ANC，

∴PD//平面ANC．

(【解析】本題考查線面平行的判定及面面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．

(1)利用線面平行的判定定理，由線線平行證線面平行即可；

(2)先證線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)證線線平行，根據(jù)平面幾何知識可證M18.【答案】(1)證明：取AB1的中點Q，連結(jié)NQ，MQ，

∵N，Q分別是AB，AB1的中點，∴NQ=?//12BB1，

又M是CC1的中點，∴MC=?//12BB1，∴NQ=?//MC，

∴四邊形NQMC是平行四邊形，∴NC//MQ，

∵CN?平面AB1M，MQ?平面AB1M，

∴CN//平面AB1M.【解析】本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

(1)取AB1的中點Q，連結(jié)NQ，MQ，推導(dǎo)出四邊形NQMC是平行四邊形，NC//MQ，由此能證明CN//平面AB1M.

(2)取BB19.【答案】解：(1)向量m=(a,3b)與n=(cosA,sinB)平行，

∴asinB=3bcosA，

∴si【解析】(1)利用平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示可得asinB=3bcosA，又sinB≠0，結(jié)合正