解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i=h/l=tanα．（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質(zhì)也是解直角三角形問題．應(yīng)用領(lǐng)域：①測量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)．（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角．TOC\o"1-1"\h\u題型一仰角與俯角問題 3題型二方向角問題 4題型三坡度坡角問題 5題型四其他問題 6題型一仰角與俯角問題1．A點有一個無人機，一個人在B點觀測，離B點處C點有一棟建筑物高，無人機水平向右以的速度飛行．（1）無人機的高度為_____________．（2）無人機離開視線的時間為_____________．（參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：（1）如圖，過點A作于點H，過點D作于點E，則，根據(jù)題意得：，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，，在中，，∴，解得：，∴，答：無人機的高度為；故答案為：（2）如圖，延長交直線于點F，過點B作于點G，則當無人機到達點F時，無人機離開視線，由（1）得：，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵無人機水平向右以的速度飛行，∴所需時間為，即無人機離開視線的時間為．故答案為：2．無人機是利用無線電遙控設(shè)備和自備的程序控制裝置操縱的不載人飛機，在跟蹤、定位、遙測、數(shù)據(jù)傳輸?shù)确矫姘l(fā)揮著重要作用，在如圖所示的某次測量中，無人機在小山上方的A處，測得小山兩端B，C的俯角分別是45°和30°，此時無人機距直線的垂直距離是200米，則小山兩端B，C之間的直線距離是___________米（結(jié)果保留準確值）．【解答】解：如圖，作于D，則米，∵，，∴，，∴米，米，∴米，故答案為：．3．如圖所示，體育場內(nèi)一看臺與地面所成夾角為，看臺最低點A到最高點B的距離米，A，B兩點正前方有垂直于地面的旗桿，在A，B兩點處用儀器測量旗桿頂端E的仰角分別為和．(1)求的長；(2)求旗桿的高．【解答】（1）解：∵，∴．又，∴．∵，∴．∴．∴．∴米．故的長為米；（2）解：在中，∵∴(米)答：旗桿的高度為15米．4．2022年8月21日，重慶市北碚區(qū)縉云山突發(fā)山火，山火無情，人間有愛，各地消防迅速出動，沖鋒在前，共抗險情．消防員在縉云山山腳A觀測到一處著火點D的仰角為30°，然后沿著坡比為的斜坡前進104米到達B處平臺，繼續(xù)前進到達C，測得斜坡CD的坡角為37°，沿斜坡CD前行800米到達著火點D．(1)求著火點D距離山腳的垂直高度；(2)已知消防員在平地的平均速度為4m/s，求消防員通過平臺BC的時間．（保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解答】（1）解：如圖所示，過點分別作水平線的垂線，垂足分別為，延長交于點，則四邊形是矩形，則，依題意，，，，在中，，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴,,在中，，∴(米)，即著火點D距離山腳的垂直高度為米；（2）解：依題意，，∴，∵中，，又,∴（米），∵消防員在平地的平均速度為4m/s，∴消防員通過平臺BC的時間為（秒）．5．小偉和爸爸一起去野外放風(fēng)箏，不慎，兩個風(fēng)箏在空中處纏繞在一起，如圖，小偉在地面上的處測得點的仰角為，爸爸在距地面米高的處即米測得點的仰角為，已知、、在一條直線上，，，米，求此時風(fēng)箏處距地面的高度結(jié)果保留根號【解答】解：如圖，過點C作于點E．∵，，，∴．∴四邊形為矩形．∴米，．設(shè)米，則米．在中，∵，∴米．∴米．在中，∵，∴，解得，∴（米）．即此時風(fēng)箏P處距地面的高度為米．6．小明想利用所學(xué)知識來測量大雁塔的高度，測量方案如下：如圖，小明通過調(diào)整測角儀的位置，在塔周圍的點處用測角儀測得塔頂部的仰角為（測角儀的高度忽略不計）．接著，在陽光下，小明從處沿著方向向前走米，到達塔在太陽光下的影子末端處，在處豎立一米長的標桿，此時標桿在太陽光下的影長為米．已知、、、四點在同一直線上，，，請結(jié)合以上數(shù)據(jù)求大雁塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】解：設(shè)該塔的高度為米．∵，，∴，∵，∴．∵太陽光線是平行光線，∴，∴，∴，∴，解得：．答：該塔的高度為米．7．重慶有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北區(qū)塔子山的文峰塔被稱為是重慶的“航標”．小宇與小航準備測量塔子山文峰塔的高度，如圖，小宇在點處觀測到文峰塔最高點的仰角為，再沿正對文經(jīng)塔的方向前進至處測得最高點的仰角為，小航先在點處豎立長為標桿，再后退至其眼睛所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上，此時測得最高點的仰角為，已知兩人身高均為（頭頂?shù)窖劬Φ木嚯x忽略不計）．(1)求文峰塔的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)測量結(jié)束時小宇站在點處（點在點的正下方），小航站在點處，則小宇與小航相距多遠？（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：）【解答】（1）解：如圖，設(shè)交于點，解：設(shè)米，在中，，∴，∴，在中，，，∴，又∵米，∴，解得：，∴米，又∵米，∴（米），答：文峰塔的高度約為米．（2）解：如圖，設(shè)交于點，解：在中，，，米，，∴米，∵米，∴米，∴米，∴米，答：小宇與小航相距米．8．2022年11月29日，搭載神舟十五號載人飛船的運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射．運載火箭從發(fā)射點O處發(fā)射，當火箭到達A處時、在地面雷達站C處測得點A的仰角為，在地面雷達站B處測得點A的仰角為．已知，O、B、C三點在同一條直線上，求B、C兩個雷達站之間的距離（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）．【解答】解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，即B、C兩個雷達站之間的距離為．9．2022年我國航天事業(yè)捷報頻傳，神舟十五號于2022年11月29日23時08分成功發(fā)射，震撼人心，屆時6名航天員將同住空間站，見證中國空間站的正式建成，是我國航天史上首次在軌輪換，也是我國航天史上里程碑的一刻，彰顯了中國航天的先進性，對人類發(fā)現(xiàn)大自然神秘面紗具有不可估量的意義．當神舟十五號從地面到達點A處時，在P處測得A點的仰角為30°且A與P兩點的距離為8千米，它沿鉛垂線上升6秒后到達B處，此時在P處測得B點的仰角為45°，求神舟十五號從A處到B處的平均速度．（結(jié)果精確到1m/s，取，）【解答】解：由題意可得：，，千米，，在中，∴（千米），（千米），在中，（千米），故（千米）米，則神舟十五號從A處到B處的平均速度約為：（米/秒），答：神舟十五號從A處到B處的平均速度約為488米/秒．10．為了測量學(xué)校旗桿（垂直于地面）的高度，班里一個興趣小組設(shè)計了如下的測量方案如圖：在測量中，線段表示旗桿的高度，線段、表示測角儀的高度，點A、B、C、D、E、F在同一豎直平面內(nèi)，CE表示兩次測角儀擺放位置之間的距離，測角儀測得旗桿頂端A的仰角，，米，米，請你利用測量的數(shù)據(jù)計算旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：連接交于點，由題意，可知：，，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴米，，∴，∴四邊形為矩形，∴米，在中，，∴；在中，，∴；∴，∴米，∴米．∴旗桿的高度為米．11．萬科廣場已成為人們周末休閑娛樂的重要場所，從一樓到二樓有一自動扶梯（如圖1），圖2是側(cè)面示意圖，已知自動扶梯的坡度（或坡比），米，是二樓樓頂，，點B在上且在自動扶梯頂端C的正上方，若，在自動扶梯底端A處測得B點仰角為40°，求二樓的層高．（精確到0．1米，參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：如圖所示，延長交于D，∵，，∴，即，∵自動扶梯的坡度（或坡比），∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴米（負值舍去），∴米，在中，，∴米，∴米，∴二樓的層高約為米．12．如圖，從甲樓底部處測得乙樓頂部處的仰角是，從甲樓頂部處測得乙樓頂部處的俯角是，已知兩樓之間的距離，求這兩幢樓的高度（結(jié)果保留根號）．【解答】解：如圖，過點作，交于點．在中，，∴．∵，∴，，．在中，，∴．∴．答：甲樓的高度為，乙樓的高度為．13．教育部頒布的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》要求每位學(xué)生每學(xué)年都要參加社會實踐活動，某學(xué)校組織了一次測量探究活動．如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為，沿坡面向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為，已知山坡的坡度，米，米．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)，，）(1)求點B距水平地面的高度；(2)若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由．【解答】（1）解：過點B作于點M，由題意可知，，

設(shè)米，米，則米∴，解得，∴米，米，即點B距水平地面的高度為5米．（2）解：作于點N，∵，，∴四邊形是矩形．∴米，米．在中，，∴米，米，

在中，，米，∴米∴米∵，∴該公司的廣告牌不符合要求．14．數(shù)學(xué)課外實踐活動小組要測量某路燈的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測角儀進行測量，測量結(jié)果如下：測量項目測量數(shù)據(jù)從A處測得路燈頂部P的仰角α從D處測得路燈頂部P的仰角β測角儀到地面的距離兩次測量時測角儀之間的水平距離計算路燈頂部到地面的距離約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到0.1米．）【解答】解：如圖：延長交于點F，由題意得，，，設(shè)，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴∴，∴，路燈頂部到地面的距離約為3.4米．15．如圖，為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，九年級數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組，根據(jù)光的反射定律可知，，利用鏡子、皮尺和測角儀等工具，按以下方式進行測量：把鏡子放在點O處，然后觀測者沿著水平直線BO后退到點D，這時恰好能在鏡子里看到旗桿頂點A，此時測得觀測者觀看鏡子的俯角，觀測者眼睛與地面距離，，求旗桿AB的高度．（結(jié)果取整數(shù)，）【解答】解：由題意知，∵，∴，∴，∴．∴，即，∴，答：旗桿AB的高度約為．16．如圖，修筑鐵路時需打通小山修一條隧道.測繪時用一架無人機沿直線飛行，飛行高度為1200米，在處測得隧道一端處的俯角為37°，飛行2800米后到達處測得隧道另一端處的俯角為76°，已知，，，四點在同一平面內(nèi)，且，求隧道的長．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解答】解：作，，垂足分別為，，如圖所示：，在中，，則，（米），在中，，則，（米），答：隧道的長約為1500米．17．無人機愛好者小新嘗試利用無人機測量他家所住的樓房的高度．小新站在距離樓房60米的O處，他操作的無人機在離地面高度米的P處，無人機測得此時小新所處位置O的俯角為，樓頂A處的俯角為．（O，P，A，B在同一平面內(nèi)）(1)求樓房的高度；(2)在（1）的條件下，若無人機保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向繼續(xù)勻速向前飛行，請問：經(jīng)過多少秒，無人機剛好離開小新的視線？【解答】（1）解：作，交于，，交于，由題意可知，，米，米，則米，∴米，∵，，易知四邊形為矩形，與飛行方向平行，∴，米，，∴米，∴米；（2）延長與飛行方向相交于，由（1）知米，米，∴，∴，∴，，∴米，∵無人機保持現(xiàn)有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向繼續(xù)勻速向前飛行，∴無人機剛好離開小新的視線的時間為：秒，即：經(jīng)過15秒，無人機剛好離開小新的視線．18．如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理”做成宣傳牌（），放置在教學(xué)樓棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為．已知山坡的坡度為，m，m．(1)求點距水平面的高度．(2)求宣傳牌的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：，）【解答】（1）解：在中，，∴設(shè)，則，∵，由勾股定理得，答：點距水平面的高度是米；（2）解：在中，，∴，在中，，即，如圖，過點作，垂足為，，，在中，，∴，∴答：廣告牌的高度約為米．19．如圖，某建筑物樓頂掛有廣告牌，小華準備利用所學(xué)的在角函數(shù)知識估測該建筑的高度．由于場地有限，不便測量，所以小華從點A處滑坡度為的斜坡步行30米到達點P處，測得廣告牌底部C的仰角為45°，廣告牌頂部B的仰角為53°，小華的身高忽略不計，已知廣告牌米．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求P處距離水平地面的高度；(2)求建筑物的高度．【解答】（1）過點P作于H，∵，∴設(shè)，，∴，∵從點A處滑坡度為的斜坡步行30米到達點P處，∴，∴，∴．（2）解：過點P作于G，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，在中，，，∴，∴，即，∴．20．如圖，坡的坡度為，坡面長26米，，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡(請將下面兩小題的結(jié)果都精確到米，參考數(shù)據(jù)：)．(1)若修建的斜坡的坡角(即)恰為，則此時平臺的長為多少米？(2)坡前有一建筑物，小明在D點測得建筑物頂部H的仰角為30°，在坡底A點測得建筑物頂部H的仰角為60°，點B、C、A、G、H在同一平面內(nèi)，點C、A、G在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？【解答】（1）解：∵坡的坡度為，坡面長26米，D為的中點，∴，，∴，∴，，∵，∴，而，∴，，∴（米）；則平臺的長為7米；（2）過點D作，垂足為P．在中，，同理可得：，在矩形中，，，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴（米），答：建筑物高約為米．21．如圖，一樓房后有一假山，其坡度為，山坡坡面上點處有一休息亭，測得假山坡腳與樓房水平距離米，與亭子距離米，小麗從樓房頂處測得點的俯角為．(1)求休息亭所處的高度（即點到水平地面的距離）；(2)求樓房的高．（注：結(jié)果保留根號）【解答】（1）解：過點作的延長線于，如圖所示：∵在中，，∴，∴米，即休息亭所處的高度是10米；（2）解：過作于點，如圖所示：四邊形是矩形，∴，，由（1）知米，，∴在中，米，∴米，米，∵小麗從樓房頂處測得點的俯角為，∴，∵，∴，∴米，∴米，即樓房的高為米．22．如圖，，為兩個建筑物，建筑物的高度為米，從建筑物的頂部A點測得建筑物的頂部C點的俯角為，測得建筑物的底部D點的俯角為．(1)求兩建筑物兩底部之間的水平距離的長度；(2)求建筑物的高度（結(jié)果保留根號）．【解答】（1）解：根據(jù)題意得，在中，∴，∴（米）答：兩建筑物兩底部之間的水平距離的長度為15米；（2）延長交于點F，根據(jù)題意可知四邊形是正方形，∴，在中，∵，∴，∵，∴，答：建筑物的高度為米．23．如圖是重慶歡樂谷的一個大型娛樂設(shè)施——“重慶之眼”摩天輪，它是全球第六、西南最高的觀光摩天輪．如圖2，小嘉從摩天輪最低處出發(fā)先沿水平方向向左行走48米到達點，再經(jīng)過一段坡度為，坡長為13米的斜坡到達點，然后再沿水平方向向左行走40米到達點．在處小嘉操作一架無人勘測機，當無人勘測機飛行至點的正上方點時，測得點處的俯角為，摩天輪最高處的仰角為．所在的直線垂直于地面，垂足為，點、、、、、、在同一平面內(nèi)，求的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【解答】過于，過作于，如圖所示，則，，，，，∴，∵斜坡的坡度為，，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴的高度約為109米．24．一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作，在點P處測得正前方水平地面上某建筑物的頂端A的的俯角為.面向AB方向繼續(xù)飛行5米，測得該建筑物底端B的俯角為.已知建筑物的高為3米，求無人機飛行的高度，（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，）【解答】解：過A作，交的延長線于C，如圖所示：設(shè)米，由題意得：米，，在中，，∴（米），在中，，∴米，∵米，∴，解得：，∴（米），答：無人機飛行的高度約為米．25．如圖，在那大鎮(zhèn)中興大道的路邊有一塊宣傳“社會主義核心價值觀”豎直標語牌．有工作人員在馬路的對面的一處平臺點測得標語牌頂端處的仰角為，測得平臺在地面的底端處的俯角為（在同一條直線上），平臺的斜坡，標語牌底端到地面的距離，求標語牌的長（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，【解答】解：作于點，如圖所示：在中，，，，∴，，在中，，，∴，∴∴（精確到米），答：標語牌的長約為米．題型二方向角問題1．如圖，琪琪開車從地出發(fā)，沿著北偏東的方向行駛，到達地后沿著南偏西的方向行駛來到地，且地恰好位于地正東方向上，則下列說法止確的是（

）A．地在地的北偏東50°方可上 B．C．地在地的南偏西60°方向上 D．【解答】解：過O作于C，過作，∴，∵，∴，∴，∴O地在B地的北偏東方向上，故A不符合題意；∵，∴，∴，故B不符合題意；∴A地在O地的南偏西方向上，C符合題意；∵，∴，故D不符合題意；故選：C．2．如圖所示，某施工方計劃把一座山的，兩點用隧道打通，并利用北斗衛(wèi)星定位技術(shù)確定，，三點在東西方向的同一條直線上．在隧道沒有打通之前，技術(shù)監(jiān)督員李工每天需要駕車先從隧道口點向正西行駛到達點，然后再沿南偏東方向行駛到達點，接著再沿北偏東方向行駛一段路程才能到達隧道口，則隧道的長度為______．【解答】解：如圖，過點作，交于點，則，由題意，得：，，在，在，，∴，∴；故答案為：．3．如圖，點P，A，B，C在同一平面內(nèi)，點A，B，C在同一直線上，且，在點A處測得點P在北偏東方向上，在點B處測得點P在北偏東方向上，若千米，則A，B兩點的距離為______千米．（結(jié)果保留根號）【解答】解：∵，在點A處測得點P在北偏東方向上，∴，，∵千米，∴千米，千米，∵在點B處測得點P在北偏東方向上，∴，∴千米，∴千米，故答案為：．4．如圖，小南家A位于一條東西走向的筆直馬路上，超市B在A地的正東方．午休時間，小南從家A出發(fā)沿北偏東60°方向步行600米至菜鳥驛站C取快遞．下午第一節(jié)網(wǎng)課是美術(shù)課，此時距離上課時間只有7分鐘，他決定先沿西南方向步行至超市B購買素描畫紙，再沿正西方向回到家上網(wǎng)課．（參考數(shù)據(jù)：，）(1)求菜鳥驛站C與超市B的距離（精確到個位）；(2)若小南的步行速度為80米/分鐘，那么他上美術(shù)網(wǎng)課會遲到嗎？請說明理由．（忽略小南買素描畫紙的時間）【解答】（1）過點C作交的延長線于點D，由題意知，，，在中，，∴．在中，，∴，∴．∴．答：菜鳥驛站C與超市B的距離424米．（2）會遲到，理由如下：在中，，∴，∵，∴，∴．∵，∴小南上美術(shù)網(wǎng)課會遲到．5．如圖，一艘船自南向北航仃，在處時看到燈塔在船的北偏東的方北向上，從處繼續(xù)航行海里到達處，看到燈塔在船的北偏東的方向上，已知于點，若繼續(xù)沿正北方向航行，求航行過程中船距燈塔的最近距離．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【解答】解：由題意知，，，，在中，，在中，.∴．答：航行過程中船距燈塔S的最近距離約是海里6．如圖是體育公園步道示意圖．從A處和得點B在北偏東，測得點C在北偏東，在點C處測得點B在北偏西，米．(1)求步道的長度（結(jié)果保留根號）；(2)游客中心Q在點A的正東方向，步道與步道交于點P，測得，小明和爸爸分別從B處和A處同時出發(fā)去游客中心，小明跑步的速度是每分鐘米，請計算說明爸爸的速度要達到每分鐘多少米，他倆可同時到達游客中心．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】（1）解：如圖，由A處和得點B在北偏東，測得點C在北偏東，可知，，由在點C處測得點B在北偏西，可知，∴，∴，∵，∴（米）（2）作，交延長線于，由（1）可知，，，∵，∴，∵，∴，∴，，則：，小明到達游客中心所需時間為：分鐘，若要同時到達，則爸爸的速度為：米即：爸爸的速度要達到每分鐘25.1米，他倆可同時到達游客中心．7．如圖，在一片海域中有三個島嶼，標記為．經(jīng)過測量島嶼在島嶼的北偏東，島嶼在島嶼的南偏東，島嶼在島嶼的南偏東．(1)直接寫出的三個內(nèi)角度數(shù)；(2)小明測得較近兩個島嶼，求的長度（最終結(jié)果保留根號，不用三角函數(shù)表示）．【解答】（1）解：經(jīng)過測量島嶼在島嶼的北偏東，島嶼在島嶼的南偏東，島嶼在島嶼的南偏東，在圖上標出度數(shù)如圖所示：，，，，，的三個內(nèi)角度數(shù)為：，，；（2）解：如圖所示：過點作交的延長線于點，，由（1）得，，，，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，（舍），，，，的長為，的長為．8．如圖，直線表示城市高架快速路，為了解快速路對周邊居民的噪聲影響，勘測師在快速路直線上的處測得小區(qū)在的南偏西方向距離為80米，小區(qū)在的北偏西方向距離為60米．(1)分別求小區(qū)，到快速路（直線）的距離；(2)居住場所與快速路的距離不大于50米時，居民的生活將受到影響．相關(guān)部門準備對受到影響的路段加裝隔音墻，若每米隔音墻的單價為300元/米，請你判斷小區(qū)和是否受到影響？如果有影響，計算安裝隔音墻所需費用．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)）【解答】（1）解：如圖，過作于，過作于，則，由題意得，，，米，米，∴（米），（米）；答：小區(qū)，到快速路（直線）的距離分別為米，30米；（2）∵小區(qū)，到快速路（直線）的距離分別為米，30米，∴小區(qū)不受影響，小區(qū)受影響，設(shè)在直線上從到處受影響，則米，∵米，∴（米），∴（米），∴安裝隔音墻需要資金為：（元）9．某次軍事演習(xí)中，有三艘船在同一時刻向指揮所報告：A船說B船在它的正東方向，C船在它的北偏東方向；B船說C船在它的北偏西方向；C船說它到A船的距離比它到B船的距離遠40km．求A，B兩船的距離（結(jié)果精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：，，∴，即是直角三角形，，，又∵，∴，解得：km答：A，B兩船的距離為160.0km.10．習(xí)近平總書記指出“沒有全民健康，就沒有全面小康”，全民健身被越來越多的人接納，人們的健身方式更加多元，健身場地更加豐富，沿河跑步也成為一種時尚．九年級學(xué)生小明在河邊跑步時，決定用數(shù)學(xué)知識計算河的寬度，如圖是一條河的示意圖，小明沿河岸跑步，對岸EF上有兩棵大樹A，B，當小明跑到C處時，測得大樹A在北偏東方向，小明繼續(xù)跑步5分鐘到達D處，此時大樹B剛好在北偏西方向，已知，，小明跑步的平均速度是每分鐘，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出該段河的寬度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，）【解答】解：過點A作于點M，過點B作于點N，則，∵，∴，四邊形是矩形，∴，設(shè)，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，即該段河的寬度約是．11．小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走到達C處，再沿北偏東方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同.求(1)的度數(shù)；(2)公園北門A與南門B之間的距離.（結(jié)果取整數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，）【解答】（1）如圖，作于E，于F又，；（2）解：如圖，作于E，于F，，四邊形是矩形，，，設(shè)，則，在中，，，在中，，，，，解得：，，，，，由勾股定理得，，，答：公園北門A與南門B之間的距離約為．12．為了測量一條兩岸平行的河流寬度，三個數(shù)學(xué)研究小組設(shè)計了不同的方案，他們在河南岸的點處測得河北岸的樹恰好在的正北方向．測量方案與數(shù)據(jù)如下表：課題測量河流寬度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量小組第一小組第二小組第三小組測量方案示意圖說明點，在點的正東方向點，在點的正東方向點在點的正東方向，點在點的正西方向測量數(shù)據(jù)，，．，，．，，．(1)哪個小組的數(shù)據(jù)無法計算出河寬？(2)請選擇其中一個方案及其數(shù)據(jù)求出河寬（精確到）；（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）(3)計算的結(jié)果和實際河寬有誤差，請?zhí)岢鲆粭l減小誤差的合理化建議．【解答】（1）解：第二小組，∵中，由，可求，只有角之間關(guān)系，沒有線段的關(guān)系量，無具體長度，而且與沒有聯(lián)系，無法求出河寬；（2）第一個小組的解法，在中，，在中，∵，∴，∴，∴，答：河寬約為；第三個小組的解法：∵，∴在中，，在中，，∵，∴，即，解得，答：河寬為；（3）①在測量前先校準測量儀器，消除測量系統(tǒng)誤差；②注意測量儀器的使用環(huán)境要求，如溫度、濕度、氣壓等等。確保測量在最佳環(huán)境下進行；③確保測量過程和數(shù)據(jù)讀取的正確，應(yīng)嚴格遵循測量標準或測量儀器的要求；④對每個數(shù)據(jù)應(yīng)多次測量，并求平均值和方差，減小測量過程中的隨機誤差．13．嘉淇看到這樣一道題目：如圖，某巡邏船在A處測得一艘敵艦在北偏東31°的B處，衛(wèi)星測得相距6海里，巡邏船靜止不動，6分鐘后測得該敵艦在巡邏船的北偏東的C處，此時衛(wèi)星信號突然中斷，已知該敵艦的航速為30海里/小時．嘉淇過點C作于D，設(shè)海里，請你幫她接著解決以下問題：(1)______海里（用含x的代數(shù)式表示）；(2)求敵艦在C處時與巡邏船的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解答】（1）根據(jù)題意得，，海里在中，海里，∴∴∴海里，故答案為：；（2）∵，∴∴，即解得，又∴（負值舍去）當時，海里當時，海里∴敵艦在C處時與巡邏船的距離為7或4海里14．超速行駛是一種十分危險的違法駕駛行為，在一條筆直的高速公路MN上，小型車限速為每小時120千米，設(shè)置在公路旁的超速監(jiān)測點C，現(xiàn)測得一輛小型車在監(jiān)測點C的南偏西方向的A處，7秒后，測得其在監(jiān)測點C的南偏東方向的B處，已知米，B在A的北偏東方向，請問：這輛車超速了嗎？通過計算說明理由．【解答】該車超速了，理由如下：過C點作于F點，如圖，根據(jù)題意可知：，，，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，米，∴，∴米，米，∴（米），∴汽車的速度為：（米/秒）（千米/小時），∵，∴該車超速了．15．琪琪周末與爸爸媽媽一起到保定新建黃花溝公園進行數(shù)學(xué)實踐活動，在A處看到B，C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，她在A處測得B在北偏西方向上，C在北偏東方向上，她從A處走了40米到達B處，又在B處測得C在北偏東方向上(1)求的度數(shù)．(2)求兩棵銀杏樹B，C之間的距離（結(jié)果保留根號）．【解答】（1）解：設(shè)與交于點，由題意得，且，，且，；（2）解：過點作于．，，在中，米，，(米)，在中，，(米)，(米)，，(米)，米，答：兩棵銀杏樹、之間的距離為米．16．在我市某海域內(nèi)有三個港口．港口在港口北偏東方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小時20海里的速度沿北偏東的方向駛離港口5小時后到達點位置處，此時發(fā)現(xiàn)船艙漏水，海水以每小時36噸的速度滲入船內(nèi)．當船艙滲入的海水總量超過100噸時，船將沉入海中．同時在處測得港口在處的南偏東方向上．若船上的抽水機每小時可將16噸的海水排出船外，問：(1)此船在處距離哪個港口最近？為什么？(2)此船在處至少應(yīng)以怎樣的航行速度駛向最近的港口?？浚拍鼙ＷC船在抵達港口前不會沉沒？并指出此時船的航行方向．【解答】（1）解：連接，過點作于點，根據(jù)題意，可得，∴，，∵，∴，∵該船以每小時20海里的速度沿北偏東的方向駛離港口5小時后到達點位置處，∴（海里），∵，∴（海里），∵在處測得港口在處的南偏東方向上，即，∴，∴，∴，∴（海里），∴在中，（海里），∴，∵為直角三角形，，∴，綜上所述，港口離點位置最近，為海里；（2）設(shè)由駛向港口，該船的速度為每小時海里，則根據(jù)題意，可有，解該不等式，可得（海里），答：該船應(yīng)以速度至少為海里/時，才能保證船在抵達港口前不會沉沒．船的航行方向為南偏東．17．“一方有難，八方支援”，新冠疫情期間，各地醫(yī)療隊星夜馳援鄭州抗疫．一名醫(yī)務(wù)工作者從賓館C出發(fā)，沿北偏東的方向行走1000米到達A處，后又從A處沿正南方向行走一段距離到達位于賓館南偏東方向的B處，如圖所示，若這名工作者以100米/分的速度從B處返回賓館，那么他在10分鐘內(nèi)能否到達賓館？（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解答】解：過作于，由題意可得：，，米，（米），在中，，（米），這名工作者以100米分的速度從處返回賓館，他到達賓館需要的時間為（分）分，這名工作者在10分鐘內(nèi)能到達賓館．18．“愚公移山”是我國著名寓言故事，它告訴了我們堅持不懈的道理．某日，小張穿越至愚公的年代，碰到了移山的眾人．(1)在運輸山石等雜物時，有兩條路可行，已知，間的直線距離為里（如圖所示）．線路：折線，已知點在點東北方向，點在點東偏南方向，，且，間的距離為里；線路：以為直徑的半圓．如果僅從遠近考慮，小張應(yīng)該告知愚公選取哪一條線路使得路程更短？請你通過計算說明理由．(2)愚公為了能夠更精確地了解所移之山的高度，請求小張幫其測量．如圖所示，已知在山的后方有一座高米的小山，小張站在線段上的點處，米，此時小張測得點的仰角為，隨后小張到達小山山頂點處測得點的仰角為，請你幫小張求出山高的值．（結(jié)果保留位有效數(shù)字，以下為參考三角比與數(shù)值）；；；；【解答】（1）解：如圖，過點分別作的垂線，垂足分別為，∵，∴，依題意，，，則，，∵，∴，在中，，在中，，，∵,∴，解得：∴,∴，∵，∴路線2，半圓的路程為，所以線路：折線的路程更短；（2）解：如圖，設(shè)于點，連接，過點作于點，則是矩形，∴，，，依題意，，，則在中，，∴，∴，∵∴，∵∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，在中，，在中，（米），∴山高為米．19．小明周未與父母一起到眉山濕地公園進行數(shù)學(xué)實踐活動，在處看到處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在處測得在西北方向，在北偏東方向，他從處走了20米到達處，又在處測得在北偏東方向．(1)求的度數(shù)；(2)求兩棵銀杏樹之間的距離．（結(jié)果保留根號）【解答】（1）解：如圖示，過點作交于點，∵且，∴，∵且，∴；（2）解：過點作于，∵，∴，在Rt中，，，，在Rt中，，，，，，，答：兩顆銀杏樹之間的距離為米．20．如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的島，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的東南方向上的島，求、兩島之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）【參考數(shù)據(jù)：，，】【解答】解：如圖，過點作于點，在中，，，∵，，∴（海里），（海里），在中，，，∴（海里），∴（海里），∴、兩島之間的距離約為海里．21．如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行60海里至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向．，，，結(jié)果精確到海里）(1)∠ACB=°；(2)求、兩港之間的距離．【解答】（1）解：∵港在港北偏東方向，在港北偏西方向，∴；故答案為：；（2）解：由題意得，，，海里，如圖，過點作于，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴里，在中，，，∴海里，∴海里，答：兩港之間的距離約為海里．22．如圖所示，一艘漁船以海里/時的速度由西向東航行．在處看見小島在船北偏東的方向上．后，漁船行駛到處，此時小島在船北偏東的方向上．已知以小島為中心，海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū)，如果這艘漁船繼續(xù)向東航行，有沒有進入危險區(qū)的可能？【解答】解：如圖所示，在點處作表示正北方向，過點作于，∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴（千米），在中，∵，，∴，∴這艘漁船繼續(xù)向東航行，沒有進入危險區(qū)域的可能．23．如圖所示，位于A處的海上救援中心獲悉：在其北偏西方向的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．該中心立即把消息告知在其西北方向（即北偏西）相距24海里的C處的救生船，并通知救生船，遇險漁船在它的正西方向B處，現(xiàn)救生船沿著航線前往B處救援，若救生船的速度為20海里/時，請問：救生船到達B處大約需要多長時間？（結(jié)果精確到小時）參考數(shù)據(jù)：，，．【解答】解：如圖，延長交于點D，則于點D，在中，，，（海里），在中，，，，（海里），（海里），救生船到達點B處大約需要：（小時），答：救生船到達點B處大約需要小時．24．活動小組的同學(xué)為了測量某棵大樹與建筑物間的距離，在大樹A處測得建筑物B位于北偏東，他們向南走50到達D點，測得建筑物B位于北偏東．求大樹與建筑物之間的距離AB的長（參B考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到1）．【解答】如圖，過點B作，垂足為C，∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，解得，∴．答：大樹與建筑物之間的距離AB的長約為137m．題型三坡度坡角問題1．如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡度，若垂直高度米，則迎水坡的長度為______米．【解答】解：∵迎水坡的坡度，∴，∵米，∴米，∴米．故答案為：2．教育部頒布的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》要求每位學(xué)生每學(xué)年都要參加社會實踐活動，某學(xué)校組織了一次測量探究活動．如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為，沿坡面向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為，已知山坡的坡度，米，米．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)，，）(1)求點B距水平地面的高度；(2)若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由．【解答】（1）解：過點B作于點M，由題意可知，，

設(shè)米，米，則米∴，解得，∴米，米，即點B距水平地面的高度為5米．（2）解：作于點N，∵，，∴四邊形是矩形．∴米，米．在中，，∴米，米，

在中，，米，∴米∴米∵，∴該公司的廣告牌不符合要求．3．北京冬奧會的滑雪大跳臺在2022年北京冬奧會后成為世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳臺場館，成為專業(yè)體育比賽和訓(xùn)練場地．如圖，大跳臺的橫截面ABCD為梯形、高為136米、賽道AB邊的坡比為．由于下雪造成賽道積雪至跳臺底部E處，從E處測得跳臺頂部A處的仰角為58°．(1)請求出的值；(2)試求出BE的長．（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】（1）賽道AB邊的坡比為（2）過點A作交CE于點F則，在中，∴在中，∴∴答：BE長度約為3.4米．4．2022年8月21日，重慶市北碚區(qū)縉云山突發(fā)山火，山火無情，人間有愛，各地消防迅速出動，沖鋒在前，共抗險情．消防員在縉云山山腳A觀測到一處著火點D的仰角為30°，然后沿著坡比為的斜坡前進104米到達B處平臺，繼續(xù)前進到達C，測得斜坡CD的坡角為37°，沿斜坡CD前行800米到達著火點D．(1)求著火點D距離山腳的垂直高度；(2)已知消防員在平地的平均速度為4m/s，求消防員通過平臺BC的時間．（保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解答】（1）解：如圖所示，過點分別作水平線的垂線，垂足分別為，延長交于點，則四邊形是矩形，則，依題意，，，，在中，，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴,,在中，，∴(米)，即著火點D距離山腳的垂直高度為米；（2）解：依題意，，∴，∵中，，又,∴（米），∵消防員在平地的平均速度為4m/s，∴消防員通過平臺BC的時間為（秒）．5．如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理”做成宣傳牌（），放置在教學(xué)樓棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為．已知山坡的坡度為，m，m．(1)求點距水平面的高度．(2)求宣傳牌的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：，）【解答】（1）解：在中，，∴設(shè)，則，∵，由勾股定理得，答：點距水平面的高度是米；（2）解：在中，，∴，在中，，即，如圖，過點作，垂足為，，，在中，，∴，∴答：廣告牌的高度約為米．6．如圖，坡的坡度為，坡面長26米，，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體(用陰影表示)修建一個平行于水平線的平臺和一條新的斜坡(請將下面兩小題的結(jié)果都精確到米，參考數(shù)據(jù)：)．(1)若修建的斜坡的坡角(即)恰為，則此時平臺的長為多少米？(2)坡前有一建筑物，小明在D點測得建筑物頂部H的仰角為30°，在坡底A點測得建筑物頂部H的仰角為60°，點B、C、A、G、H在同一平面內(nèi)，點C、A、G在同一條水平直線上，問建筑物高為多少米？【解答】（1）解：∵坡的坡度為，坡面長26米，D為的中點，∴，，∴，∴，，∵，∴，而，∴，，∴（米）；則平臺的長為7米；（2）過點D作，垂足為P．在中，，同理可得：，在矩形中，，，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴（米），答：建筑物高約為米．7．如圖，一樓房后有一假山，其坡度為，山坡坡面上點處有一休息亭，測得假山坡腳與樓房水平距離米，與亭子距離米，小麗從樓房頂處測得點的俯角為．(1)求休息亭所處的高度（即點到水平地面的距離）；(2)求樓房的高．（注：結(jié)果保留根號）【解答】（1）解：過點作的延長線于，如圖所示：∵在中，，∴，∴米，即休息亭所處的高度是10米；（2）解：過作于點，如圖所示：四邊形是矩形，∴，，由（1）知米，，∴在中，米，∴米，米，∵小麗從樓房頂處測得點的俯角為，∴，∵，∴，∴米，∴米，即樓房的高為米．8．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了26米到達點A，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為．(1)求坡頂A到地面的距離；(2)計算古塔的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】（1）解：過點A作于H，如圖所示：∵斜坡的坡度為，∴，設(shè)，則，則，，解得：，，坡頂A到地面的距離為米．（2）解：延長交于D，如圖所示：，，，∴，四邊形是矩形，，，，∴為等腰直角三角形，，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，古塔的高度約19米．9．2022年的冬天，越來越多的游客選擇到山西九龍山滑雪場來放松一下自己，體驗一下藍藍的天空，皚皚白雪的浪漫，重溫一下兒時的激情和與大自然抗爭的成就感，更能領(lǐng)略一下冬天滑雪的魅力．圖1，圖2分別是一名滑雪愛好者在滑雪過程中某一時刻的實景圖與示意圖，此時運動員的小腿與斜坡垂直，大腿與斜坡平行，為頭部，且三點共線．若滑雪杖長為1m，，，，求此時滑雪愛好者頭部到斜坡的距離．（精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】解：如圖，連接，∵且，∴，則，，在直角中，∵，，，∴，在直角中，∵，，，∴，∴.答：此刻滑雪者頭部到斜坡的距離約為1.3m．10．某數(shù)學(xué)小組開展了一次測量小山高度的活動，如圖，該數(shù)學(xué)小組從地面A處出發(fā)，沿坡角為的山坡直線上行350米到達B處，再沿著坡角為的山坡BC直線上行600米到達C處．求小山的高度及該數(shù)學(xué)小組行進的水平距離（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：如圖，過B作于E，過B作于H，則四邊形是矩形，．在中，米，，（米），（米），．在中，米，,（米），（米）（米），（米），小山的高度CD為502米，該數(shù)學(xué)小組行進的水平距離AD為768米．11．如圖，四邊形是某速滑場館建造的滑臺，已知，滑臺的高為米，且坡面的坡度為，為了提高安全性，負責(zé)人決定降低坡度，改造后的新坡面的坡度為．(1)求新坡面的坡角及的長；(2)原坡面底部的正前方米外（米）是護墻，為保證安全，體育管理部門規(guī)定，坡面底部至少距護墻米，請問新的設(shè)計方案能否通過？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【解答】（1）解：（1）如圖，過點作，垂足為，∵新坡面的坡度為∴∴，即新坡面的坡角為，∴米（2）解：新的設(shè)計方案能通過，理由如下：∵坡面的坡度為，∴∵∴∴∴∴新的設(shè)計方案能通過．12．如圖是重慶歡樂谷的一個大型娛樂設(shè)施——“重慶之眼”摩天輪，它是全球第六、西南最高的觀光摩天輪．如圖2，小嘉從摩天輪最低處出發(fā)先沿水平方向向左行走48米到達點，再經(jīng)過一段坡度為，坡長為13米的斜坡到達點，然后再沿水平方向向左行走40米到達點．在處小嘉操作一架無人勘測機，當無人勘測機飛行至點的正上方點時，測得點處的俯角為，摩天輪最高處的仰角為．所在的直線垂直于地面，垂足為，點、、、、、、在同一平面內(nèi)，求的高度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【解答】過于，過作于，如圖所示，則，，，，，∴，∵斜坡的坡度為，，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴的高度約為109米．13．如圖，在坡頂處的同一水平面上有一座古塔，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米到達點，在坡頂處又測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋?1)求坡頂?shù)降孛娴木嚯x；(2)計算古塔的高度（結(jié)果精確到米）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】（1）解：過點作于，如圖所示：∵斜坡的坡度為，∴，設(shè)，則，則，，解得，，坡頂?shù)降孛娴木嚯x為米．（2）解：延長交于，如圖所示：，，，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，，在中，，即，解得，古塔的高度約米．14．如圖，在距某輸電鐵塔（垂直地面）的底部點H左側(cè)水平距離45米的點B處有一個山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底點B到坡頂A的距離等于30米，在坡頂A處測得鐵塔頂點G的仰角為30°（鐵塔與山坡在同一平面內(nèi)）．(1)求山坡的高度；(2)求鐵塔的高度．（結(jié)果保留根號）【解答】（1）解：如圖，過點A作，交的延長線于點D，∴，∵山坡AB的坡度，米，∴，；又∵，即，∴米，∴山坡的高度為15米；（2）解：過點A作于點H，則四邊形是矩形，由題意可知：米，∵米，∴米，在中，，∴米，又∵米，∴米，答：鐵塔的高度為米．15．如圖，一座山的一段斜坡的長度為米，且這段斜坡的坡度．已知在地面B處測得山頂A的仰角為，在斜坡D處測得山頂A的仰角為．求山頂A到地面的高度是多少米？【解答】解：作于H，于點E，則，設(shè)米．∵，∴，在中，，∴∴米，米，在中，∵，∴米，∵又，∴米，米，在中，，∴，即米，∴米答：山頂A到地面的高度是米．16．如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為，然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了26米到達點A，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為．(1)求坡頂A到地面的距離；(2)計算古塔的高度．【解答】（1）解：過點A作于點D，∵坡度為，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴米，米，即坡頂A到地面的距離為10米；（2）延長交于E，則，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，解得米，∴米即古塔BC的高度為米．17．一個足球場的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，燈桿垂直于地面，已知看臺的長為10m，的坡度，燈光受燈罩的影響，最遠端的光線與地面的夾角，最近端的光線恰好與地面交于看臺的底端C處，且與地面的夾角，A、B、C、D在同一平面內(nèi)，求的長度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：）【解答】解：如圖所示，延長交于E，在中，，的坡度，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴的長約為．18．數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想要測量一樓房的高度，如圖，樓房后有一假山，假山坡腳C與樓房水平距離為15米，其斜坡坡度為，山坡坡面上點E處有一休息亭，一名同學(xué)從坡腳C處出發(fā)沿山坡走了20米達到?jīng)鐾，在A處測得E的俯角為．(1)求點E距水平地面的高度．(2)求樓房的高．（結(jié)果保留根號）【解答】（1）解：過點E作于點F．在中，米，，即，∴，解得：（負值舍去），∴點E距水平面的高度為米；（2）解：過點E作于點H．則，．在中，，∴，由（1）得，又∵，∴，∴，∴樓房的高為米．19．王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試利用所學(xué)知識測量河對岸大樹的高度，他在點處測得大樹頂端的仰角為45°，再從點出發(fā)沿斜坡走米到達斜坡上點，在點處測得樹頂端的仰角為30°，若斜坡的坡比為（點在同一水平線上）．(1)求王剛同學(xué)從點到點的過程中上升的高度；(2)求大樹的高度（結(jié)果保留根號）．【解答】（1）過點作于點．由題意知，∴．又，，即，∴．答：王剛同學(xué)從點到點的過程中上升的高度為4米．（2）過點作于點，∵，∴．設(shè)大樹高為．∵，∴，，．又，∴，即，解得．經(jīng)檢驗，是原方程的根且符合題意．答：大樹的高度是．題型四其他問題1．如圖是某商場自動扶梯的示意圖，自動扶梯的坡角（）為，乘客從扶梯底端升到頂端上升的高度為5米，則自動扶梯的長為（

）A．米 B．米C．米 D．米【解答】解:在中，，則米，故選：C．2．如圖，某超市電梯的截面圖中，的長為15米，與的夾角為，則高是（

）A．米 B．米C．米 D．米【解答】解：在中，，的長為15米，米，故選：A．3．如圖是某路燈的示意圖，立柱與水平地面垂直，兩盞路燈掛在燈桿的異側(cè)（燈臂近似看作線段，），，．小麗（身高米）站在點P處時，點F，D，E在同一直線上，向后移動4.5米到達點Q，點G，D，B，A在同一直線上．測得米，則____米，_______米．【解答】解：過點作于點，則在同一條直線上，可得矩形，矩形，矩形，∴米，米，米，∴米，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)米，則（米），∴（米），∵，∴（米），∴（米），∴米，∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴米；∴米．故答案為：，．4．桔槔，亦叫“桔皋”．我國古代井上汲水的工具．它是在井旁架上設(shè)一杠桿，杠桿上竹竿一端A處系繩子，繩子另一端懸綁汲器，竹竿另一端B處綁石塊等重物，用不大的力量即可將灌滿水的汲器提起．桔槔的使用體現(xiàn)了我國古代勞動人民的智慧．如圖．這是《天工開物·水利》中的桔槔圖，若竹竿,兩處的距離為12m，當汲器伸到井口時，繩子受重力作用垂直于水平面．此時竹竿與繩子的夾角為．則綁重物的B端到懸綁汲器的繩子的距離是______m．（忽略提水時竹竿產(chǎn)生的形變）（參考數(shù)據(jù)：，，）【解答】解：如圖，過點作垂直懸綁汲器的繩子于，由題意得，在中，，∴，∵，，，∴，故答案為：．5．圖1是小明家電動單人沙發(fā)的實物圖，圖2是該沙發(fā)主要功能介紹，其側(cè)面示意圖如圖3所示．沙發(fā)通過開關(guān)控制，靠背和腳托可分別繞點B、C旋轉(zhuǎn)調(diào)整角度．“某某”模式時，表示，如“看電視”模式時．已知沙發(fā)靠背長為50cm，坐深長為54cm，與地面水平線平行，腳托長為40cm，，初始狀態(tài)時．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求“閱讀”模式下的度數(shù)；(2)小明將該沙發(fā)調(diào)至“聽音樂”模式時，求點A、之間的水平距離（精確到個位）．【解答】（1）∵“閱讀”模式下，∴；（2）如圖，過點A作，交的延長線于點N，過點作于點M，∵“聽音樂”模式時，∴，，∴．∵在中，，∴點A、之間的水平距離為：cm．6．如圖1是嵊州市某小區(qū)的“垃圾分類定時定點投放點”，智能化按鍵式開啟投放門的投放方式，讓嵊州人民的垃圾投放變得更智能更環(huán)保，圖2是投放門開啟后的側(cè)面示意圖，投放口擋板長45cm，擋板底部距地面高為125cm，擋板開啟后的最大張角為，求投放門前端C離開的最大距離及投放門前端C距地面的最大距離（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到1cm）【解答】解：在中，，，∴，，∴，∴投放門前端C離開的最大距離,投放門前端C距地面的最大距離為．7．某設(shè)計師結(jié)合數(shù)學(xué)知識設(shè)計一款沙發(fā)，沙發(fā)三視圖如圖一所示，將沙發(fā)側(cè)面展示圖簡化后，得到圖二所示圖形．為了解沙發(fā)相關(guān)性能，設(shè)計師將圖形放入平面直角坐標系，其中曲線AB是反比例函數(shù)的一段圖像，線段BD是一次函數(shù)：的一段圖像，點，沙發(fā)腿軸．請你根據(jù)圖形解決以下問題：(1)請求出反比例函數(shù)表達式和一次函數(shù)表達式（不要求寫x的取值范圍）；(2)過點A向x軸作垂線，交x軸于點F．已知，，，設(shè)計師想用一個長方體箱子將沙發(fā)放進去，則這個長方體箱子長、寬、高至少分別是多少？【解答】（1）將B點坐標代入反比例函數(shù)表達式：∴反比例函數(shù)表達式為代入一次函數(shù)表達式得：，解得，∴一次函數(shù)表達式為（2）如圖，作軸于M，∵，∴，∵∴∵∴當時，∴∴∵∴把代入一次函數(shù)表達式得∴，即長為60∴根據(jù)三視圖可得：長方體箱子的長、寬、高至少應(yīng)該是60、52、80．8．圖1，圖2分別是某超市購物車的實物圖與示意圖，小江獲得了如下信息：，，，，，，，．請根據(jù)以上信息，解決下列問題．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求點D到所在直線的距離．(2)求的長度．【解答】（1）解：如圖，過點D作于點N，交AE的延長線于點M，交BC的延長線于點P，過點C作于點H．在中，，，．在中，，，．，，四邊形和四邊形為矩形，；（2）解：在中，，，．，在中，，，．．9．居家網(wǎng)課學(xué)習(xí)時，小華先將筆記本電腦放置在水平的桌面上，如圖（1）所示，其側(cè)面示意圖如圖（2）所示，；使用時為了散熱，他在底板下墊入散熱架，并將顯示屏OB旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖（3）所示，其側(cè)面示意圖如圖（4）所示．已知三點在一條直線上，且（參考數(shù)據(jù)：）．(1)求散熱架底邊AC的長；(2)墊入散熱架后，顯示屏頂部比原來升高了多少cm？【解答】（1）∵，∴，∵，∴，答：AC的長約為；（2）過點B作交的延長線于D，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，因為所以顯示屏頂部比原來升高了約．10．中國傳統(tǒng)建筑屋頂設(shè)計是中國古代建筑之瑰寶．常見的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂?shù)龋鐖D1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側(cè)視圖呈軸對稱圖形，如圖2所示，已知屋檐米，屋頂E到支點C的距離米，墻體高米，屋面坡角．(1)求房屋內(nèi)部寬度的長；(2)求點A與屋面的距離．（以上結(jié)果均精確到0.1米．參考數(shù)值：，，）【解答】（1）解：如圖，過E作，交于點O，交于點H．則在中，(米)．∵是等腰三角形，∴(米)．∵四邊形是矩形，∴(米)．（2）解：如圖，過A作，交于點I．在中，(米)．在中，(米)，∴(米)，∴(米)，即點A到屋面的距離約為3.2米．11．如圖1，一種手機支架可抽象成如圖2的幾何圖形，水平底座長，伸縮臂長度可調(diào)節(jié)，并且可繞點A上下轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角變動范圍是，手機支撐片可繞點B上下轉(zhuǎn)動，，