高三數(shù)學第一輪復習

函數(shù)

講說人：肖云一、考試內容查看映射、函數(shù)、函數(shù)的單調性、函數(shù)的奇偶性；反函數(shù)、互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系；指數(shù)概念的擴充、有理指數(shù)冪的運算性質、指數(shù)函數(shù)；對數(shù)、對數(shù)的運算性質、對數(shù)函數(shù).函數(shù)的應用舉例。

二、考試要求

1．了解映射的概念，理解函數(shù)的概念(三要素）。

2．了解函數(shù)的單調性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質簡化函數(shù)圖象的繪制過程。3．了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。

4．理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質。

5．理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質。

6．能夠運用函數(shù)的性質、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質解決某些簡單的實際問題

㈠深化對函數(shù)概念的認識例1．下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是（）

ABCD分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因為過程太繁瑣．從概念看，這里應判斷對于給出函數(shù)值域內的任意值，依據(jù)相應的對應法則，是否在其定義域內都只有惟一確定的值與之對應，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結合法作判斷，這是常用方法，此題作為選擇題還可采用估算的方法．對于D，y=3是其值域內一個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D．說明：不論采取什么思路，理解和運用函數(shù)與其反函數(shù)的關系是這里解決問題的關鍵

分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因為過程太繁瑣．從概念看，這里應判斷對于給出函數(shù)值域內的任意值，依據(jù)相應的對應法則，是否在其定義域內都只有惟一確定的值與之對應，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結合法作判斷，這是常用方法，此題作為選擇題還可采用估算的方法．對于D，y=3是其值域內一個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D．說明：不論采取什么思路，理解和運用函數(shù)與其反函數(shù)的關系是這里解決問題的關鍵

分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因為過程太繁瑣．從概念看，這里應判斷對于給出函數(shù)值域內的任意值，依據(jù)相應的對應法則，是否在其定義域內都只有惟一確定的值與之對應，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結合法作判斷，這是常用方法，此題作為選擇題還可采用估算的方法．對于D，y=3是其值域內一個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D．說明：不論采取什么思路，理解和運用函數(shù)與其反函數(shù)的關系是這里解決問題的關鍵

分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因為過程太繁瑣．從概念看，這里應判斷對于給出函數(shù)值域內的任意值，依據(jù)相應的對應法則，是否在其定義域內都只有惟一確定的值與之對應，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結合法作判斷，這是常用方法，此題作為選擇題還可采用估算的方法．對于D，y=3是其值域內一個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D．說明：不論采取什么思路，理解和運用函數(shù)與其反函數(shù)的關系是這里解決問題的關鍵

例2．已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數(shù)是．（

）A．0B．1C．0或1D．1或2㈡小結確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法

§1函數(shù)的定義域2、求函數(shù)的定義域的主要依據(jù)是：①分式的分母不為0；②偶次方根的被開方數(shù)非負；③對數(shù)的真數(shù)大于0；④指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；⑤指數(shù)為0或負數(shù)時，底數(shù)不為0；⑥實際問題的函數(shù)除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應考慮有實際意義。1、函數(shù)的定義域是指自變量的取值范圍。3、如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算而得到的，那么它的定義域是各基本函數(shù)定義域的交集。4、已知f(x)的定義域為D，求f[g(x)]的定義域時，可令g(x)∈D解得x的范圍C，即為f[g(x)]的定義域；已知f[g(x)]的定義域為D，求f(x)定義域時，可先由x∈D，求出g(x)的范圍C，即為f(x)定義域?！?函數(shù)的值域函數(shù)的值域就是在對應法則f的作用下，自變量x的值對應的y值的集合。〖方法小結〗1、求函數(shù)值域的常用方法有：①配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函數(shù)值域問題,要注意f(x)的取值范圍對值域的影響.②真分式法:分式函數(shù)f(x)=形函數(shù)的值域，如f(x)=轉化為f(x)=1－求值域;2x＋12x＋3ax＋bcx＋d5x＋3③反函數(shù)法:分式函數(shù)f(x)=形函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法.ax＋bcx＋d④判別式法：把函數(shù)轉化成關于x的二次方程F(x,y)=0,通過方程有實根,判別式Δ≥0,從而求得原函數(shù)的值域.形如y=(a1,a2不同時為0)的函數(shù)的值域常用此法但要注意函數(shù)的定義域不是R時還需要用二次方程根的分布來求解.a1x2+b1x+c2a2x2+b2x+c2⑤單調性法:利用函數(shù)在其定義域或定義域的子集上的單調性求出函數(shù)的值域.⑥換元法:運用代數(shù)或三角代換,將所給函數(shù)化成值域容易求出的另一類函數(shù)⑧不等式法:利用基本不等式求函數(shù)值域,但要注意其使用的條件“一正、二定、三相等”。⑦數(shù)形結合法:利用函數(shù)所表示的幾何意義或函數(shù)圖象,借助于幾何方法求出函數(shù)值域.3、求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，要靠自己積累經驗，掌握規(guī)律。2、求函數(shù)的值域，不但要重視對應法則的作用，而且要特別注意定義域對值域的制約作用。4、二次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的最值一般分<m，m≤≤n和＞n三種情況進行討論。－b2a－b2a－b2a例3．已赴知解此奏類問手題，劉在于冊找規(guī)攻律，婚尋求蔬簡潔撇的求饞解，階且莫路先將x值代堆入，街再求控和；注否則弦將浪房誠費寶箏貴時污間例4．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為____．分析：由f(偉x＋19行9)的解炒析式深求f(孟x)的解匆析式敬運算演量較豈大，慎但這五里我惕們注疾意到黨，y=塌f(威x＋19爐9)與y=械f(擱x)，其圖利象僅羨是左劫右平僅移關梯系，平它們崇的最倉值是休一樣自的。誼求得f(造x)的最鏈小值駝即f(惱x＋19喝9)的最促小值北是2例5已知躲函數(shù)f(歷x)定義婆域為(0，2)，求函經數(shù)跪的逮定義輝域定義域為例6．例6．例7．求m,n?[2寧,彩4燙]實數(shù)余，求k的范團圍?例8．實數(shù)散，求m的范蘿圍?例9．(三)函拐數(shù)的設性質及應共用§1搶函竟數(shù)的長單調雁性1、言定義籃：設劣函數(shù)f(繳x)的定生義域既為I：如果傾對于壩屬于場定義刑域內撞某個培區(qū)間峽上的駕任意擋兩個增自變紅量x1、x2，當x1＜x2時，蓬都有f(豎x1)促＜f燒(x2)禽（覽f(蘭x1)播＞f斷(x2)醫(yī)），那么謝就說f(任x)在這估個區(qū)漠間上梢是增含（減謊）函露數(shù)。2、擊函數(shù)引的單急調性韻必須匯在定疊義域釘內進般行，候在定宋義域籃內的命不同金區(qū)間槍上可己能有希不同術的單艘調性例，因燦此必散須說順明在雀哪個使區(qū)間抗上遞珍增或剃遞減尚?！挤叫薹ㄐ〉陆Y〗1、鉗根據(jù)內定義爽證明碧函數(shù)筍單調深性的命方法釣：①設x1、x2∈A依，且設x1＜x2；②作差煮：f(來x1)－戲f(牢x2)，并變饒形（尋分解惕、配曉方、班通分涉等）特；③基判斷忠差的輪符號艱，并壤作結素論。2、槳根據(jù)晌導數(shù)欲判斷犁函數(shù)網單調寶性的末方法池：已知翻函數(shù)y=刃f(歐x)（1蒼）分叨析y=旋f(強x)的定拼義域晃；（釋2）鞋求導披數(shù)y′=f′(x悠)（3紋）解年不等年式f′(x吐)>0篇，解膜集在叨定義毯域內票的部懷分為券增區(qū)資間（4利）解織不等蹦式f′(x索)<0擠，左解集疤在定結義域泉內的怒部分坐為減訴區(qū)間3、犬復合嚼函數(shù)槽單調圣性的挺判斷賽方法都：設y=誘f(視u)版，u控=g括(x羨)，宇x∈痕(a丘,b象),英u∈告(m桶,n糟)，都是閱單調瞎函數(shù)伏，則y=糕f(百g(產x)緞)在[a,爽b]上也設是單撤調函咳數(shù)。劫若y=縮慧f(符u)是(m污,碎n)上的法增（蔥減）套函數(shù)怎，則y=潑f(攀g(赴x)延)的增秀減性蠢與u=諸g(種x)的增減址性相貴同（陵相反備）。鼓也可尋概括余為“剖同增違、同叮減為太增，臘一增運一減僵為減聲”?！?函數(shù)略的奇歲偶性1、裳定義監(jiān)：如冠果對邁于函升數(shù)f(獵x)的定耕義域檔內的血任一薪個x,都有f(章－x灶)=姐f蕉(x嚷)(或f(鋒－x毯)=織－坑f(扇x)摩），那么f(塑x)是偶艙函數(shù)撥（或投奇函爬數(shù)）都。2、躬圖象董特征旬：奇嬌函數(shù)弱的圖擊象關做于原璃點對淺稱；速偶函館數(shù)的個圖象列關于y軸對術稱。3、奇奇偶條函數(shù)裹的定爬義域奔一定行關于爹原點掀對稱慨。4、謠函數(shù)禽可分峽為：牙奇函拘數(shù)、冶偶函小數(shù)、新非奇晶非偶司函數(shù)至、既槐是奇勿函數(shù)阻又是訪偶函括數(shù)（f(汽x)拍=婦0特）。5旨.搏復合習函數(shù)意奇偶我性規(guī)驕律若函縱數(shù)g(傘x)障，f錦(x旨)，矛f[維g(輕x)椒]的定賤義域木都是考關于叮原點宇對稱讓的，報則u=磚g(跑x)饞，y駛=f越(u葬)都是喘奇函擦數(shù)時勺，y=累f[卷g(田x)涼]是奇畫函數(shù)咐；u=野g(躁x)茫，y滾=f霜(u密)都是狀偶函叉數(shù)，晉或者鼠一奇指一偶斤時，y=沫f胸[g旋(x慎)]是偶灰函數(shù)例1函數(shù)y=log(x2-2x+3)的定義域為_____值域為_____，單調增區(qū)間為______，減區(qū)間為______。解：x2-2x+3>0∴x∈Rx2-2x+3=(x-1)2+2≥2

∴y=log(x2-2x+3)≤-1單調增區(qū)間為（-∞,1]，減區(qū)間為[1,+∞）例2、求函數(shù)的單調區(qū)間

例3．若y=膨lo劇g(蔑2-廢ax韻)在［事0，汁1］隔上是x的減等函數(shù)娘，則a的取沫值范大圍是旋（鄰）A．享(0研，1繞)溝B妖．(啄1，峰2)C．芒(0頁，2導)穗D阻．[病2，株+∞摩)分析哲：本計題必逝須保孟證：①使lo來g(濾2-派ax握)有意獄義，術即a＞域0且a≠喬1，仆2-燒ax齡＞0僻．②使lo思g(航2-泡ax心)在[熔0，頓1]根上是x的減辭函數(shù)蒸．由綿于所諒給函撇數(shù)可逃分解營為y=lo窄gu，u芝=2鹿-a寸x，其中u=芽2-劍ax在a＞吳0時為栗減函滑數(shù)，濃所以心必須a＞購1；字③[腦0，歪1]必須土是y=娘lo魚g(遵2-銳ax魄)定義造域的宏子集例4．若y=端ax狗+l閥nx3在（嗚0，葉1］磨上是x的增星函數(shù)膚，求a的取栽值范為圍例5．求函胡數(shù)y=替ax投+l殖nx3在(捷0,劑1]菠上的蹄最大懲值？例6燥．設a>徒0，是上潛的偶碑函數(shù)岔。（I）求a的值腥；（II賢）證明f(峽x)在R上是捏增函肅數(shù)。例7升已知愧函數(shù)f(t)滿足著對任拴意實根數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y出)+xy+1殊,且f(－渾2)離=－居2.求f(1訪)的值(四)代數(shù)談推理討題為求f(1)的值，需令令令

例8廈已知瘋函數(shù)f（賀x）在（年－1甚，1攻）上掉有定直義，且滿漏足x、寧y∈也（－兄1，仰1）有證明勿：f（校x）在（婚－1忙，1壞）上往為奇圍函數(shù)例9唯已知頌函數(shù)y=f(x)旬(x0認)滿足繳對任河意非販零實零數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)+f(y博)1、倉求證f(1教)＝壤f(到-1騰)=紐奉02、警求證y=f(x)是偶函勵數(shù)3、律若y=f(x)在（改0，故＋）睛上是紀增函墾數(shù)解不膜等式f(品x)格+f影(x云-1棉/2依)筐0單元測試一、單選題1）若指數(shù)函數(shù)y=f(x)反函數(shù)的圖像過點(2,-1)，則此指數(shù)函數(shù)是（）(A)y=()x(B)y=2x(C)y=3x(D)y=10x2）若f(x)=，則f()=-的解為（）（A）2（B）-2（C）±2（D）±13）若函數(shù)y=f(x)的定義域是[-2,2]，則函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)的定義域是（）(A)[-4,2](B)[-2,2](C)[-2,4](D)[-4,-2]4）設集合A和B都是坐標平面上的點集|(x,y)|x∈R,y∈R|，映射f:A→B把A中的元素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y)，則在映射下，象(2,1)的原象是（）(A)(3,1)(B)(,)(C)(,-)(D)(1,3)5）函數(shù)y=f(x)的定義域和值域都是(-∞,0),那么函數(shù)y=f(-x)的圖像一定位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限6）如果0<a<1,0<x2<x1，則下列各式中正確的是（）（A）1<ax2<ax1（B）ax1<ax2<1（C）ax2<ax1<1（D）ax1<1<ax27）若函數(shù)f(x-1)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)()(A)以x=1為對稱軸(B)以x=-1為對稱軸(C)以y軸為對稱軸(D)不具有對稱性8）已知f(x)=asinx+b+4(a,b∈R)，且f(lglog310)=5，則f(lglg3)的值是（）（A）-5（B）5（C）-3（D）39）已知飼函數(shù)f(倘x)栽，(憂x∈R)滿足盡：(1賀)f(籠1+俘x)賣=f蓋(1凳-x疫)；必(2寇)在[霸1,廣+∞)上為璃增函欲數(shù)；(3富)x1<0煤,x2>0碼，且x1+x2<-箱2，則f(烘-x1)與f(謙-x2)的大芬小關杯系是梁（）(A)夾f輪(-奸x1)>知f(隙-x2)架(盞B)著f店(-依x1)=紀f(帝-x2)(C售)賞f(產-x1)<脾f(華-x2)鮮(吩D)無法殼確定10）若f(仿x)為奇漫函數(shù)糕，且棄在(-∞,0尾)內是鍛增函避數(shù)，妹又f(辟-2枕)=吸0，則x·言f(云x)割<0的解剛集為與（）(A)暑(穿-2藝,0丟)∪(0血,2喂)茅(贏B)曉(恢-∞,-欣2)∪(2打,+∞)(C惠)廣(-∞,-鋒2)∪(2忘,+∞)但(洞D)軋(齊-2竄,0艷)∪(2相,+∞)11）若f(傍x)悲,g反(x既)均為餐奇函咱數(shù)，時且F(蛾x)堆=a罵f(殖x)嘴+b鈴g(霞x)類+1在(己0,課+∞)上有古最大該值4，則F(騾x)在(咱-∞,0額)上有董最小志值（思）（A）顏-4靈（B野）-臣2（孟C）霧-1阿（D刊）312語）定義鄙在R上的掌函數(shù)y=歷f(計x)有反僑函數(shù)監(jiān)，則插函數(shù)y=拴f(證x+腔a)撫+b的圖皂像與y=勝f-1(x甚+a盟)+脅b的圖瘡像間收的關都系是勝（）(A)關于陷直線y=饒x+幼a+如b對稱(B)關于峽直線x=周y+窮a+五b對稱(C)關于蔽直線y=白x+嘗a-騰b對稱(D)關于棄直線x=烏y+沒a-拍b對稱二、填空題13）已知函數(shù)f(x)=ax2+b(x<0)的圖像過點(-2,11),f(x)的圖像過點(2,-1)，則a=___，b=___。14）已知logx3<logy3<0，則0,1,x,y之間的大小關系是_________。15）已知0<a<1，則方程a|x|=|logx|。實根的個數(shù)是____個。16）設函數(shù)g(x)=是奇函數(shù)，則a=__。三、濱解答濁題17）設f(倦x)是R上的叫偶函稍數(shù),且在抵區(qū)間(-∞,0年)上遞斯增，貪若有f(間2a2+a芬+1尖)<立f(舅3a2-2未a+振1)造，求a的取仁值范筋圍。解：∵2a2+a營+1俊>03a2-2皇a+冊1>再0∴2a2+a上+1話>3測a2-2僻a+答1a2-3統(tǒng)a<包0膝0<蠻a<脊318）已知常數(shù)a>1，變數(shù)x,y之間有關系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若x=at(t≠0)，試求以a,t表示y的表達式；（2）若t的變化范圍為[1,+∞)此時y的最小值為8，求a和x值。解：（1）logax+3logxa-logxy=3

∴=logax+-3

∴l(xiāng)ogay=loga2x-3logax+3y=a=a（2）當t=時y小=a=8

∴a=8=16此時x=16=6419）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx，其中a,b,c滿足a>b>c,a+b+c=0（1）求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點A，B；（2）求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍。解：(1)y=ax2+bx+c∴ax2+bx+c=-3xy=-bxax2+2bx+c=0①△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4[(a+)2+c2]∵a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0∴△>0∴兩函數(shù)圖象交于兩個不同點。（2）設方程兩個根分別為x1,x2則x1+x2=-x1x2=|A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-===4a>b>ca+b+c=0∴a>0c<0a>-a-c>c

∈(-2,-)∴|A1B1|2∈(3,12)<|A1B1|<220）如圖所示，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米，現(xiàn)在要在AB上某一點D處，向C修一條公路，已知鐵路與公路的每噸千米的運費之比為3:5，為了使原料從供應站B運到工廠C的運費最省。D點應選在何處？解：設|AD|=x鐵路上每噸千米運費為3k，公路為5k。總運費y=5k+3k(100-x)(0≤x≤100)∴=5-3xADBC令=t∴(t+3x)2=25(x2+400)∴16x2-6tx+10000-t=0

△=36t2-4×16(10000-t)≥0∴t≥80當t=80時x=15時，即D取在距A15千米處，總運費量省。法2設∠ACD=a則總運費量y=3(100-20tana)+5×=300+()小=此時tana=∴AD=15（千米）21）已知結函數(shù)f(喂x)掙=3x且f-1(1樓8)乒=a鞠+2峽，g嗓(x然)=噴3ax-4x的定誤義域碌為區(qū)