考點15二項式定理（理科）【亮點講】-【過高考】2023年高考數(shù)學大一輪單元復習課件與檢測知識回顧知識點一二項式定理1．二項式定理(1)定理：公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項式定理．(2)通項：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk為展開式的第k＋1項．2．二項式系數(shù)與項的系數(shù)(1)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，…，n)))叫做二項式系數(shù)．(2)項的系數(shù)：項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包含符號等，與二項式系數(shù)是兩個不同的概念．典例1、在(eq\r(x)－2)5的展開式中，x2的系數(shù)為()A．－5B．5C．－10D．10解析：由二項式定理得(eq\r(x)－2)5的展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(eq\r(x))5－r(－2)r＝Ceq\o\al(r,5)(－2)rxeq\f(5－r,2)，令eq\f(5－r,2)＝2，得r＝1，所以T2＝Ceq\o\al(1,5)(－2)x2＝－10x2，所以x2的系數(shù)為－10.答案：C知識點二知識點二二項式系數(shù)的性質(zhì)1．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸減小最大值當n是偶數(shù)時，中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大，最大值為Ceq\f(n,2)n；當n是奇數(shù)時，中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項和第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為Ceq\f(n－1,2)n或Ceq\f(n＋1,2)n2.各二項式系數(shù)的和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.典例2、(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數(shù)是()A．60B．80C．84D．120答案：D解析：[(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝eq\f(1＋x2[1－1＋x8],1－1＋x)＝eq\f(1＋x10－1＋x2,x).所以x2的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120，故選擇D.]強化訓練一、單選題1．若，則（

）A．0 B． C．1 D．1292．展開式的常數(shù)項為（

）A．120 B．60 C．30 D．153．若，則（

）A．270 B．135 C．135 D．2704．的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A．160 B．140 C．120 D．1005．在的展開式中，各項系數(shù)與二項式系數(shù)和之比為64，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．15 B．45 C．135 D．4056．若，則（

）A．6562 B．3281 C．3280 D．65607．在的展開式中，若常數(shù)項為，則實數(shù)值為（

）A． B． C． D．28．已知函數(shù)（k，n為正奇數(shù)），是的導函數(shù)，則（

）A． B．C． D．9．若，則的值是（

）A． B． C． D．10．已知，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題11．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則_____.12．二項式的展開式中，項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則___________；13．已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則展開式中含的項的系數(shù)為___________.14．如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)之和，如，，，…，則第11行第8個數(shù)（從左往右數(shù)）為______．15．設，且，若能被13整除，則a＝___．16．已知，.則值為___________.參考答案：1．C【解析】【分析】賦值，即可求得系數(shù)和.【詳解】令，得.故選：C2．B【解析】【分析】根據(jù)二項式展開公式得=，令，解出的值，代入計算即可.【詳解】解：因為==，令，解得,所以常數(shù)項為=60.故選：B.3．B【解析】【分析】以代替，可得，求出的系數(shù)，即可得答案【詳解】，以代替，得，所以其通項公式為，令，所以，故選：B4．A【解析】【分析】利用二項式定理的知識求出答案即可.【詳解】的展開式中，含項為，故選：A5．C【解析】【分析】令可得展開式各項系數(shù)和，再由二項式系數(shù)和為，即可得到方程，求出，再寫出二項式展開式的通項，令的指數(shù)為，即可求出，再代入計算可得；【詳解】解：對于，令，可得各項系數(shù)和為，又二項式系數(shù)和為，所以，解得，所以展開式的通項為，令，解得，所以；故選：C6．B【解析】【分析】分別令和再聯(lián)立求解即可【詳解】令有，令有，故故選：B7．A【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項，列出關(guān)于m的方程，解方程即得.【詳解】由已知，展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為，解得.故選：A.8．D【解析】【分析】依題意求出，再求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)二項式系數(shù)的特征求出，即可得解；【詳解】解：因為，所以，所以，則，其中，所以，所以；故選：D9．A【解析】【分析】運用賦值法可求解.【詳解】令，得，令，得，則.故選：A10．B【解析】【分析】令，可得，令可得，對分奇偶討論求解.【詳解】因為，令，可得，令，可得，所以，若為奇數(shù)，則，解得，符合；若為偶數(shù)，則，無整數(shù)解，不符合，綜上，.故選：B.11．75【解析】【分析】直接由的展開式求得含的項和含的項，進而得到，即可求解.【詳解】的展開式中含的項為，含的項為，則，.故答案為：75.12．10【解析】【分析】先寫出二項展開式的通項公式，令得的系數(shù)，令得常數(shù)項，再由已知列出等式，解出即可.【詳解】由題知，當時，的系數(shù)為；當時，常數(shù)項為；又的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，所以，解得.故答案為：1013．45【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)相等可求解，根據(jù)賦值法可求，進而根據(jù)通項即可求解.【詳解】有題意可知：，令，則，的展開式的通項為，令，所以的項的系數(shù)為，故答案為：4514．【解析】【分析】楊輝三角中的第行，第列的數(shù)，，都對應萊布尼茲調(diào)和三角形中的第行，第列的數(shù)，，從而求出答案.【詳解】楊輝三角中的第行，第列的數(shù)，，都對應萊布尼茲調(diào)和三角形中的第行，第列的數(shù)，，在楊輝三角中，第11行第8個數(shù)（從左往右數(shù)）為，所以