定積分與不定積分的關(guān)系第一頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五如果物體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時(shí)間區(qū)間[a,b]內(nèi)物體的位移s可以用定積分表示為另一方面，如果已知該變速直線運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時(shí)間區(qū)間[a,b]內(nèi)物體的位移為s(b)–s(a)，所以又有由于，即s(t)是v(t)的原函數(shù)，這就是說(shuō)，定積分等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間[a,b]上的增量s(b)–s(a).第二頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、積分上限函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則對(duì)于任意的x()，積分存在，且對(duì)于給定的x()，就有一個(gè)積分值與之對(duì)應(yīng)，所以上限為變量的積分是上限x的函數(shù).注意：積分上限x與被積表達(dá)式f(x)dx中的積分變量x是兩個(gè)不同的概念，在求積時(shí)(或說(shuō)積分過(guò)程中)上限x是固定不變的，而積分變量x是在下限與上限之間變化的，因此常記為第三頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理6.3第四頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明由積分中值定理有第五頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五結(jié)論：變上限積分所確定的函數(shù)對(duì)積分上限x的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)f(t)在積分上限x處的值f(x).第六頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五由上述結(jié)論可知：盡管不定積分與定積分概念的引入完全不同，但彼此有著密切的聯(lián)系，因此我們可以通過(guò)求原函數(shù)來(lái)計(jì)算定積分.定理6.4(原函數(shù)存在定理)第七頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理6.5二、牛頓牛頓—萊布尼茲公式證明第八頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五

上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本定理.第九頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五牛頓－萊布尼茨公式提供了計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，然后計(jì)算原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.該公式把計(jì)算定積分歸結(jié)為求原函數(shù)的問(wèn)題，揭示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系.第十頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

求

解第十一頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2

求

解第十二頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3

求

解第十三頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4

求

解第十四頁(yè)，共十五頁(yè)，編輯于2023年，星期五小結(jié)理解積分上限函數(shù)、原函數(shù)存在