3．2.2用向量方法求空間中的角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面所成角的概念．2．能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題．

課堂互動(dòng)講練知能優(yōu)化訓(xùn)練3.2.1用向量方法求空間中的角課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案溫故夯基1．兩條異面直線所成的角的范圍是______．2．直線與平面所成的角是指這條直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的______所成的角，其范圍是______．3．二面角的大小就是指二面角的平面角的大小，其范圍是_______．4．已知直線l1的一個(gè)方向向量為a＝(1，－2,1)，直線l2的一個(gè)方向向量為b＝(2，－2,0)，則兩直線所成的角為____.射影[0，π]30°知新益能1．異面直線所成角的求法設(shè)兩異面直線所成角為θ，它們的方向向量分別為a、b，則cosθ＝________＝_______.2．直線與平面所成角的求法設(shè)直線l與平面α所成角為θ，直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n.則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝_______.1．異面直線所成的角是否等于它們的方向向量所成的角？提示：不一定．若方向向量所成角小于等于90°,則相等；若方向向量所成角大于90°，則不相等．2．直線與平面所成角與直線的方向向量和平面法向量所成角互余嗎？提示：不一定．問題探究課堂互動(dòng)講練求異面直線的夾角考點(diǎn)一考點(diǎn)突破兩條異面直線所成角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等．當(dāng)兩方向向量夾角為鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．

四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°.在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B、P的坐標(biāo)；(2)求異面直線PA與BC所成的角的余弦值．例1求直線與平面所成的角考點(diǎn)二例2【思路點(diǎn)撥】利用正三棱柱的性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，取A1B1的中點(diǎn)M，連結(jié)C1M，證明∠C1AM是AC1與平面A1ABB1所成的角；另一種是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．利用向量法求二面角的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量；(3)求出兩個(gè)法向量的夾角；(4)判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定出二面角的平面角的大?。笃矫媾c平面所成的角考點(diǎn)三例3(2010年高考天津卷)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值；(2)證明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1-ED-F的正弦值．【思路點(diǎn)撥】解答本題首先建立空間坐標(biāo)系，寫出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求解．【名師點(diǎn)評(píng)】

方法感悟1．利用空間向量求線線角、線面角的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量之間、直線的方向向量與平面的法向量之間的角，通過數(shù)量積求出，通常方法分為兩種：坐標(biāo)方法、基向量方法，解題時(shí)要靈活掌握．2．利用向量方法求二面角的方法分為二類：一類是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去計(jì)算其大?。涣硪活愂抢枚娼堑膬蓚€(gè)平面的法